解密新高考数学人教A版一轮总复习作业53平面向量的数量积及其应用(含答案详析)

一、选择题

时间：45分钟满分：100分班级：________姓名：________学号：________得分：________(本大题共6小题，每题6分，共36分，在以下四个选项中，只有一项为哪一项吻合题目要求的

)1．(2014·湖北重点中学联考

)设

0≤θ＜2π，已知两个向量

→OP1＝(cosθ，sinθ)，→OP2＝(2＋sinθ，2－cosθ)，则向量

→P1P2的长度的最大值是

(

)A.2

B.3C．32

D．23→剖析：P1P2＝(2＋sinθ－cosθ，2－cosθ－sinθ)，→|P1P2|＝22－cosθ2＋2sin2θ10－8cosθ≤18＝32.当且仅当θ＝π时取等号．答案：C2．(2013·湖南)已知a，b是单位向量，a·b＝0.若向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的取值范围是()A．[2－1，2＋1]B．[2－1，2＋2]C．[1，2＋1]D．[1，2＋2]剖析：|c－a－b|＝1?|c－(a＋b)|＝1，由于a，b为单位向量且a·b＝0即垂直，则|a＋b|＝2.画出图形知，当a＋b与c同向时，|c|min＝2－1，当a＋b与c反向时，|c|max＝2＋1，应选A.答案：A→→153．(2014·菏泽联考)已知△ABC中，AB＝a，AC＝b，a·b＜0，S△ABC＝4，|a|＝3，|b|＝5，则∠BAC等于()A．30°B．－150°C．150°D．30°或150°1|a||b|sin∠BAC＝15剖析：∵S△ABC＝4，21sin∠BAC＝2，又a·b＜0，∴∠BAC为钝角，∴∠BAC＝150°答案：C4．(2014·天津河西质量检查)已知两点M(－3,0)，N(3,0)，点P为坐标平面→→→→内一动点，且|MN|·|MP|＋MN·NP＝0，则动点P(x，y)到点M(－3,0)的距离d的最小值为()A．2B．3C．4D．6→→→＝(x＋3，y)，剖析：由于M(－3,0)，N(3,0)，所以MN＝(6,0)，|MN＝，MP|6→→→→→＝0得6x＋32＋y2＋6(x－3)＝0，化简NP＝(x－3，y)．由|MN·＋·||MP|MNNP得y2＝－12x，所以点M是抛物线y2＝－12x的焦点，所以点P到M的距离的最小值就是原点到M(－3,0)的距离，所以dmin＝3.答案：B5．(2014·马鞍山二模)在△ABC中，已知a、b、c分别为角A、B、C所对的→→边，且a、b、c成等比数列，a＋c＝3，cosB＝3，则AB·BC等于()433A.2B．－2C．3D．－323剖析：由已知b＝ac，a＋c＝3，cosB＝4，得32＋c2－b2＋c2－3ac4＝2ac＝2ac，解得ac＝2.→→→→则AB·BC＝ac·cos〈AB，BC〉3＝2×(－4)＝－2.答案：B0是边AB上必然点，满足P0＝1，且对于边6．(2013·浙江)设△ABC，PB4AB→→→→AB上任一点≥P·，则()P，恒有PB·PC0BP0CA．∠ABC＝90°B．∠BAC＝90°C．AB＝ACD．AC＝BC剖析：如图，设A(0,0)，B(4,0)，C(a，b)，P(x,0)，P0(3,0)，则有(4－x,0)·(ax，b)≥(1,0)(a·－3，b)，化简x2－(a＋4)x＋3a＋3≥0在[0,4]上恒建立，∴(a＋4)2－4(3a＋3)≤0，(a－2)2≤0，∴a＝2，∴AC＝BC.答案：D二、填空题(本大题共4小题，每题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上)7．(2014·安徽模拟)若平面向量a，b满足：|2a－b|≤3，则a·b的最小值是________．剖析：|2a－b|≤3?4a2＋b2≤9＋4a·b22≥4|a||b|≥－4a·b?9＋4a·b≥－4a·b?a·b≥－94a＋b8.9答案：－88．(2014·北京模拟)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，→→→→则DE·CB的值为__________；DE·DC的最大值为________．剖析：建立平面直角坐标系，将向量数量积运算转变成向量的坐标运算求解．以下列图，以AB，AD所在的直线分别为x轴和y轴建立直角坐标系，由于正方形边长为1，故B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)．又E在AB边上，故设E(t,0)(0≤t≤1)．→→则DE＝(t，－1)，CB＝(0，－1)．→→故DE·CB＝1.→又DC＝(1,0)，→→∴DE·DC＝(t，－1)·(1,0)＝t.→→又0≤t≤1，∴DE·的最大值为1.DC答案：11在平行四边形π9．(2014·上海模拟)ABCDA3→→→→为2、1.若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足|BM|＝|CN|，则AM·的取→→AN|BC||CD|值范围是________．剖析：建立坐标系，应用坐标运算将所求问题转变成二次函数在给定区间上的取值范围问题．以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，53133则B(2,0)，C(2，2)，D(2，2)，设M(x1，3(x1－2))，N(x2，2)，由条件可得→→→→＝(x1，＝，代入坐标化简得4x1＋x2＝21，得x2＝21－4x1，所以AM·2|BM||CN|22AN3213253(x1－2))·(x2，2)＝x1(2－4x1)＋2(x1－2)＝－4x1＋12x1－3，x1∈[2，2]．由二y＝－4x2＋12x－3在x∈[2，5→→次函数的图像可知上是减函数，所以·的1112]AMAN取值范围是[2,5]．答案：[2,5]．·南通一调在△中，若＝，＝→→→(2014)ABCAC3，|AB＋AC＝，10AB1||BC|→→BA·BC则→＝________.|BC|→→→的、、构成直角三角形的三个极点，且剖析：易知满足|AB＋AC＝||BC|ABC→→→1∠A为直角，于是BA·BC＝|BA·∠＝×cos60°＝→|cosABC12.|BC|1答案：2三、解答题(本大题共3小题，共40分，11、12题各13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤)→→→11．(2014·南京调研)已知OM＝(cosα，sinα)，ON＝(cosx，sinx)，PQ＝(cosx，－sinx＋4)．5cosα→→4时，求函数y＝ON·的最小正周期；(1)当cosα＝5sinxPQ→→→→(2)当OM·ON＝12，OM∥PQ，α－x，α＋x都是锐角时，求cos2α的值．134解：(1)∵cosα＝5sinx，∴y＝cos2x－sin2x＋4sinx5cosα＝cos2x＋sin2x1cos2x＋2＝2cos2x＋2，∴该函数的最小正周期是π.1－cos2x→→(2)∵OM·ON＝cosαcosx＋sinαsinx12＝cos(α－x)＝13，且α－x是锐角．∴sin(α－x)＝1－cos2α－x＝5，13→→∵OM∥PQ，4∴－cosαsinx＋5－sinαcosx＝0，4即sin(α＋x)＝5.∵α＋x是锐角，∴cos(α＋x)＝

21－sin

α＋x

3＝5，∴cos2α＝cos[(α＋x)＋(α－x)]cos(α＋x)cos(α－x)－sin(α＋x)sin(α－x)3124516＝5×13－5×13＝65，16即cos2α＝65.．·衡阳模拟如图，在△→→→→，ABC中，AB·AC＝0，|AB＝，＝l12(2014)|8|AC|6为线段BC的垂直均分线，l与BC交于点D，E为l上异于D的任意一点，→→(1)求AD·CB的值．→→(2)判断AE·CB的值可否为一个常数，并说明原由．→1→→→→→解：(1)由已知可得AD＝＋AC，CB＝AB－AC，2(AB)→→＝1→→→→AD·CB＋AC·－AC)2(AB)(AB1→2→21＝2(AB－AC)＝2(64－36)＝14.→→(2)AE·CB的值为一个常数．∵l为线段BC的垂直均分线，l与BC交于点D，E为l上异于D的任意一点，→→→→→→→∴DE·＝0，故AE·＝(AD＋DE·CBCB)CB→→→→→→＝AD·＋DE·＝AD·＝14.CBCBCB．△中，满足：→→ABC⊥AC，M是BC的中点．13AB若→→，求向量→→→→(1)＝＋2AC与向量2AB＋AC的夹角的余弦值；|AB||AC|AB若是线段上任意一点，且→→→→→→的最(2)OAM＝＝2，求OA·OB＋OC·|AB||AC|OA小值．→→→→解：(1)设向量AB＋2AC与向量2AB＋AC的夹角为θ，→→|AB|＝|AC|＝a，→→∵AB⊥AC，→→→→→→→→∴(AB＋2AC)·(2AB＋AC)＝2AB2＋5AB·AC＋2AC2＝4a2，→→→→|AB＋2AC＝＋2AC2|AB→→→→AB2＋4AB·AC＋4AC2＝5a，→→同理可得|2AB＋AC＝，|5a→→→→2＋2AC·＋AC4∴