2022高考数学（文）一轮通用版讲义：12.3随机事件的概率

PAGE25第三节随机事件的概率1了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概率的区别．2了解两个互斥事件的概率加法公式．突破点一随机事件的频率与概率

eq\a\vs4\al[基本知识]1．事件的分类

2．频率和概率1在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fnA＝eq\fnA,n为事件A出现的频率．2对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率fnA稳定在某个常数上，把这个常数记作分别为：162,153,148,154,165,168,172,171,173,150，151,152,160,165,164,179,149,158,159,175根据样本频率分布估计总体分布的原理，在该校高二年级的所有学生中任抽一人，估计该生的身高在～之间的概率约为\f2,5 \f1,2\f2,3 \f1,3解析：选A从已知数据可以看出，在随机抽取的这20位学生中，身高在～之间的学生有8人，频率为eq\f2,5，故可估计在该校高二年级的所有学生中任抽一人，其身高在～之间的概率约为eq\f2,52．2022·全国卷Ⅲ某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温单位：℃有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温[10,15[15,20[20,25[25,30[30,35[35,40天数216362574以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．1估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；2设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y单位：元．当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．解：1这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25，由表格数据知，最高气温低于25的频率为eq\f2＋16＋36,90＝，所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为2当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，若最高气温不低于25，则Y＝6×450－4×450＝900；若最高气温位于区间[20,25，则Y＝6×300＋2450－300－4×450＝300；若最高气温低于20，则Y＝6×200＋2450－200－4×450＝－100所以Y的所有可能值为900,300，－100Y大于零当且仅当最高气温不低于20，由表格数据知，最高气温不低于20的频率为eq\f36＋25＋7＋4,90＝，因此Y大于零的概率的估计值为

突破点二互斥事件与对立事件

eq\a\vs4\al[基本知识]1．概率的基本性质1概率的取值范围：0≤PA≤12必然事件的概率：PA＝1不可能事件的概率：PA＝02．互斥事件和对立事件事件定义概率公式互斥事件在一个随机试验中，我们把一次试验下不能同时发生的两个事件A与B称作互斥事件PA∪B＝PA＋PB；PA1∪A2∪…∪An＝PA1＋PA2＋…＋PAn对立事件在一个随机试验中，两个试验不会同时发生，并且一定有一个发生的事件A和eq\\toA称为对立事件Peq\\toA＝1－PAeq\a\vs4\al[基本能力]一、判断题对的打“√”，错的打“×”1若随机事件A发生的概率为PA，则0≤PA≤12两个事件的和事件是指两个事件同时发生．3对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件．4“方程2＋2＋8＝0有两个实根”是不可能事件．答案：1×2×3√4√二、填空题1．一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是____________．答案：两次都不中靶2．设事件A，B，已知PA＝eq\f1,5，PB＝eq\f1,3，PA∪B＝eq\f8,15，则A，B之间的关系一定为________事件．答案：互斥

eq\a\vs4\al[全析考法]考法一事件关系的判断[例1]1从1,2,3,4,5中有放回地依次取出两个数，则下列各对事件是互斥而不是对立事件的是A．恰有1个是奇数和全是奇数B．恰有1个是偶数和至少有1个是偶数C．至少有1个是奇数和全是奇数D．至少有1个是偶数和全是偶数2已知100件产品中有5件次品，从这100件产品中任意取出3件，设E表示事件“3件产品全不是次品”，F表示事件“3件产品全是次品”，G表示事件“3件产品中至少有1件是次品”，则下列结论正确的是A．F与G互斥B．E与G互斥但不对立C．E，F，G任意两个事件均互斥D．E与G对立[解析]1从1,2,3,4,5中有放回地依次取出两个数，共有三种情况：A＝{两个奇数}，B＝{一个奇数一个偶数}，C＝{两个偶数}，且两两互斥，A：是互斥事件；B：不互斥；C：不互斥；D：不互斥．故选A2由题意得事件E与事件F不可能同时发生，是互斥事件；事件E与事件G不可能同时发生，是互斥事件；当事件F发生时，事件G一定发生，所以事件F与事件G不是互斥事件，故A、C错．事件E与事件G中必有一个发生，所以事件E与事件G对立，所以B错误，D正确．[答案]1A2D[方法技巧]判断互斥、对立事件的2种方法定义法判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件集合法①由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥．②事件A的对立事件eq\oA,\s\up6－所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集考法二互斥事件、对立事件的概率[例2]某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示．已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顾客数/人3025y10结算时间/分钟/人1231确定，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；2求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率．将频率视为概率[解]1由已知得25＋y＋10＝55，＋30＝45，所以＝15，y＝20该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为eq\f1×15＋×30＋2×25＋×20＋3×10,100＝分钟．2记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A1，A2，A3分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”“该顾客一次购物的结算时间为分钟”“该顾客一次购物的结算时间为2分钟”，将频率视为概率得PA1＝eq\f15,100＝eq\f3,20，PA2＝eq\f30,100＝eq\f3,10，PA3＝eq\f25,100＝eq\f1,4因为A＝A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3是互斥事件，所以PA＝PA1∪A2∪A3＝PA1＋PA2＋PA3＝eq\f3,20＋eq\f3,10＋eq\f1,4＝eq\f7,10故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为eq\f7,10[方法技巧]求复杂互斥事件概率的2种方法直接法将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和间接法先求该事件的对立事件的概率，再由PA＝1－Peq\\toA求解．当题目涉及“至多”“至少”型问题时，多考虑间接法eq\a\vs4\al[集训冲关]\a\vs4\al[考法一]如果事件A与B是互斥事件，则A．A∪B是必然事件\oA,\s\up6－与eq\oB,\s\up6－一定是互斥事件\oA,\s\up6－与eq\oB,\s\up6－一定不是互斥事件\oA,\s\up6－∪eq\oB,\s\up6－是必然事件解析：选D事件A与B互斥即A∩B为不可能事件，所以eq\oA,\s\up6－∪eq\oB,\s\up6－＝eq\oA,\s\up6－∩eq\oB,\s\up6－是必然事件，故选项D正确；在抛掷骰子试验中，A表示向上的数字为1，B表示向上的数字为2，A∪B不是必然事件，选项A错误；eq\oA,\s\up6－与eq\oB,\s\up6－不一定是互斥事件，选项B错误；A表示向上的数字为奇数，B表示向上的数字为偶数，eq\oA,\s\up6－与eq\oB,\s\up6－是互斥事件，选项C错误．故选D\a\vs4\al[考法二]2022·全国卷Ⅲ若某群体中的成员只用现金支付的概率为，既用现金支付也用非现金支付的概率为，则不用现金支付的概率为A． B．C． D．解析：选B由题意可知不用现金支付的概率为1－－＝故选B\a\vs4\al[考法二]某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y单位：万千瓦时与该河上游在六月份的降雨量X单位：毫米有关．据统计，当X＝70时，Y＝460；X每增加10，的值为140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,160,160,200,140,110,160,220,140,1601完成如下的频率分布表：近20年六月份降雨量频率分布表降雨量70110140160200220频率eq\f1,20eq\f4,20eq\f2,202假定今年6月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同，并将频率视为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时的概率．解：1在所给数据中，降雨量为110毫米的有3个，为160毫米的有7个，为200毫米的有3个，故近20年六月份降雨量频率分布表为降雨量70110140160200220频率eq\f1,20eq\f3,20eq\f4,20eq\f7,20eq\f3,20eq\f2,202由已知可得Y＝eq\fX,2＋425，故P“发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时”＝PY＜490或Y＞530＝PX＜130或X＞210＝PX＝70＋PX＝110＋PX＝220＝eq\f1,20＋eq\f3,20＋eq\f2,20＝eq\f3,10[课时跟踪检测]1．2022·湖北十市联考从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是A．“至少有一个黑球”与“都是黑球”B．“至少有一个黑球”与“都是红球”C．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”D．“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”解析：选DA中的两个事件是包含关系，不是互斥事件；B中的两个事件是对立事件；C中的两个事件都包含“一个黑球一个红球”的事件，不是互斥关系；D中的两个事件是互斥而不对立的关系．2．2022·河南新乡二模已知随机事件A，B发生的概率满足条件PA∪B＝eq\f3,4，某人猜测事件eq\oA,\s\up6－∩eq\oB,\s\up6－发生，则此人猜测正确的概率为A．1 B．eq\f1,2C．eq\f1,4 D．0解析：选C∵事件eq\oA,\s\up6－∩eq\oB,\s\up6－与事件A∪B是对立事件，∴事件eq\oA,\s\up6－∩eq\oB,\s\up6－发生的概率为Peq\oA,\s\up6－∩eq\oB,\s\up6－＝1－PA∪B＝1－eq\f3,4＝eq\f1,4，则此人猜测正确的概率为eq\f1,4故选C3．2022·漳州龙海校级期中把红、黑、白、蓝4张纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁4个人，每个人分得1张，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是A．对立事件 B．对立但不互斥事件C．互斥但不对立事件 D．以上均不对解析：选C事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是不可能同时发生的两个事件，这两个事件可能恰有一个发生、一个不发生，可能两个都不发生，所以这两个事件互斥但不对立，应选C4．2022·银川四校联考下列结论正确的是A．事件A的概率PA必满足0＜PA＜1B．事件A的概率PA＝，则事件A是必然事件C．用某种药物对患有胃溃疡的500名病人进行治疗，结果有380人有明显的疗效，现有一名胃溃疡病人服用此药，则估计有明显的疗效的可能性为76%D．某奖券中奖率为50%，则某人购买此奖券10张，一定有5张中奖解析：选C由概率的基本性质可知，事件A的概率PA满足0≤PA≤1，故A错误；必然事件的概率为1，故B错误；某奖券中奖率为50%，则某人购买此奖券10张，不一定有5张中奖，故D错误．故选C5．2022·郴州模拟甲、乙、丙三人站成一排照相，甲排在左边的概率是A．1 \f1,6\f1,2 \f1,3解析：选D甲、乙、丙三人站成一排照相的站法有甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲，共6种，其中甲排在左边的站法为2种，∴甲排在左边的概率是eq\f2,6＝eq\f1,3故选D6．2022·泉州模拟从含有质地均匀且大小相同的2个红球、n个白球的口袋中随机取出一球，若取到红球的概率是eq\f2,5，则取得白球的概率等于\f1,5 \f2,5\f3,5 \f4,5解析：选C∵取得红球与取得白球为对立事件，∴取得白球的概率P＝1－eq\f2,5＝eq\f3,57．已知随机事件A发生的概率是，若事件A出现了10次，那么进行的试验次数约为A．300 B．400C．500 D．600解析：选C设共进行了n次试验，则eq\f10,n＝，解得n＝8．2022·衡阳八中一模从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知PA＝，PB＝，PC＝，则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为A． B．C． D．解析：选C∵事件A＝{抽到一等品}，且PA＝，∴事件“抽到的产品不是一等品”的概率P＝1－PA＝1－＝故选C9．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是5%和3%，则抽检一个产品是正品甲级的概率为A． B．C． D．解析：选C记抽检的产品是甲级品为事件A，是乙级品为事件B，是丙级品为事件C，这三个事件彼此互斥，因而所求概率为PA＝1－PB－PC＝1－5%－3%＝92%＝10．若随机事件A，B互斥，A，B发生的概率均不等于0，且PA＝2－a，PB＝4a－5，则实数a的取值范围是\b\lc\\rc\\a\vs4\al\co1\f5,4，2 \b\lc\\rc\\a\vs4\al\co1\f5,4，\f3,2\b\lc\[\rc\]\a\vs4\al\co1\f5,4，\f3,2 \b\lc\\rc\]\a\vs4\al\co1\f5,4，\f4,3解析：选D由题意可得eq\b\lc\{\rc\\a\vs4\al\co10＜PA＜1，,0＜PB＜1，,PA＋PB≤1，即eq\b\lc\{\rc\\a\vs4\al\co10＜2－a＜1，,0＜4a－5＜1，,3a－3≤1，解得eq\f5,4＜a≤eq\f4,311．某城市2022年的空气质量状况如下表所示：污染指数T3060100110130140概率Peq\f1,10eq\f1,6eq\f1,3eq\f7,30eq\f2,15eq\f1,30其中污染指数T≤50时，空气质量为优；50＜T≤100时，空气质量为良；100＜T≤150时，空气质量为轻微污染，则该城市2022年空气质量达到良或优的概率为________．解析：由题意可知2022年空气质量达到良或优的概率为P＝eq\f1,10＋eq\f1,6＋eq\f1,3＝eq\f3,5答案：eq\f3,512．2022·武汉调研甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是eq\f1,2，乙获胜的概率是eq\f1,3，则乙不输的概率是________．解析：因为乙不输包含两人下成和棋或乙获胜，所以乙不输的概率为eq\f1,2＋eq\f1,3＝eq\f5,6答案：eq\f5,613．2022·天津红桥一模经统计，在银行一个营业窗口每天上午9点钟排队等候的人数及相应概率如下表：排队人数01234≥5概率则该营业窗口上午9点钟时，至少有2人排队的概率是________．解析：由表格可得至少有2人排队的概率P＝＋＋＋＝答案：14．如果事件A与B是互斥事件，且事件A∪B发生的概率是，事件B发生的概率是事件A发生的概率的3倍，则事件A发生的概率为________．解析：设PA＝，则PB＝3，又PA∪B＝PA＋PB＝＋3＝，所以＝，则PA＝答案：15．某班选派5人参加学校举行的数学竞赛，获奖的人数及其概率如下：获奖人数012345概率y1若获奖人数不超过2人的概率为，求的值；2若获奖人数最多4人的概率为，最少3人的概率为，求y，的值．解：记事件“在竞赛中，有人获奖”为A∈N，≤5，则事件A彼此互斥．1∵获奖人数不超过2人的概率为，∴PA0＋PA1＋PA2＝＋＋＝解得＝2由获奖人数最多4人的概率为，得PA5＝1－＝，即＝由获奖人数最少3人的概率为，得PA3＋PA4＋PA5＝，即y＋＋＝解得y＝16如图，从A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：所用时间分钟10～2020～3030～4040～5050～60选择L1的人数612181212选择L2的人数04161641试估计40分钟内不能赶到火车站的概率；2分别求通过路径L