椭球面上大地问题的解算课件

椭球面上大地问题解算

一、概述

二、勒让德级数式

三、高斯平均引数正解公式（重点）

四、高斯平均引数反解公式（重点）

五、贝塞尔大地问题解算椭球面上大地问题解算一、概述1一、概述（一）解算内容

大地问题正解——已知P1点大地坐标（B1，L1）、P1P2大地线长S和大地方位角A1，推求P2点大地坐标（B2，L2）和大地方位角A2。

大地问题反解——已知P1P2两点的大地坐标（B1，L1）、（B2，L2）反算P1P2的大地线长S和大地方位角A1、A2。一、概述（一）解算内容2（二）解算方法1、按解算的距离分为：短距离（<400km)、中距离（400～1000km)和长距离（1000～2000km)的解算。2、按解算形式分为：直接解法和间接解法直接解法——直接解求点B、A和相邻起算点的大地经差。间接解法——先求大地经差、纬差和大地方位角差，再加入到已知点的相应大地数据中。主要用于短距离大地问题的解算。

（二）解算方法3（二）解算方法

3、高斯平均引数大地问题解算公式（间接解法，适用于短距离）。基本思路：

a、按照平均引数展开的泰勒级数把大地线两端点的经差、纬差和方位角差各表示为大地线长S的幂级数；b、利用大地线微分方程推求幂级数中各阶导数，最终得到大地问题解算公式。（二）解算方法4大地主题解算分类：正算：已知(B1,L1)，A12，S12，计算(B2,L2)，A21反算：已知(B1,L1)，(B2,L2)，计算A12，S12，A21短距离中距离长距离 解算方法：级数展开 勒让德级数高斯平均引数公式贝塞尔公式大地主题解算分类：5二、勒让德级数

按照泰勒级数将P1和P2两点的纬差b、经差l和方位角差α展开成为大地线长度S的幂级数，称为勒让德级数式。二、勒让德级数按照泰勒级数将P1和P2两点的纬差b、经差61、纬度差、经度差和方位角差展开为大地线长度的级数式由大地线的微分公式，得其一阶导数为：1、纬度差、经度差和方位角差展开为大地线长度的级数式由大地线7二阶和三阶导数采用复合函数求导法计算：同理可求出四阶以上的导数和L、A的高阶导数，代入展开式即可。二阶和三阶导数采用复合函数求导法计算：同理可求出四阶以上的导8三、高斯平均引数正解公式（一）基本思想

首先把勒让德级数在P1点展开改为在大地线长度中点M展开，以使级数公式项数减少、收敛快、精度高；

其次，考虑到求定中点M的复杂性，将M点用大地线两端的平均纬度及平均方位角相对应的m点来代替，并借助迭代计算，便可顺利的实现大地问题的正解。三、高斯平均引数正解公式（一）基本思想9高斯平均引数公式若取大地线中点展开，得：两式相减，得：类似地，有：1高斯平均引数公式两式相减，得：类似地，有：110两式相加，得：类似地，有：其中：将展开成级数，得：2两式相加，得：类似地，有：其中：将展开成级数11由大地线的微分公式：求导，得：取：代入式，得的计算公式。并取2代入式，求出各阶导数后整理得：1由大地线的微分公式：求导，得：取：代入式，得12同理可得：以上3式具有4次方精度，可用于解算225公里下的大地主题。3同理可得：以上3式具有4次方精度，可用于解算225公里下的大13当距离小于70千米时，上述个式中的可以略去，则得到简化公式，结构比较简单，精度高当距离小于70千米时，上述个式中的可以略去，则得到简化14因计算Bm,Lm要用到B2,L2，因此需要叠代计算。其初值为：叠代计算公式为：直到为止。最后计算纬度、经度和方位角：因计算Bm,Lm要用到B2,L2，因此需要叠代计算。15（二）高斯平均引数正解公式推求步骤：1、经差l、纬差b、方位角差a是S的函数，故可以将其展为S的泰勒级数（按平均引数在S/2处展为S的幂级数）。2、引入大地线两端点的平均纬度和平均方位角，将dL/dS以Bm、Am按泰勒级数展开。3、根据大地线微分方程求泰勒级数中的系数。4、将系数代入平均引数公式。5、由于B2、A2未知，Bm、Am精确值未知，可通过逐次趋近法求出。一般三次即可。（二）高斯平均引数正解公式推求步骤：16四、高斯平均引数反解公式高斯平均引数反解公式推求步骤：1、已知两点间的纬差b、经差l和平均纬度Bm，导出SsinAm和ScosAm，求a″。2、由SsinAm、ScosAm和a计算S和A1、A2。

计算公式：四、高斯平均引数反解公式高斯平均引数反解公式推求步骤：17高斯平均引数反算公式由正算公式，反解得：右端第二项与第一项相比为小量，可以作近似：高斯平均引数反算公式右端第二项与第一项相比为小量，可以作近似18代入上式第二项，得：由此可求得平均方位角和大地线长度如下：代入上式第二项，得：由此可求得平均方位角和大地线长度如下：19由正算公式的第三式，计算a：最后得起终点的大地方位角为：由正算公式的第三式，计算a：最后得起终点的大地方位角为：20小结1、大地主题正解微分公式终点的经纬度（B2,L2）和大地线方位角A21，与起点的经纬度（B1,L1）和大地线方位角A12，以及大地线长度S的微分关系。小结1、大地主题正解微分公式212、大地主题反解微分公式起点大地线方位角A12和大地线方位角A21，以及大地线长度S与起点和终点的经纬度（B1,L1）和（B2,L2）的微分关系。2、大地主题反解微分公式22五、贝塞尔大地问题的解算

（一）、基本思想贝赛尔解算大地问题的基本思想是将椭球面上的大地元素按照贝塞尔投影条件投影到辅助球面上，继而在球面上进行大地问题解算，最后再将球面上的计算结果换算到椭球面上。

（二）、分类1、贝赛尔大地问题的正解2、贝赛尔大地问题的反解五、贝塞尔大地问题的解算（一）、基本思想23Thankyou！Thankyou！24椭球面上大地问题解算

一、概述

二、勒让德级数式

三、高斯平均引数正解公式（重点）

四、高斯平均引数反解公式（重点）

五、贝塞尔大地问题解算椭球面上大地问题解算一、概述25一、概述（一）解算内容

大地问题正解——已知P1点大地坐标（B1，L1）、P1P2大地线长S和大地方位角A1，推求P2点大地坐标（B2，L2）和大地方位角A2。

大地问题反解——已知P1P2两点的大地坐标（B1，L1）、（B2，L2）反算P1P2的大地线长S和大地方位角A1、A2。一、概述（一）解算内容26（二）解算方法1、按解算的距离分为：短距离（<400km)、中距离（400～1000km)和长距离（1000～2000km)的解算。2、按解算形式分为：直接解法和间接解法直接解法——直接解求点B、A和相邻起算点的大地经差。间接解法——先求大地经差、纬差和大地方位角差，再加入到已知点的相应大地数据中。主要用于短距离大地问题的解算。

（二）解算方法27（二）解算方法

3、高斯平均引数大地问题解算公式（间接解法，适用于短距离）。基本思路：

a、按照平均引数展开的泰勒级数把大地线两端点的经差、纬差和方位角差各表示为大地线长S的幂级数；b、利用大地线微分方程推求幂级数中各阶导数，最终得到大地问题解算公式。（二）解算方法28大地主题解算分类：正算：已知(B1,L1)，A12，S12，计算(B2,L2)，A21反算：已知(B1,L1)，(B2,L2)，计算A12，S12，A21短距离中距离长距离 解算方法：级数展开 勒让德级数高斯平均引数公式贝塞尔公式大地主题解算分类：29二、勒让德级数

按照泰勒级数将P1和P2两点的纬差b、经差l和方位角差α展开成为大地线长度S的幂级数，称为勒让德级数式。二、勒让德级数按照泰勒级数将P1和P2两点的纬差b、经差301、纬度差、经度差和方位角差展开为大地线长度的级数式由大地线的微分公式，得其一阶导数为：1、纬度差、经度差和方位角差展开为大地线长度的级数式由大地线31二阶和三阶导数采用复合函数求导法计算：同理可求出四阶以上的导数和L、A的高阶导数，代入展开式即可。二阶和三阶导数采用复合函数求导法计算：同理可求出四阶以上的导32三、高斯平均引数正解公式（一）基本思想

首先把勒让德级数在P1点展开改为在大地线长度中点M展开，以使级数公式项数减少、收敛快、精度高；

其次，考虑到求定中点M的复杂性，将M点用大地线两端的平均纬度及平均方位角相对应的m点来代替，并借助迭代计算，便可顺利的实现大地问题的正解。三、高斯平均引数正解公式（一）基本思想33高斯平均引数公式若取大地线中点展开，得：两式相减，得：类似地，有：1高斯平均引数公式两式相减，得：类似地，有：134两式相加，得：类似地，有：其中：将展开成级数，得：2两式相加，得：类似地，有：其中：将展开成级数35由大地线的微分公式：求导，得：取：代入式，得的计算公式。并取2代入式，求出各阶导数后整理得：1由大地线的微分公式：求导，得：取：代入式，得36同理可得：以上3式具有4次方精度，可用于解算225公里下的大地主题。3同理可得：以上3式具有4次方精度，可用于解算225公里下的大37当距离小于70千米时，上述个式中的可以略去，则得到简化公式，结构比较简单，精度高当距离小于70千米时，上述个式中的可以略去，则得到简化38因计算Bm,Lm要用到B2,L2，因此需要叠代计算。其初值为：叠代计算公式为：直到为止。最后计算纬度、经度和方位角：因计算Bm,Lm要用到B2,L2，因此需要叠代计算。39（二）高斯平均引数正解公式推求步骤：1、经差l、纬差b、方位角差a是S的函数，故可以将其展为S的泰勒级数（按平均引数在S/2处展为S的幂级数）。2、引入大地线两端点的平均纬度和平均方位角，将dL/dS以Bm、Am按泰勒级数展开。3、根据大地线微分方程求泰勒级数中的系数。4、将系数代入平均引数公式。5、由于B2、A2未知，Bm、Am精确值未知，可通过逐次趋近法求出。一般三次即可。（二）高斯平均引数正解公式推求步骤：40四、高斯平均引数反解公式高斯平均引数反解公式推求步骤：1、已知两点间的纬差b、经差l和平均纬度Bm，导出SsinAm和ScosAm，求a″。2、由SsinAm、ScosAm和a计算S和A1、A2。

计算公式：四、高斯平均引数反解公式高斯平均引数反解公式推求步骤：41高斯平均引数反算公式由正算公式，反解得：右端第二项与第一项相比为小量，可以作近似：高斯平均引数反算公式右端第二项与第一项相比为小量，可以作近似42代入上式第二项，得：由此可求得平均方位角和大地线长度如下：代入上式第二项，得：由此可求得平均方位角和大地线长度如下：43由正算公式的第三式，计算a：最后得起终点的大地方位角为：由正算公式的第三式，计算a：最后得起终点的大地方位角为：44小结1、大地主题正解微分公式终点的经纬度（B2,L2）和大地线方位角A21，与起点的经纬度（B1,L1）和大地线方位角A12，以及大地线长度S的微分关系。小结1、大地主题正解微分公式452、大地主题反解微分公式起点大地线方位角A12