2021年中考第一轮复习数学网课用材料课件一元二次方程及其应用

第二章方程（组）与不等式（组）第6讲一元二次方程及其应用第二章方程（组）与不等式（组）第6讲一元二次方程及其应知识点1一元二次方程的概念只含有①__________个未知数，并且未知数的最高次数是②__________的整式方程叫做一元二次方程，其一般形式为③___________________.一2ax2＋bx＋c＝0(a≠0)知识点2一元二次方程的解法解法适用形式方程的根直接开平方法x2＝p(p≥0)

x＝④__________(x＋n)2＝p(p≥0)

x＝⑤__________

配方法一般式ax2＋bx＋c＝0可配方为a(x＋h)2＝k(a≠0，且ak≥0)x＝－h

公式法ax2＋bx＋c＝0(a≠0，b2－4ac≥0)x＝⑥__________

因式分解法(x－x1)(x－x2)＝0x＝x1或x＝x2知识点1一元二次方程的概念只含有①__________知识点3一元二次方程根的判别式及根与系数的关系根的判别式的定义关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式为⑧__________判别式与根的关系(1)b2－4ac>0⇔一元二次方程⑨_______________的实数根；(2)b2－4ac＝0⇔一元二次方程⑩_______________的实数根；(3)b2－4ac<0⇔一元二次方程⑪__________实数根根与系数的关系若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根分别是x1，x2，则x1＋x2＝－，x1·x2＝；若一元二次方程x2＋px＋q＝0的两个实数根为x1，x2，则x1＋x2＝⑫__________，x1·x2＝⑬__________；若x1，x2是二次项系数为1的一元二次方程的两根，则此一元二次方程为⑭____________________.b2－4ac有两个不相等有两个相等没有－pqx2－(x1＋x2)x＋x1x2＝0知识点3一元二次方程根的判别式及根与系数的关系根的判别2.几种常见的等量关系：(1)增长率问题中的等量关系：a.增长率＝⑮__________×100%；b.若增长的基数为a，每次平均增长率为x，则第一次增长后的数量是⑯__________，第二次增长后的数量是⑰__________；c.若下降的基数为a，每次平均下降率为x，则第一次下降后的数量是⑱__________，第二次下降后的数量是⑲__________.增长量基础量a(1＋x)a(1＋x)2

a(1－x)a(1－x)2知识点4一元二次方程的应用1.一元二次方程是刻画现实问题的有效数学模型，通过审题弄清具体问题中的数量关系，构建数学模型，列一元二次方程，进而解决实际问题.2.几种常见的等量关系：(1)增长率问题中的等量关系：增长量(3)面积问题中的等量关系：a.如图甲，矩形ABCD长为a，宽为b，空白部分的宽为x，则阴影部分的面积为⑳__________；b.如图乙，矩形ABCD长为a，宽为b，阴影道路的宽为x，则空白部分的面积为___________；c.如图丙，矩形ABCD长为a，宽为b，阴影道路的宽为x，则空白部分的面积为+__________.(a－2x)(b－2x)(a－x)(b－x)(a－x)(b－x)(2)利润问题中的等量关系：a.利润＝售价－成本；b.利润率＝×100%.利润成本(3)面积问题中的等量关系：a.如图甲，矩形ABCD长为a，考点1一元二次方程的解法考点精讲1.(1)(2020·泰安)将一元二次方程x2－8x－5＝0化成(x＋a)2＝b(a，b为常数)的形式，则a，b的值分别是(

)A.－4，21 B.－4，11C.4，21 D.－8，69A(2)已知三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2－6x＋8＝0的解，则此三角形的周长是________.13考点1一元二次方程的解法考点精讲A(2)已知三角形的两边解一元二次方程的注意事项1.对于左右两边含有相同未知数因式的一元二次方程，应将方程化为一般形式后再求解(或将方程变为等号一边为0，另一边含未知数的式子，利用因式分解法求解)，切勿直接约去含相同未知数的因式而漏根.2.利用因式分解法求解时，应避免出现方程的右边没有化为0，左边直接因式分解的错误.3.利用公式法求解时，一定要先将一元二次方程化为一般形式，确定a，b，c的值时切记带上符号.4.利用配方法解方程或变形时，应避免出现没有把二次项系数化为1就直接加上一次项系数一半的平方的错误.解一元二次方程的注意事项3.利用公式法求解时，一定要先将一元对点训练1.(2020·凉山)一元二次方程x2＝2x的根为()

A.x＝0 B.x＝2C.x＝0或x＝2 D.x＝0或x＝－2C2.(2019·十堰)对于实数a，b，定义运算“◎”如下：a◎b＝(a＋b)2－(a－b)2.若(m＋2)◎(m－3)＝24，则m＝__________.－3或4对点训练1.(2020·凉山)一元二次方程x2＝2x的根为(考点2一元二次方程根的判别式及根与系数的关系考点精讲2.(1)(2020·通辽)若关于x的方程kx2－6x＋9＝0有实数根，则k的取值范围是(

)A.k＜1，且k≠0 B.k＜1C.k≤1，且k≠0 D.k≤1D(2)已知x1，x2是关于x的方程x2＋bx－3＝0的两根，且满足x1＋x2－3x1x2＝5，那么b的值为(

)A.4

B.－4

C.3 D.－3

A考点2一元二次方程根的判别式及根与系数的关系考点精讲D(使用根的判别式的注意事项1.使用之前一定要把方程化为一般形式，以便正确找出a，b，c的值.2.如果说方程有两个实数根，即应当包括“有两个不相等的实数根”和“有两个相等的实数根”两种情况，此时b2－4ac≥0，切勿丢掉等号.3.根的判别式b2－4ac的使用条件是在一元二次方程中，因此，要注意隐含条件a≠0.4.若题目中未指明已知方程为一元二次方程，则应分情况讨论.使用根的判别式的注意事项AA对点训练AA对点训练11BA对点训练BA对点训练12对点训练5.(2020·安徽)下列方程中，有两个相等实数根的是()A.x2＋1＝2x

B.x2＋1＝0C.x2－2x＝3 D.x2－2x＝0A6.(2020·南京)关于x的方程(x－1)(x＋2)＝p2(p为常数)的根的情况，下列结论中正确的是()A.两个正根

B.两个负根

C.一个正根，一个负根

D.无实数根C对点训练5.(2020·安徽)下列方程中，有两个相等实数根的7.已知x1＝3是关于x的一元二次方程x2－4x＋c＝0的一个根，则方程的另一个根x2是__________.8.(2019·成都)已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2＋2x＋k－1＝0的两个实数根，且

－x1x2＝13，则k的值为__________.1－2

9.(2020·青海)在解一元二次方程x2＋bx＋c＝0时，小明看错了一次项系数b，得到的解为x1＝2，x2＝3；小刚看错了常数项c，得到的解为x1＝1，x2＝4.请你写出正确的一元二次方程：_________________.x2－5x＋6＝07.已知x1＝3是关于x的一元二次方程x2－4x＋c＝0的一10.解方程：(1)(2020·南京)x2－2x－3＝0；(2)(2020·徐州)2x2－5x＋3＝0.解：原方程可变形为(x－3)(x＋1)＝0，∴x－3＝0或x＋1＝0，解得x1＝3，x2＝－1.解：原方程可变形为(2x－3)(x－1)＝0，∴2x－3＝0或x－1＝0，解得x1＝2(3)，x2＝1.

10.解方程：(1)(2020·南京)x2－2x－3＝0；解【自我诊断】1.关于x的方程ax2-3x+2=x2是一元二次方程,则a的取值范围为 (

)A.a≠0

B.a>0C.a≠1 D.a>12.方程x2=4x的解是 (

)A.x=4 B.x1=0,x2=4C.x=0 D.x1=2,x2=-2CB【自我诊断】CB163.已知一元二次方程(m-2)x2-3x+m2-4=0的一个根为0,则m=_______.

4.如果关于x的方程x2-4x+2m=0有两个不相等的实数根,则m的取值范围是________.

5.经过两次连续降价,某药品销售单价由原来的50元降到32元,设该药品平均每次降价的百分率为x,根据题意可列方程是_______________.

-2

m<2

50(1-x)2=32

3.已知一元二次方程(m-2)x2-3x+m2-4=0的一个176.(2020·临沂中考)一元二次方程x2-4x-8=0的解是 (

)A.x1=-2+2,x2=-2-2B.x1=2+2,x2=2-2C.x1=2+2,x2=2-2D.x1=2,x2=-2

B6.(2020·临沂中考)一元二次方程x2-4x-8=0的解187.(2019·北京中考)关于x的方程x2-2x+2m-1=0有实数根,且m为正整数,求m的值及此时方程的根.【自主解答】∵x2-2x+2m-1=0有实数根,∴Δ≥0,即(-2)2-4(2m-1)≥0,∴m≤1,∵m为正整数,∴m=1,故此时二次方程为x2-2x+1=0,即(x-1)2=0,∴x1=x2=1,∴m=1,此时方程的根为x1=x2=1.7.(2019·北京中考)关于x的方程x2-2x+2m-1=19考点3一元二次方程的应用考点精讲3.某宾馆客房部有60个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间正好可以住满.每个房间每天的定价每增加10元，就会有一个房间空闲.已知有游客入住的房间，宾馆每天需对每个房间支出50元的各种费用.(1)若某天宾馆的入住量为58个房间，则该天宾馆的利润为________元；【思路分析】(1)根据总利润＝每个入住的房间的利润×入住房间的数量，即可求出结论.9860(2)求宾馆每天房间入住量达到多少个时，每天的利润为11000元.考点3一元二次方程的应用考点精讲9860(2)求宾馆每(2)设每个房间每天的定价增加了x元，则每天可入住(60－

)个房间.依题意，得(60－

)(200＋x－50)＝11000，化简得x2－450x＋20000＝0，解得x1＝50，x2＝400，∴60－

＝55或20.答：每天房间入住量达到55个或20个时，利润为11000元.(2)设每个房间每天的定价增加了x元，则每天可入住(60－对点训练8.(2020·衡阳)如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形.为便于管理，要在中间开辟一横、两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为()A.35×20－35x－20x＋2x2＝600

B.35×20－35x－2×20x＝600

C.(35－2x)(20－x)＝600

D.(35－x)(20－2x)＝600C对点训练8.(2020·衡阳)如图，学校课外生物小组的试验园9.(2020·鄂州)目前以5G等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展.某市2019年年底有5G用户2万户，计划到2021年底全市5G用户数累计达到8.72万户.设全市5G用户数年平均增长率为x，则x的值为()A.20% B.30%C.40%

D.50%C10.(2020河南,8,3分)国家统计局统计数据显示,我国快递业务收入逐年增加.2017年至2019年我国快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元.设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x,则可列方程为()A.5000(1+2x)=7500

B.5000×2(1+x)=7500C.5000(1+x)2=7500

D.5000+5000(1+x)+5000(1+x)2=7500答案

C由题意知,我国2019年的快递业务收入为5000(1+x)2亿元,所以可列方程为5000(1+x)2=7500.

故选C.9.(2020·鄂州)目前以5G等为代表的战略性新兴产业蓬勃11.某广场推出促销活动，已知某商品每件的进价为30元，经市场调研发现，当该商品的销售单价为40元时，每天可销售280件；当销售单价每增加1

元，每天的销售数量将减少10件.(1)若该商品的销售单价为43元，则当天的销售量是____________件，销售利润是____________元；(2)当该商品的销售单价为多少元时，该商品当天的销售利润是3450元？

250325011.某广场推出促销活动，已知某商品每件的进价为30元，经市(2)设该商品的销售单价为x元(x＞40)，则当天的销售量为[280－(x－40)×10]件.依题意，得(x－30)·[280－(x－40)×10]＝3450，整理，得x2－98x＋2385＝0，解得x1＝53，x2＝45.答：当该商品的销售单价为45元或53元时，该商品当天的销售利润是3450元.(2)设该商品的销售单价为x元(x＞40)，12.(2020·西藏中考)列方程(组)解应用题某驻村工作队,为带动群众增收致富,巩固脱贫攻坚成效,决定在该村山脚下,围一块面积为600m2的矩形试验茶园,便于成功后大面积推广.如图所示,茶园一面靠墙,墙长35m,另外三面用69m长的篱笆围成,其中一边开有一扇1m宽的门(不包括篱笆).求这个茶园的长和宽.12.(2020·西藏中考)列方程(组)解应用题26【解析】设茶园垂直于墙的边长为xm,则平行于墙的边长为(69+1-2x)m,根据题意,得x(69+1-2x)=600,整理,得x2-35x+300=0,解得x1=15,x2=20,当x=15时,70-2x=40>35,不符合题意,舍去;当x=20时,70-2x=30,符合题意.答:这个茶园的长和宽分别为30m,20m.【解析】设茶园垂直于墙的边长为xm,则平行于墙的边长为(627命题点1一元二次方程的解法1.(2019·金华)用配方法解方程x2－6x－8＝0，配方结果正确的是(

)A.(x－3)2＝17 B.(x－3)2＝14C.(x－6)2＝44 D.(x－3)2＝1A2.(2020·临沂)用配方法解一元二次方程2x2－3x－1＝0，配方正确的是()A.

B.C.D.A命题点1一元二次方程的解法1.(2019·金华)用配方法解3.(2020·张家界)已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程x2－6x＋8＝0的两根，则该等腰三角形的底边长为(

)A.2 B.4 C.8 D.2或4A4.(2020·营口)一元二次方程x2－5x＋6＝0的解为()A.x1＝2，x2＝－3B.x1＝－2，x2＝3C.x1＝－2，x2＝－3D.x1＝2，x2＝3D5.(2020·攀枝花)若关于x的方程x2－x－m＝0没有实数根，则m的值可以为()A.－1B.

C.0D.1A3.(2020·张家界)已知等腰三角形的两边长分别是一元二次命题点2一元二次方程根的判别式及根与系数的关系6.(2019·湘西)一元二次方程x2－2x＋3＝0根的情况是(

)A.有两个不相等的实数根

B.有两个相等的实数根C.没有实数根

D.无法判断C7.(2019·咸宁)若关于x的一元二次方程x2－2x＋m＝0有实数根，则实数m的取值范围是(

)A.m＜1 B.m≤1 C.m＞1 D.m≥1B命题点2一元二次方程根的判别式及根与系数的关系6.(2018.(2020·天门)关于x的方程x2＋2(m－1)x＋m2－m＝0有两个实数根α，β，且α2＋β2＝12，那么m的值为(

)A.－1 B.－4 C.－4或1 D.－1或4A9.(2019·贵港中考)若α,β是关于x的一元二次方程x2-2x+m=0的两实根,且 则m等于(

)A.-2 B.-3 C.2 D.3B8.(2020·天门)关于x的方程x2＋2(m－1)x＋m210.已知关于x的一元二次方程(k－1)x2－2x＋1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是()A.k＜－2 B.k＜2C.k＞2 D.k＜2且k≠111.关于x的方程mx2＋2x＋1＝0有实数根，则m的取值范围是()A．m≤1B．m≥1C．m＜1D．m≤1且m≠0DA12.(2020·荆门)已知关于x的一元二次方程x2－4mx＋3m2＝0(m＞0)的一个根比另一个根大2，则m的值为____________.110.已知关于x的一元二次方程(k－1)x2－2x＋1＝03213.(2020·荆州)定义新运算“a*b”：对于任意实数a，b，都有a*b＝(a＋b)(a－b)－1，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算.例如：4*3＝(4＋3)×(4－3)－1＝7－1＝6.若x*k＝x(k为实数)是关于x的方程，则它的根的情况为(

)A.有一个实数根B.有两个相等的实数根C.有两个不相等的实数根D.没有实数根C13.(2020·荆州)定义新运算“a*b”：对于任意实数a14.(2020·十堰)已知关于x的一元二次方程x2－4x－2k＋8＝0有两个实数根x1，x2.(1)求k的取值范围；解：(1)由题意可知Δ＝(－4)2－4×1×(－2k＋8)≥0.整理，得8k－16≥0，解得k≥2.(2)若x2＋x1

＝24，求k的值.(2)由题意，得

x2＋x1

＝x1x2[(x1＋x2)2－2x1x2]＝24.由根与系数的关系可知x1＋x2＝4，x1x2＝－2k＋8，故有(－2k＋8)[42－2(－2k＋8)]＝24.整理，得k2－4k＋3＝0，解得k1＝3，k2＝1.由(1)可知k≥2，∴k＝3.14.(2020·十堰)已知关于x的一元二次方程x2－4x－命题点3一元二次方程的应用15.(2019·衡阳)国家实施“精准扶贫”政策以来，很多贫困人口走向了致富的道路.某地区2016年底有贫困人口9万人，通过社会各界的努力，2018年底贫困人口减少至1万人.设2016年底至2018年底该地区贫困人口的年平均下降率为x，根据题意可列方程为(

)A.9(1－2x)＝1 B.9(1－x)2＝1C.9(1＋2x)＝1 D.9(1＋x)2＝1B命题点3一元二次方程的应用15.(2019·衡阳)国家实施16.(眉山中考)有一只鸡患了禽流感，经过两轮传染后共有625只鸡患了禽流感，每轮传染中平均一只鸡传染的鸡的数量是(

)A.22只 B.24只 C.25只 D.26只B17.(沈阳中考)如图，准备在一块长为30米，宽为24米的长方形花圃内修建四条宽度相等，且与各边垂直的小路，四条小路围成的中间部分恰好是一个正方形，且边长是小路宽度的4倍.若四条小路所占面积为80平方米，则小路的宽度为____________米.16.(眉山中考)有一只鸡患了禽流感，经过两轮传染后共有6219.(南通中考)某商场以每件280元的价格购进一批商品，当每件商品的售价为360元时，每月可售出60件，为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价1元，那么商场每月就可以多售出5件.(1)降价前商场每月销售该商品的利润是多少元？解：(1)由题意，得60×(360－280)＝4800(元).答：降价前商场每月销售该商品的利润是4800元.(2)要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？19.(南通中考)某商场以每件280元的价格购进一批商品，当(2)要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？(2)设每件商品应降价x元.由题意，得(360－x－280)(5x＋60)＝7200，解得x1＝8，x2＝60.∵要有利于减少库存，∴x＝60.答：要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价60元.(2)要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有20.(嘉兴中考)欧几里得的《原本》记载，形如x2＋ax＝b2的方程的图解法是：画Rt△ABC，使∠ACB＝90°，BC＝，AC＝b，再在斜边AB上截取

BD＝，则该方程的一个正根是()

A.AC的长B.AD的长C.BC的长D.CD的长B20.(嘉兴中考)欧几里得的《原本》记载，形如x2＋ax＝21.如图，在矩形ABCD中，AB＝10cm，AD＝8cm，点P从点A出发，沿AB以2cm/s的速度向终点B运动，同时点Q从点B出发，沿BC以1cm/s的速度向终点C运动，它们到达终点后停止运动.(1)几秒后，点P，D之间的距离是点P，Q之间的距离的2倍？(2)几秒后，△DPQ的面积是24cm2?

21.如图，在矩形ABCD中，AB＝10cm，AD＝8c解：设t秒后，点P，D之间的距离是点P，Q之间的距离的2倍，∴PD＝2PQ，AP＝2t

cm，BQ＝t

cm，∴BP＝AB－AP＝(10－2t)cm.∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠B＝90°，∴PD2＝AP2＋AD2，PQ2＝BP2＋BQ2.∵PD＝2PQ，∴PD2＝4PQ2，∴82＋(2t)2＝4[(10－2t)2＋t2]，解得t1＝3，t2＝7.∵t＝7时，2t＝14>10，不符合题意，舍去，∴t＝3，∴3秒后，点P，D之间的距离是点P，Q之间的距离的2倍．解：设t秒后，点P，D之间的距离是点P，Q之间的距离的2倍，(2)几秒后，△DPQ的面积是24cm2?

解：设x秒后，△DPQ的面积是24cm2，∴AP＝2x

cm，BQ＝x

cm，∴BP＝AB－AP＝(10－2x)cm，CQ＝BC－BQ＝(8－x)cm.∵S△DPQ＝S矩形ABCD－S△APD－S△PBQ－S△DCQ＝24cm2，∴8×10－2(1)×8×2x－2(1)(10－2x)x－2(1)(8－x)×10＝24，解得x1＝x2＝4，∴4秒后，△DPQ的面积是24cm2.(2)几秒后，△DPQ的面积是24cm2?

解：设x秒后，22.(2019辽宁大连,21,9分)某村2016年的人均收入为20000元,2018年的人均收入为24200元.(1)求2016年到2018年该村人均收入的年平均增长率;(2)假设2019年该村人均收入的增长率与前两年的年平均增长率相同,请你预测2019年该村的人均收入

是多少元.解析(1)设2016年到2018年该村人均收入的年平均增长率为x,由题意得20000(1+x)2=24200,解得x1=-2.1(舍),x2=0.1=10%.答:2016年到2018年该村人均收入的年平均增长率为10%.(2)24200×(1+10%)=24200×1.1=26620元.答:预测2019年该村的人均收入为26620元.22.(2019辽宁大连,21,9分)某村2016年的人均收4323.某社会团体组织人员参观某展览，主办方对团体购票实行优惠：在原定票价的基础上，每张降价40元，则按原定票价需花费6000元购买门票，现在只花了4000元.(1)每张门票原定的票价为____________元；(2)在展览期间，平均每天可售出个人票2000张，现主办方决定对个人购票也采取优惠措施，发现原定票价每降低2元，平均每天可多售出个人票40张，若要使平均每天的个人票收入达到241500元，且能有效控制游览人数，则票价应降低多少元？12023.某社会团体组织人员参观某展览，主办方对团体购票实行优惠解：设票价应降低x元．根据题意，得解得x1＝5，x2＝15.∵要能有效控制游览人数，∴x＝5.答：票价应降低5元．解：设票价应降低x元．24.(2019广西贺州,23,8分)2016年,某贫困户的家庭年人均纯收入为2500元,通过政府产业扶持,发展了养殖业后,到2018年,家庭年人均纯收入达到了3600元.(1)求该贫困户2016年到2018年家庭年人均纯收入的年平均增长率;(2)若年平均增长率保持不变,2019年该贫困户的家庭年人均纯收入是否能达到4200元?解析(1)设该贫困户2016年到2018年家庭年人均纯收入的年平均增长率为x,依题意得2500(1+x)2=3600,解得x1=0.2=20%,x2=-2.2(舍去).答:该贫困户2016年到2018年家庭年人均纯收入的年平均增长率为20%.(2)3600×(1+20%)=4320(元),4320>4200.答:2019年该贫困户的家庭年人均纯收入能达到4200元.24.(2019广西贺州,23,8分)2016年,某贫困户的46第二章方程（组）与不等式（组）第6讲一元二次方程及其应用第二章方程（组）与不等式（组）第6讲一元二次方程及其应知识点1一元二次方程的概念只含有①__________个未知数，并且未知数的最高次数是②__________的整式方程叫做一元二次方程，其一般形式为③___________________.一2ax2＋bx＋c＝0(a≠0)知识点2一元二次方程的解法解法适用形式方程的根直接开平方法x2＝p(p≥0)

x＝④__________(x＋n)2＝p(p≥0)

x＝⑤__________

配方法一般式ax2＋bx＋c＝0可配方为a(x＋h)2＝k(a≠0，且ak≥0)x＝－h

公式法ax2＋bx＋c＝0(a≠0，b2－4ac≥0)x＝⑥__________

因式分解法(x－x1)(x－x2)＝0x＝x1或x＝x2知识点1一元二次方程的概念只含有①__________知识点3一元二次方程根的判别式及根与系数的关系根的判别式的定义关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式为⑧__________判别式与根的关系(1)b2－4ac>0⇔一元二次方程⑨_______________的实数根；(2)b2－4ac＝0⇔一元二次方程⑩_______________的实数根；(3)b2－4ac<0⇔一元二次方程⑪__________实数根根与系数的关系若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根分别是x1，x2，则x1＋x2＝－，x1·x2＝；若一元二次方程x2＋px＋q＝0的两个实数根为x1，x2，则x1＋x2＝⑫__________，x1·x2＝⑬__________；若x1，x2是二次项系数为1的一元二次方程的两根，则此一元二次方程为⑭____________________.b2－4ac有两个不相等有两个相等没有－pqx2－(x1＋x2)x＋x1x2＝0知识点3一元二次方程根的判别式及根与系数的关系根的判别2.几种常见的等量关系：(1)增长率问题中的等量关系：a.增长率＝⑮__________×100%；b.若增长的基数为a，每次平均增长率为x，则第一次增长后的数量是⑯__________，第二次增长后的数量是⑰__________；c.若下降的基数为a，每次平均下降率为x，则第一次下降后的数量是⑱__________，第二次下降后的数量是⑲__________.增长量基础量a(1＋x)a(1＋x)2

a(1－x)a(1－x)2知识点4一元二次方程的应用1.一元二次方程是刻画现实问题的有效数学模型，通过审题弄清具体问题中的数量关系，构建数学模型，列一元二次方程，进而解决实际问题.2.几种常见的等量关系：(1)增长率问题中的等量关系：增长量(3)面积问题中的等量关系：a.如图甲，矩形ABCD长为a，宽为b，空白部分的宽为x，则阴影部分的面积为⑳__________；b.如图乙，矩形ABCD长为a，宽为b，阴影道路的宽为x，则空白部分的面积为___________；c.如图丙，矩形ABCD长为a，宽为b，阴影道路的宽为x，则空白部分的面积为+__________.(a－2x)(b－2x)(a－x)(b－x)(a－x)(b－x)(2)利润问题中的等量关系：a.利润＝售价－成本；b.利润率＝×100%.利润成本(3)面积问题中的等量关系：a.如图甲，矩形ABCD长为a，考点1一元二次方程的解法考点精讲1.(1)(2020·泰安)将一元二次方程x2－8x－5＝0化成(x＋a)2＝b(a，b为常数)的形式，则a，b的值分别是(

)A.－4，21 B.－4，11C.4，21 D.－8，69A(2)已知三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2－6x＋8＝0的解，则此三角形的周长是________.13考点1一元二次方程的解法考点精讲A(2)已知三角形的两边解一元二次方程的注意事项1.对于左右两边含有相同未知数因式的一元二次方程，应将方程化为一般形式后再求解(或将方程变为等号一边为0，另一边含未知数的式子，利用因式分解法求解)，切勿直接约去含相同未知数的因式而漏根.2.利用因式分解法求解时，应避免出现方程的右边没有化为0，左边直接因式分解的错误.3.利用公式法求解时，一定要先将一元二次方程化为一般形式，确定a，b，c的值时切记带上符号.4.利用配方法解方程或变形时，应避免出现没有把二次项系数化为1就直接加上一次项系数一半的平方的错误.解一元二次方程的注意事项3.利用公式法求解时，一定要先将一元对点训练1.(2020·凉山)一元二次方程x2＝2x的根为()

A.x＝0 B.x＝2C.x＝0或x＝2 D.x＝0或x＝－2C2.(2019·十堰)对于实数a，b，定义运算“◎”如下：a◎b＝(a＋b)2－(a－b)2.若(m＋2)◎(m－3)＝24，则m＝__________.－3或4对点训练1.(2020·凉山)一元二次方程x2＝2x的根为(考点2一元二次方程根的判别式及根与系数的关系考点精讲2.(1)(2020·通辽)若关于x的方程kx2－6x＋9＝0有实数根，则k的取值范围是(

)A.k＜1，且k≠0 B.k＜1C.k≤1，且k≠0 D.k≤1D(2)已知x1，x2是关于x的方程x2＋bx－3＝0的两根，且满足x1＋x2－3x1x2＝5，那么b的值为(

)A.4

B.－4

C.3 D.－3

A考点2一元二次方程根的判别式及根与系数的关系考点精讲D(使用根的判别式的注意事项1.使用之前一定要把方程化为一般形式，以便正确找出a，b，c的值.2.如果说方程有两个实数根，即应当包括“有两个不相等的实数根”和“有两个相等的实数根”两种情况，此时b2－4ac≥0，切勿丢掉等号.3.根的判别式b2－4ac的使用条件是在一元二次方程中，因此，要注意隐含条件a≠0.4.若题目中未指明已知方程为一元二次方程，则应分情况讨论.使用根的判别式的注意事项AA对点训练AA对点训练57BA对点训练BA对点训练58对点训练5.(2020·安徽)下列方程中，有两个相等实数根的是()A.x2＋1＝2x

B.x2＋1＝0C.x2－2x＝3 D.x2－2x＝0A6.(2020·南京)关于x的方程(x－1)(x＋2)＝p2(p为常数)的根的情况，下列结论中正确的是()A.两个正根

B.两个负根

C.一个正根，一个负根

D.无实数根C对点训练5.(2020·安徽)下列方程中，有两个相等实数根的7.已知x1＝3是关于x的一元二次方程x2－4x＋c＝0的一个根，则方程的另一个根x2是__________.8.(2019·成都)已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2＋2x＋k－1＝0的两个实数根，且

－x1x2＝13，则k的值为__________.1－2

9.(2020·青海)在解一元二次方程x2＋bx＋c＝0时，小明看错了一次项系数b，得到的解为x1＝2，x2＝3；小刚看错了常数项c，得到的解为x1＝1，x2＝4.请你写出正确的一元二次方程：_________________.x2－5x＋6＝07.已知x1＝3是关于x的一元二次方程x2－4x＋c＝0的一10.解方程：(1)(2020·南京)x2－2x－3＝0；(2)(2020·徐州)2x2－5x＋3＝0.解：原方程可变形为(x－3)(x＋1)＝0，∴x－3＝0或x＋1＝0，解得x1＝3，x2＝－1.解：原方程可变形为(2x－3)(x－1)＝0，∴2x－3＝0或x－1＝0，解得x1＝2(3)，x2＝1.

10.解方程：(1)(2020·南京)x2－2x－3＝0；解【自我诊断】1.关于x的方程ax2-3x+2=x2是一元二次方程,则a的取值范围为 (

)A.a≠0

B.a>0C.a≠1 D.a>12.方程x2=4x的解是 (

)A.x=4 B.x1=0,x2=4C.x=0 D.x1=2,x2=-2CB【自我诊断】CB623.已知一元二次方程(m-2)x2-3x+m2-4=0的一个根为0,则m=_______.

4.如果关于x的方程x2-4x+2m=0有两个不相等的实数根,则m的取值范围是________.

5.经过两次连续降价,某药品销售单价由原来的50元降到32元,设该药品平均每次降价的百分率为x,根据题意可列方程是_______________.

-2

m<2

50(1-x)2=32

3.已知一元二次方程(m-2)x2-3x+m2-4=0的一个636.(2020·临沂中考)一元二次方程x2-4x-8=0的解是 (

)A.x1=-2+2,x2=-2-2B.x1=2+2,x2=2-2C.x1=2+2,x2=2-2D.x1=2,x2=-2

B6.(2020·临沂中考)一元二次方程x2-4x-8=0的解647.(2019·北京中考)关于x的方程x2-2x+2m-1=0有实数根,且m为正整数,求m的值及此时方程的根.【自主解答】∵x2-2x+2m-1=0有实数根,∴Δ≥0,即(-2)2-4(2m-1)≥0,∴m≤1,∵m为正整数,∴m=1,故此时二次方程为x2-2x+1=0,即(x-1)2=0,∴x1=x2=1,∴m=1,此时方程的根为x1=x2=1.7.(2019·北京中考)关于x的方程x2-2x+2m-1=65考点3一元二次方程的应用考点精讲3.某宾馆客房部有60个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间正好可以住满.每个房间每天的定价每增加10元，就会有一个房间空闲.已知有游客入住的房间，宾馆每天需对每个房间支出50元的各种费用.(1)若某天宾馆的入住量为58个房间，则该天宾馆的利润为________元；【思路分析】(1)根据总利润＝每个入住的房间的利润×入住房间的数量，即可求出结论.9860(2)求宾馆每天房间入住量达到多少个时，每天的利润为11000元.考点3一元二次方程的应用考点精讲9860(2)求宾馆每(2)设每个房间每天的定价增加了x元，则每天可入住(60－

)个房间.依题意，得(60－

)(200＋x－50)＝11000，化简得x2－450x＋20000＝0，解得x1＝50，x2＝400，∴60－

＝55或20.答：每天房间入住量达到55个或20个时，利润为11000元.(2)设每个房间每天的定价增加了x元，则每天可入住(60－对点训练8.(2020·衡阳)如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形.为便于管理，要在中间开辟一横、两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为()A.35×20－35x－20x＋2x2＝600

B.35×20－35x－2×20x＝600

C.(35－2x)(20－x)＝600

D.(35－x)(20－2x)＝600C对点训练8.(2020·衡阳)如图，学校课外生物小组的试验园9.(2020·鄂州)目前以5G等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展.某市2019年年底有5G用户2万户，计划到2021年底全市5G用户数累计达到8.72万户.设全市5G用户数年平均增长率为x，则x的值为()A.20% B.30%C.40%

D.50%C10.(2020河南,8,3分)国家统计局统计数据显示,我国快递业务收入逐年增加.2017年至2019年我国快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元.设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x,则可列方程为()A.5000(1+2x)=7500

B.5000×2(1+x)=7500C.5000(1+x)2=7500

D.5000+5000(1+x)+5000(1+x)2=7500答案

C由题意知,我国2019年的快递业务收入为5000(1+x)2亿元,所以可列方程为5000(1+x)2=7500.

故选C.9.(2020·鄂州)目前以5G等为代表的战略性新兴产业蓬勃11.某广场推出促销活动，已知某商品每件的进价为30元，经市场调研发现，当该商品的销售单价为40元时，每天可销售280件；当销售单价每增加1

元，每天的销售数量将减少10件.(1)若该商品的销售单价为43元，则当天的销售量是____________件，销售利润是____________元；(2)当该商品的销售单价为多少元时，该商品当天的销售利润是3450元？

250325011.某广场推出促销活动，已知某商品每件的进价为30元，经市(2)设该商品的销售单价为x元(x＞40)，则当天的销售量为[280－(x－40)×10]件.依题意，得(x－30)·[280－(x－40)×10]＝3450，整理，得x2－98x＋2385＝0，解得x1＝53，x2＝45.答：当该商品的销售单价为45元或53元时，该商品当天的销售利润是3450元.(2)设该商品的销售单价为x元(x＞40)，12.(2020·西藏中考)列方程(组)解应用题某驻村工作队,为带动群众增收致富,巩固脱贫攻坚成效,决定在该村山脚下,围一块面积为600m2的矩形试验茶园,便于成功后大面积推广.如图所示,茶园一面靠墙,墙长35m,另外三面用69m长的篱笆围成,其中一边开有一扇1m宽的门(不包括篱笆).求这个茶园的长和宽.12.(2020·西藏中考)列方程(组)解应用题72【解析】设茶园垂直于墙的边长为xm,则平行于墙的边长为(69+1-2x)m,根据题意,得x(69+1-2x)=600,整理,得x2-35x+300=0,解得x1=15,x2=20,当x=15时,70-2x=40>35,不符合题意,舍去;当x=20时,70-2x=30,符合题意.答:这个茶园的长和宽分别为30m,20m.【解析】设茶园垂直于墙的边长为xm,则平行于墙的边长为(673命题点1一元二次方程的解法1.(2019·金华)用配方法解方程x2－6x－8＝0，配方结果正确的是(

)A.(x－3)2＝17 B.(x－3)2＝14C.(x－6)2＝44 D.(x－3)2＝1A2.(2020·临沂)用配方法解一元二次方程2x2－3x－1＝0，配方正确的是()A.

B.C.D.A命题点1一元二次方程的解法1.(2019·金华)用配方法解3.(2020·张家界)已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程x2－6x＋8＝0的两根，则该等腰三角形的底边长为(

)A.2 B.4 C.8 D.2或4A4.(2020·营口)一元二次方程x2－5x＋6＝0的解为()A.x1＝2，x2＝－3B.x1＝－2，x2＝3C.x1＝－2，x2＝－3D.x1＝2，x2＝3D5.(2020·攀枝花)若关于x的方程x2－x－m＝0没有实数根，则m的值可以为()A.－1B.

C.0D.1A3.(2020·张家界)已知等腰三角形的两边长分别是一元二次命题点2一元二次方程根的判别式及根与系数的关系6.(2019·湘西)一元二次方程x2－2x＋3＝0根的情况是(

)A.有两个不相等的实数根

B.有两个相等的实数根C.没有实数根

D.无法判断C7.(2019·咸宁)若关于x的一元二次方程x2－2x＋m＝0有实数根，则实数m的取值范围是(

)A.m＜1 B.m≤1 C.m＞1 D.m≥1B命题点2一元二次方程根的判别式及根与系数的关系6.(2018.(2020·天门)关于x的方程x2＋2(m－1)x＋m2－m＝0有两个实数根α，β，且α2＋β2＝12，那么m的值为(

)A.－1 B.－4 C.－4或1 D.－1或4A9.(2019·贵港中考)若α,β是关于x的一元二次方程x2-2x+m=0的两实根,且 则m等于(

)A.-2 B.-3 C.2 D.3B8.(2020·天门)关于x的方程x2＋2(m－1)x＋m210.已知关于x的一元二次方程(k－1)x2－2x＋1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是()A.k＜－2 B.k＜2C.k＞2 D.k＜2且k≠111.关于x的方程mx2＋2x＋1＝0有实数根，则m的取值范围是()A．m≤1B．m≥1C．m＜1D．m≤1且m≠0DA12.(2020·荆门)已知关于x的一元二次方程x2－4mx＋3m2＝0(m＞0)的一个根比另一个根大2，则m的值为____________.110.已知关于x的一元二次方程(k－1)x2－2x＋1＝07813.(2020·荆州)定义新运算“a*b”：对于任意实数a，b，都有a*b＝(a＋b)(a－b)－1，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算.例如：4*3＝(4＋3)×(4－3)－1＝7－1＝6.若x*k＝x(k为实数)是关于x的方程，则它的根的情况为(

)A.有一个实数根B.有两个相等的实数根C.有两个不相等的实数根D.没有实数根C13.(2020·荆州)定义新运算“a*b”：对于任意实数a14.(2020·十堰)已知关于x的一元二次方程x2－4x－2k＋8＝0有两个实数根x1，x2.(1)求k的取值范围；解：(1)由题意可知Δ＝(－4)2－4×1×(－2k＋8)≥0.整理，得8k－16≥0，解得k≥2.(2)若x2＋x1

＝24，求k的值.(2)由题意，得

x2＋x1

＝x1x2[(x1＋x2)2－2x1x2]＝24.由根与系数的关系可知x1＋x2＝4，x1x2＝－2k＋8，故有(－2k＋8)[42－2(－2k＋8)]＝24.整理，得k2－4k＋3＝0，解得k1＝3，k2＝1.由(1)可知k≥2，∴k＝3.14.(2020·十堰)已知关于x的一元二次方程x2－4x－命题点3一元二次方程的应用15.(2019·衡阳)国家实施“精准扶贫”政策以来，很多贫困人口走向了致富的道路.某地区2016年底有贫困人口9万人，通过社会各界的努力，2018年底贫困人口减少至1万人.设2016年底至2018年底该地区贫困人口的年平均下降率为x，根据题意可列方程为(

)A.9(1－2x)＝1 B.9(1－x)2＝1C.9(1＋2x)＝1 D.9(1＋x)2＝1B命题点3一元二次方程的应用15.(2019·衡阳)国家实施16.(眉山中考)有一只鸡患了禽流感，经过两轮传染后共有625只鸡患了禽流感，每轮传染中平均一只鸡传染的鸡的数量是(

)A.22只 B.24只 C.25只 D.26只B17.(沈阳中考)如图，准备在一块长为30米，宽为24米的长方形花圃内修建四条宽度相等，且与各边垂直的小路，四条小路围成的中间部分恰好是一个正方形，且边长是小路宽度的4倍.若四条小路所占面积为80平方米，则小路的宽度为____________米.16.(眉山中考)有一只鸡患了禽流感，经过两轮传染后共有6219.(南通中考)某商场以每件280元的价格购进一批商品，当每件商品的售价为360元时，每月可售出60件，为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价1元，那么商场每月就可以多售出5件.(1)降价前商场每月销售该商品的利润是多少元？解：(1)由题意，得60×(360