高考数学专题《数列》解读

重难点01重难点01数列新高考中考查数列难度不大，但解答题中作为了必考内容，一般是解答题的前两题，会考察开放式的题型。知识点考查比较简单，也是新高考中务必拿分题目，对于大部分人来说，数列这一知识点是不容失分的。本专题是通过对高考中常见高考题型对应知识点的研究而总结出来的一些题目，通过本专题的学习补充巩固，让你对高考中数列题目更加熟练，做高考数列题目更加得心应手。1、通项公式的求法1）累加法（叠加法）若数列满足，则称数列为“变差数列”，求变差数列的通项时，利用恒等式求通项公式的方法称为累加法。2）累乘法（叠乘法）：若数列满足，则称数列为“变比数列”，求变比数列的通项时，利用求通项公式的方法称为累乘法。3）由数列的前n项和与的关系求通项公式若已知数列的前n项和，则不论数列是否为等差数列或等比数列，当时，都有，可利用公式求通项。4）构造新数列对于的形式，主要是利用的形式进行转化；对于，主要采用的形式进行转化运算；对于一般采用转化成的形式进行转化运算。2、数列求和问题1、常见裂项求和公式：，，eq\f(1,\r(n)＋\r(n＋1))＝eq\r(n＋1)－eq\r(n)．；2、错位相减求和问题（1）要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；（2）在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式．（3）在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解．3、分组求和问题，分为三种，一种是绝对值分组求和问题，另外一种是两种不同数列的分组求和问题，还有一种是分奇偶项求和。热点1：由递推式求通项公式；热点2：数列求和；热点3：数列中的新定义与最值（范围）问题；A卷（建议用时90分钟）一、单选题1．（2021·四川·内江市教育科学研究所一模）记数列的前n项和为，若，则（）A．B．是等差数列C．是等比数列 D．2．（2021·黑龙江·勃利县高级中学高三期中）“垛积术”是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有茭草垛、方垛、刍童垛、三角垛等．某仓库中部分货物堆放成如图所示的“茭草垛”：自上而下，第一层1件，以后每一层比上一层多1件，最后一层是n件．已知第一层货物单价1万元，从第二层起，货物的单价是上一层单价的．若这堆货物总价是万元，则n的值为（）A．9 B．10 C．11 D．123．（2021·江西高安·模拟预测）已知等差数列，其前项和为，有最小值，若，则使成立的的最大值为（）A．17 B．16 C．15 D．144．（2021·全国全国·模拟预测）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数.已知数列满足，且，若数列的前n项和为，则（）A．4950 B．4953 C．4956 D．49595．（2021·江苏徐州·高三期中）已知等比数列的前项和，数列的前项和为，若数列是等差数列，则非零实数的值是（）A． B． C．3 D．46．（2021·辽宁实验中学高三期中）数列中，，，使对任意的（）恒成立的最大值为（）A． B． C． D．7．（2021·山东泰安·高三期中）若数列满足，，则（）A．2 B． C．-1 D．-28．（2021·河北衡水中学模拟预测）数列满足，，且其前项和为.若，则正整数（）A．99 B．103 C．107 D．198二、多选题9．（2021·河北邯郸·高三期末）Look—and—say数列是数学中的一种数列，它的名字就是它的推导方式：给定第一项之后，后一项是前一项的发音，例如第一项为3，第二项是读前一个数“1个3”，记作13，第三项是读前一个数“1个1，1个3”，记作1113，按此方法，第四项为3113，第五项为132113，….若Look—and—say数列第一项为11，依次取每一项的最右端两个数组成新数列，则下列说法正确的是（）A．数列的第四项为111221B．数列中每项个位上的数字不都是1C．数列是等差数列D．数列前10项的和为16010．（2021·山东·泰安一中模拟预测）我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：“今有良马和驽马发长安至齐，良马初日行一百九十三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里.良马先至齐，复还迎驽马，九日后二马相逢.”其大意为今有良马和驽马从长安出发到齐国，良马第一天走193里，以后每天比前一天多走13里；驽马第一天走97里，以后每天比前一天少走里.良马先到齐国，再返回迎接驽马，9天后两马相遇.下列结论正确的是（）A．长安与齐国两地相距1530里B．3天后，两马之间的距离为里C．良马从第6天开始返回迎接驽马D．8天后，两马之间的距离为里11．（2021·辽宁·大连市第一中学高三期中）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，….设第层有个球，从上往下层球的总数为，则（）A．B．C．D．12．（2021·江苏如皋·高三期中）观察如下数阵：该数阵特点：在第行每相邻两数之间都插入它们的和得到第行的数，.设第行数的个数为，第行的所有数之和为，则（）A．B．C．D．三、填空题13．（2021·江苏·海门中学高三期中）已知数列满足，则_________．14．（2021·福建·泉州鲤城北大培文学校高三期中）已知数列的前项和为，若，且，则数列的通项公式为___________.15．（2021·河北·衡水市冀州区第一中学高三期中）在正项数列中，，且，令，则数列的前2020项和___________．16．（2021·湖北·华中师大一附中高三期中）习近平同志提出：乡村振兴，人才是关键．要积极培养本土人才，鼓励外出能人返乡创业．2020年1月8日，人力资源和社会保障部、财政部、农业农村部印发《关于进一步推动返乡入乡创业工作的意见》.意见指出，要贯彻落实党中央、国务院的决策部署，进一步推动返乡入乡创业，以创新带动创业，以创业带动就业，促进农村一、二、三产业融合发展，实现更充分、更高质量就业.为鼓励返乡创业，某镇政府决定投入“创业资金”和开展“创业技术培训”帮扶返乡创业人员.预计该镇政府每年投入的“创业资金”构成一个等差数列（单位：万元），每年开展“创业技术培训”投入的资金为第一年创业资金（万元）的3倍，已知．则该镇政府帮扶五年累计总投入资金的最大值为______万元）17．（2021·辽宁·育明高中高三期中）已知递增数列的前项和为，且满足（），则首项的取值范围为__________．四、解答题18．（2021·江苏·南京市中华中学高三期中）设是等比数列的前项的和，，且、、成等差数列.（1）求的通项公式；（2）设为实数，为的前项的和，为数列的前项的和，且，求的值.19．（2021·辽宁·高三期中）已知等差数列{an}满足：S6=21，S7=28，其中是数列的前n项和.（1）求数列的通项；（2）令bn=，证明：.20．（2021·江苏·南京师大附中高三期中）设Sn是等比数列{an}的前n项和，已知S2＝4，a32＝3a4．（1）求an和Sn；（2）设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn．21．（2021·江苏海安·高三期中）已知数列满足a1＝1，an＋1＝.（1）从下面两个条件中选一个，写出b1，b2，并求数列的通项公式；①bn＝a2n－1＋3；②bn＝a2n＋1－a2n－1．（2）求数列的前n项和为Sn．22．（2021·陕西安康·高三期中）已知数列的前n项和为，且.（1）求的通项公式；（2）求数列的前n项和；（3）若，，求的最小值.B卷（建议用时90分钟）一、单选题1．（2021·陕西临渭·一模）已知数列的前项和为，若，则=（）A． B． C． D．2．（2021·上海虹口·一模）设等差数列的前项和为，如果，则（）A．且B．且C．且D．且3．（2021·江苏盐城·高三期中）已知数列满足，，则的值为（）A． B． C． D．4．（2021·四川·高三期中）数列满足对任意，恒成立，且为常数，若是的前项和，且，，则（）A． B． C． D．5．（2021·山东·枣庄市第三中学高三期中）构造数组，规则如下：第一组是两个1，即，第二组是，第三组是，…，在每一组的相邻两个数之间插入这两个数的和得到下一组．设第n组中有个数，且这个数的和为．则（）A． B． C． D．6．（2021·山东烟台·高三期中）我国古代数学名著《孙子算经》载有一道数学问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数值剩二，七七数之剩二，问物几何？”根据这一数学思想，所以被除余的自然数从小到大组成数列，所有被除余的自然数从小到大组成数列，把和的公共项从小到大得到数列，则（）A． B． C． D．7．（2021·黑龙江·哈尔滨三中高三阶段练习）已知数列是公比为的等比数列，是其前和，若恒成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．8．（2021·浙江省杭州第二中学高三期中）已知数列满足（，为自然对数的底数），且对任意的都存在，使得成立，则数列的首项须满足（）A． B． C． D．二、多选题9．（2021·福建·三明一中高三期中）已知数列的前项和为，下列说法正确的是（）A．若点在函数为常数的图象上，则为等差数列B．若为等差数列，则为等比数列C．若为等差数列，，，则当时，最大D．若，则为等比数列10．（2021·福建省泉州第一中学高三期中）已知数列满足，，为数列的前n项和.若对任意实数，都有成立，则实数的可能取值为（）A．1 B．2 C．3 D．411．（2021·湖北·高三期中）已知数列的前项和为，下列说法正确的是（）A．若，则B．若，则数列的前10项和为49C．若，则的最大值为25D．若数列为等差数列，且，，则当时，的最大值为202112．（2021·辽宁丹东·高三期中）参加工作年的小郭，因工作需要向银行贷款万元购买一台小汽车，与银行约定：这万元银行贷款分年还清，贷款的年利率为，每年还款数为万元，则（）A． B．小郭第年还款的现值为万元C．小郭选择的还款方式为“等额本金还款法” D．小郭选择的还款方式为“等额本息还款法”三、填空题13．（2021·黑龙江·勃利县高级中学高三期中）各项均为正数且公比q＞1的等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1a5＝4，a2+a4＝5，则的最小值为_____．14．（2020·海南·三模）已知数列满足，若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为__________.15．（2021·湖北省团风中学模拟预测）将个数排成行列的一个数阵，如图：该数阵第一列的个数从上到下构成以为公差的等差数列，每一行的个数从左到右构成以为公比的等比数列（其中）．已知，，记这个数的和为．给出下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的是______．（填写所有正确答案的序号）16．（2021·广东顺德·高三阶段练习）已知数列，，，且，则数列的前100项的和为______．17．（2021·广东肇庆·模拟预测）已知数列的前项和为，且满足，那么___________.18．（2021·湖南·长郡中学模拟预测）如果数列满足，且，则这个数列的第项等于___________.四、解答题19．（2021·福建·模拟预测）已知正项数列的前项和为，满足．（1）求数列的前项和；（2）记，证明：．20．（2021·上海嘉定·一模）某公司2021年投资4千万元用于新产品的研发与生产，计划从2022年起，在今后的若干年内，每年继续投资1千万元用于新产品的维护与生产，2021年新产品带来的收入为0.5千万元，并预测在相当长的年份里新产品带来的收入均在上年度收入的基础上增长25%.记2021年为第1年，为第1年至此后第年的累计利润（注：含第年，累计利润=累计收入-累计投入，单位：千万元），且当为正值时，认为新产品赢利.（1）试求的表达式；（2）根据预测，该新产品将从哪一年开始并持续赢利?请说明理由.21．（2021·江苏·无锡市教育科学研究院高三期中）已知正项数列的前