2022年中考专题复习：几何探究压轴题

2022年中考专题复习：几何探究压轴题.如图1矩形A8C。中，点E是CO边上的动点(点E不与点C,。重合)，连接AE,过点A作AF_LA£交延长线于点尸，连接EF,点G为E尸的中点，连接8G.⑴求证：aADEsaABF:⑵若AB=20,AO=10设£>E=x点G到直线BC的距离为>.①求y与x的函数关系式；FC24②当生=胃时，X的值为；oO13(3汝口图2,若AB=BC,设四边形488的面积为S,四边形BCEG的面积为'当号=；S时，DE：0c的值为.在RtAABC中，NA=90。，AB=AC=50，点。为AB边上一点，AD=2a,点P为BC边上一点,连接DP,将。尸绕点。逆时针旋转90。得到线段OQ,连接尸Q.(1)83=,OP的最小值是；(2)当NBPQ=15。时，求8尸的长；(3)连接BQ,若ABO。的面积为3,求tan/BOQ的值.

.aABC中，8。_LAC于点3,点尸为射线B£＞上任一点(点8除外)连接AP,将线段R4绕点尸顺时针方向旋转a,a=ZABC,得到PE,连接CE.(1)观察发现:(1)观察发现:;8c与CE的位置关系是且NABC=60。时，;8c与CE的位置关系是(2)猜想证明：如图2,当8A=8C,且NABC=90。时，请写出BP与CE的数量关系及8C与CE的位置关系，并说明理由.(3)拓展探究：在(2)的条件下，若A8=8,AP=5近,请直接写出CE的长BC的中点，点P是直线DE上一点，连接AP,将.在ZJA8C中，AB=AC,BC的中点，点P是直线DE上一点，连接AP,将线段出绕点P顺时针旋转90。得到线段PM,连接AM,CM.(1)问题发现图⑵备用图(1)问题发现图⑵备用图,^ACM=如图(1).当点P与点。重合时，线段CM与PE,^ACM=(2)探究证明当点P在射线EQ上运动时(不与点E重合)，(1)中结论是否一定成立？请仅就图(2)中的情形给出证明.(3)问题解决Ar连接PC,当』PCM是等边三角形时，请直接写出隹的值.PE.已知：在正方形ABC。中，点E是边A8上点，点G在边A。上，连接EG,EG=DG,EFLEG,交边BC于点尸(图1).⑴求证：AE+CF=EF；(2)连接正方形A8CD的对角线AC,连接£>广，线段AC与线段。户相交于点K(图2),探究线段AE、AD.AK之间的数量关系，直接写出你的结论；(3)在⑵的条件下，连接线段DE与线段AC相交于点P,(图3)若AK=8母.MEF的周长为24,求PK的长..定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称"直等补'’四边形，根据以上定义，解决下列问题:⑴如图1,正方形ABC。中，E是CD上的点，将ABCE绕8点旋转，使8c与8A重合，此时点E的对应点E在DA的延长线上，则四边形BE。尸为"直等补''四边形，为什么？(2)如图2,已知四边形ABC。是“直等补”四边形，AB=BC=5,CD-I,AD>AB,点8到宜线A。的距离为BE.①求BE的长.②若M、N分别是AB、4。边上的动点，求AMNC周长的最小值..已知，80是菱形ABC。的对角线，△OEF是直角三角形，NEDF=90。,NDEF=^NA,连接8E,点G是8E的中点，连接CG、BF.(1)当NA=90。时，①如图1,若AOEF的顶点E落在线段CO上时，请直接写出线段CG与线段BF的数量关系：②如图2,当AOEF的顶点E落在线段83上时，①中线段CG与线段8尸的数量关系是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由.同学们经过讨论，探究出以下解决问题的思路：思路一：连接4C,记A与8。相交于点O,AC与BF相交于点M,再利用三角形全等或相似的有关知识来解决问题.思路二：记A。与EF交于点“，易知”是EF的中点，连接C”，将△C£W绕点C顺时针旋转90。，再利用旋转的性质、三角形全等或相似的有关知识来解决问题.请参考上述思路，完成该问题的解答过程(一种方法即可)(2)当NA=120。时，如图3,若△。灯的顶点E落在线段CC上时，请直接写出线段CG与线段BF的数量关系..在△ABC中，AB=AC,N8AC=120。，点尸在线段AC上，连接8F,延长CA至点3,连接80,满足/ABF=ZABD,”是线段BC上一动点(不与点8、C重合)，连接DH交BF于点E,交AB于点G.(D如图①，若/ABF=NFBC,BD=2,求。C的长；(2)如图②，若NCDH+NBFD弓NDEF,猜想40与CH的数量关系，并证明你猜想的结论:(3)如图③，在(1)的条件下，P是△BCD内一点，连接BP,DP,满足/82。=150。，是否存在点尸、H,使得2PH+CH最小？若存在，请直接写出2PH+C”的最小值.9.正方形A8C。，点E在边BC上，连AE.⑴如图1,若tanNE4C=；,AB=4,求EC长；(2)如图2,点F在对角线AC上，满足= 过点F作对人AC交8于G,点H在线段FG上(不与端点重合)，连接 若NE4〃=45。，求证：EC=HG+y/iFC;(3)如图3,在(1)的条件下，G是40中点，点”是直线C。上的一动点，连G4,将aDG“沿着G"翻折得到△PGH,连PB交AE于Q,连孙、PD,当BP最小值时，请直接写出△/W)的面积..如图①，点E为正方形ABCC内一点，ZAEB=90°,将RsABE绕点B按顺时针方向旋转90。，得到△CBE(点A的对应点为点C).延长AE交CE于点F,连接。E.猜想证明:(1)四边形8ETE的形状是；(2汝口图②，若ZM=OE,请猜想线段C尸与尸E的数量关系并加以证明;(3)如图①，若48=15,CF=3,求OE的长..在等边aMC中，点。，E分别在边AB,BC上运动，以OE为边向右作等边a£)EF,设AO=SE.(1)如图1,求证：NCEF=NBDE；(2)如图1,连接C凡请你从下列三个选项中，任选一个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题，并加以证明；①k=2；②CT平分4CB；③A£>,BE,C尸三条线段构成以AO为斜边的直角三角形.AF)(3汝口图2,A=-,连接AF,8b当A尸+8/取得最小值时，求工大的值.AB12.如图①，在正方形ABCQ中，B为边BC上一点，连接AE,过点。作ONLAE交4E、AB分别于点尸、N.A DA DA DBECBeCBeC图① 图② 图③(1)求证：4ABEmADAN；(2)若E为8c中点，①如图②，连接AC交OP于点求CM：AM的值；②如图③，连接CF,求tanNCFE的值.13.如图，在等腰直角三角形ABC和AOE中，AC=AB,AD=AE,连接80,点M、N分别是8。，BC的中点,连接MM(1)如图1,当顶点。在边4c上时，请直接写出线段BE与线段MN的数量关系是,位置关系是.(2)当A40E绕点4旋转时，连接BE,上述结论是否依然成立，若成立请就图2情况给出证明：若不成立，请说明理由.(3)当AC=5时，在A4DE绕点A旋转过程中，以。，E,M,N为顶点可以组成平行四边形，请直接写出4。的长.14.矩形纸片A8C。中，AB=4.图① 图② 图③ 图④实践思考：(1)连接8。，将纸片折叠，使点8落在边上，对应点为E,折痕为G”,点G,〃分别在A8,BD上.若AO=6AB,如图①.①80=,tanZADB=；②若折叠后的AAGE为等腰三角形，则△£>“£为 三角形；③隐去点E,G,H,线段GE,EH,折痕GH,如图②，过点。作。FLB。交BC的延长线于点F,连接4RAC,则S*C/= :⑵若AO=(应+1)A8,如图③，点M在AO边上，HAM=AB,连接求的度数；拓展探究：(3)若AO=&AB,如图④，N为边AO的中点，P为矩形4BCQ内一点，连接BP,CP,满足NBPC=90。，。是边

A8上一动点，则PQ+QN的最小值为.AABC为等腰直角三角形，ZBAC=90°,AB=AC,点。为8c的中点，连接A。，在线段A。上有一点M,连接CM,以A仞为直角边，点A为直角顶点，向右作等腰宜角三角形AMN.图1 图2 图3(1)如图1,若sinNMCO=g,CD=4,求线段MV的长；(2)如图2,将等腰直角三角形AMN绕点A顺时针旋转a。(0。＜0(。＜45。)，连接CM、DM、CN,若DM〃CN,求证：4DM2+CN2=CM2；(3)如图3,线段MN交线段AC于点E,点P、点。分别为线段BC、线段AC上的点，连接PM、QN,将△OPM沿翻折得到AO'PM,将△EQN沿QN翻折得到AEQV,若8c=8,在线段8C上找一点尸，连接FD\FE,请直接写出FD+FE的最小值..如图，在菱形ABCZ)中，ZBAD=120°,将边48绕点A逆时针旋转至48',记旋转角为a.过点。作。尸，BC于点尸，过点8作BE,直线于点E,连接EF.成的值是成的值是(1)填空：当a=60°时，ZEBB'='【验证猜想】

(2)当00<a<360°时，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请仅就图2的情形进行证明；若不成立，请说明理由；【拓展应用】⑶在(2)的条件下，若AB=2五,当八也组是等腰直角三角形时，请直接写出线段EF的长..四边形A8C。、点E在直线BC上，将zMBE翻折得到“压，点8的对应点为点尸恰好落在直线OE上，直线AF交宜线CD于点G.Ak D(1)如图1、当四边形ABCD是矩形时，求证：DA=DE；⑵如图2,当四边形A8CO是平行四边形时，求证：aADGsaDFG；⑶若四边形ABCD是平行四边形，且DB为锐角，8E:CE=3:2,请直接写出4尸:GF的值.18.在AABC中，AB=BC,/ABC=90°.⑴如图1,己知£>EJ_BC,垂足为。，若N£>BE=60。，4c=2&，BD=有,求线段AE的长；(2)如图2,若点。在AA8C内部，点尸是的中点，且NBAO=/C8F,求证：N05尸=45。；(3)如图3,点A与点4关于直线8c对称，点。是aA，AC内部一动点，ZADC=90°.若4>4,则线段的长

是否有最小值，如果有，请直接写出这个最小值；如果没有，请说明理由.19.在△ABC和中，ZAFE=ZABC=90°,ZAEF=ZACB=3Q°,AE=-AC,连接EC.点G是EC中2点，将AAEF绕点A顺时针旋转.(1)如图1,若E恰好在线段4c上，48=2,连接尸G,求尸G的长度；(2)如图2,若点尸恰好落在射线CE上，连接8G,证明：GB=BaB+GC；2(3)如图3,若AB=3,在AAE尸旋转过程中，当GB-(GC最大时，直接写出直线AB,AC,BG所围成三角形的面积.20.20.如图，在正方形ABCZ)中，点尸为C8延长线上一点，连接AP.(1汝口图1,连接PO,若NP£>C=60。，AD=4,求tan/APB的值；(2)如图2,点尸在DC上，连接AF.作Z4总的平分线PE交AF于点E,连接OE、CE,若ZAP8=60。,PA+PC=>/3PE.求证：平分NADF；(3)如图3,在(2)的条件下，点。为AP的中点，点”为平面内一动点，且AQ=MQ,连接PM,以PM为边长作等边△「•'，若BP=2,直接写出8必'的最小值.

21.在边长为2面的正方形21.在边长为2面的正方形A8CC中，点N为血延长线上一点，连接ON.(1)如图1,以BC为边向内作正ABCM,连接MN,当C,M,N三点共线时，求：AAON的面积;(2)如图2,以BC为边向外作正ABCM,连接。M,CP平分NBCQ交QM于点P,(2)如图2,以BC为边向外作正ABCM,连接NP.证明：DN+BN=y[iPN;(3)如图3,当N4NO=45。，点尸为正方形内一任意点，连接BP,CP,DP,NP,当BP+CP+OP取最小值时，直接写出PN?的值.参考答案:1.证明：・.・AE_LAF,.*,ZE4F=90°,・•・四边形A3c都是矩形，/./BAD=ZABC=ZABF=ND=90°,「.ZE4F=ZR4D,.\ZFAB=ZDAE,-ZABF=ZD=90°f:NADEs①如图，作GH上BF于H.vZGWF=ZC=90°,:.GHHEC,,:FG=GE,:.FH=HC,/.EC=2GH=2yf••・DE+EC=CD=AB=2G,x+2y=20,y-——+10(0<x<20).②,••生=竺一BG13・•・可以设EC=24h8G=133EC=2GH,：・GH=12k,・•・bh7gb?—gh?，；・I.FH=CH=5k+U),，FB=10Z+10,,**y=—x+10,TOC\o"1-5"\h\z, 2x—20—24kt,:△ADEsXABF、,ADAB・• = ，DEBF口口10 20Bp： =—,20-24%10)1+10解得：左嗤,. 220••x- ；29II.S|-SG+S&ECB-2S&BFE+S&ECB= (，一。)+/。("一。)'FB=10-10%,1组10 _ 20口由20-24攵-10-10女'解得：％=得，. 20..X=一.19g 220T20综上所述，x=0"或记•(3)如图，连接8E,设DE=a,CD=BC=b,可得：BF=DE=a,b2=2b2—a2+ab—b2=of—1+-=^--!或'―舍)[b)b2 2v'DEx/5-1DC-2

:.b2=2b2-a2-ab9•*.cr-\-ah-br=0,(1)解：由题意可知：BD=AB-AD=50-2Q=3e；当。时，由垂线段最短知。尸的长最小，如下图所示:VZB=45°,ZDPB=90°,...△BPD为等腰直角三角形,：.DP耳邛=3,V2V2故OP的最小值是3.解：过点。作。MLBC于点M,则£>M=MB=3,分两种情况讨论:情况一：当Q点在BC左侧时，如下图所示:BDBD由旋转得，DQ=DP,NPDg90。,：.ZQPD=45°,,:NBPQ=15。,：.ZBPD=30°,:.PM=CDM=3百,：.BP=PM+MB=3y/3+3i情况二：当。点在8c右侧时，如下图所示:'：ZQPD=45°,N8PQ=15°,ZBPD=60°,:.PM=半=6,：.BP=PM+MB=>/3+3,综上所述，8P的值为3G+3或G+3.⑶解：分别过点Q、P作AB的垂线，垂足分别为点G、H,则BH=PH,NQGD=NPHD=90。,：.ZQDG+ZOQG=90。，ZPDH+ZQDG=90°,:.NDQG=NPDH,"：PD=QD,：.^DGQ^/\PHD(44S),:.QG=DH,DG=PH,,••△BOQ的面积为3,.•.；8OQG=3且BO=3及，:.DH=QG=yf2,分两种情况讨论：情况一：当点。在BC左侧时，如上图所示:DG=PH=BH=BD+DH=36+O=4后,tan2BDQ_QGtan2BDQ~DG~4x/2-4情况二：当点Q在BC右侧时，如下图所示:DG=PH=BH=BD-DH=3Q-6=2近,“旃嘿=系=；；综上所述…®吟3.(1)如图，连接AE,A■：BA=BC,且NA8C=60。，...△4BC为等边三角形，AZABC=ZBAC=ZACB=60°,AB=AC,'：PE=PA,且NAPE=a=60。，ZXAPE为等边三角形，ZM£=60°,AP=AE9：.ZBAC-ZPAC=ZPAE-ZPAC,：.ZBAP=ZCAE；[AB=AC在ABA尸和△CAE中，\/BAP=NCAE,[ap=ae:・BP=CE,NABP二NACE,VBD1AC,BA=BCfZABC=60°,・•・NABP=30。,：.ZABP=ZACE=30°,:.NACE+NACB=90。，：.BC±CE.故答案为：BP=CE,BC±CE；(2)CE=42BP9BC.LCE；理由：连接AE,由题意可知：AA3C、A4PE均为等腰直角三角形,ArAFr-：.ZBAC=ZPAE=45°f一=一=V2,ABAP：.ZBAP+ZPAD=ZCAE+ZPADf即NBAP=NCAE；v..ACAE又.南=瓦’AABAP^ACAE,A—=—=>/2,NACE=NABP,BPBA9：AB=BCfBDLAC,:.NABO=NC8D=NAC8=45°=/ACE,，ZBCE=ZBCA+ZAC£M5°+45°=90°,:.BCLCE,:.BCLCE,CE=4iBP；CE=2或14.如图，当点尸在8。上时，连接4E,VAB=8,：.AD=BD=4yf2，"：AP=5>/2,.•.在&AAPD中，PD^^AP2-AD2=342.，8P=4&-3&=&,由(2)知：CE=41BP,CE=V2->/2=2：如图，当点P不在8。上时，连接AE,同理可得OP=3五,ma+3及=7及，，CE=7&.&=14.综上：CE的长为2或14.4.CM=-J1PE，45解法提示：；点。，£分别是AC,8C的中点,/.DE//-AB.二2由旋转知，ZAPM=90°,即AC_LPM.易知nW=A£)=C£>,...ZACM=ZCMD=45°,...△DCM为等腰直角三角形，-'-CM=y/2CD.•：PE=-AB=-AC=CD,2 2CM=历PE.(2)一定成立.证明：在aABC中，AB=AC,N8AC=90°,点E是BC的中点，连接AE,如图，则NE4C=NE4B=45。.:点D,E分别是AC,BC的中点，DE//-AB.=2,ZAEP=ZPAE=45°.VPA=PM,ZAPM=90°,二是等腰直角三角形，/.ZPAM=45°,ZEAC=ZPAM,：.ZEAP=ZCAM,..AE_y/2AP_y[2• = ， = ，AC2AM2.AEAP•・就一而‘・・・AA£P~AACM,XACM=Z.AEP=45°， ==>/2,PEAE:・CM=®PE.

解法提示：当△PCM是等边三角形时，分两种情况讨论.过点户作尸4,CM于点“，延长CM交直线于点F.由（2）知NACM=45。，易得aCD尸和△PF4均为等腰直角三角形.设尸”=a,则"=〃，CH=—a,ACM=—a又由（2）知瞿=&,PE口FC厂a.瓜•PE= CM=—a,2 3,:CF=FH+CH=a+—a,AC=2CD=2x—CF=-J1CF,3 2AC=72=缶+净,AC亿+半②当点P在8c下方时，如图，连接AE,HM同HM同（2）易得△A£P~AACA/,...庄="=也，ZACM=ZAEPtCMAM2PE=—CM,ZACQ=ZAED=45°.2过点尸作P4LCM于点”，延长MC交直线EO于点Q.易得aCE>Q和aPQH均为等腰直角三角形.设PH=b,则Q"=b,CH=—b,ACA/=—3AC综上可知，的值为G+i或G-1.PE5.证明：如图4,连接OF,作。垂足M.:DMIEF,GELEF,：./GEF=NOMF=90。,：.DM//GEf：./MDE=/DEG,9：DG=GEf••△GOE是等腰三角形，:・NGED=/GDE,：./GDE=/EDM,・•在△DAE^ADME中,/ADE=NMDEZA=ZDA/£=90°,DE=DE:・/\DAE义4DME(A4S),:.DM=AD,AE=ME,U：AD=CD,：.DC=DM,在RtLDCF和RmDMF中，[DF=DF[DM=DC'•・/?，△DCFqRlADMF(HL),：.CF=MFf：.AE+CF=EM+MFt:EM+MF=EF,：.AE+CF=EFX解：如图5,连接EK、ED.图5由(1)知，ADAE咨LDME,RmDCFqRfADMF,：.ZADE=NMDE=|NAOM,/CDF=NMDF=y/COM,:.NEDF=NEDM+NMDF=N4OM+gZCDM=-ZADC=45°,VZ£AK=45°,:・NEAK=/EDK,・"、E、K、。四点共圆，・・.NEAD+NEKD=180。,：.ZEKD=ISO°-ZEAD=90°,:.NEDK=45。，•••△EDK是等腰直角三角形，DE2=2DK2,・：S源形AEKD=SaADE+SaKDE=SaAEK+SaKDA,：.；AD・AE+^DK・EK=^AK-AE^inZEAK+^AK*AD^sinZDAKfAD-AE+DK2=AK*AEx+AK-ADx,2 2；DK2=^DE2=^(AE^+AE2),：.AD»AE+^-(A/y+AE2)=®AK・AE+^AK・AD,2 2 2：.2AD'AE+AD2+AE?=y/2AK-AE+42AK-AD,：.(AD+AE)2=0AK(AO+AE),'：AD+AE^0,：.AE+AD=42AK;⑶解：•.•△8£尸的周长为24,：.BE+EF+BF=24,由(1)^]AE+CF=EF,：.BE+AE+CF+BF=24,：.AB+BC=24,：.AB^BC=\2,即正方形ABC。的边长为12,:.AC=MAB=12后.由(2)知AE+AO=&AK,,:AK=8母,.,.AE+AD=5/2^85/2=16,CK=AC-AK=12丘-8a=4应,：.AE=16-AD=4.'：AE//CD,：.△AEPs^CDP,.AP_AE4_1..而一而一五一3，3 3：.CP=-AC=-x12y[2=9&,：.PK=CP-CK=9>/2-4>/2=572.6.证明：•.♦△8CE绕B点旋转，使BC与BA重合，ZABC=90°,二旋转角为90。，即：NFBE=90。,根据旋转的性质可得：BF=BE,NF=NBEC,:.NF+NBED=NBEC+NBED=18U。,・・・四边形满足“直等补”四边形的定义,・•・四边形6EO尸为“直等补”四边形；①证明：如图1,过。作。尸于点尸，,・•四边形A8CO为"直等补'’四边形，AB=BC=5,CD=\,・.ZABC=90°,ZABC+ZD=180°,ZD=90°,.BE.LAD,CF±BFf・.NDEF=90。,NCFE=90。,•・四边形COM是矩形，.DE=CF,EF=CD=\,.・NABE+NA=90°,ZABE+ZCBE=90°,，ZA=NCBF,vZA£B=ZfiFC=90°,AB=BC,•.\ABE^\BCF(AAS),.BE=CF,AE=BF,；DE=CF,;.BE=DE,・・•四边形CQM是矩形，..EF=CD=1,〈MBEwMCF,;.AE=BF,：.AE=BE-[,设= 则AE=x-l,RtAABE中，x2+(x-l)2=52,解得x=4或4=一3（舍去）,：.BE=4；②如图2,延长CB到点F,使得BF=BC,延长CD到点G,使得CD=DG,连接FG,分别与43、AD交于点M、N,过G作G”,3c交的延长线于点”，则夕=b=5,CD=DG=\9/ZABC=ZADC=9(rf;.FM=CM,GN=CN,AA/NC的周长=CA/+MN+aV=BW+MV+GN=FG时取最小值,・•四边形ABCD为"直等补''四边形，..ZA+ZBCD=180°,・•/BCD+ZHCG=180°,.\ZA=ZHCG,又.•ZAEB=NCHG=90。,:.MBEMCHG,BEAEAB'GW-CW-CG?•.AB=5,8£=4,AE=yjAB2-BE2=3，.4 3 5'GH~^H~29解得G”=2,CH=g:.FH=FC+CH=西,5/.FG=y]FH2+GH2=8&，•••AAfNC周长的最小值为8人.7.(1)①•四边形A8CZJ是菱形，ZA=90°,二四边形4BC£>是正方形，AB=CD=CB,NBCE=NA=90°,'：ZEDF=90°,ZDEF=^ZA,：.NDEF=45。,...△OEF是等腰直角三角形，:.DF=DE,：.AD-DF=CD-DE,gpAF=CE,：.(SAS),：.BF=BE,在RSCBE中，点G是BE的中点，：.CG=^BE,：.CG=~BF,故答案为：CG=3BF；②①中线段CG与线段BF的数量关系仍然成立，证明：思路一：连接AC,记4c与8。相交于点O,AC与8F相交于点M,连接GM,A BD C图2•••四边形A8CO是正方形，：.ZBCD=90°,BC=CD,DO=BO,ACLBD,：.CO±BD,CO=DO=BO,由①得：DE=DF,设DE=DF=yfOG=xtOE=at•・•点G是BE的中点，:.EG=BG=a+x,OB=OG+BG=a+2xf,:OD=OB,.•・y+a=〃+2r,.*.y=2x,即DE=DF=20G,

VAC1BD,ZEDF=90°,：.OA//DF,,:DO=BO,，FM=BM=；BF,DF=2OM,:.OM=x=OG,VAC1BD,:.NMOB=ZGOC=90°,VOB=OC,:AMOB义AGOC(SAS),：.CG=BM=^BF,...①中线段CG与线段8尸的数量关系仍然成立;⑵过点C作CNLOB于N,连接GN,.•四边形ABC。是菱形，ZA=120°,30°,\DC=BC,ZADC=60°,ZA=ZBCD=120°,NBDC=NCBD30°,\NOCN=60°,\DN=BN=；80=6CN,•CN],茄一适，:点、G是3七的中点，NG"DE,DE2，./BNG=/BDE,••/BOE+NB。尸=90°,NBNG+NCNG=900,"BDF=ZCNG,：NDEF=；/A,:./。£〃=60。,:・DF=4iDE,1deNG=2 =1,DF-y/3DE-2G.NGCN・・ = ,DFBD■:ZBDF=/CNG,:•△BDFs/CNG,CGCN1• ♦•茄一茄一砺，:.BF=24CG.故答案为：BF=2^CG.8.如图1,图1作DW_LBC于M,：.ZBMD=90°,'：AB=AC,NB4c=120。，,ZABC=ZC=30°,NABF=NFBC=15°,：.NABD=NABF=15°,ZDBM=45°,：.DM=BD-smZDBM=2'sm450=y/2,:.CD=2DM=2五；⑵CH=^5AD,理由如下：如图2,作HN/1AB交AC于N,作NM_LBC于M,图2/.ZDNH= 180°-N84c=60。，:./NHC=/DNH-ZC=60°-30°=30°,・・・NC=NN〃C=30。，:・CH=2HM=2*(HNs/NHC)=2・(〃N・cos30。)=G〃M,:NCDH+/BFD=?ZDEF,ZCDH+ZBFD+ZDEF=180°,2.\ZDEF=120°,.*.ZBED=ZBAD=60°,■:乙4GO=NBGE,ZADG=ZABF=/ABD,•:/DBH=NABC+NABO=30°+NA8。，NBHD=ZC+ZADG=30°+ZABDf:・/DBH=/DHB,:・DH=BD,:.AABD经XNDH(A4S),:.HN=AD,：.CH=y/3AD；(3)如图3,作等边三角形8。。，以。为圆心，08=80=2为半径作圆O,••点尸在。。上运动，作/BCR=30。，作HN上CR于N：.HN=-CH2・・・P"+”N最小时，尸、H、N共线，且PHN过点O,故作。。3_€7?于Q交4B于。作8TJ_0。于。:ZABC=ZBCR=30°,:.AB//CR,：.OQLBT,作0B的垂直平分线交07于M,：.OM=BM,设BT=x,；・OM=BM=2BT=2x,析=氐，.,*(>/3x+2x)2+x2=22,. V6-V2.•x= ,2：.BT=(V3+2)诋,2.•TQ=8R=；8c=；.(及+卡),N乙**OQ=y/b+V2,：.PfQ=OQ-OP1=y/6+y/2-2t'：2PH+CH=2(PH+-CH)2...2P，+C”的最小值是：2#+2&—4.9.(1)解：过E点作E",AC于"点，如下图所示:ADAD・・,四边形488为正方形，AC为对角线，・•・NHCE=45。, 为等腰宜角三角形，设HE=CH=x91ehVtanZEAC=-=——,3AH.*.AH=3xt：.AC=AH^CH=4x9VZB=90°,・••在RSABC中，由勾股定理可知：.♦.16x2=16+16,解得x=0(负值舍去)，：.EH=HC=y/2,EC=yjEH2+HC2=72+2=2证明：延长GF交BC于M,连接AG,如图2所示:VFGAAC,ZCFG=90°,且AC为对角线,/尸CG=/尸CM=45°,••△。6加和4CrG是等腰直角三角形，CM=CGfCG=y/2CF，：.BM=BC・CM=CD・CG=DG,'：AF=ABf：.AF=ADf_ iAG=AG在RSAFG和RlAAOG中，fAF=ADARtAAFG^RtAADG(HL),：.FG=DG,:.BM=FG,；NBAC=NEAH=45。,:./BAE=NFAH,VFG1AC,:.ZAFH=90°,：.AABE^AAFH(ASA),：.BE=FH,:BM=BE+EM,FG=FH+HG,:.EM=HG,；EC=EM+CM,CM=CG=y/2CF,:・ec=hg+6fc.解：如下图3所示，•・・G为AO中点,：.GA=GD,•将△GDH沿G”翻折得到4GPH,：.GD=GP,.•.G4=GO=GP,•••动点P在以G点为圆心，GO为半径的劣弧尸。上运动，如下图4虚线所示,图4当8、P、G三点不共线时，由三角形两边之差小于第三边可知：BP>BG-GP,当且仅当8、P、G三点共线时有：BP=BG-GP,此时8尸取得最小值，•.•在(1)的条件下，正方形边长AZ>4,：.AG=GD=GP=2,BG=JAB2+AG?=J16+4=2石，过户点作PMLAO于M点，则PM//AB,:.△GMPs^GAB,.MPGP加、来.•南=热，代入数据：MP_2瓯5：.S》D=-AD?PM1仓%撞=辿•2 2 5 510.四边形BEFE是正方形.理由如下：由旋转得，ZE,=ZAEB=90°,ZEBE'=90°,/BE尸=180°-ZA£B=90°,.,•四边形BENE是矩形，由旋转得，BE'=BE,二四边形BE，FE是正方形.⑵CF=FE,证明：如图2,过点。作。G_LAE于点G,则/OG4=NAEB=90。,A B图2,;DA=DE,：.AG=^AE,•••四边形ABCD是正方形,：.DA=AB,NDAB=9。。,：.ZBAE+ZDAG=90°,,/NAOG+ND4G=90。，:.ZADG=ZBAE,在^ADG和4BAE中ZDG=NBAE<ZAGD=NAEB,AD=AB.♦.△AOG丝△BAE(/US),：.AG=BE；•••四边形BE'FE是正方形,：.BE=FE',：.AG=FE,由旋转得，AE=CE',：.^AE=^CE',：.FE'=^AE=^CE',图3■:BE=FE\CF=3,：.AE=CE=FE'+CF=F£+3=BE+3,9：AE2+BE2=AB2,且AB=15,・・・(BE+3)2+8E2=(15)2,解得，8E=9或8E=-12(不符合题意，舍去),・・・4E=9+3=12,由(2)得，△AOGgZ\BAE,：.DG=AE=\2fAG=BE=9,:・GE=AE-AG=12-9=3,,:ZDGE=90°,DE=Jdg2+GE?=V122+32=3折.11.解：:△ABC和△£)£F都是等边三角形，JNB=NDEF=60°,丁ZDEC=/B+NBDE，力EF+/CEF=/B+/BDE,工NCEF=/BDE；解：命题：①二＞②.证明：如图，在8C上取一点G,使得BG=BD,连接。G,FG,取CG中点儿连接五”,

VZB=60°,BD=BG,aBDG为等边三角形,BD=DG,ZBDG=ZDGB=6O°9又•:ZEDF=ZBDG=60°,：./BDE=NGDF,°：DE=DF,：.ABDE^AGDF,JZDG尸=ZB=60。，GF=BE,：.ZFGC=60°,又•：AB=BC,BD=BG,：.CG=ADf当％=2时，AD=2BE.：.CG=2GF,・・,”为CG中点，・•・HG=HC=FG,；.aFGH为等边三角形,：.FH=GH=HC9N/7/G=60。，JZHCF=ZHFC=30°,・・・b平分ZACB,(结论②得证)解：如图，过点E作于点M,连接CEDa・•・BE=2AD,又•・,zS4BC=60°,.・.BM=-BEf2JBM=AD.:.BE=2BM,：.DM=AB-BM-AD=AB-2BM=BC-BE=CE,：4CEF=4BDE,DE=EF,JADEMm4EFC,：・/FCE=NEMD=90。,即C/_LBC,作点A关于直线C尸的对称点A,,当A,F,8三点共线时，AF+3E取得最小值.如图3,由轴对称可知：ZACF=ZACF=30°,AC=AfC,图3・・AC=8C,ZBC4r=120°,ZCBF=30°,:.ZABF=ZCBF=30°,•・△ABF"ACBF,:・NFAB=4FCB=90。,FA=FC,RiaFAD^RiaFCE,：.AD=CE,，BE=BD=2AD,.AD_AD_J・茄―AD+2Ad12.证明：・・•四边形ABCO是正方形，：.AB=DAfNB=NDAN=90。,VD/V1AE,/.NAFN=90。,；・NFAN+NANF=9。。.•/ZADN+ZANF=90°9:,乙FAN=4AND,即N8EA=NAN£),{NBEA=/AND・•・在△ABE和△QAN中，\NB=/DAN,|AB=DA•••△ABEdOAN(AAS)；解：①•・•四边形A8CO是正方形，AABHCD,AB=BC=CD.:E为BC中点,：.BE=CE=；BC,同(1)得：AABE冬ADAN(A4S),:.BE=AN=』BC,：.AN=^AD=^CDf・•AB//CD,：.X3MsX.m、.CMCD个・ == =2；AMAN②过点。作CMLON于M,如图所示:

BEC设AB=AD=CD=2a,则BE=a,在R/ZMBE中，由勾股定理得：AE=JaB、BE?=«2af+a2=&,同(1)得：AABE会/\DAN(AAS),:.BE=AN=a,AE=DN=6.；NDAN=90。,DN上AE,：.AF=：.AF=ANADDN•・nf=Jan?—AF?=(J半4=¥〃■:CMLDN,：.ZCMD=90°=NDAN,:.ZDCM+ZCDM=90°.,/NCOM+NNOA=90。,:・/DCM=/NDA,：,ACDMs/\DNA,TOC\o"1-5"\h\z.CM DM CD anCM DM 2a = =pij = =———DA NA DN'2a a #1a'JMF=DN-NF-DM=®5亚 2JMF=DN-NF-DM=®5亚 2石 2石 a a= a，2亚八，八广MF 1:.tanZMCF= = =-CM4V5 2 a5VD/V1AE,CMLDN,：.AE//CM,:./CFE=NMCF,AtanZCFE=tanNMCF=1.13.图1延长MN交4?于点G,VM,N分别是8"BC的中点，：.MN//CD,且2AC=AB,AD^AE,：.CD=BE,:.MN=-BE,2■.•Z7VGB=ZA=9O°,:.MN工BE.故答案为：MN=-BE,MN±BE.2成立，理由如下：二如图2,连接并延长CD交8E于点兄延长NM交BE于点G,■.■ZCA&=ZDAE^90°/.ZC4£>=ZBAE=90°-ZDAB,AC^AB,AD=AE,：.^CAD^ABAECSAS),CD=BE,ZACD=ZABE,••点M、N分别是8。、8c的中点，MN//CD,MN=、CD,2:.mn=Lbe；2/ZBCH+ZCBH=ZBCH+ZABE+ZABC=ZBCH+ZACD+ZABC=ZACB+ZABC=90P,.•.ZC//fl=90°,:.CD工BE,/ZWGB=ZCHB=9O°；：.MN1BE.如图3,A。在AA8C内部，AE在AABC的外部，且四边形。EMN是平行四边形,由(2)得，CD上BE,MN//CD,MN=、CD=；BE,-,-DE//MN,：.ZEDN+ZDNM=l80°,ZDNM=NCDN,/.4EDN+ZCDN=180°,AC,D、E三点在同一条直线上，/.ZBE0900 ,DE2=2AD2,DE=6AD，•/DE=MN,:.CD=BE=2MN=2DE=2gAD，,:AC=5,BC2=52+52=50,由ce2+be2=bc2(>/2AD+2V2AD)2+(2>/2AD)2=50，解得AO=2叵；13如图4,AO、4E都在AABC的外部，且四边形。ENM是平行四边形，设BE交4c于点0,ZCAD=ZBAE=90°+ZCAE,AC=AB,AD=AE,：.ACAD^ABAE(SAS^>,：.CD=CE,N分别为BO、BC的中点，：.MN//CD,,/四边形DENM是平行四边形，：.DE//MN,...点E在CO上，-.ZACD=ZABE,ZCOE^ZAOB,ZACE+ZCOE=ZABE+ZAOB=90°,：.NBEC=90。,N分别是80、BC的中点，：.MN=-CD=-BE,2 2BE=CD=2MN^2DE,DE=y/2AD，BE=CD=2^2AD，由C5+3£2=3c2得，(26AD-&A》+(20AD>=5O，解得力。=0，综上所述，AO的长为生叵或行.1314.解：①;四边形ABCQ是矩形，・・・ZA=90°fVAB=4fAD=y/3ABfAD=y/3AB—A5/3,,BD=>JAB2^AD2=8，tanZADB=—^—,AD3故答案为：8,且；3②由①得：tanNAQB=e,3/.ZADB=30°9：.ZABD=900-ZADB=60°,VZA=90°,△AGE为等腰三角形，:.NAEG=45。，由折叠的性质得：NGEH=NA8D=60。，,ZD£//=180°-ZAEG-NGEH=180°一45°-60°=75°,/.ZDHE=180°-ZDEH-ZADB=180°-75。-30°=75°,:.ZDEH=ZDHEt：.DE=DHt石是等腰三角形，故答案为：等腰；③丁四边形ABCQ是矩形，AZABC=ZBCD=ZADC=90°fCD=AB=4,:.ZDCF=90°,由②得：NA08=3O。，:.ZBDC=90°-ZADB=60°f'：DF.LBD,：.ZBDF=90°f：.NCDF=90。-ZBDC=30°,:,CF=BcD=^,3 3:.SaACF=ICFxA8=巡,故答案为：殳叵；3解：VZA=90°,AM=AB,ZXABM是等腰直角三角形，ZAMB=45°,AM=AB=4,8M=及AB=40,VAD=(夜+1)AB=4垃+4,：.DM=AD-AM=4yf2，:.BM=DM,：.NDBM=NBDM=；NAM8=22.5。；解：•.•■£>=&AB=40,N为边AO的中点，:.AN=3AD=2及，作点N关于4B的对称点M,B0c图④则AN=AN=2五,,/NBPC=90°,...点P在以8c为直径的半圆。上，连接。M交AB于Q,交半圆。于P,则OP=O8=g8C=20,QN=QN,此时PQ+QN的值最小=尸。+。乂=/>”,；/乂4。=90。=/08。，ZAQN=NBQO,AN=Bg五,...△AQMg/SBQ。(A4S),:.QN=QO,AQ=BQ=^AB=2,QN'=QO=yjBQ^+OB2=26，：.PQ+QN=PN'=2Q0-OP=4y/3-2^2，即PQ+QN的最小值为4G-2&,故答案为：473-272.15.解：,.•NB4C=90°,点£)是8c的中点，AB=AC,：.AD^CD=-BC=4,ADLBC,2'：sinZMCD=-,3/.tanZMCD=-4==互,2V2 4DM=CD・tanZMCD=4X虫=应，4：.AM=AD-DM=4-&,在RtAAMN中，AMAM I- I- i—MN=~~~......=..V。=V2x(4-V2)=4夜-2；smZANMsm45证明：如图1,连接8M并延长交CN于E,•；NBAC=NMAN=90°,：.ZBAC-ZMAC=ZMAN-/MAC,即：4BAM=4CAN,在△B4M和△CAN中，AB=AC<ZBAM=£CAN,AM=AN(SAS),:・/MBA=4ACN,BM=CN,工点A、B、C>E共圆，:・/BEC=NBAC=90°,：.EM2^CE2=CM2f*：DM//CNf:•△BDMs^bCE,.BMDMBD1•・BE~CE~BC~2f:・CE=2DM,EM=BM,:・EM=CN,：.4DM2^CN2=CM2；如图2,图2•：AD=CD=^BC=4fAM=3DM,3：・DM=1,AM=3,MN=y/^AM=3五,NE=-MN=y\/2,3"：MD'=DM=\,NE'=NE=j®,点。'在以“为圆心，1为半径的圆上，点E'在以N为圆心，|正为半径的圆上,作点M关于BC的对称点G,连接GN交BC于F,交0N于。，则F0+FE的最小，在RtAAGN中，AG=OG+4Q=1+4=5,AN=3,**-GN=』AG?+AN?=J52+32=5/34，•：df//an9:•△GFDs/\GNA,,GFGD**G/V-AG*GF1・•,k片AGF=->/34,：.MF=GF=L回,5:,FD'+FE=MF-MD'+FN-NE'=GF+FN-NE'-MD'=GN-NEf-MD',即：（FO'+F&）min=J^-¥-l・16.解：当a=60°时，点9与点C重合，・•四边形A8CQ为菱形，ZBAD=120°,AADIIBC,NC8A=60°,VBEJLCD,工BE上AB,BPZABE=90\:.Z£BBr=90-/CBA=30°,在Rt^DFC和Rt/\BEC中，DC=BCZDCF=4BCEZDFC=/BEC：.ADFC^ABEC（AAS）,VFC=EC,VNECB=60°,:.ZCFE=ZCEF=30°,JNCFE=NEBB',：.EF=BE,假设CE=〃?，则 BC=2m,.EFBE73• = =，,DB'BC2

故答案为：30°；2⑵解：当0°<a<360'时，(1)中的结论仍然成立.证明：如图，连接8£),图2•/AB=AD=AB',1[180'-(1200-a)]=30°+pZAB'B=1(l80°-a)=90°-|,ZAB'D=1[180'-(1200-a)]=30°+pZEB'B=180°-ZAB'D-AAB'B=\80°-(90。-9-(30。+|)=60。,NEBB'=30°,•：NCBD=-ZABC=-(l80°-ZBAD)=30°,:.NEBB'=NCBD,NEBB+ZFBff=ZCBD+NFBB',即/ERF=/HRn,AcosZDBF=—=—,cosZEBB'=—=—AcosZDBF=—=—,cosZEBB'=—=—BD2.BFBE•・茄一丽’BB'又,:ZEBF=ZffBD,.EFBE也DB'BB'2解：连接AC,8。交于点O,■:AC1BD,ZBAO=-ZBAD=60’,2OB=ABsinZBAO=瓜,:.BD=2娓,，DE=BE=BDsinNDBE=26,由(2)可知NEB8'=30°:.EB=BE-tanNEBB=2,分两种情况：①如图，当点E在线段上时，*/B'D=DE+B'E=26+2,NB'BE=NDBF=30°,：,cosZB'BE=cosNDBF=—=—=—.B'BDB2又NBBE+NEBD=ZEBD+NDBF,，NgBD=NEBF,:./XB'BD^AEBF,.EB_FB_EF_百"BB7"DB-B7)-V:.EF=—B'D=—x(2x/3+2)=3+>^2 2②如图，当点E在。夕的延长线上时，*/B'D=DE-B'E=2石-2,ZB'BE=NDBF=30°../n'orznDC-EBFBG••cosZBBE=cosNDBF= = =——>B'BDB2又•:ABBE-AFBB=ZDBF-Z.FBB,NBBD=NEBF,:.△BBA/\EBF,.EBFBEFy/3・•丽一丽一而EF=—B'D=—x(2>/3-2)=3->/3.2 2综上所述：所的长为3-6或3+6.17.证明：如图①中，图①•••四边形A8CO是矩形，：.AD//BC,..ZAEB=ZDAE,由翻折的性质可知，ZAEB-ZAED,：.ZDAE=ZAED,:.DA=DE；证明：・・・四边形ABC。为平行四边形,.\ZB=ZAZX7,,/A43石翻折至庄，..ZB=ZAFE,:.ZADG=ZAFE9・；NAFE=4DFG,:"DFG=ZADG,

\-ZFGD=ZDGA9・•・SADGs^DFG；解：如图②中，当点£在上时，延长AG交3c的延长线于兀D图②D图②设BE=3a»EC=2a,贝|JAD=BC=DE=5a,EB=EF=3a,DF=2a»・.♦AD//ET,.ADAFDF2''~ET~~FT~~EF~35a2

=-,

ET3AF=-FT3:.ET=—a922

AF=-ATf:.CT=ET-EC=—a2ADAG5a10CTTG5.5a11设AG=13>,GT=\\b,则AT=2S,TOC\o"1-5"\h\z2 42・•・AF=-x2]b=—b95 5:.FG=\Ob-—b=-b,5 5,42,AFyh_21FG-_8T-T—b5如图③中，当点E在8c的延长线上时，延长84交EF于丁,由翻折的性质可得：EF=EB,NAED=/AEB,'/BE:CE=3:2f：.BC=BE,・・•四边形ABC。是平行四边形,：.AD=BC9AD//BC,AB//CD,:.NEAD=NAEB=NAED,：.DE=AD

设AD=BC=DE=a,则EF=3E=3a,DF=EF-DE=2aAD//BC,△7;Ws△刀汨TDAD\TE~~BE~3TD1TD+a3'TD=巴,23FT=EF-ED-TD=-a2AB//CD,△MT^AFGD,AFFT3GF-FD-4；AFAJ771AFGF综上所述，芸=?或GFrG418.(1)解：如图1中，过点E作EQLA8,交AB延长线于点。，则四边形8QEO是矩形,BD=QE=+,在RtABQE中，ZQBE=30。，:.BE=2BD=20,BQ=gQE=3,在RtAABC在RtAABC中,AB=BC，4。=5,在RtAAQE中，AE=《AU+QE:2此如图2中，在所上取一点使得助V/=A£>,并且延长M尸至点“，使MF=连接CM,DH.图2在AfiLW和△CW中,'AB=BCZBAD=4cBM,AD=BM/.ABAD=(SAS),:BD=CM,ZABD=/BCM,,・F是CD的中点,:.DF=CF,在AD"/和ACFM中，MF=HFZMFC=NHFD,DF=CF:.\DFH=\CFM(SAS)9:.DH=CM,NH=ZFMC,:.DH=BD,ZH=NFMC=ZDBH,又y/FMC是\BMC的外角,/.ZFMC=NBCM+ZMBC=Z4BD+ZMBC,/ZABD+ZMBC+ZDBF=9()0,r.2ZDfiF=90°,1/DBF=45。；如图3中，取AC的中点b，连接AN,DF,过点尸作CAB于兀Af图3・・AB=BC,ZABC=90°,AC=4,AB=BC=——AC=2>/2，Z£AC=45°,2；AF=FC=2,FTLAB.；.at=ft=®af=&,2.■AB=BA'=2-/2,:.BT=AT=6，A7=3夜，A'F=yjFT2+TA'2=J(何+(3&>=2行，,-ZADC=90°,AF=CF,:.DF=-AC=2,2.DA..AF-DF,DA'..2s/5-2,•••当A',D,〃共线时，DY的值最小，此时D4，=20-2,故线段A'D的长最小值是245-2.19.解：如图1,作EM_LAG垂足为M图1由题意知AC=2"=4,AE=-AC=2,AG=AE+-EC=3,AF=-AE=\,ZE4F=60°,ZAFM=30°2 2 2/.AM=-AF=-,FAf=AFxcos30°=—,MG=AG-AM=-2 2 2 2在他—MG中，由勾股定理得FG= + =小§)+(£|=出二AG的长为近.⑵证明：如图2,取4c的中点£),连接B。、FZXDG、BF由题意知4)=£>尸=%>=他=AE/.ZADB=W),ZDAF=ZDFA=60°+ZCAE•••。、G分别为AC、CE的中点:.DG//AE:.ZCDG=ZCAE:.ZBDG=NBDC+Z.CDG=120°+ZCDG'：ZADF+2NDAF=180°:.ZFDG=180°-ZADF-NCDG=2ZDAF-ZCDG=2x(60°+ZC4E)-ZCZX；=120°+ZCDG:.ZBDG=ZFDG在aBDG和a/FOG中BD=FD,.・\ZBDG=ZFDGDG=DG：.aBDG、/FDG〈SAS)：.GB=GF,:EG=GC,EF=—AE=—AB2 2h/.GF=EF+FG=—AB+GC2.・.GF=—AB+GCWiiE.2(3)解：如图3,取AC中点M,连接MG、BD,在MC上取点。使MO=g"G,作DNLBC垂足为NFB NC图3由题意知MG是ICE的中位线，MC=^AC=AE：.MG//AE,MG=-AE2：.MG=-MC2VMD=-MGtMG=-MC93MG=NGMC2 2・•・aDMGsQMC,DGDM\

9t~GC~~GM~2：.DG=-GC2JGB-、GC=GB-DG2当8、D、G三点不共线时，GB-DG<BD当B、D、G三点共线时，GB-DG=BD：.GB-DG<BDGB-；GC最大时，B、D、G三点共线，此时£)为线段MC上靠近M的四等分点，此时，直线AB,AC,8G所围成三角形的面积为久AM3ADC4MC3AC-2MC_8:・aCDNs^CAB.CDCN3CA-CB-83解得o・•・BN=-CB8,:AB=3:.BC=3yf3•••S.abd=；ABxBN=—x3x-x35/32 8456-16.•.当GB-：GC最大时，直线AB,AC,BG所围成三角形的面积为竺更.2 1620.解：•••NPDC=60。，AD=4,.-.ZDPC=30°,AD=