2023年重庆中考数学几何证明题-(专题练习+答案详解)

2023年重庆中考数学24题专题练习1、如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，E为AD中点，连接BE，CE〔1〕求证：BE=CE；〔2〕假设∠BEC=90°，过点B作BF⊥CD，垂足为点F，交CE于点G，连接DG，求证：BG=DG+CD．2、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E为AB延长线上一点，连接ED，与BC交于点H．过E作CD的垂线，垂足为CD上的一点F，并与BC交于点G．G为CH的中点．〔1〕假设HE=HG，求证：△EBH≌△GFC；〔2〕假设CD=4，BH=1，求AD的长．3、如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=BC，∠DAB=60°，E是对角线AC延长线上一点，F是AD延长线上的一点，且EB⊥AB，EF⊥AF．〔1〕当CE=1时，求△BCE的面积；〔2〕求证：BD=EF+CE．4、如图．在平行四边形ABCD中，O为对角线的交点，点E为线段BC延长线上的一点，且．过点EEF∥CA，交CD于点F，连接OF．〔1〕求证：OF∥BC；〔2〕如果梯形OBEF是等腰梯形，判断四边形ABCD的形状，并给出证明．5、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BF⊥CD于F，延长BF交AD的延长线于E，延长CD交BA的延长线于G，且DG=DE，AB=，CF=6．〔1〕求线段CD的长；〔2〕H在边BF上，且∠HDF=∠E，连接CH，求证：∠BCH=45°﹣∠EBC．6、如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，∠D=45°．〔1〕假设AB=6cm，，求梯形ABCD的面积；〔2〕假设E、F、G、H分别是梯形ABCD的边AB、BC、CD、DA上一点，且满足EF=GH，∠EFH=∠FHG，求证：HD=BE+BF．7、：如图，ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，延长CD至F，使DF=CD，连接BF交AD于点E．〔1〕求证：AE=ED；〔2〕假设AB=BC，求∠CAF的度数．8、：如图，在正方形ABCD中，点G是BC延长线上一点，连接AG，分别交BD、CD于点E、F．〔1〕求证：∠DAE=∠DCE；〔2〕当CG=CE时，试判断CF与EG之间有怎样的数量关系？并证明你的结论．9、如图，正方形ABCD，点E是BC上一点，点F是CD延长线上一点，连接EF，假设BE=DF，点P是EF的中点．〔1〕求证：DP平分∠ADC；〔2〕假设∠AEB=75°，AB=2，求△DFP的面积．10、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BD=BC，E为CD的中点，交BC的延长线于F；〔1〕证明：EF=EA；〔2〕过D作DG⊥BC于G，连接EG，试证明：EG⊥AF．11、如图，直角梯形ABCD中，∠DAB=90°，AB∥CD，AB=AD，∠ABC=60度．以AD为边在直角梯形ABCD外作等边三角形ADF，点E是直角梯形ABCD内一点，且∠EAD=∠EDA=15°，连接EB、EF．〔1〕求证：EB=EF；〔2〕延长FE交BC于点G，点G恰好是BC的中点，假设AB=6，求BC的长．12、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD，∠C=60°，AE⊥BD于点E，F是CD的中点，DG是梯形ABCD的高．〔1〕求证：AE=GF；〔2〕设AE=1，求四边形DEGF的面积．13、，如图在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，DE⊥AC于点F，交BC于点G，交AB的延长线于点E，且AE=AC，连AG．〔1〕求证：FC=BE；〔2〕假设AD=DC=2，求AG的长．14、如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，点E是AB边上一点，AE=BC，DE⊥EC，取DC的中点F，连接AF、BF．〔1〕求证：AD=BE；〔2〕试判断△ABF的形状，并说明理由．15、〔2023•潼南县〕如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥DC，AB=BC，且AE⊥BC．〔1〕求证：AD=AE；〔2〕假设AD=8，DC=4，求AB的长．16、如图，梯形ABCD中，AD∥CB，E，F分别是BD，AC的中点，BD平分∠ABC．〔1〕求证：AE⊥BD；〔2〕假设AD=4，BC=14，求EF的长．17、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，BE⊥AC，E为垂足，AC=BC．〔1〕求证：CD=BE；〔2〕假设AD=3，DC=4，求AE．18、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AC，∠B=45°，AD=1，BC=4，求DC的长．19、梯形ABCD中，AD∥BC，AB=BC=DC，点E、F分别在AD、AB上，且．〔1〕求证：BF=EF﹣ED；〔2〕连接AC，假设∠B=80°，∠DEC=70°，求∠ACF的度数．20、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点E在BC上，AE=BE，且AF⊥AB，连接EF．〔1〕假设EF⊥AF，AF=4，AB=6，求AE的长．〔2〕假设点F是CD的中点，求证：CE=BE﹣AD．21、如图，四边形ABCD为等腰梯形，AD∥BC，AB=CD，对角线AC、BD交于点O，且AC⊥BD，DH⊥BC．〔1〕求证：DH=〔AD+BC〕；〔2〕假设AC=6，求梯形ABCD的面积．22、，如图，△ABC是等边三角形，过AC边上的点D作DG∥BC，交AB于点G，在GD的延长线上取点E，使DE=DC，连接AE，BD．〔1〕求证：△AGE≌△DAB；〔2〕过点E作EF∥DB，交BC于点F，连AF，求∠AFE的度数．23、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，DE=EC，EF∥AB交BC于点F，EF=EC，连接DF．〔1〕试说明梯形ABCD是等腰梯形；〔2〕假设AD=1，BC=3，DC=，试判断△DCF的形状；〔3〕在条件〔2〕下，射线BC上是否存在一点P，使△PCD是等腰三角形，假设存在，请直接写出PB的长；假设不存在，请说明理由．24、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BCD=60°，AD=DC，E、F分别在AD、DC的延长线上，且DE=CF．AF交BE于P．〔1〕证明：△ABE≌△DAF；〔2〕求∠BPF的度数．25、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC，BD⊥DC，将BC延长至点F，使CF=CD．〔1〕求∠ABC的度数；〔2〕如果BC=8，求△DBF的面积？26、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=10cm，AC交BD于G，且∠AGD=60°，E、F分别为CG、AB的中点．〔1〕求证：△AGD为正三角形；〔2〕求EF的长度．27、，如图，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC，点E是AB上的点，∠ECD=45°，连接ED，过D作DF⊥BC于F．〔1〕假设∠BEC=75°，FC=3，求梯形ABCD的周长．〔2〕求证：ED=BE+FC．28、〔2005•镇江〕：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，直线CE交DA的延长线于点F．〔1〕求证：△BCE≌△AFE；〔2〕假设AB⊥BC且BC=4，AB=6，求EF的长．29、：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=DC，CF平分∠BCD，DF∥AB，BF的延长线交DC于点E．求证：〔1〕△BFC≌△DFC；〔2〕AD=DE；〔3〕假设△DEF的周长为6，AD=2，BC=5，求梯形ABCD的面积．30、如图，梯形ABCD中，AD∥BC．∠C=90°，且AB=AD．连接BD，过A点作BD的垂线，交BC于E．〔1〕求证：四边形ABED是菱形；〔2〕如果EC=3cm，CD=4cm，求梯形ABCD的面积．参考答案1、如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，E为AD中点，连接BE，CE〔1〕求证：BE=CE；〔2〕假设∠BEC=90°，过点B作BF⊥CD，垂足为点F，交CE于点G，连接DG，求证：BG=DG+CD．证明：〔1〕等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，E为AD中点，∴AB=DC，∠BAE=∠CDE，AE=DE，∴△BAE≌△CDE，∴BE=CE；〔2〕延长CD和BE的延长线交于H，∵BF⊥CD，∠HEC=90°，∴∠EBF+∠H=∠ECH+∠H=90°∴∠EBF=∠ECH，又∠BEC=∠CEH=90°，BE=CE〔已证〕，∴△BEG≌△CEH，∴EG=EH，BG=CH=DH+CD，∵△BAE≌△CDE〔已证〕，∴∠AEB=∠GED，∠HED=∠AEB，∴∠GED=∠HED，又EG=EH〔已证〕，ED=ED，∴△GED≌△HED，∴DG=DH，∴BG=DG+CD．2、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E为AB延长线上一点，连接ED，与BC交于点H．过E作CD的垂线，垂足为CD上的一点F，并与BC交于点G．G为CH的中点．〔1〕假设HE=HG，求证：△EBH≌△GFC；〔2〕假设CD=4，BH=1，求AD的长．〔1〕证明：∵HE=HG，∴∠HEG=∠HGE，∵∠HGE=∠FGC，∠BEH=∠HEG，∴∠BEH=∠FGC，∵G是HC的中点，∴HG=GC，∴HE=GC，∵∠HBE=∠CFG=90°．∴△EBH≌△GFC；〔2〕解：∵ED平分∠AEF，∠A=∠DFE=90°，∴AD=DF，∵DF=DC﹣FC，∵△EBH≌△GFC，∴FC=BH=1，∴AD=4﹣1=3．3、如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=BC，∠DAB=60°，E是对角线AC延长线上一点，F是AD延长线上的一点，且EB⊥AB，EF⊥AF．〔1〕当CE=1时，求△BCE的面积；〔2〕求证：BD=EF+CE．〔2〕过E点作EM⊥DB于点M，四边形FDME是矩形，FE=DM，∠BME=∠BCE=90°，∠BEC=∠MBE=60°，△BME≌△ECB，BM=CE，继而可证明BD=DM+BM=EF+CE．〔1〕解：∵AD=CD，∴∠DAC=∠DCA，∵DC∥AB，∴∠DCA=∠CAB，∴，∵DC∥AB，AD=BC，∴∠DAB=∠CBA=60°，∴∠ACB=180°﹣〔∠CAB+∠CBA〕=90°，∴∠BCE=180°﹣∠ACB=90°，∵BE⊥AB，∴∠ABE=90°，∴∠CBE=∠ABE﹣∠ABC=30°，在Rt△BCE中，BE=2CE=2，，∴…〔5分〕〔2〕证明：过E点作EM⊥DB于点M，∴四边形FDME是矩形，∴FE=DM，∵∠BME=∠BCE=90°，∠BEC=∠MBE=60°，∴△BME≌△ECB，∴BM=CE，∴BD=DM+BM=EF+CE…〔10分〕4、如图．在平行四边形ABCD中，O为对角线的交点，点E为线段BC延长线上的一点，且．过点E作EF∥CA，交CD于点F，连接OF．〔1〕求证：OF∥BC；〔2〕如果梯形OBEF是等腰梯形，判断四边形ABCD的形状，并给出证明．解答：〔1〕证明：延长EF交AD于G〔如图〕，在平行四边形ABCD中，AD∥BC，AD=BC，∵EF∥CA，EG∥CA，∴四边形ACEG是平行四边形，∴AG=CE，又∵，AD=BC，∴，∵AD∥BC，∴∠ADC=∠ECF，在△CEF和△DGF中，∵∠CFE=∠DFG，∠ADC=∠ECF，CE=DG，∴△CEF≌△DGF〔AAS〕，∴CF=DF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB=OD，∴OF∥BE．〔2〕解：如果梯形OBEF是等腰梯形，那么四边形ABCD是矩形．证明：∵OF∥CE，EF∥CO，∴四边形OCEF是平行四边形，∴EF=OC，又∵梯形OBEF是等腰梯形，∴BO=EF，∴OB=OC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AC=2OC，BD=2BO．∴AC=BD，∴平行四边形ABCD是矩形．5、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BF⊥CD于F，延长BF交AD的延长线于E，延长CD交BA的延长线于G，且DG=DE，AB=，CF=6．〔1〕求线段CD的长；〔2〕H在边BF上，且∠HDF=∠E，连接CH，求证：∠BCH=45°﹣∠EBC．〔1〕解：连接BD，由∠ABC=90°，AD∥BC得∠GAD=90°，又∵BF⊥CD，∴∠DFE=90°又∵DG=DE，∠GDA=∠EDF，∴△GAD≌△EFD，∴DA=DF，又∵BD=BD，∴Rt△BAD≌Rt△BFD〔HL〕，∴BF=BA=，∠ADB=∠BDF又∵CF=6，∴BC=，又∵AD∥BC，∴∠ADB=∠CBD，∴∠BDF=∠CBD，∴CD=CB=8．〔2〕证明：∵AD∥BC，∴∠E=∠CBF，∵∠HDF=∠E，∴∠HDF=∠CBF，由〔1〕得，∠ADB=∠CBD，∴∠HDB=∠HBD，∴HD=HB，由〔1〕得CD=CB，∴△CDH≌△CBH，∴∠DCH=∠BCH，∴∠BCH=∠BCD==．6、如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，∠D=45°．〔1〕假设AB=6cm，，求梯形ABCD的面积；〔2〕假设E、F、G、H分别是梯形ABCD的边AB、BC、CD、DA上一点，且满足EF=GH，∠EFH=∠FHG，求证：HD=BE+BF．解：〔1〕连AC，过C作CM⊥AD于M，如图，在Rt△ABC中，AB=6，sin∠ACB==，∴AC=10，∴BC=8，在Rt△CDM中，∠D=45°，∴DM=CM=AB=6，∴AD=6+8=14，∴梯形ABCD的面积=•〔8+14〕•6=66〔cm2〕；〔2〕证明：过G作GN⊥AD，如图，∵∠D=45°，∴△DNG为等腰直角三角形，∴DN=GN，又∵AD∥BC，∴∠BFH=∠FHN，而∠EFH=∠FHG，∴∠BFE=∠GHN，∵EF=GH，∴Rt△BEF≌Rt△NGH，∴BE=GN，BF=HN，∴DA=AN+DN=AN+DG=BF+BE．7、：如图，▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，延长CD至F，使DF=CD，连接BF交AD于点E．〔1〕求证：AE=ED；〔2〕假设AB=BC，求∠CAF的度数．〔1〕证明：如图．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD．∵DF=CD，∴AB∥DF．∵DF=CD，∴AB=DF．∴四边形ABDF是平行四边形，∴AE=DE．〔2〕解：∵四边形ABCD是平行四边形，且AB=BC，∴四边形ABCD是菱形．∴AC⊥BD．∴∠COD=90°．∵四边形ABDF是平行四边形，∴AF∥BD．∴∠CAF=∠COD=90°．8、：如图，在正方形ABCD中，点G是BC延长线上一点，连接AG，分别交BD、CD于点E、F．〔1〕求证：∠DAE=∠DCE；〔2〕当CG=CE时，试判断CF与EG之间有怎样的数量关系？并证明你的结论．〔1〕证明：在△DAE和△DCE中，∠ADE=∠CDE〔正方形的对角线平分对角〕，ED=DE〔公共边〕，AE=CE〔正方形的四条边长相等〕，∴△DAE≌△DCE〔SAS〕，∴∠DAE=∠DCE〔全等三角形的对应角相等〕；〔2〕解：如图，由〔1〕知，△DAE≌△DCE，∴AE=EC，∴∠EAC=∠ECA〔等边对等角〕；又∵CG=CE〔〕，∴∠G=∠CEG〔等边对等角〕；而∠CEG=2∠EAC〔外角定理〕，∠ECB=2∠CEG〔外角定理〕，∴4∠EAC﹣∠ECA=∠ACB=45°，∴∠G=∠CEG=30°；过点C作CH⊥AG于点H，∴∠FCH=30°，∴在直角△ECH中，EH=CH，EG=2CH，在直角△FCH中，CH=CF，∴EG=2×CF=3CF．9、如图，正方形ABCD，点E是BC上一点，点F是CD延长线上一点，连接EF，假设BE=DF，点P是EF的中点．〔1〕求证：DP平分∠ADC；〔2〕假设∠AEB=75°，AB=2，求△DFP的面积．〔1〕证明：连接PC．∵ABCD是正方形，∴∠ABE=∠ADF=90°，AB=AD．∵BE=DF，∴△ABE≌△ADF．〔SAS〕∴∠BAE=∠DAF，AE=AF．∴∠EAF=∠BAD=90°．∵P是EF的中点，∴PA=EF，PC=EF，∴PA=PC．又AD=CD，PD公共，∴△PAD≌△PCD，〔SSS〕∴∠ADP=∠CDP，即DP平分∠ADC；〔2〕作PH⊥CF于H点．∵P是EF的中点，∴PH=EC．设EC=x．由〔1〕知△EAF是等腰直角三角形，∴∠AEF=45°，∴∠FEC=180°﹣45°﹣75°=60°，∴EF=2x，FC=x，BE=2﹣x．在Rt△ABE中，22+〔2﹣x〕2=〔x〕2解得x1=﹣2﹣2〔舍去〕，x2=﹣2+2．∴PH=﹣1+，FD=〔﹣2+2〕﹣2=﹣2+4．∴S△DPF=〔﹣2+4〕×=3﹣5．10、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BD=BC，E为CD的中点，交BC的延长线于F；〔1〕证明：EF=EA；〔2〕过D作DG⊥BC于G，连接EG，试证明：EG⊥AF．〔1〕证明：∵AD∥BC，∴∠DAE=∠F，∠ADE=∠FCE．∵E为CD的中点，∴ED=EC．∴△ADE≌△FCE．∴EF=EA．〔5分〕〔2〕解：连接GA，∵AD∥BC，∠ABC=90°，∴∠DAB=90°．∵DG⊥BC，∴四边形ABGD是矩形．∴BG=AD，GA=BD．∵BD=BC，∴GA=BC．由〔1〕得△ADE≌△FCE，∴AD=FC．∴GF=GC+FC=GC+AD=GC+BG=BC=GA．∵由〔1〕得EF=EA，∴EG⊥AF．〔5分〕11、如图，直角梯形ABCD中，∠DAB=90°，AB∥CD，AB=AD，∠ABC=60度．以AD为边在直角梯形ABCD外作等边三角形ADF，点E是直角梯形ABCD内一点，且∠EAD=∠EDA=15°，连接EB、EF．〔1〕求证：EB=EF；〔2〕延长FE交BC于点G，点G恰好是BC的中点，假设AB=6，求BC的长．〔1〕证明：∵△ADF为等边三角形，∴AF=AD，∠FAD=60°〔1分〕∵∠DAB=90°，∠EAD=15°，AD=AB〔2分〕∴∠FAE=∠BAE=75°，AB=AF，〔3分〕∵AE为公共边∴△FAE≌△BAE〔4分〕∴EF=EB〔5分〕〔2〕解：如图，连接EC．〔6分〕∵在等边三角形△ADF中，∴FD=FA，∵∠EAD=∠EDA=15°，∴ED=EA，∴EF是AD的垂直平分线，那么∠EFA=∠EFD=30°．〔7分〕由〔1〕△FAE≌△BAE知∠EBA=∠EFA=30°．∵∠FAE=∠BAE=75°，∴∠BEA=∠BAE=∠FEA=75°，∴BE=BA=6．∵∠FEA+∠BEA+∠GEB=180°，∴∠GEB=30°，∵∠ABC=60°，∴∠GBE=30°∴GE=GB．〔8分〕∵点G是BC的中点，∴EG=CG∵∠CGE=∠GEB+∠GBE=60°，∴△CEG为等边三角形，∴∠CEG=60°，∴∠CEB=∠CEG+∠GEB=90°〔9分〕∴在Rt△CEB中，BC=2CE，BC2=CE2+BE2∴CE=，∴BC=〔10分〕；解法二：过C作CQ⊥AB于Q，∵CQ=AB=AD=6，∵∠ABC=60°，∴BC=6÷=4．12、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD，∠C=60°，AE⊥BD于点E，F是CD的中点，DG是梯形ABCD的高．〔1〕求证：AE=GF；〔2〕设AE=1，求四边形DEGF的面积．〔1〕证明：∵AB=DC，∴梯形ABCD为等腰梯形．∵∠C=60°，∴∠BAD=∠ADC=120°，又∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB=30°．∴∠DBC=∠ADB=30°．∴∠BDC=90°．〔1分〕由AE⊥BD，∴AE∥DC．〔2分〕又∵AE为等腰三角形ABD的高，∴E是BD的中点，∵F是DC的中点，∴EF∥BC．∴EF∥AD．∴四边形AEFD是平行四边形．〔3分〕∴AE=DF〔4分〕∵F是DC的中点，DG是梯形ABCD的高，∴GF=DF，〔5分〕∴AE=GF．〔6分〕〔2〕解：在Rt△AED中，∠ADB=30°，∵AE=1，∴AD=2．在Rt△DGC中∠C=60°，并且DC=AD=2，∴DG=．〔8分〕由〔1〕知：在平行四边形AEFD中EF=AD=2，又∵DG⊥BC，∴DG⊥EF，∴四边形DEGF的面积=EF•DG=．〔10分〕13、，如图在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，DE⊥AC于点F，交BC于点G，交AB的延长线于点E，且AE=AC，连AG．〔1〕求证：FC=BE；〔2〕假设AD=DC=2，求AG的长．解答：〔1〕证明：∵∠ABC=90°，DE⊥AC于点F，∴∠ABC=∠AFE．∵AC=AE，∠EAF=∠CAB，∴△ABC≌△AFE，∴AB=AF．∴AE﹣AB=AC﹣AF，即FC=BE；〔2〕解：∵AD=DC=2，DF⊥AC，∴AF=AC=AE．∴AG=CG，∴∠E=30°．∵∠EAD=90°，∴∠ADE=60°，∴∠FAD=∠E=30°，∴FC=，∵AD∥BC，∴∠ACG=∠FAD=30°，∴CG=2，∴AG=2．14、如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，点E是AB边上一点，AE=BC，DE⊥EC，取DC的中点F，连接AF、BF．〔1〕求证：AD=BE；〔2〕试判断△ABF的形状，并说明理由．〔1〕证明：∵AD∥BC，∴∠BAD+∠ABC=180°，∵∠ABC=90°，∴∠BAD=∠ABC=90°，∵DE⊥EC，∴∠AED+∠BEC=90°∵∠AED+∠ADE=90°，∴∠BEC=∠ADE，∵∠DAE=∠EBC，AE=BC，∴△EAD≌△EBC，∴AD=BE．〔2〕答：△ABF是等腰直角三角形．理由是：延长AF交BC的延长线于M，∵AD∥BM，∴∠DAF=∠M，∵∠AFD=∠CFM，DF=FC，∴△ADF≌△MFC，∴AD=CM，∵AD=BE，∴BE=CM，∵AE=BC，∴AB=BM，∴△ABM是等腰直角三角形，∵△ADF≌△MFC，∴AF=FM，∴∠ABC=90°，∴BF⊥AM，BF=AM=AF，∴△AFB是等腰直角三角形．15、〔2023•潼南县〕如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥DC，AB=BC，且AE⊥BC．〔1〕求证：AD=AE；〔2〕假设AD=8，DC=4，求AB的长．解答：〔1〕证明：连接AC，∵AB∥CD，∴∠ACD=∠BAC，∵AB=BC，∴∠ACB=∠BAC，∴∠ACD=∠ACB，∵AD⊥DC，AE⊥BC，∴∠D=∠AEC=90°，∵AC=AC，∴，∴△ADC≌△AEC，〔AAS〕∴AD=AE；〔2〕解：由〔1〕知：AD=AE，DC=EC，设AB=x，那么BE=x﹣4，AE=8，在Rt△ABE中∠AEB=90°，由勾股定理得：82+〔x﹣4〕2=x2，解得：x=10，∴AB=10．说明：依据此评分标准，其它方法如：过点C作CF⊥AB用来证明和计算均可得分．16、如图，梯形ABCD中，AD∥CB，E，F分别是BD，AC的中点，BD平分∠ABC．〔1〕求证：AE⊥BD；〔2〕假设AD=4，BC=14，求EF的长．〔1〕证明：∵AD∥CB，∴∠ADB=∠CBD，又BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，∴∠ADB=∠ABD，∴AB=AD，∴△ABD是等腰三角形，E是BD的中点，∴AE⊥BD．〔2〕解：延长AE交BC于G，∵BD平分∠ABC，∴∠ABE=∠GBE，又∵AE⊥BD〔已证〕，∴∠AEB=∠GEB，BE=BE，∴△ABE≌△GBE，∴AE=GE，BG=AB=AD，又F是AC的中点〔〕，所以由三角形中位线定理得：EF=CG=〔BC﹣BG〕=〔BC﹣AD〕=×〔14﹣4〕=5．答：EF的长为5．17、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，BE⊥AC，E为垂足，AC=BC．〔1〕求证：CD=BE；〔2〕假设AD=3，DC=4，求AE．〔1〕证明：∵AD∥BC，∴∠DAC=∠BCE，而BE⊥AC，∴∠D=∠BEC=90°，AC=BC，∴△BCE≌△CAD．∴CD=BE．〔2〕解：在Rt△ADC中，根据勾股定理得AC==5，∵△BCE≌△CAD，∴CE=AD=3．∴AE=AC﹣CE=2．18、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AC，∠B=45°，AD=1，BC=4，求DC的长．解：如图，过点D作DF∥AB，分别交AC，BC于点E，F．〔1分〕∵AB⊥AC，∴∠AED=∠BAC=90度．∵AD∥BC，∴∠DAE=180°﹣∠B﹣∠BAC=45度．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=45°，BC=4，∴AC=BC•sin45°=4×=2〔2分〕在Rt△ADE中，∠AED=90°，∠DAE=45°，AD=1，∴DE=AE=．∴CE=AC﹣AE=．〔4分〕在Rt△DEC中，∠CED=90°，∴DC==．〔5分〕19、梯形ABCD中，AD∥BC，AB=BC=DC，点E、F分别在AD、AB上，且．〔1〕求证：BF=EF﹣ED；〔2〕连接AC，假设∠B=80°，∠DEC=70°，求∠ACF的度数．证明：∵FC=F′C，EC=EC，∠ECF'=∠BCF+∠DCE=∠ECF，∴△FCE≌△F′CE，∴EF′=EF=DF′+ED，∴BF=EF﹣ED；〔2〕解：∵AB=BC，∠B=80°，∴∠ACB=50°，由〔1〕得∠FEC=∠DEC=70°，∴∠ECB=70°，而∠B=∠BCD=80°，∴∠DCE=10°，∴∠BCF=30°，∴∠ACF=∠BCA﹣∠BCF=20°．20、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点E在BC上，AE=BE，且AF⊥AB，连接EF．〔1〕假设EF⊥AF，AF=4，AB=6，求AE的长．〔2〕假设点F是CD的中点，求证：CE=BE﹣AD．解：〔1〕作EM⊥AB，交AB于点M．∵AE=BE，EM⊥AB，∴AM=BM=×6=3；∵∠AME=∠MAF=∠AFE=90°，∴四边形AMEF是矩形，∴EF=AM=3；在Rt△AFE中，AE==5；〔2〕延长AF、BC交于点N．∵AD∥EN，∴∠DAF=∠N；∵∠AFD=∠NFC，DF=FC，∴△ADF≌△NCF〔AAS〕，∴AD=CN；∵∠B+∠N=90°，∠BAE+∠EAN=90°，又AE=BE，∠B=∠BAE，∴∠N=∠EAN，AE=EN，∴BE=EN=EC+CN=EC+AD，∴CE=BE﹣AD．．21、如图，四边形ABCD为等腰梯形，AD∥BC，AB=CD，对角线AC、BD交于点O，且AC⊥BD，DH⊥BC．〔1〕求证：DH=〔AD+BC〕；〔2〕假设AC=6，求梯形ABCD的面积．解：〔1〕证明：过D作DE∥AC交BC延长线于E，〔1分〕∵AD∥BC，∴四边形ACED为平行四边形．〔2分〕∴CE=AD，DE=AC．∵四边形ABCD为等腰梯形，∴BD=AC=DE．∵AC⊥BD，∴DE⊥BD．∴△DBE为等腰直角三角形．〔4分〕∵DH⊥BC，∴DH=BE=〔CE+BC〕=〔AD+BC〕．〔5分〕〔2〕∵AD=CE，∴．〔7分〕∵△DBE为等腰直角三角形BD=DE=6，∴．∴梯形ABCD的面积为18．〔8分〕注：此题解题方法并不唯一．22、，如图，△ABC是等边三角形，过AC边上的点D作DG∥BC，交AB于点G，在GD的延长线上取点E，使DE=DC，连接AE，BD．〔1〕求证：△AGE≌△DAB；〔2〕过点E作EF∥DB，交BC于点F，连AF，求∠AFE的度数．〔1〕证明：∵△ABC是等边三角形，DG∥BC，∴∠AGD=∠ABC=60°，∠ADG=∠ACB=60°，且∠BAC=60°，∴△AGD是等边三角形，AG=GD=AD，∠AGD=60°．∵DE=DC，∴GE=GD+DE=AD+DC=AC=AB，∵∠AGD=∠BAD，AG=AD，∴△AGE≌△DAB；〔2〕解：由〔1〕知AE=BD，∠ABD=∠AEG．∵EF∥DB，DG∥BC，∴四边形BFED是平行四边形．∴EF=BD，∴EF=AE．∵∠DBC=∠DEF，∴∠ABD+∠DBC=∠AEG+∠DEF，即∠AEF=∠ABC=60°．∴△AFE是等边三角形，∠AFE=60°．23、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，DE=EC，EF∥AB交BC于点F，EF=EC，连接DF．〔1〕试说明梯形ABCD是等腰梯形；〔2〕假设AD=1，BC=3，DC=，试判断△DCF的形状；〔3〕在条件〔2〕下，射线BC上是否存在一点P，使△PCD是等腰三角形，假设存在，请直接写出PB的长；假设不存在，请说明理由．解：〔1〕证明：∵EF=EC，∴∠EFC=∠ECF，∵EF∥AB，∴∠B=∠EFC，∴∠B=∠ECF，∴梯形ABCD是等腰梯形；〔2〕△DCF是等腰直角三角形，证明：∵DE=EC，EF=EC，∴EF=CD，∴△CDF是直角三角形〔如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形〕，∵梯形ABCD是等腰梯形，∴CF=〔BC﹣AD〕=1，∵DC=，∴由勾股定理得：DF=1，∴△DCF是等腰直角三角形；〔3〕共四种情况：∵DF⊥BC，∴当PF=CF时，△PCD是等腰三角形，即PF=1，∴PB=1；当P与F重合时，△PCD是等腰三角形，∴PB=2；当PC=CD=〔P在点C的左侧〕时，△PCD是等腰三角形，∴PB=3﹣；当PC=CD=〔P在点C的右侧〕时，△PCD是等腰三角形，∴PB=3+．故共四种情况：PB=1，PB=2，PB=3﹣，PB=3+．〔每个1分〕24、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BCD=60°，AD=DC，E、F分别在AD、DC的延长线上，且DE=CF．AF交BE于P．〔1〕证明：△ABE≌△DAF；〔2〕求∠BPF的度数．解答：〔1〕证明：∵在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BCD=60°，∴AB=CD，∵AD=DC，∴BA=AD，∠BAE=∠ADF=120°，∵DE=CF，∴AE=DF，在△BAE和△ADF中，，∴△ABE≌△DAF〔SAS〕．〔2〕解：∵由〔1〕△BAE≌△ADF，∴∠ABE=∠DAF．∴∠BPF=∠ABE+∠BAP=∠BAE．而AD∥BC，∠C=∠ABC=60°，∴∠BPF=120°．25、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC，BD⊥DC，将BC延长至点F，使CF=CD．〔1〕求∠ABC的度数；〔2〕如果BC=8，求△DBF的面积？解答：解：〔1〕∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，∵AB=AD，∴∠ADB=∠ABD，∴∠DBC=∠ABD，∵在梯形ABCD中AB=DC，∴∠ABC=∠DCB=2∠DBC，∵BD⊥DC，∴∠DBC+2∠DBC=90°∴∠DBC=30°∴∠ABC=60°〔2〕过点D作DH⊥BC，垂足为H，∵∠DBC=30°，BC=8，∴DC=4，∵CF=CD∴CF=4，∴BF=12，∵∠F+∠FDC=∠DCB=60°，∠F=∠FDC∴∠F=30°，∵∠DBC=30°，∴∠F=∠DBC，∴DB=DF，∴，在直角三角形DBH中，∴，∴，∴，即△DBF的面积为．26、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=10cm，AC交BD于G，且∠AGD=60°，E、F分别为CG、AB的中点．〔1〕求证：△AGD为正三角形；〔2〕求EF的长度．〔1〕证明：连接BE，∵梯形ABCD中，AB=DC，∴AC=BD，可证△ABC≌△DCB，∴∠GCB=∠GBC，又∵∠BGC=∠AGD=60°∴△AGD为等边三角形，〔2〕解：∵BE为△BCG的中线，∴BE⊥AC，在Rt△ABE中，EF为斜边AB