§8-5按叠加原理作弯矩图

§8-5按叠加原理作弯矩图第八章梁的内力§8-1平面弯曲的概念及工程实例§8-2静定梁的分类（三种基本形式）§8-3剪力方程与弯矩方程§8-4剪力、弯矩与分布荷载间的关系及应用1一、弯曲实例§8-1平面弯曲的概念及工程实例工厂厂房的天车大梁火车的轮轴：FFFF楼房的横梁：阳台的挑梁：二、弯曲的概念：受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线。变形特点——杆轴线由直线变为一条曲线。主要产生弯曲变形的杆---梁。三、平面弯曲的概念：受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线，且都在梁的纵向对称平面内。变形特点——杆的轴线在梁的纵向对称面内由直线变为一条平面曲线。纵向对称面MF1F2q平面弯曲§8-2静定梁的分类（三种基本形式）M—集中力偶q(x)—分布力1、悬臂梁：2、简支梁：3、外伸梁：—集中力Fq—均布力LLLL（L称为梁的跨长）一、弯曲内力的确定（截面法）：[例]已知：如图，F，a，l。

求：距A端x处截面上内力。FAYFAXFBYFABFalAB解：①求外力（支座反力）§8-3剪力方程与弯矩方程ABFFAYFAXFBYmmx②求内力FsMMFs∴

弯曲构件内力：－剪力，－弯矩。FAYACFBYFC研究对象：m-m

截面的左段：若研究对象取m-m

截面的右段：ABFFAYFAXFBYmmxFsMMFs1.弯矩：M

构件受弯时，横截面上存在垂直于截面的内力偶矩（弯矩）。AFAYCFBYFC2.剪力：Fs

构件受弯时，横截面上存在切于截面的内力（剪力）。二、弯曲内力的符号规定:

①剪力Fs

:

②弯矩M：

Fs(+)Fs(+)Fs(–)Fs(–)M(+)M(+)M(–)M(–)[例]：求1--1、2--2截面处的内力。qLM1解qqLab11221--1截面2--2截面qLM2x2[例]：求图所示梁1--1、2--2截面处的内力。aaaABCDFa11221.3a0.5aF解：（1）确定支座反力（2）求内力1--1截面取左侧考虑：2--2截面取右侧考虑：1.2kN/m0.8kNAB1.5m1.5m3m2m1.5m1122[例]：梁1-1、2-2截面处的内力。解：（1）确定支座反力RARB(2)1-1截面左段右侧截面：2-2截面右段左侧截面：RA三、剪力方程、弯矩方程：剪力方程弯矩方程反映梁横截面上的剪力和弯矩随截面位置变化的函数式显示剪力和弯矩随截面位移的变化规律的图形则分别称为剪力图和弯矩图。(-)注意：弯矩图中正的弯矩值绘在x轴的下方(即弯矩值绘在弯曲时梁的受拉侧)。lqAB画剪力图和弯矩图的步骤：1、利用静力方程确定支座反力。2、根据载荷p分段列出剪力方程、弯矩方程。3、根据剪力方程、弯矩方程判断剪力图、弯矩图的形状描点绘出剪力图、弯矩图。4、确定最大的剪力值、弯矩值。

注意：不能用一个函数表达的要分段，分段点为：集中力作用点、集中力偶作用点、分布力的起点、终点。F(x)xF解：①求支反力②写出内力方程③根据方程画内力图[例]列出梁内力方程并画出内力图。FABFAYMAxM(x)-FL注意：弯矩图中正的弯矩值绘在x轴的下方(即弯矩值绘在弯曲时梁的受拉侧)。例

图示简支梁受集度为q的满布荷载作用。试作梁的剪力图和弯矩图。解：1、求支反力2、列剪力方程和弯矩方程xFBFAFAM(x)FS(x)xAqBlAqql28l/2M3、作剪力图和弯矩图BlAq*载荷对称、结构对称则剪力图反对称，弯矩图对称*剪力为零的截面弯矩有极值。ql

2FS

例

图示简支梁受集中荷载F作用。试作梁的剪力图和弯矩图。解：1、求支反力2、列剪力方程和弯矩方程——需分两段列出BFBFAxlAFabCAC段CB段FAxAM(x)FS(x)FBBFS(x)M(x)BFBFAxlAFabC3、作剪力图和弯矩图FS

FblxFblMxFablBFBFAxlAFabC*在集中力F作用处，剪力图有突变，突变值为集中力的大小；弯矩图有转折例

图示简支梁在C点受矩为Me

的集中力偶作用。试作梁的剪力图和弯矩图。解:1、求支反力Me

FA

FBBlACab2、列剪力方程和弯矩方程剪力方程无需分段：弯矩方程——两段：AC段：CB段：FA

FBxAFAM(x)FS(x)xFBBFS(x)M(x)BlACab3、作剪力图和弯矩图b>a时发生在C截面右侧FslxMelMxMealMeb*集中力偶作用点处剪力图无影响，弯矩图有突变，突变值的大小等于集中力偶的大小。BlACab解：1、支反力2、写出内力方程1kN/m2kNABCD1m1m2mx1x3x2FAYFBY[例]

画出梁的内力图。3、根据方程画内力图1kN/m2kNABCDFAYFBYxFs(x)x2kN2kN2kN.m2kN.mM(x)§8-4剪力、弯矩与分布荷载间的关系及应用一、剪力、弯矩与分布载荷间的关系1、支反力：LqFAyFBy2、内力方程3、讨论如下x对dx

段进行平衡分析，有：dxxq(x)q(x)M(x)+dM(x)Fs(x)+dFs

(x)Fs(x)M(x)dxAy剪力图上某点处的切线斜率等于该点处载荷集度的大小。q(x)M(x)+dM(x)Fs(x)M(x)dxAy弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小。Fs(x)+dFs

(x)q、Fs和M三者的微分关系二、微分关系的应用---作Fs

图和

M

图（用于定形）2、分布力q(x)=常数时1、分布力q(x)=0时（无分布载荷）Fs图：M图：

——剪力图为一条水平线；

弯矩图为一条斜直线。——剪力图为一条斜直线；弯矩图为一条二次曲线。（1）当分布力的方向向上时——剪力图为斜向上的斜直线；弯矩图为上凸的二次曲线。（2）当分布力的方向向下时Fs图：M图：M(x)——剪力图为斜向下的斜直线；弯矩图为下凸的二次曲线。Fs图：M图：M(x)2、分布力q(x)=常数时控制点:端点、分段点（外力变化点）和驻点（极值点）等。三、简易法作内力图：

利用微分关系定形，利用特殊点的内力值来定值利用积分关系定值基本步骤：1、确定梁上所有外力（求支座反力）；

2、分段

3、利用微分规律判断梁各段内力图的形状；

4、确定控制点内力的数值大小及正负；

5、画内力图。作图时应注意结合以下几点*集中力偶处——剪力图无变化；弯矩图有突变，突变值的大小等于集中力偶的大小。*弯矩极值处——剪力为零的截面、集中力及集中力偶作用的截面。*集中力处——剪力图有突变，突变值等于集中力的大小；弯矩图有折角。*端部无集中力，剪力为零，端部无集中力偶，弯矩为零。[例]

用简易作图法画下列各图示梁的内力图。左端点：剪力图有突变，突变值等于集中力的大小。右端点：弯矩图有突变，突变值等于集中力偶的大小。qa–xaaqaq解：1、确定支反力（可省略）AB：BC：2、画内力图Fym；q>0,M-qa2(Fs<0,所以M图向负方向斜(q>0,所以Fs图向正方向斜)(积分关系FsB=FsA+0)MC=MB+(-1/2qaa)=-qa2–1/2

qa2MB=MA+(-qaa)=0-qa2)(FsC

左=FsB+qa=-qa+qa=0)Fsx2kN2kN解：1、支反力2、画内力图AC段：剪力图为一条水平线；

BD段：剪力图为斜向下的斜直线；

CD段：剪力图为零；

A、C、B截面剪力图有突变；突变值的大小为其集中力的值。1kN/mABCD2kN2m1m1mFAYFBYxM(x)2kNm2kNm弯矩图为一条斜直线弯矩图为一条水平线。弯矩图为下凸的二次曲线。qBADa4aFAyFBy例题试画出梁剪力图和弯矩图。解：1．确定约束力根据梁的整体平衡，由求得A、B二处的约束力qa2．确定控制面

由于AB段上作用有连续分布载荷，故A、B两个截面为控制面，约束力FBy右侧的截面，以及集中力qa左侧的截面，也都是控制面。C

（+）

（-）qBADa4aFAyFByqa1．确定约束力2．确定控制面，即A、B、D两侧截面。

3．从A截面左测开始画剪力图。

Fs

9qa/4

7qa/4qa（+）M

（+）

（-）qBADa4aFAyFByqa

Fs

9qa/4

7qa/4qa4．求出剪力为零的点到A的距离。

B截面的弯矩为

-1/2×7qa/4×7a/4+81qa2/32=qa2

AB段为抛物线。且有极大值。该截面的弯矩为

1/2×9qa/4×9a/4=81qa2/325．从A截面左测开始画弯矩图

81qa2/32qa2§8-5按叠加原理作弯矩图二、叠加原理：多个载荷同时作用于结构而引起的内力等于每个载荷单独作用于结构而引起的内力的代数和。一、前提条件：小变形、梁的跨长改变忽略不计；所求参数（内力、应力、位移）必然与载荷满足线性关系。即在弹性范围内满足虎克定律。三、步骤：1、梁上的几个载荷分解为单独的荷载作用；

2、分别作出各项载荷单独作用下梁的弯矩图；

3、将其相应的纵坐标叠加即可（注意：不是图形的简单拼凑）。[例]按叠加原理作弯矩图(AB=2a，力F作用在梁AB的中点处）。qFABFq=+AABB=MxM1x

+M2x[例]

作下列图示梁的内力图。FLFFLLLLLLL0.5F0.5F0.5F0.5FFFsxFs1xFs2x–0.5F0.5F0.5F–+–FF0.5FFLL0.5FFLLLF0M2x0.5FL0.5FLxM10.5FLxMFLFLLL0.5F0.5F[例]

绘制下列图示梁的弯矩图。2FaaF=2FF+M1x=+-2Fax2FaM2xMFaFaaFL/2xMFL/2xM2+-FL/2=FL/4xM1=+FFL/250kN2m2m20kNm20kNm=+50kN20kNm20kNmxM250kNm+=x-20kNmM1x-20kNmM30kNm-20kNm四、对称性与反对称性的应用：

对称结构在对称载荷作用下——

Fs

图反对称，M图对称；

对称结构在反对称载荷作用下——

Fs图对称，M图反对称。某些机器的机身（压力机等）由几根直杆组成，而各杆在其联接处的夹角不能改变，这种联接称为刚节点。有刚节点的框架称为刚架。各直杆和外力均在同一平面内的刚架为平面刚架。7平面刚架和曲杆的内力图平面刚架平面刚架的内力图平面刚架：轴线由同一平面折线组成的刚架。

特点：刚架各杆横截面上的内力有：Fs、M