分式方程无解

分式方程无解分式方程的增根与无解例谈分式方程的增根与无解分式方程的增根与无解是分式方程中常有的两个看法，同学们在学习分式方程后，经常会对这两个看法混淆不清，认为分式方程无解和分式方程有增根是同一回事，事实上其实不是这样．分式方程有增根，指的是解分式方程时，在把分式方程转变成整式方程的变形过程中，方程的两边都乘了一个可能使分母为零的整式，进而扩大了未知数的取值范围而产生的未知数的值；而分式方程无解则是指不论未知数取何值，都不能够使方程两边的值相等．它包括两种状况：（一）原方程化去分母后的整式方程无解；（二）原方程化去分母后的整式方程有解，但这个解却使原方程的分母为0，它是原方程的增根，进而原方程无解．现举例说明以下：例1解方程．解：方程两边都乘以（x+2）（x-2），得2（x+2）-4x=3（x-2）．②解这个方程，得x=2．经检验：当x=2时，原方程没心义，因此x=２是原方程的增根．因此原方程无解．说明显然，方程①中未知数x的取值范围是x≠2且x≠-2．而在去分母化为方程②后，此时未知数x的取值范围扩大为全体实数．因此当求得的x值恰好使最简公分母为零时，x的值就是增根．此题中方程②的解是x＝2，恰好使公分母为零，因此x＝2是原方程的增根，原方程无解．例2解方程．解：去分母后化为x－1＝3－x＋2（2＋x）．整理得0x＝8．由于此方程无解，因此原分式方程无解．说明此方程化为整式方程后，自己就无解，自然原分式方程必然就无解了．因此可知，分式方程无解不用然就是产生增根．例

3（2007

湖北荆门）若方程

无解，则m=——————．

解：原方程可化为

－．方程两边都乘以x－2，得x－3=－m．解这个方程，得x=3－m．由于原方程无解，因此这个解应是原方程的增根．即x=2，因此2=3－m，解得m=1．故当m=1时，原方程无解．说明由于同学们目前所学的是能化为一元一次方程的分式方程，而一元一次方程只有一个根，因此若是这个根是原方程的增根，那么原方程无解．但是同学们其实不能够因此认为有增根的分式方程必然无解，随着今后所学知识的加深，同学们便会理解其中的道理，此处不再举例．例4当a为什么值时，关于x的方程①会产生增根？解：方程两边都乘以（x+2）（x-2），得2（x＋2）＋ax＝3（x－2）整理得（a－1）x＝－10②若原分式方程有增根，则x＝2或－2是方程②的根．把x＝2或－2代入方程②中，解得，a＝－4或6．说明做此类题第一将分式方程转变成整式方程，尔后找出使公分母为零的未知数的值即为增根，最后将增根代入转变获取的整式方程中，求出原方程中所含字母的值．若将此题会产生增根改为无解，即：当a为什么值时，关于x的方程①无解？此时还要考虑转变后的整式方程（a－1）x＝－10自己无解的状况，解法以下：解：方程两边都乘以（x+2）（x-2），得2（x＋2）＋ax＝3（x－2）整理得（a－1）x＝－10②若原方程无解，则有两种状况：（1）当a－1＝0（即a＝1）时，方程②为0x＝－10，此方程无解，因此原方程无解。（2）若是方程②的解恰好是原分式方程的增根，那么原分式方程无解．原方程若有增根，增根为x＝2或－2，把x＝2或－2代入方程②中，求出a＝－4或6．综上所述，a＝1或a＝一４或a＝6时，原分式方程无解．结论：弄清分式方程的增根与无解的差异和联系,能帮助我们提升解分式方程的正确性,对判断方程解的状况有必然的指导意义．浅议分式方程的无解浅议分式方程的无解湖北省枣阳市兴盛镇第二中学何华平张建平学习解分式方程，学生都知道分式方程与其他方程的独到之处：即分式方程必定要检验，为什么要检验呢?由于我们转变成整式方程后，这个整式方程的解有可能使最简公分母为0，以致此分式方程。分式方程的无解，这里我从两个变式题中，加以论述：一、整式方程有解，但这个解使最简公分母为0，以致分式方程无解比方：ｘ－5Ｘ－4ａ4－Ｘ＝5无解，求a的值解：两边同乘（X－４）得;X－５＋ａ＝５(X－４)化简：４X＝１５＋ａ∴X＝∵分式方程无解∴X＝为增根即X－4＝0即：－4＝0则a＝1谈论：这里整式方程是有解的，但这个解使最简公分母为0，才使分式方程无解二、整式方程无解，以致分式方程无解比方：关于X的分式方程：解：两边同乘X(X－1)得：X（X－ａ）－3（X－1）＝X（X－1）X2－ａX－3X＋3＝X2－X3＝ａX－X＋3X（a+2）X＝3谈论：在这里，X的系数为（a+2）是一个代数式，不能够任意在等式两边同除（a+2），所以就分以下两种状况：①当（a+2）≠0时：整式方程的解为：X＝要使分式方程无解，只能使

X＝

无解，求ａ的值为增根，即：

X＝

＝0（不能立）或

X＝

＝1则ａ＝1②a+2＝0时，整式方程（a+2）X＝3可化为0·X＝3因此X是无解的。即整式方程无解，这就说a+2＝0时即：a＝－2时，整式方程是无解的，这样整式方程无解才以致分式方程的无解因此综上所述ａ=1或－2归纳：分式方程的无解，分两种状况考虑：⒈转变成的整式方程有解但这个解是增根，使分式方程无解。⒉转变成的整式方程自己无解，以致分式方程无解。分式方程增根无解分式方程的增根与无解甲：增根是什么？乙：增根是解分式方程时，把分式方程转变成整式方程这一变形中，由于去分母扩大了未知数的取值范围而产生的未知数的值.比方例1、解方程：。①为了去分母，方程两边乘以，得②由②解得。甲：原方程的解是。乙：但是当时，原方程两边的值相等吗？甲：这我可没注意，检验一下不就知道了。哟！当方程变形过程中搞错啦？时，原方程有的项的分母为0，没有意义，是否是乙：求解过程完好正确，没有任何的差错。甲：那为什么会出现这种状况呢？乙：由于原来方程①中未知数x的取值范围是且，而去分母化为整式方程②后，未知数x的取值范围扩大为全体实数。这样，从方程②解出的未知数的值就有可能不是方程①的解。甲：这样说来，从方程①变形为方程②，这种变形其实不能够保证两个方程的解同样，那么，怎样知道从整式方程②解出的未知数的值是或不是原方程①的解呢？乙：很简单，两个字：检验。能够把方程②解出的未知数的值一一代入去分母时方程两边所乘的那个公分母，看可否使公分母等于0，若是公分母为0，则说明这个值是增根，否则就是原方程的解。甲：那么，这个题中就是增根了，可原方程的解又是什么呢？乙：原方程无解。甲：啊？！为什么会无解呢？乙：无解时，方程自己就是个矛盾等式，不论未知数取何值，都不能够使方程两边的值相等，如上题中，不论x取何值，都不能够使方程①两边的值相等，因此原方程无解，又如关于方程能使它建立，因此，这个方程也无解。，不论x取何值也不甲：是否是有增根的分式方程就是无解的，而无解的分式方程就必然有增根呢？乙：不是！有增根的分式方程不必然无解，无解的分式方程也不用然有增根，你看：例2、解方程，去分母后化为，解得或，此时，是增根，但原方程其实不是无解，而是有一个解，而方程，去分母后化为，原方程诚然无解，但原方程也没有增根。乙：增根不是原分式方程的解，但它是去分母后所得的整式方程的解，利用这种关系能够解决分式方程的有关问题，你看：例3、已知关于x的方程有增根，求k的值。第一把原方程去分母，化为。③由于原方程的最简公分母是，因此方程的增根可能是或若增根为，代入方程③，得，；若增根为，代入方程③，得，。故当或时，原方程会有增根。甲：诚然无解的分式方程不用然有增根，有增根的分式方程不用然无解，但我还感觉无解与增根之间忧若有种巧妙的关系，这是怎么一回事？乙：你说的没错，增根与无解都是分式方程的常客，它们诚然还没有达到形影不离的程度，但两者还是经常相伴而行的，在有些分式方程问题中，谈论无解的状况时应试虑增根，比方：例4、已知关于x的方程无解，求m的值。先把原方程化为。④（1）若方程④无解，则原方程也无解，方程④化为无解，此时。，当，而时，方程④（2）若方程④有解，而这个解又恰好是原方程的增根，这时原方程也无解，因此，当方程④的解为时原方程无解，代入方程④，得，故。综合（1）、（2），当或时，原方程无解。分式方程有增根_无解_有解分式方程有关内容解方程：注：可化为一元一次方程的分式方程可能有一个解，也可能无解。增根：分式方程有增根满足两个条件①分式方程化为整式方程后是整式方程的解②使分式方程最简公分母为0的未知数的值例题1：关于x的分式方程有增根，求m的值解题步骤整理：练习：关于x的分式方程有增根，求m的值分式方程无解：增根不等同于无解分式方程无解：①分式方程化为整式方程后整式方程自己无解②整式方程的解使最简公分母为零是增根而舍去，无解例题2：关于x的分式方程无解，求a的值解题步骤整理：练习：关于x的分式方程无解，求m的值例题3：关于x的分式方程有解解题步骤整理：练习：关于x的分式方程有解例题4：关于x的分式方程的解为正数（非负数，负数，非正数），解题步骤整理：关于x的分式方程的解为非正数，能力提升：2.若关于x的分式方程的解是正数，求a的取值范围？3.若关于x的方程无解，求m的值？5.关于x的分式方程有解，求k的取值范围？分式方程增根与无解专题分式方程的增根和无解专题讲义

题型一

:解分式方程

,解分式方程时去分母后所得整式方程的解有可能使原分式方程的分母为0,因此解分式方程必定检验.例1.解方程专练一、解分式方程

（每题

5分共

50分）（3）

（4）

（2）（1）；（7）题型二

:关于增根

:将分式方程变形为整式方程,方程两边同时乘以一个含有未知数的整式有时可能产生不适合原分式方程的根,这种根平时称为增根程例3．若关于x的方程有增根,则增根为

,并越去分母,.例2、若方.有增根,则增根是多少?产生增根的m值又是多少?评注：由以上几例可知，解答此类问题的基本思路是：（1）将所给方程化为整式方程；（2）由所给方程确定增根（使最简公分母为零的未知数的值或题目给出）（3）将增根代入变形后的整式方程，求出字母系数的值。专练习二：1.若方程

有增根

,则增根为

.、使关于x的方程－产生增根，则m的值是（

产生增根的与a没关）

a的值是（）3、若解分式方程会产生增根

－1

或－2

B.－1

或2

C.1或2D.1或－24.当

m为什么值时

,解方程

5、关于

x的方程

xk会产生增根，求k的值。、当

k为什么值时，解关于

x的方程：只有增根

x=1。的方程：无增根？整式方程来解,产生了增根已知关于x的方程m的值、关于x

、当a取何值时，解关于x题型三:分式方程无解①转变成;②转变的整式方程无解.例4、若方程1、无解,求m的值无解,求的方程3、关于x的方程4、关于x的方程3-

无解，求m的值。无解，求k的值。无解，求

k的值。-题型四:解含有字母的分式方程时,注意字母的限制的解为则的解大于零,求m的取值范围.例6、.关于x的方程例5、.若关于x的方程注:解的正负状况:先化为整式方程,求整式方程的解若解为正若解为负去掉增根正的解去掉增根负的解解：专练三：1.若分式方程

2(

的解为

则

解为正数

,求m的取值范围

已知关于

x的方程

4.若方程

5.已知关于

x的方程

有负数根

,求

k的取值范围

的根大于

0，求a的取值范围。已知已知

且分式

求x的值。2可获取最小值为（）求xyz的值、4B、5C、6D、不存在9.若a、b、c满足则的值是（）A、正数B、负数C、零D、正数或负数10.若x取整数，则使分式的值为整数的x的值有（）、3个B、4个C、6个D、8个分式方程的增根与无解(教师版)分式方程的增根与无解分式方程的增根与无解是分式方程中常有的两个看法，同学们在学习分式方程后，经常会对这两个看法混淆不清，认为分式方程无解和分式方程有增根是同一回事，事实上其实不是这样．分式方程有增根，指的是解分式方程时，在把分式方程转变成整式方程的变形过程中，方程的两边都乘了一个可能使分母为零的整式，进而扩大了未知数的取值范围而产生的未知数的值；而分式方程无解则是指不论未知数取何值，都不能够使方程两边的值相等．它包括两种状况：（一）原方程化去分母后的整式方程无解；（二）原方程化去分母后的整式方程有解，但这个解却使原方程的分母为0，它是原方程的增根，进而原方程无解．现举例说明以下：例1解方程24x3．解：方程两边都乘以（x+2）（x-2），得2（x+2）-4x=3（x-2）．②解这个方程，得x=2．经检验：当x=2时，原方程没心义，因此x=２是原方程的增根．因此原方程无解．说明显然，方程①中未知数x的取值范围是x≠2且x≠-2．而在去分母化为方程②后，此时未知数x的取值范围扩大为全体实数．因此当求得的x值恰好使最简公分母为零时，x的值就是增根．此题中方程②的解是x＝2，恰好使公分母为零，因此x＝2是原方程的增根，原方程无解．例2解方程．解：去分母后化为x－1＝3－x＋2（2＋x）．整理得0x＝8．由于此方程无解，因此原分式方程无解．说明此方程化为整式方程后，自己就无解，自然原分式方程必然就无解了．因此可知，分式方程无解不用然就是产生增根．无解，则m=——————．解：原方程可化为=－．例3（2007湖北荆门）若方程方程两边都乘以x－2，得x－3=－m．解这个方程，得x=3－m．由于原方程无解，因此这个解应是原方程的增根．即x=2，因此2=3－m，解得m=1．故m=1时，原方程无解．说明由于同学们目前所学的是能化为一元一次方程的分式方程，而一元一次方程只有一个根，因此若是这个根是原方程的增根，那么原方程无解．但是同学们其实不能够因此认为有增根的分式方程必然无解，随着今后所学知识的加深，同学们便会理解其中的道理，此处不再举例．例4当a为什么值时，关于x的方程①会产生增根？解：方程两边都乘以（x+2）（x-2），得2（x＋2）＋ax＝3（x－2）整理得（a－1）x＝－10②若原分式方程有增根，则x＝2或－2是方程②的根．把x＝2或－2代入方程②中，解得，a＝－4或6．说明做此类题第一将分式方程转变成整式方程，尔后找出使公分母为零的未知数的值即为增根，最后将增根代入转变获取的整式方程中，求出原方程中所含字母的值．若将此题会产生增根改为无解，即：当a为什么值时，关于x的方程①无解？此时还要考虑转变后的整式方程（a－1）x＝－10自己无解的状况，解法以下：解：方程两边都乘以（x+2）（x-2），得2（x＋2）＋ax＝3（x－2）整理得（a－1）x＝－10②若原方程无解，则有两种状况：（1）当a－1＝0（即a＝1）时，方程②为0x＝－10，此方程无解，因此原方程无解。（2）若是方程②的解恰好是原分式方程的增根，那么原分式方程无解．原方程若有增根，增根为x＝2或－2，把x＝2或－2代入方程②中，求出a＝－4或6．综上所述，a＝1或a＝一４或a＝6时，原分式方程无解．结论：弄清分式方程的增根与无解的差异和联系,能帮助我们提升解分式方程的正确性,对判断方程解的状况有必然的指导意义．与分式方程根有关的问题分类举例与分式方程的根有关的问题，在近来几年的中考试题中时有出现，现联合近来几年的中考题分类举例，介绍给读者，供学习、复习有关内容时参照。已知分式方程有增根，求字母系数的值解答此类问题必定明确增根的意义：（1）增根是使所给分式方程分母为零的未知数的值。（2）增根是将所给分式方程去分母后所得整式方程的根。利用（1）能够确定出分式方程的增根，利用（2）能够求出分式方程有增根时的字母系数的值。例1.（2000年潜江市）

使关于

x的方程

a产生增根的

a的值是（

）

－2

解：去分母并整理，得：与a没关

由于原方程的增根为x=2，把

x=2代入，得

a2=4因此

故应选

C。例2.（1997年山东省）

若解分式方程产生增根，则m的值是（

）

－1

或－2

B.－1

或2C.1或

2

D.1或－2

解：去分母并整理，得：又原方程的增根是x=0或x，把x=0或x=－1分别代入式，得：m=1故应选C。例3.（2001年重庆市）

0有增根，则a的值为__________。若关于

x的方程

解：原方程可化为：又原方程的增根是例4.（2001

，把年鄂州市）

代入，得：关于x

故应填。的方程会产生增根，求

k的值。增根为

x=3，把

解：原方程可化为：x=3代入，得：

例

5.

又原方程的当k为什么值时，解关于x的方程：只有增根x=1。解：原方程可化为：把x=1代入，得k=3因此当k=3时，解已知方程只有增根x=1。评注：由以上几例可知，解答此类问题的基本思路是：（1）将所给方程化为整式方程；（2）由所给方程确定增根（使分母为零的未知数的值或题目给出）；（3）将增根代入变形后的整式方程，求出字母系数的值。2.已知分式方程根的状况，求字母系数的值或取值范围例

6.（2002

年荆门市）

当k的值为

（填出一个值即可）时，方程只有一个实数根。解：原方程可化为：

要原方程只有一个实数根，有下面两种状况：（1）当方程有两个相等的实数根，且不为原方程的增根，因此由得－1。k=－1时，方程的根为x，吻合题意。2）方程有两个不相等的实数根且其中有一个是原方程的增根，因此由，得k>－1。又原方程的增根为x=0或x=1，把x=0或x=1分别代入得k=0，k=3，均吻合题意。综上所述：可填－1、0、3中的任何一个即可。例7.（2002年孝感市）当m为什么值时，关于x的方程2无实根？解：原方程可化为：要原方程无实根，有下面两种状况：7；4（2）方程的实数解均为原方程的增根时，原方程无实根，而原方程的增根为x=0或x=1，把x=0或x=1分别代入得m=2。7综上所述：当或当m=2时，所给方程无实数解。4例8.（2003年南昌市）有实数根，求m的取值范围。已知关于

x的方程

（1）方程无实数根，由，得

解：原方程化为：

要原方程有实数根，只要方程有实数根且最少有一个根不是原方程的增根即可。（1）当m=0时，有x=1，明显x=1是原方程的增根，因此m=0应舍去。（2）当m时，由

，得。，

又原方程的增根为

x=0或

x=1，当

x=0

时，方程不能立；当。且m时，所给方程有实数根。4评注：由以上三例可知，由分式方程根的状况，求字母系数的值或取值范围的基本思路综上所述：当是：（1）将所给方程化为整式方程；（2）依照根的状况，由整式方程利用根的鉴识式求出字母系数的值或取值范围，注意消除使原方程有增根的字母系数的值。已知分式方程无增根，求字母系数的取值范围9.当a取何值时，解关于x的方程：无增根？的增根为

解：原方程可化为：又原方程x=2或x，把x=2或x分别代入得：或又由

知，a能够取任何实数。5且时，解所给方程无增根。评注：解答此类问题的基本思路是：（1）将已知方程化为整式方程；（2）由所得整式方程求出有增根的字母系数的值和使整式方程有实数根的字母系数的取值范围；（3）从有实数根的范围里消除有增根的值，即得无增根的取值范围。4.已知分式方程根的符号，求字母系数的取值范围的根大于

0，求

a的取值范围。例

9.

已知关于

x的方程

解：原方程可化为：

因此由题意，得：

且

因此

且的根小于0，求k的取值范围。例

10.

已知关于

x的方程

解：原方程可化为：因此由题意，得：因此k评注：解答此类题的基本思路是：（1）求出已知方程的根；（2）由已知建立关于字母系数的不等式，求出字母系数的取值范围，注意消除使原方程有增根的字母系数的值。说明：注意例9与例10的差异，例9有，而例10无这一不等式？请2读者思虑。因此，当怎样解分式方程1．一般法所谓一般法，就是先去分母，将分式方程转变成一个整式方程。尔后解这个整式方程。解原方程就是方程两边同乘以（x＋3）（x－3），约去分母，得4（x－3）＋x（x＋3）=x2－9－2x。2．换元法换元法就是适合地利用换元，将复杂的分式简单化。解析本方程若去分母，则原方程会变成高次方程，很难求出方程的解设x2＋x=y，原方程可变形为解这个方程，得y1=－2，y2=1。y=－2时，x2＋x=－2。∵Δ＜0，∴该方程无实根；当y=1时，x2＋x=1，∴经检验，是原方程的根，因此原方程的根是。3．分组联合法就是把分式方程中各项适合联合，再利用因式分解法或换元法来简化解答过程。4．拆项法拆项法就是依照分式方程的特点，将组成分式方程的各项或部分项拆项，尔后将同分母的项合并使原方程简化。特别值得指出的是，用此法解分式方程极稀有增根现象。例4解方程解将方程两边拆项，得即x=－3是原方程的根。5．因式分解法因式分解法就是将分式方程中的各分式或部分分式的分子、分母分解因式，进而简化解题过程。解将各分式的分子、分母分解因式，得∵x－1≠0，∴两边同乘以x－1，得检验知，它们都是原方程的根。因此，原方程的根为x1=－1，x2=0。6．配方法配方法就是先把分式方程中的常数项移到方程的左边，再把左边配成一个完好平方式，进而能够用直接开平方法求解。∴x2±6x＋5=0，解这个方程，得x=±5，或x=±1。检验知，它们都是原方程的根。因此，原方程的根是x1=5，x2=－5，x3=1，x4=－1。7．应用比率定理上述例5，除了用因式分解法外，还能够够应用合比和等比定理来解。下面以合比定理为例来说明。∴x（x2－3x＋2）－x（2x2－3x＋1）=0，即x（x2－1）=0，∴x=0或x=±1。检验知，x=1是原方程的增根。因此，原方程的根是x1=0，x2=－1。1.1/2x=2/x+3；1/(x+3)+1/(x+6)8.(2-x)/(x-3)+1/(3-x)=19.(X+2)/X=(X+5)/(X+1)10.(x+5)/(x+8)=(x+6)/(x+7)5.5/x^2+x

7.1/(x+2)+1/(x+7)=2.7/(x^2+x)+1/(x^2-x)=6/(x^2-1)3.x/(x+1)=2x/(3x+3)+14.2/x-1=4/x^2-1-1/x^2-x=06.5x/(3x-4)=1/(4-3x)-2答案增补

／

X＋

30＝

600／

X

8.80／

3x

－

1／

3＝

59.80/1.5x+1=80/x+1/310.9/x+15/20=11.两个分数，分母中大数是小数倍数的。1/12＋1/3，这种状况，口算相对简单些，方法是：大的分母就是两个分母的公分母，只要把小的分母扩大倍数，直到与大数同样为止，分母扩大几倍，分子也扩大同样的倍数，即可按同分母分数相加进行口算：1/12＋1/3＝1/12＋4/12＝5/122.两个分数，分母是互质数的。这种状况从形式上看较难，学生也是最感头痛的，但完好能够化难为易：它通分后公分母就是两个分母的积，分子是每个分数的分子与另一个分母的积的和(若是是减法就是这两个积的差)，如2/7＋3/13，口算过程是：公分母是7×13＝91,分子是26(2×13)＋21(7×3)＝47，结果47/91。若是两个分数的分子都是1，则口算更快。如1/7＋1/9，公分母是两个分母的积(63)，分子是两个分母的和(16)。3.两个分数，两个分母既不是互质数，大数又不是小数的倍数的情况。这种状况平时用短除法来求得公分母，其实也能够在式子中直接口算通分，迅速得出结果。可用分母中大数扩大倍数的方法来求得公分母。详尽方法是：把大的分母(大数)一倍一倍地扩大，直到是另一个分母小数的倍数为止。1/8＋3/10把大数10，2倍、3倍、4倍地扩大，每扩大一次就与小数8比较一下，看是否是8的倍数了，当扩大到4倍是40时，是8的倍数(5倍)，则公分母是40，分子就分别扩大相应的倍数后再相(5＋12＝17)，得数为17/40。以上三种状况在带分数加减法中口算方法同样适用。三、记忆性训练高年级计算内容拥有广泛性、全面性、综合性。一些常有的运算在现实生活中也经常碰到，这些运算有的无特定的口算规律，必定经过增强记忆训练来解决。主要内容有：1.在自然数中10～24每个数的平方结果；2.圆周率近似值3.14与一位数的积及与12、15、16、25几个常有数的积；3.分母是2、4、5、8、10、16、20、25的最简分数的小数值，也就是这些分数与小数的互化。以上这些数的结果不论是平时作业，还是现实生活，使用的频率很高，熟练掌握、牢记后，就能转变成能力，在计算时产生高的效率。四、规律性的训练1.运算定律的熟练掌握。这方面的内容主要有五大定律：加法的交换律、联合律；乘法的交换律、联合律、分配律。其中乘法分配律用途广形式多，有正用与反用两方面内容，有整数、小数、分数的形式出现。在带分数与整数相乘时，学生经常忽略了乘法分配律的应用使计算复杂化。2000/16×8，用了乘法分配律能够直接口算出结果是，用化假分数的一般方法计算则耗时多且简单错。其他还有减法运算性质和商不变性质的运用等。2.规律性训练。主若是个位上的数是5的两位数的平方结果的口算方法(方法略)。3.掌握一些特例。如较常碰到的在分数减法中，通分后分子部分不够减，经常减数的分子比被减数的分子大1、2、3等较小的数时，不论分母有多大，均能够直接口算。12/7-6/7它的分子只相差1，它差的分子必然比分母少1，结果不用计算是6/7。又如：194/99-97/99，分子部分相差2，它差的分子就比分母少2，结果就是97/99。减数的分子比被减数的分子大3、4、5等较小的数时，都能够迅速口算出结果。又如任意两位数与1.5积的口算，就是两位数再加上它的一半。以上是我给学生在做计算题时的一些建议，下面我介绍一下初中生在计算时经常出现失误的地方，希望学生在进行这些方面的计算时能够投入多一些的注意力。1、去括号、去分母要注意括号、分数前面的符号，若是是负号，那么各项都要变号！2、解方程、解不等式时要注意移项要变号3、去分母时保证等式(不等式)的两边同乘，每一项都要乘，特别是常数项不要忘。4、通分(约分)时要保证分式的分子、分母同时扩大(减小)同样的倍数。二.培养学生优异的计算习惯。1、培养认真审题的习惯。审题时要做到：一看（看清题中的数字和符号）；二划（在试题上标出先算哪一步，后算哪一步）；三想（什么时候用口算，什么时候用笔算，可否能够用简算）；四算（认真动笔计算）。2、培养认真演算的习惯。训练学生作题要有耐心，不急躁，认真思虑，即使做简单的计算题也要谨慎。演算时要书写工整，格式规范。就是在稿本纸上计算也要书写清楚，方便检查。3、培养及时检验的习惯。检查时要耐心认真，逐一检查。一查运算序次；二查数字和符号，三查演算过程。即计算结束时，要检查每一步的运算可否正确；检查数字、符号抄写可否正确，检查每一步的得数可否正确。4、培养巧妙估计的习惯。一是计算前进行估计，可预计出得数的范围；二是计算后进行估算，可判断出得数可否正确合理。怎么解决呢？我建议：第一，读题认真，重点的地方要画出来，象不满足条件的，非零实数等等。第二，先解析清楚在动笔答题，不要做一步想一步。第三，把基础知识记牢固，记灵便，用起来不至于不会变形拓展。第四，稿本纸上的答题也要一笔一划，自己和步骤清楚，这样不至于自己写的字自己都认不出，而且还能够在检查的时候看看那处步骤不对。第五，口算能够，但要在自己能力范围之内，也就是一步两步能够，百分之百正确能够。超越太大就要拿出笔来计算和记录了。第六，必然要检查。练习和考试都要有这步，这是特别重点的。第七，不要急躁，除掉紧张，稳稳固当的做题，踏扎实实的考试。第八，多练多想多总结，形成完满的知识系统和解题思路，熟能生巧。不认真审题，是影响学生解题质量的重要原因，自然也是影响学生解计算题质量的重要原因.不认真审题是一种特别不好的解题习惯，但是，有这种不良习惯的高中学生不是个其他.下面从两个例题，看看学生在审题这个环节上存在的问题.例1不等式的解集是_____________.[正确答案]原不等式可化为，，不等式的解集为.[错解]在一次作业中，有50%以上的学生错将看作，进而以致错误答案.错解解析：其实，很多学生会把写成，由于他们经常漏写括号.例2抛物线的准线方程是，则的值为（）A.B.D.[正确答案]由于，抛物线的标准方程是，且张口方向向下，因此，，，准线方程是.选B.[错解]在一次作业中，有30%以上的学生是这样解的：由于，因此，选D.错解解析：错将当作的标准方程，进而以致错误.谈论：有相当数量的学生在解计算题时，急于求成，题目没看清就开始做，这样就难免把条件看错.近似的差错还有：把圆（或球）的直径看作半径、把椭圆的长轴看作长半轴等等.在我看来，正确的解题程序是，依照一份作业（试题）量的大小，先准备好一份相应的稿本纸，尔后将稿本纸（16K或A4大小）对折，依照先左后右的序次一题题地做下去，给每道题以足够的演算空间，当你认为计算结果正确无误或完好有了正确的解题思路此后，再将答案或解题过程填写在作业本（或答题卷）上，这样做就不简单出差错.在高考阅卷已改成网上阅卷，对学生的答题空间有严格的限制的大背景下，合理地使用稿本纸是特别必要的.但是，实质状况其实不是这样，下面几种状况你必然会看到。状况1直接在试卷演出算，即在题与题之间的空白处演算，他不论空间够与不够。若是空间不够了，那他就会随手抓一张纸再接着算，甚至在课本上算.状况2任意找一张纸打稿本，不论空间够与不够，等到空间不够了再找其他的纸打稿本.状况3诚然配了相应的稿本纸，比方考试时发稿本纸，痛惜的是他也不会合理地使用.横着写，竖着写，想在哪里写，就在哪里写，潦潦草草，涂涂改改，大大降低了稿本纸的使用效率.为了检查学生在考试中使用稿本纸的状况，在征得有关领导赞成后，我将我校2007年高中数学会考莲花庄校区第24考场30名考生的考卷和稿本纸从教育处调出来，研究了一番.结果表示：30名学生中，15人占50%的人的稿本纸获取充分合理的使用，在这些同学的稿本纸上，空间分配适合，书写规范，程序清楚，在稿本纸演出算的每道题的过程都如数家珍.依照稿本纸供应的有关信息，我得知，这15位同学数学会考成绩都是A等，据认识这15位同学平时做作业的习惯就比较好，考出好成绩那是自然的.但是，别的15名同学即50%的同学的稿本纸反响出来的问题就比很多了.其中，有3位同学的稿本纸几乎是空白的，他们的选择题、填空题就做在试卷的空挡中，解答题就直接做在答题卷上了，看来这几位同学平时就没有使用稿本纸的习惯，哪里有空就在打稿本，这种做法很简单出差错，成绩差就不奇怪了.其他13位同学的稿本纸都比较乱，东一题，西一题，一点计划都没有，其中还有一位同学的稿本纸几乎一团糟！这是平时养成的坏习惯，即即是考试也是改但是来的.看到这些同学考试所用的稿本纸，他们的考试成绩你可想而知.这考据一句话：考试是平时学习状况的集中反响，这话一点都不假.下面联合此次考试的最后一道试题再对学生的解题习惯作一些详尽的解析.例3已知椭圆的一个极点为，焦点在轴上,且其右焦点到直线的距离为.(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)试问可否找到一条斜率为的直线与椭圆交于两个不同样点、,且使得，并求出的取值范围.[正确答案](Ⅰ)由题意得.设，右焦点，，，.(Ⅱ)设直线方程.由消去得，设中点为，则，，，代入，得，，因此，.在30份考生的草稿纸中，有两份稿本纸引起我的注意，他们错也太痛惜了.[错解1]在第(Ⅱ)步中，将标成，如图1，在求直线斜率时得出，，代入，得，错解1解析：将写成，小小失误酿成大差错.[错解2]在第(Ⅱ)步中，化简，将代入*，得错解2解析：这是忙中出错.在化简不等式，把符号弄错了.若是将化简分成两步进行，先与两项的抵消，尔后再不等式两边同时除以12，就可以防范出错.痛惜他是两步一起做的.谈论：稿本纸是我们研究解题思路，考据解题思路的最好路子，应该给予足够的重视.但是，同学都认为反正是打草图，打起来就过于草率.因此近似差错还有很多，比方，将焦点在轴上的曲线画成在轴上的曲线等等.解分式方程(1)学习内容:1.5学习目标:分式方程(1)1.会依照定义鉴识分式方程与整式方程，认识分式方程增根产生的原因，掌握验根的方法。掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法。浸透转变思想。学习重点:分式方程的去分母及根的检验学习难点:方程根的检验及产生增根的原因学习过程:一.创立状况，引入新课1.出示p32状况问题：（1）此题中的主要等量关系是什么？（2）若是设走线路―的平均车速为x千米/小时，可列怎样的方程？（3）该方程与我们学过的一元一次方程有什么不同样？与学生谈论后获取题中的等量关系，并列出方程：25x-301.5x=再举例：如，，等，3x让学生观察这些方程与以前学过的方程有什么不同样之处？待学生说出后，师生共同归纳得出分式方程的看法：板书：像这样分母中含有未知数的方程叫做分式方程二.理解应用，体验成功。1.你可否依照分式方程的看法举一些分式方程的例子呢？（学生举例）如：2.做一做：以下方程中，哪些是分式方程，哪些不是分式方程？为什么？x－11（1）2x＋=10（2）x－5x12xx－1（3）－3=0（4）＋2x＋132既然我们已经清楚了什么样的方程是分式方程，那么分式方程你会解吗？让我们来看这样一题：3.例.解方程:x＋332－x1（1）=－22x－44x－33－x解析：这样的方程你以前解过吗？你以前解过什么方程？那你能不能够把这些方程转变成你会解的方程呢？怎么转变呢？解：（略）解后小结：（1）数学思想：转变思想，把分式方程转变成整式方程（2）方法：去分母，方程两边同乘以最简公分母，突出最简（3）验根：分式方程根的检验是必不能少的步骤，由于方程两边同乘以最简公分母有可能使求的x的值不是原方程的根（4）增根：使分母为零的根叫增根，增根应该舍去。（5）漏乘：去分母时当某一项为哪一项整式时应把它看作是分母是1，不要漏乘。请依照以上方法独立完成课内练习：4.课内练习：解以下方程2x－3163（1（2）=x＋631－x21－x2x（3）＋1=（注意不要漏乘）1－x1＋x三.合作谈论，延伸提升2mx当m为什么值时，去分母解方程＋2＝0会产生增根。x-2x-4四.理顺思路，归纳小结让学生归纳小结本节课的知识点和重难点：1、分式方程的定义。2、解分式方程的思路及步骤3、转变思想五.部署作业，解分式方程及增根_无解的典型问题含答案2分式方程有增根，则a=-------答案：解关于x的方程以下说法正确的是（C）方程的解为当时，方程的解为正数C.当时，方程的解为负数D.无法确定若分式方程无解，则a的值为-----------答案：1或-若分式方程=1有增根，则m的值为-------------答案：-分式方程有增根，则增根为------------答案：2或-1关于x的方程有增根，则k的值为-----------答案：1若分式方程无解，则a的值是----------答案：若分式方程无解,则m的取值是------答案：-1或-若关于x的方程无解，则m的值为-------答案：6，若关于x的方程无解，求m的值为-------答案：关于x的方程分式方程应用题分类讲解与训练一、行程中的应用性问题例1甲、乙两个车站相距96千米，快车和慢车同时从甲站开出，1小时后快车在慢车前12千米，快车比慢车早40分钟到达乙站，快车和慢车的速度各是多少？练习、甲、乙两地相距828km，一列一般快车与一列直达快车都由甲地开往乙地，直达快车的平均速度是一般快车平均速度的1.5倍．直达快车比一般快车晚出发2h，比一般快车早4h到达乙地，求两车的平均速度．例3A、B两地相距87千米，甲骑自行车从A地出发向B地驶去，经过30分钟后，乙骑自行车由B地出发，用每小时比甲快4千米的速度向A地驶来，两人在距离B地45千米C处相遇，求甲乙的速度。练习、某客车从甲地到乙地走全长480Km的高速公路，从乙地到甲地走全长600Km的一般公路。又知在高速公路上行驶的平均速度比在一般公路上快45Km，由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由一般公路从乙地到甲地所需时间的一半，求该客车由高速公路从甲地到乙地所需要的时间。4一队学生去校外参观．他们出发30分钟时，学校要把一个紧急通知传给带队老师，派一名学生骑车从学校出发，按原路追赶队伍．若骑车的速度是队伍前进速度的2倍，这名学生追上队伍时离学校的距离是15千米，问这名学生从学校出发到追上队伍用了多少时间？练习：农机厂职工到距工厂15千米的生产队检修农机，一部分人骑自行车先走，40分钟后，其他的人乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是自行车的3倍，求两车的速度．二、工程类应用性问题例1甲乙两个工程队合作一项工程，两队合作2天后，由乙队单独做1天就完成了全部工程。已知乙队单独做所需天数是甲队单独做所需天数的

1倍，问甲乙单独做各需多少

1天？

2例

2

甲、乙两个学生分别向计算机输1500个汉字，乙的速度是甲的3倍，因此比甲少用20分钟完成任务，他们平均每分钟输入汉字多少个？练习1：某农场原计划在若干天内收割小麦960公顷，但实质每天多收割40公顷，结果提前4天完成任务，试求原计划一天的工作量及原计划的天数。2、一台甲型拖拉机4天耕完一块地的一半，加一天乙型拖拉机，两台合耕，1天耕完这块地的另一半。乙型拖拉机单独耕这块地需要几天？3.某项工程，需要在规定的时间内完成。若由甲队去做，恰能如期完成；若由乙队去做，需要高出规定日期三天。现在由甲乙两队共同做2天后，余下的工程由乙队单独去做，恰幸好规定的日期内完成，求规定的日期是多少天？74、甲乙两个水管同时向一个水池注水,一小时能注满水池的8,若是甲管单独注水40分,1再由乙管单独注水半小时,共注水池的2,甲乙两管单独注水各需多少时间才能注满水池?三、营销类应用性问题例1某校办工厂将总价值为2000元的甲种原料与总价值为4800元的乙种原料混淆后，其平均价比原甲种原料每千克少3元，比乙种原料每千克多1元，问混淆后的单价每千克是多少元？练习1.某商场销售某种商品，一月份销售了若干件，共获取利润30000元;二月份把这种商品的单价降低了0.4元，但是销售量比一月份增加了5000件，进而获取利润比一月份多2000元，调价前每件商品的利润为多少元？2、小明和同学一起去书店买书，他们先用15元买了一种科普书，又用15元买了一种文学书，科普书的价格比文学书的价格高出一半，因此他们买的文学书比科普书多一本，这种科普和文学书的价格各是多少？3．某文化用品商店用2000元购进一批学生书包，面市后发现供不应求，商店又购进第二批同样的书包，所购数量是第一批购进数量的3倍，但单价贵了4元，结果第二批用了6300元。（1）求第一批购进书包的单价是多少元？（2）若商店销售这两批书包时，每个售价都是120元，全部售出后，商店共盈利多少元？四、轮船顺逆水应用问题例1轮船顺水、逆流各走48千米，共需5小时，若是水流速度是4千米/小时，求轮船在静水中的速度。练习1.轮船在顺水中航行30千米的时间与在逆水中航行20千米所用的时间相等，已知水流速度为2千米／时，求船在静水中的速度。2、轮船顺水航行80千米所需要的时间和逆水航行60千米所用的时间同样。已知水流的速度是3千米/时，求轮船在静水中的速度。五、其他应用性问题例1要在15%的盐水40千克中加入多少盐才能使盐水的浓度变成20%．练习、甲容器中有15%的盐水30升，乙容器中有18%的盐水20升，若是向两个容器各加入等量的水，使它们的浓度相等，那么加入的水是多少升？1、某校招生录取时，为了防范数据输入出错，2640名学生的成绩数据分别由两位程序操作员各向计算机输入一遍，尔后让计算机比较两人的输入可否一致，已知甲的输入速度是乙的2倍，结果甲比乙少用2小时输完。问这两个操作员每分钟各能输入多少名学生的成绩？2、供电局的电力维修工要到30千米远的郊区进行电力抢修，技术工人骑摩托车先走，15分钟后，抢修车装载这所需资料出发，结果他们同时到达，，已知抢修的速度是摩托车的1.5倍。求这两种车的速度。3、某大商场家电部送货人员与销售人员人数之比1：8，今年夏天由于家电购买量明显增加，家电部经理从销售人员中抽调了22人去送货，结果送货人员与销售人员人数之比位2：5.求这个商场家电部原来各有多少名送货和销售人员？4、甲、乙两辆汽车同时分别从A、B两城沿同一条高速公路驶向C城。已知A、C两城的距离为450千米，B、C两城的距离为400千米，甲车比乙车的速度快10千米/时，结果两辆车同时到达C城。求两车的速度。5、某厂储蓄了350t煤，由于改进炉灶结构和烧煤技术，每天能节约2t煤，使储蓄的煤比原计划多用了20天。若设原计划用x天，则依照每天能节约2t煤的关系列方程：若设原计划每天烧yt煤，则依照储蓄的煤比原计划多了20天的关系列方程：6、在2008年春运时期，我国南方出现大范围冰雪灾害，以致某地电路断电，该地供电局马上组织电工进行抢修。已知供电局距离抢修工地15km，抢修车装载这所需资料先从供电局出发，15min后，电工乘吉普车从同乙地点出发，结果他们同时到达抢修工地，又知吉普车速度是抢修车速度的1.5倍。若设抢修车的速度位xkm/h，则依题意可列方程：7、某市为治理污水，需要铺设一段全长位3000m的污水输送管道，为了尽量减少施工队城市交通所造成的影响，实质施工时每天的工效比原计划提升25%，结果提前30天完成任务。若设原计划每天铺设xm，则依题意可列方程8、某运输企业需要装运一批货物，先用人工装运，6h完成了一半任务，今后机械装运和人工装运一起进行，1h完成了后一半任务。若是设单独采用机械装运xh能够完成后一半任务，那么x满足的方程为9、学校要举行跳绳比赛，同学们都积极练习。甲同学跳180个所用的时间与乙同学们跳240个所用的时间同样。又已知甲每分钟比乙少跳5个，求每人每分钟各跳多少个？10、两个小组同时开始登攀一座450m高的山，第一组的登攀速度是第二组1.2倍，他们比第二组早15min到达顶峰。两个小组的登攀速度各是多少？11、在5.12大地震难民部署工作中，某企业接到一批生产甲种板材24000m2和乙种板材12000m2的任务。已知该企业安排140人生产这两种板材，每人每天能生产板材30m2.问：应分别安排多少人生产甲种板材和乙种板材，才能保证他们用同样的时间完成各自的生产任务？12、某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需的时间与原计划生产450台机器所需的时间同样。现在平均每天生产多少台机器？13、一台收割机的工作效率相当于一个农民工作效率的150倍。用这台机器收割10公顷小麦比100个农民人工收割这些小麦要少1h。这台收割机每小时收割多少公顷小麦？14、某乡要修一条堤坝，规定x天完成。若由甲队单独做，恰能如期完成；若由乙队单独做，则要高出规定日期3天完成。现由甲、乙两队合作2天，余下的工程由乙队单独做，恰能如期完成，问：规定日期是多少天？15、2008年5月12日14h28min，四川汶川发生了8.0级大地震，震后两小时，武警某师顾问长王毅授命率队伍乘车迅速向汶川县城开进。13日清早1h15min，车行至古尔沟，巨大的山体塌方将道路完好拥堵，队伍无法连续前进，王毅毅然决定率当先遣分队徒步向汶川挺进，到达理县时为救援当地受难公众而耽搁了1h，随后，先遣分队步行速度提升1/9，于13日23h15min赶到汶川县城。（1）设先遣分队从古尔沟到理县的步行平均速度为xkm/h,依照题意填写下表(2)依照题意及表中所得的信息列出方程，并求出先遣分队徒步从理县到汶川的平均速度是每小时多少千米？16、某商厦用8万元购进一种衬衫，销完后又用17.6万元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批的2倍，但购入单价贵了4元。若设第一批购进

x件，则

x满足的方程位

，解之得

x=

。已知商厦销售这种衬衫时每件定价都是

56元，最后剩下

150件按八折售完。在这两笔买卖中，该商厦共盈利

元。17、甲、乙两班学生参加植树造林，已知甲班每天比乙班多植5棵，甲班植80棵所用的天数与乙班植70棵所用的天数相等。若设甲班每天植x棵，则依题意可得方程18、x各同学包租一辆车去景点旅游，租金位180元，出发时增加了2个同学，结果每个同学比原来少分摊3元，则x满足的方程为19、2004年12月28日，我国第一条城际铁路——合宁铁路（合肥至南京）正式动工建设，建成后，合肥至南京的铁路运行里程将由目前的312km缩短至154km，设计时速是现行时速的2.5倍，旅客列车运行时间将因此缩短约，求合宁铁路的设计时速。20、甲、乙两地相距19千米，某人从甲地去乙地，先步行7千米，尔后改骑自行车，共用了2小时达到乙地，已知这个人骑自行车的速度是步行速度的4倍，求步行的速度和骑自行21、张明4小时清点完一批图书的一半，李强加入清点另一半图书的工作，两人合作1小时清点完另乙半