2023届高考数学一轮复习解答题之立体几何专项练习（含解析）

届高考数学一轮复习解答题之立体几何专练1.如图所示,在五面体中,平面为的中点,.(1)求异面直线与所成角的大小；(2)求证：平面平面；(3)求平面与平面夹角的余弦值.2.如图，在直四棱柱中，,,,E,F分别为,的中点，.

（1）证明：平面ABCD；

（2）求直线EF与平面FCD所成角的正弦值.3.如图，三棱柱的侧棱底面ABC，，E是棱上的动点，F是AB的中点，，，.

（1）当E是棱的中点时，求证：平面；

（2）在棱上是否存在点E，使得二面角的余弦值是？若存在，求出CE的长；若不存在，请说明理由.4.如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的菱形，，四边形BDEF是矩形，平面平面ABCD,，M为线段BF的中点.

（1）求M到平面DEC的距离及三棱锥的体积；

（2）求证：平面ACE.5.在①平面ABC，②，③三个条件中任选两个条件补充在下面的横线处（填序号），使得平面PAC成立，请说明理由，并在此条件下进一步解答该题.

如图，在三棱锥中，若__________,且，求直线AB与平面PBC所成角的正弦值.

6.已知四棱锥的底面ABCD是直角梯形，,,，，E为CD的中点，.

（1）证明：平面平面ABCD；

（2）若,PC与平面ABCD所成的角为，试问在侧面PCD内是否存在一点N，使得平面PCD？若存在，求出点N到平面ABCD的距离；若不存在，请说明理由.7.如图,D为圆锥的顶点,O是圆锥底面的圆心,AE为底面直径,.是底面的内接正三角形,P为DO上一点,.

(1)证明:平面PBC;

(2)求二面角的余弦值.8.如图所示，在三棱锥中，,O为BC的中点.

（1）求证：平面ABC；

（2）求异面直线SC与AB所成角的余弦值；

（3）在线段AB上是否存在一点E，使二面角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，试说明理由.9.如图，在三棱锥中，平面平面ABC，，.

（1）若，求证：平面平面PBC；

（2）若PA与平面ABC所成角的大小为60°，求二面角的余弦值.10.如图，点O为正四棱锥的底面ABCD的中心，四边形POBQ为矩形，且，.

（1）求正四棱锥的体积；

（2）设E为侧棱PA上的点，且,求直线BE与平面PQC所成角的大小.

答案以及解析1.答案：(1)如图所示,以点为坐标原点,建立空间直角坐标系.设,依题意得.,于是,则,所以异面直线与所成角的大小为60°.(2)由(1)得.又为的中点,所以,所以,可得,因此.又,故平面,而平面,所以平面平面.(3)设平面的法向量为,则,于是,令,可得.易知平面的一个法向量为.设平面与平面的夹角为,则,所以平面与平面夹角的余弦值为.2.答案：（1）证明：连接,BD，易知侧面为矩形，

F为的中点，F为的中点.

E为的中点，.

平面ABCD,平面ABCD，

平面ABCD.

（2）在平面ABCD中，过点D作，

易知平面ABCD，

则以D为原点，DM,DC,所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

设，

则，，，，，，

，，

，，.

设平面FCD的一个法向量为，

则即

令，得.

，

直线EF与平面FCD所成角的正弦值为.3.答案：（1）证明：取的中点G，连接EG，FG.

F,C分别是AB,的中点，

，，

又,，

,，，

四边形FGEC是平行四边形，.

平面，平面，

平面.

（2）以C为坐标原点，射线CA,CB,分别为x轴，y轴，z轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz，

则，，，，

设，平面的一个法向量为，则.

由，，

得

令，得.

易得平面，

是平面的一个法向量，令.

二面角的余弦值为，

，

解得（舍去）.

在棱上存在点E，使得二面角的余弦值是,此时.

4.答案：（1）设，以O为原点，OB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，过O且与平面ABCD垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示.

易知z轴在平面BDEF内，且轴，

则，，，，

，，.

设平面DEC的一个法向量，

则

取，得,

M到平面DEC的距离,

又，

三棱锥的体积.

（2）证明：由（1）易知，，，

，，

，，

又，AC,平面ACE，

平面ACE.5.答案：若选③，由知，为直角三角形，所以BC不垂直于PC.

又平面PAC，所以BC不可能垂直于平面PAC，所以③必不选，故选①②.

理由如下：

因为平面ABC,平面ABC，

所以.

又因为,，

所以平面PAC.

以C为坐标原点，,的方向分别为x轴，y轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.

因为，所以，，，.

所以，，.

设平面PBC的一个法向量为,

则所以

令，得，

所以.

所以直线AB与平面PBC所成角的正弦值为.6.答案：（1）证明：四棱锥的底面ABCD是直角梯形，，，，

，，

是等边三角形，

，DB平分.

E为CD的中点，

，，

又,,平面PBD.

平面ABCD,

平面平面ABCD.

（2）存在.

在平面PBD内作于O，连接OC.

平面平面ABCD，平面平面，

平面ABCD,，

即为PC与平面ABCD所成的角，则.

，，

O为BD的中点，.

易得，

以O为原点，OB,OC,OP所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，

，.

假设在侧面PCD内存在点N，使得平面PCD，

设，易得，

.

由

得解得满足题意，点N到平面ABCD的距离为.

7.答案：(1)证明：设,由题设可得，，，.

因此,从而.

又,故.

所以平面PBC.

(2)以O为坐标原点,的方向为y轴正方向,为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系.

由题设可得，，，.

所以，.

设是平面PCE的一个法向量,则即

可取.

由(1)知是平面PCB的一个法向量,记,

则.

易知二面角的平面角为锐角，

所以二面角的余弦值为.8.答案：（1）证明：在三棱锥中，，O为BC的中点，

显然，连接OA，设，

则,,,

，，

又，平面ABC.

（2）以O为原点，,,的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，

，

，

，

异面直线SC与AB所成角的余弦值为.

（3）存在满足条件的点E.

由（2）知，，.设，则，

.

设平面SCE的一个法向量为，

则即

令，得.

易知平面SBC，可取为平面SBC的一个法向量，

，

即，解得或（舍去），

存在满足题意的点E使得当时，二面角的余弦值为.9.答案：（1）证明：因为平面平面ABC，

平面平面,平面ABC,，

所以平面PAC.

因为平面PAC，所以.

又,，

所以平面PBC.

因为平面PAB,

所以平面平面PBC.

（2）如图，过点P作于点H,

因为平面平面ABC，

所以平面ABC，所以，

不妨设，则，

以C为原点，CA,CB所在直线分别为x轴，y轴，以过C点且平行于PH的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系,

则，，，，

因此，，，.

设为平面PAB的一个法向量,

则即

令，可得，

设为平面PBC的一个法向量，

则即

令，可得，

所以，

易知二面角为锐角，

所以二面角的余弦值为.10.答案：（1）由已知可得，

因为，所以，

所以正四棱锥的体积.