数学第四章 排列、组合与概率02课件

4.3组合在一个4人（甲、乙、丙、丁）参加的小型工作会议上，任何一位与会者都要同其他与会者每人握手一次．下表已给出两次握手的双方名单，请补充列出其他各次握手的双方名单．实例考察4.3组合列出各次握手的双方名单就是要从4个人中选出两人，且不计两人间的顺序，并将各种选法罗列出来．要从甲、乙、丙3名工人中选取2名，共同值晚班，有多少种选择方法？请逐一列出．一般地，从n个不同元素中取出m个元素（n，m∈N*，m≤n），不考虑顺序组成一组，称为从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数，称为从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C表示．mn4.3组合

一、组合与组合数的概念4.3组合

（2）除去守门员，从19位球员中选10人出阵，因为10人将分别担当右后卫、左前锋等不同职责，因此与顺序有关，是排列问题，共有Ｐ种不同的首发阵容；选助阵拉拉队员与顺序无关，是组合问题，共有Ｃ种挑选方案．10192050560解（1）一般来说，专业知识竞赛的选手之间无分工问题．所以选择过程与顺序无关，是组合问题，共有C种选法．课堂练习１1．把下列的问题归结为组合问题，并写出相应的组合数的符号：

（1）6位朋友互相握手道别，共握手多少次？

（2）6道习题任意选做4道题，有多少种不同的选法？

（3）正16边形有多少条对角线？4.3组合2．按要求写出下列组合：

（1）从5个元素a，b，c，d，e中任取2个元素的所有组合．

（2）从4个元素a，b，c，d中任取3个元素的所有组合．4.3组合4.3组合

二、组合数公式34

第1步，从４个不同元素中取出３个元素作组合，共有Ｃ种。34从４个不同元素中取３个元素的排列数Ｐ：

由此得到组合数公式：4.3组合mn第2步，求每一个组合中m个元素的全排列数P.根据分步计数原理，得例题解析4.3组合例1计算：解解设与会的人数为n．根据题意，互相握手的次数为C＝15，即解得所以，共有6人参加这次集会．

2n4.3组合

例3一次小型聚会，每一个与会者都和其他与会者握一次手，共有15次握手，问有多少人参加这次聚会？例4100件商品中含有3件次品，其余都是正品，从中任取3件：（1）3件都是正品，有多少种不同的取法？

（2）3件中恰有1件次品，有多少种不同的取法？

（3）3件中最多有1件次品，有多少种不同的取法？

（4）3件中至少有1件次品，有多少种不同的取法？

解

（１）因为3件都是正品，所以应从97件正品中取，

所有不同取法的种数是

4.3组合4.3组合解从97件正品中取2件，有C种取法；从3件次品中取1件，有C种取法．因此，根据分步计数原理，任取的3件中恰有1件次品的不同取法的种数是29713（2）3件中恰有1件次品，有多少种不同的取法？解３件中最多有１件次品的取法，包括只有１件是次品和没有次品两种，其中只有１件是次品的取法有CC种，没有次品的取法有C种，因此，3件中最多有1件次品的取法的种数是132973974.3组合（3）3件中最多有1件次品，有多少种不同的取法？解3件中至少有1件次品的取法，包括1件是次品，2件是次品和3件是次品，因此3件中至少有1件次品的取法的种数是4.3组合（4）3件中至少有1件次品，有多少种不同的取法？4.3组合

三、组合数的性质在一般情况下：从n个元素中选出m个元素的组合数，与从n个元素中选出n－m个元素的组合数是相等的．

由此，得到组合数的一种重要性质：例题解析4.3组合解例1计算课堂练习34.3组合1.计算：（1）（2）2.已知，求n.专题阅读抽屉原理与电脑算命一:引子《晏子春秋》里有一个“二桃杀三士”的故事，大意是：齐景公养着三名勇士，他们名叫田开疆、公孙接和古冶子。这三名勇士都力大无比，武功超群，为齐景公立下过不少功劳。但他们也刚愎自用，目中无人，得罪了齐国的宰相晏婴。晏子便劝齐景公杀掉他们，并献上一计：以齐景公的名义赏赐三名勇士两个桃子，让他们自己评功，按功劳的大小吃桃。古冶子见了，后悔不迭。仰天长叹道：如果放弃桃子而隐瞒功劳，则有失勇士尊严；为了维护自己而羞辱同伴，又有损哥们义气。如今两个伙伴都为此而死了，我独自活着，算什么勇士！说罢，也拔剑自杀了。晏子采用借“桃”杀人的办法，不费吹灰之力，便达到了他预定的目的，可说是善于运用权谋。汉朝的一位无名氏在一首诗中曾不无讽刺的写道：“……一朝被谗言，二桃杀三士。谁能为此谋，相国务晏子!”值得指出的是，在晏子的权谋之中，包含了一个重要的数学原理——抽屉原理。抽屉原理的一般含义为：“如果每个抽屉代表一个集合，每一个苹果就可以代表一个元素，假如有n＋1或多于n＋1个元素放到n个集合中去，其中必定至少有一个集合里至少有两个元素。”

二、抽屉原理常识桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，有的抽屉可以放一个，有的可以放两个，有的可以放五个，但最终我们会发现至少我们可以找到一个抽屉里面至少放两个苹果。这一现象就是我们所说的抽屉原理。三、抽屉原理应用抽屉原理虽然简单，但在数学中却有广泛而深刻的运用。例１：400人中至少有两个人的生日相同.解：将一年中的366天视为366个抽屉，400个人看作400个物体，由抽屉原理可以得知：至少有两人的生日相同.又如：我们从街上随便找来13人，就可断定他们中至少有两个人属相相同.“从任意5双手套中任取6只，其中至少有2只恰为一双手套。”十九世纪德国数学家狄里克雷（Dirichlet，1805—1859）首先利用抽屉原理来建立有理数的理论，以后逐渐地应用到引数论、集合论、组合论等数学分支中，所以现在抽屉原理又称为狄里克雷原理。1947年，匈牙利数学家把这一原理引进到中学生数学竞赛中，当年匈牙利全国数学竞赛有一道这样的试题：“证明：任何六个人中，一定可以找到三个互相认识的人，或者三个互不认识的人。”这个问题乍看起来，似乎令人匪夷所思。但如果你懂得抽屉原理，要证明这个问题是十分简单的：我们用A、B、C、D、E、F代表六个人，从中随便找一个，例如A吧，把其余五个人放到“与A认识”和“与A不认识”两个“抽屉”里去，根据抽屉原理，至少有一个抽屉里有三个人。不妨假定在“与A认识”的抽屉里有三个人，他们是B、C、D。如果B、C、D三人互不认识，那么我们就找到了三个互不认识的人；如果B、C、D三人中有两个互相认识，例如B与C认识，那么，A、B、C就是三个互相认识的人。不管哪种情况，本题的结论都是成立的。四、抽屉原理与电脑算命

所谓“电脑算命”不过是把人为编好的算命语句象中药柜那样事先分别一一存放在各自的柜子里，谁要算命，即根据出生的年、月、日、性别的不同的组合按不同的编码机械地到电脑的各个“柜子”里取出所谓命运的句子。其实这充其量不过是一种电脑游戏而已。我们用数学上的抽屉原理很容易说明它的荒谬。如果以70年计算，按出生的年、月、日、性别的不同组合数应为70×365×2＝51100，我们把它作为“抽屉”数。我国人口按11亿计，我们把它作为“物体”数。由于1.1亿=21526×51100+21400，根据原理，存在21526个以上的人，尽管他们的出身、经历、天资、机遇各不相同，但他们却具有完全相同的“命”，这真是荒谬绝伦！

1.某班37名同学，至少有几个同学在同一个月过生日？

4个2.42只鸽子飞进5个笼子里，可以保证至少有一个笼子中可以有几只鸽子？

9只3.口袋中有红、黑、白、黄球各10个，它们的外型与重量都一样，至少要摸出几个球，才能保证有4个颜色相同的球？

13个4.饲养员给10只猴子分苹果，其中至少要有一只猴子得到7个苹果，饲养员至少要拿来多少个苹果？

61个5.一个布袋中有40块相同的木块，其中编上号码1，2，3，4的各有10块。问：一次至少要取出多少木块，才能保证其中至少有3块号码相同的木块？9块

6.一个班有40名同学，现在有课外书125本。把这些书分给同学，是否有人会得到4件或4件以上的玩具？

是六年级有100名学生，他们都订阅甲、乙、丙三种杂志中的一种、二种或三种。问：至少有多少名学生订阅的杂志种类相同？分析与解：首先应当弄清订阅杂志的种类共有多少种不同的情况。

订一种杂志有：订甲、订乙、订丙3种情况；

订二种杂志有：订甲乙、订乙丙、订丙甲3种情况；

订三种杂志有：订甲乙丙1种情况。

总共有3＋3＋1=7（种）订阅方法。我们将这7种订法看成是7个“抽屉”，把100名学生看作100件物品。因