微积分II-1-1.3-1.4易 数列的极限 函数的极限课件

第1章

函数，极限与连续1.3数列的极限极限概念的引入极限概念是的.我国古代数学家刘徽(公元3世纪)形来推算圆面积的方法:割圆术,就是极限思想在几何学上的应用.利用圆内接正多边由于求某些实际问题的精确解答而产生高等数学中的几乎所有基本概念都是建立在极限概念的基础上.数列的定义定义按一定次序排列的无穷多个数称为无穷数列,简称数列.可简记为其中的每个数称为数列的项,称为通项(一般项).数列举例:数列的极限观察数列当时的变化趋势.实验表明:当无限增大时,上述数列无限接近于1.定义（描述性）设有数列与常数如果当无限增大时，无限接近则称数列收敛于或称是数列的极限.问题:当无限增大时,是否无限接近于某一确定的数值?如何用数学语言刻画“无限接近”？数列的极限定义回顾记号:---存在.数列无限接近数的数学描述:是否使当时,任意;---恒有设有数列与常数如果对于(不论它多么小),总使当时,恒有则称数列或称是数列的极限,记作收敛于或数列的极限如果数列没有极限,就说数列是发散的.（1）定义中的与任意给定的正数有关.定义:N-e使当时,注:（2）数列极限的定义未给出求极限的方法.定义论证法:N-e（1）对于由开始分析倒推，推出(2)取再用语言顺述结论.例1证明证故对任给要使只要即所以,则当时,就有即由若取例4设且求证证任给由要使即要对当时,例5用数列极限定义证明证由于只要即因此,对任给的当时,即要使取有成立,收敛数列的有界性定义对数列若使对恒有则称数列有界,否则,称为无界.例如,数列有界;数列无界.几何解释:存在使得数轴上对应于有界数列的点都落在闭区间上.收敛数列的有界性则对一切自然数皆有故有界.注:有界性是数列收敛的必要条件.推论无界数列必定发散.（逆反命题）定理1收敛的数列必定有界.证设由定义,若取则使当时,恒有即:若记注:有界数列不一定收敛.例如，极限的唯一性定理收敛数列的极限是唯一的.证用反证法,设由定义,使得当时,恒有当时,恒有取则当时有上式仅当时才能成立.证毕.例7证明数列是发散的.证设由定义,对于使得当时,恒有即当时,区间长度为1.而无休止地反复取1,-1两个数,不可能同时位于长度为1的区间内.因此该数列是发散的.证毕.注:此例同时也表明:有界数列不一定收敛.定理3(收敛数列的保号性)若且(或),则存在正整数当时,都有(或).证只证的情形.按定义,对正整数当时,有证毕.推论若数列从某项起有(或且则(或定理4(收敛数列与其子数列间的关系)如果数列收敛于那么它的任一子数列也收敛,且极限也是子列的收敛性证设数列是数列的任一子数列.由故正整数当时,恒有取则当时,于是即证毕.注:定理4的逆否命题知,若数列有两个子数列收敛于不同的极限,则数列是发散的.例如,考察数列其子数列收敛于1,而子数列收敛于-1,因此数列是发散的.此例说明:一个发散的数列也可能有收敛的子数列.子列的收敛性自变量趋向无穷大时函数的极限观察函数当时的变化趋势.问题:如何用数学语言刻画下述过程:函数“无限接近”确定值)(xf.当时,®x¥要点:(1)过程(2)函数与无限接近:有自变量趋向无穷大时函数的极限定义:设函数当大于某一正数时有定义.如果对(不论它多么小),总是使得对于满足不等式的一切恒有那么常数就叫函数当时的极限,记作或(当自变量趋向无穷大时函数的极限单侧极限:情形:即使当时,恒有情形:使当时,恒有定理且即例1证明证因为于是可取则当时,恒有故证毕.例2用极限定义证明，证对于任意给定的要使只要就可以了.因此，取则当时，时，当恒成立.所以时，当注

：同理可证：当时，自变量趋向有限值时函数的极限问题:如何用数学语言描述下述过程:在的过程中,函数无限趋近于确定值要点:(1)过程体现与的接近程度.(2)函数与无限接近:有定义若对(不论它多么小),使当时,函数都满足不等式设函数在点的某一去心领域内有定义.自变量趋向有限值时函数的极限则常数就称为函数当时的极限.记作或(当总是de-定义使当时,恒有注意:1.无关;2.与任意给定的正数有关.在点处是否有定义函数极限与自变量趋向有限值时函数的极限例4(1)证明(2)(3)例5证明:当时,证任给要使只要且则当时,就有取,例6证明证：任给要使只要即可.取当时，自然有证毕.左右极限左极限使当时,恒有记作或右极限使当时,恒有记作或定理例7设求解因为即有所以不存在.例8设求解在处没有定义,而故不存在.函数极限的性质与收敛数列的性质相比较,可得函数极限的一些相应性质.下面仅以的极限形式为代表给出这些性质,至于其他形式的极限的性质,只需作出些修改即可得到.唯一性定理若存在,则极限唯一.有界性定理若则存在常数和使得当时,有函数极限的性质(或推论若且在的某去心邻域内(或则(或保号性定理若且(或则使得当时,有子序列收敛性定义设在过程可以是或中有数列使得时则称数列为函数当时的子序列.定理若数列是当时的一个子序列,则有子序列收敛性证使当时,恒有又且对上述使当时,恒有从而有故定理若数列是当时的一个子序列,则有函数极限与数列极限的关系函数极限存在的充要条件是都存在且相等.例如,