广西中考数学专题训练 二次函数压轴题

二次函数压轴题1.如图①，抛物线y＝ax2＋(a＋2)x＋2(a≠0)与x轴交于点A(4，0)，与y轴交于点B，在x轴上有一动点P(m，0)(0<m<4)．过点P作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点M.(1)求a的值；(2)若PN∶MN＝1∶3，求m的值；(3)如图②，在(2)的条件下，设动点P对应的位置是P1，将线段OP1绕点O逆时针旋转得到OP2，旋转角为α(0°<α<90°)，连接AP2、BP2，求AP2＋eq\f(3,2)BP2的最小值．图①图②第1题图解：(1)∵A(4，0)在抛物线上，∴0＝16a＋4(a＋2)＋2，解得a＝－eq\f(1,2)；(2)由(1)可知抛物线解析式为y＝－eq\f(1,2)x2＋eq\f(3,2)x＋2，令x＝0可得y＝2，∴OB＝2，∵OP＝m，∴AP＝4－m，∵PM⊥x轴，∴△OAB∽△PAN，∴eq\f(OB,OA)＝eq\f(PN,PA)，即eq\f(2,4)＝eq\f(PN,4－m)，∴PN＝eq\f(1,2)(4－m)，∵M在抛物线上，∴PM＝－eq\f(1,2)m2＋eq\f(3,2)m＋2，∵PN∶MN＝1∶3，∴PN∶PM＝1∶4，∴－eq\f(1,2)m2＋eq\f(3,2)m＋2＝4×eq\f(1,2)(4－m)，解得m＝3或m＝4(舍去)，即m的值为3；(3)如解图，在y轴上取一点Q，使eq\f(OQ,OP2)＝eq\f(3,2)，第1题解图由(2)可知P1(3，0)，且OB＝2，∴eq\f(OP2,OB)＝eq\f(3,2)，且∠P2OB＝∠QOP2，∴△P2OB∽△QOP2，∴eq\f(QP2,BP2)＝eq\f(OP2,OB)＝eq\f(3,2)，∴当Q(0，eq\f(9,2))时，QP2＝eq\f(3,2)BP2，∴AP2＋eq\f(3,2)BP2＝AP2＋QP2≥AQ，∴当A、P2、Q三点在一条直线上时，AP2＋QP2有最小值，又∵A(4，0)，Q(0，eq\f(9,2))，∴AQ＝eq\r(42＋（\f(9,2)）2)＝eq\f(\r(145),2)，即AP2＋eq\f(3,2)BP2的最小值为eq\f(\r(145),2).2.如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋4的图象与x轴交于A(－2，0)，B(4，0)两点，与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，点P是x轴上方抛物线上的一个动点，过P作PN⊥x轴于N，交直线BC于M.(1)求二次函数表达式及顶点D的坐标；(2)当PM＝MN时，求点P的坐标；(3)设抛物线对称轴与x轴交于点H，连接AP交对称轴于E，连接BP并延长交对称轴于F，试证明HE＋HF的值为定值，并求出这个定值．第2题图解：(1)∵A(－2，0)，B(4，0)在二次函数的图象上，将A，B点代入二次函数表达式中，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4a＋（－2）b＋4＝0,16a＋4b＋4＝0))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－\f(1,2),b＝1))，∴二次函数的表达式为y＝－eq\f(1,2)x2＋x＋4，将其化为顶点式为y＝－eq\f(1,2)(x－1)2＋eq\f(9,2)，∴顶点D的坐标为(1，eq\f(9,2))；(2)由抛物线表达式得点C的坐标为(0，4)，设直线BC的解析式为y＝kx＋c(k≠0)，将点B(4，0)，点C(0，4)代入得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4k＋c＝0,c＝4))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－1,c＝4))，∴直线BC的解析式为y＝－x＋4，(5分)∵点P在x轴上方的抛物线上，∴设点P的坐标为(t，－eq\f(1,2)t2＋t＋4)(－2＜t＜4)，∵PN⊥x轴于N，∴点N的坐标为(t，0)，∵PN交BC于M，∴点M的坐标为(t，－t＋4)，(7分)∵PM＝MN，点P在点M的上方，∴PN＝2MN，即－eq\f(1,2)t2＋t＋4＝2(－t＋4)，解得t1＝2，t2＝4(与B重合舍去)，∴当PM＝MN时，点P的坐标为(2，4)；(8分)第2题解图(3)如解图，过点P作PG⊥x轴于点G，设点P的坐标为(t，－eq\f(1,2)t2＋t＋4)，∵DH⊥x轴于点H，∴PG∥DH，∴△AHE∽△AGP，△BGP∽△BHF，∴eq\f(EH,PG)＝eq\f(AH,AG)，eq\f(PG,FH)＝eq\f(BG,BH)，∴EH＝eq\f(AH·PG,AG)，FH＝eq\f(BH·PG,BG)，(10分)当点G在BH上时，∵AH＝BH＝3，AG＝t＋2，BG＝4－t，PG＝－eq\f(1,2)t2＋t＋4，∴EH＋FH＝3(eq\f(PG,t＋2)＋eq\f(PG,4－t))＝3·(－eq\f(1,2))(t＋2)(t－4)·eq\f(4－t＋t＋2,（t＋2）（4－t）)＝9，同理，当点G在AH上，由抛物线对称性可知，结果相同．综上可知，HE＋HF的结果为定值，且这个定值为9.(14分)3.如图，在平面直角坐标系中，直线y＝eq\f(1,2)x＋1与抛物线y＝ax2＋bx－3交于A、B两点，点A在x轴上，点B的纵坐标为3.点P是直线AB下方的抛物线上一动点(不与点A、B重合)，过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，作PD⊥AB于点D.(1)求a、b及sin∠ACP的值；(2)设点P的横坐标为m.①用含m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD长的最大值；②连接PB，线段PC把△PDB分成两个三角形，是否存在适合的m值，使这两个三角形的面积之比为9∶10？若存在，直接写出m的值；若不存在，说明理由．第3题图解：(1)由eq\f(1,2)x＋1＝0，得x＝－2，∴A(－2，0)，由eq\f(1,2)x＋1＝3，得x＝4，∴B(4，3)．∵y＝ax2＋bx－3经过A、B两点，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（－2）2·a－2b－3＝0,42·a＋4b－3＝3))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,2),b＝－\f(1,2)))，如解图，设直线AB与y轴交于点E，则E(0，1)．∵PC∥y轴，∴∠ACP＝∠AEO.∴sin∠ACP＝sin∠AEO＝eq\f(OA,AE)＝eq\f(2,\r(22＋12))＝eq\f(2\r(5),5)；(2)①由(1)知，抛物线的解析式为y＝eq\f(1,2)x2－eq\f(1,2)x－3，∴P(m，eq\f(1,2)m2－eq\f(1,2)m－3)，C(m，eq\f(1,2)m＋1)，∴PC＝eq\f(1,2)m＋1－(eq\f(1,2)m2－eq\f(1,2)m－3)＝－eq\f(1,2)m2＋m＋4.在Rt△PCD中，PD＝PC·sin∠ACP＝(－eq\f(1,2)m2＋m＋4)×eq\f(2\r(5),5)＝－eq\f(\r(5),5)(m－1)2＋eq\f(9\r(5),5).∵－eq\f(\r(5),5)<0，∴当m＝1时，PD有最大值eq\f(9\r(5),5)；②存在，m＝eq\f(5,2)或eq\f(32,9).【解法提示】如解图，分别过点D、B作DF⊥PC，BG⊥PC，垂足分别为点F、G.第3题解图由图中几何关系可知∠FDP＝∠DCP＝∠AEO，∴cos∠FDP＝cos∠AEO＝eq\f(OE,AE)＝eq\f(1,\r(22＋12))＝eq\f(\r(5),5)，在Rt△PDF中，DF＝cos∠FDP·PD＝eq\f(\r(5),5)PD＝－eq\f(1,5)(m2－2m－8)．又∵BG＝4－m，∴＝eq\f(DF,BG)＝eq\f(－\f(1,5)（m2－2m－8）,4－m)＝eq\f(m＋2,5).当＝eq\f(m＋2,5)＝eq\f(9,10)时，解得m＝eq\f(5,2)；当＝eq\f(m＋2,5)＝eq\f(10,9)时，解得m＝eq\f(32,9).∴m＝eq\f(5,2)或eq\f(32,9).4.如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，OA＝3，AB＝4，在OC上取一点E，使OA＝OE，抛物线y＝ax2＋bx＋c过A，E，B三点．(1)求B，E点的坐标及抛物线表达式；(2)若M为抛物线对称轴上一动点，则当|MA－ME|最大时，求M点的坐标；(3)若点D为OA中点，过D作DN⊥BC于点N，连接AC，若点P为线段OC上一动点且不与C重合，PF⊥DN于F，PG⊥AC于G，连接GF，是否存在点P，使△PGF为等腰三角形？若存在，求出所有满足条件的P点坐标；若不存在，请说明理由．第4题图解：(1)∵OA＝3，AB＝4,OA＝OE，∴A(0，3)，B(－4，3),E(－3，0)．将A，B，E三点坐标代入y＝ax2＋bx＋c中，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(c＝3,16a－4b＋c＝3,9a－3b＋c＝0))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝1,b＝4,c＝3))，∴抛物线的表达式为y＝x2＋4x＋3；(3分)(2)∵抛物线y＝x2＋4x＋3的对称轴为直线x＝－2，点A关于对称轴的对称点为点B，∴当|MA－ME|最大时，M在直线BE与直线x＝－2的交点处，即连接BE并延长交直线x＝－2于点M，M点即为所求，如解图①，(5分)第4题解图①设直线BE的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，∵直线过B(－4，3)，E(－3，0)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－4k＋b＝3,－3k＋b＝0))，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－3,b＝－9))，∴直线BE的解析式为y＝－3x－9.当x＝－2时，y＝－3，∴M(－2，－3)；(7分)(3)设P(x，0)(x＜0)，如解图②，过点P分别作PF⊥DN于点F，PG⊥AC于点G，过点G作GH⊥OC于点H，交DN于点Q，连接GF，第4题解图②∵OA＝3，AB＝4，∠AOC＝90°，∴AC＝5，∵D为OA的中点，DN⊥BC，∴PF＝eq\f(3,2)，sin∠1＝eq\f(PG,PC)＝eq\f(OA,AC)，∴eq\f(PG,x＋4)＝eq\f(3,5)，∴PG＝eq\f(3（x＋4）,5)，∵cos∠1＝eq\f(CG,PC)＝eq\f(OC,AC)，∴eq\f(CG,x＋4)＝eq\f(4,5)，∴CG＝eq\f(4（x＋4）,5).∵△CGH∽△CAO，∴eq\f(GH,AO)＝eq\f(CG,CA)＝eq\f(CH,CO)，∴eq\f(GH,3)＝eq\f(CG,5)＝eq\f(CH,4)，∴GH＝eq\f(3,5)CG＝eq\f(3,5)×eq\f(4（x＋4）,5)＝eq\f(12（x＋4）,25)，CH＝eq\f(4,5)CG＝eq\f(4,5)×eq\f(4（x＋4）,5)＝eq\f(16（x＋4）,25)，(9分)∴PH＝QF＝OC－CH－OP＝4－eq\f(16（x＋4）,25)＋x＝eq\f(9（x＋4）,25)，GQ＝GH－QH＝eq\f(12（x＋4）,25)－eq\f(3,2)，∴在Rt△GQF中，GF2＝[eq\f(12（x＋4）,25)－eq\f(3,2)]2＋eq\f(81（4＋x）2,625)＝eq\f(9（x＋4）2,25)－eq\f(36（x＋4）,25)＋eq\f(9,4).要使△PGF为等腰三角形，可分三种情况讨论：(ⅰ)当GF＝GP时，GF2＝GP2，∴eq\f(9（x＋4）2,25)－eq\f(36（x＋4）,25)＋eq\f(9,4)＝eq\f(9（x＋4）2,25)，∴x＝－eq\f(39,16)，∴P1(－eq\f(39,16)，0)；(11分)(ⅱ)当FG＝FP时，FG2＝FP2，∴eq\f(9（x＋4）2,25)－eq\f(36（x＋4）,25)＋eq\f(9,4)＝eq\f(9,4)，∴x1＝－4，x2＝0.∵点P不与C重合，∴x＝－4(舍去)，∴P2(0，0)；(12分)(ⅲ)当PG＝PF时，eq\f(3（x＋4）,5)＝eq\f(3,2)，∴x＝－eq\f(3,2)，∴P3(－eq\f(3,2)，0)．(13分)综上所述，存在P1(－eq\f(39,16)，0)，P2(0，0)，P3(－eq\f(3,2)，0)使△PFG为等腰三角形．(14分)5.已知：直线y＝eq\f(1,2)x－3与x轴、y轴分别交于A、B，抛物线y＝eq\f(1,3)x2＋bx＋c经过点A、B，且交x轴于点C.(1)求抛物线的解析式；(2)点P为抛物线上一点，且点P在AB的下方，设点P的横坐标为m.①试求当m为何值时，△PAB的面积最大；②当△PAB的面积最大时，过点P作x轴的垂线PD，垂足为点D，问在直线PD上是否存在点Q，使△QBC为直角三角形？若存在，直接写出符合条件的Q点的坐标，若不存在，请说明理由．第5题图备用图解：(1)∵直线y＝eq\f(1,2)x－3与x轴、y轴分别交于A、B，则A(6，0)，B(0，－3)，又∵抛物线y＝eq\f(1,3)x2＋bx＋c经过点A、B，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0＝\f(1,3)×62＋6b＋c,－3＝c))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝－\f(3,2),c＝－3))，∴抛物线的解析式为y＝eq\f(1,3)x2－eq\f(3,2)x－3；(2)①∵点P的横坐标为m，∴P(m，eq\f(1,3)m2－eq\f(3,2)m－3)，∵点P在直线AB下方，∴0＜m＜6，第5题解图①如解图①，过点P作x轴的垂线，交AB于点E，交x轴于点D，则E(m，eq\f(1,2)m－3)，∴PE＝eq\f(1,2)m－3－(eq\f(1,3)m2－eq\f(3,2)m－3)＝－eq\f(1,3)m2＋2m，∴S△PAB＝S△BPE＋S△PEA＝eq\f(1,2)PE·OA＝eq\f(1,2)(－eq\f(1,3)m2＋2m)×6＝－(m－3)2＋9，∴当m＝3时，△PAB的面积最大；②在直线PD上存在点Q，使△QBC为直角三角形；点Q的坐标为(3，eq\f(9,4))或(3，－eq\f(3,2))．【解法提示】直线PD的解析式为：x＝3，易得C(－eq\f(3,2)，0)，D(3，0)，当∠BCQ＝90°时，如解图②，易证△COB∽△QDC，则eq\f(CO,OB)＝eq\f(QD,DC)，可得Q(3，eq\f(9,4))；第5题解图②当∠CBQ＝90°时，如解图③，易知Q在AB上，将x＝3代入直线y＝eq\f(1,2)x－3，得y＝－eq\f(3,2)，∴Q(3，－eq\f(3,2))；第5题解图③当∠BQC＝90°时，如解图④，易证△CDQ∽△QRB，则eq\f(CD,QR)＝eq\f(DQ,BR)，即eq\f(\f(9,2),3－DQ)＝eq\f(DQ,3)，无解．第5题解图④综上所述，在直线PD上存在点Q，使△QBC为直角三角形，点Q的坐标为(3，eq\f(9,4))或(3，－eq\f(3,2))．6.如图，抛物线y＝x2－4x－5与x轴交于A，B两点(点B在点A的右侧)，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点D.(1)求A，B，C三点的坐标及抛物线的对称轴；(2)如图①，点E(m，n)为抛物线上一点，且2<m<5，过点E作EF∥x轴，交抛物线的对称轴于点F，作EH⊥x轴于点H，求四边形EHDF周长的最大值；(3)如图②，点P为抛物线对称轴上一点，是否存在点P，使以点P，B，C为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．图①图②第6题图解：(1)把y＝0代入y＝x2－4x－5，得x2－4x－5＝0，解得x1＝－1，x2＝5，∵点B在点A的右侧，∴A，B两点的坐标分别为(－1，0)，(5，0)，把x＝0代入y＝x2－4x－5，得y＝－5，∴点C的坐标为(0，－5)，∵y＝x2－4x－5＝(x－2)2－9，∴抛物线的对称轴为直线x＝2；(4分)(2)由题意可知，四边形EHDF是矩形，∵抛物线的对称轴为直线x＝2，点E坐标为(m，m2－4m－5)，∴EH＝－m2＋4m＋5，EF＝m－2，∴矩形EHDF的周长为2(EH＋EF)＝2(－m2＋4m＋5＋m－2)＝－2(m2－5m－3)＝－2(m－eq\f(5,2))2＋eq\f(37,2)，∵－2<0，2<m<5，∴当m＝eq\f(5,2)时，矩形EHDF的周长最大，最大值为eq\f(37,2)；(8分)第6题解图(3)存在点P，使以点P，B，C为顶点的三角形是直角三角形．如解图，设点P的坐标为(2，k)，∵B和C两点的坐标分别为(5，0)，(0，－5)，∴BC＝eq\r(52＋52)＝5eq\r(2)，①当∠CBP＝90°时，∵BC2＋BP2＝CP2，∴(5eq\r(2))2＋(5－2)2＋(－k)2＝22＋(k＋5)2，解得k＝3，∴P1(2，3)；(10分)②当∠PCB＝90°，∵BC2＋PC2＝BP2，∴(5eq\r(2))2＋22＋(k＋5)2＝(5－2)2＋(－k)2，解得k＝－7，∴P2(2，－7)；(12分)③当∠CPB＝90°时，∵PC2＋PB2＝BC2，∴22＋(k＋5)2＋(5－2)2＋k2＝(5eq\r(2))2，解得k＝1或k＝－6，∴P3(2，1)，P4(2，－6)，综上所述，满足条件的点P的坐标为(2，3)，(2，－7)，(2，1)或(2，－6)．(14分)7.如图，抛物线y＝－eq\f(1,4)x2＋bx＋c经过A(2，0)，B(－4，0)两点，直线y＝2x－2交y轴于点D，过点B作BC⊥x轴交直线CD于点C.(1)求抛物线的解析式；(2)求点B关于直线y＝2x－2对称的点E的坐标，判断点E是否在抛物线上，并说明理由；(3)点P是抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，交直线CE于点F，是否存在这样的点P，使以点P、B、C、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．第7题图解：(1)∵抛物线y＝－eq\f(1,4)x2＋bx＋c的图象经过点A(2，0)，B(－4，0)两点，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)×4＋2b＋c＝0,－\f(1,4)×16－4b＋c＝0))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝－\f(1,2),c＝2))，∴抛物线的解析式为y＝－eq\f(1,4)x2－eq\f(1,2)x＋2；(2)点E在抛物线上，理由如下：如解图①，设直线CD：y＝2x－2与x轴交于点N，过点E作EM⊥x轴，垂足为点M，令y＝2x－2＝0，解得x＝1，∴点N的坐标为(1，0)，点D的坐标为(0，－2)，∵BN2＝25，BD2＝20，DN2＝5，BN2＝BD2＋DN2，∴BD⊥CD，∵点B和点E关于点D对称，∴BE＝2BD，∴BE＝4eq\r(5)，∵当x＝－4时，y＝2x－2＝－10，∴点C的坐标为(－4，－10)，∵BN＝5，BC＝10，∴CN＝5eq\r(5)，又∵∠MBE＝∠BCN，∠CBN＝∠BME，∴△CBN∽△BME，∴eq\f(BE,CN)＝eq\f(ME,BN)，即eq\f(4\r(5),5\r(5))＝eq\f(ME,5)，∴ME＝4，根据勾股定理得BM＝eq\r(BE2－ME2)＝eq\r(80－16)＝8，∴BM＝8，∴OM＝4，∴点E的坐标为(4，－4)，当x＝4时，y＝－eq\f(1,4)x2－eq\f(1,2)x＋2＝－eq\f(1,4)×16－eq\f(1,2)×4＋2＝－4，∴点E在抛物线上；第7题解图①(3)存在，点P的坐标为(－1，eq\f(9,4))或(eq\f(－5＋\r(329),2)，eq\f(3\r(329)－151,8))或(eq\f(－5－\r(329),2)，－eq\f(3\r(329)＋151,8))．【解法提示】如解图②，设直线CE的解析式为y＝kx＋b′，由(2)得点C(－4，－10)，E(4，－4)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－4k＋b′＝－10,4k＋b′＝－4))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝\f(3,4),b′＝－7))，第7题解图②∴直线CE的解析式为y＝eq\f(3,4)x－7.∵PF⊥x轴，设点P的坐标为(a，－eq\f(1,4)a2－eq\f(1,2)a＋2)，则点F的坐标为(a，eq\f(3,4)a－7)，∴PF＝|－eq\f(1,4)a2－eq\f(1,2)a＋2－(eq\f(3,4)a－7)|＝|－eq\f(1,4)a2－eq\f(5,4)a＋9|，要使以点P、B、C、F为顶点的四边形为平行四边形，∵PF∥BC，∴PF＝BC＝10.当－eq\f(1,4)a2－eq\f(5,4)a＋9＝10时，解得a1＝－4(舍去)，a2＝－1，∴点P的坐标为(－1，eq\f(9,4))，当－eq\f(1,4)a2－eq\f(5,4)a＋9＝－10时，解得a1＝eq\f(－5＋\r(329),2)，a2＝eq\f(－5－\r(329),2)，∴点P的坐标为(eq\f(－5＋\r(329),2)，eq\f(3\r(329)－151,8))或(eq\f(－5－\r(329),2)，－eq\f(3\r(329)＋151,8))，综上所述，存在点P，使以点P、B、C、F为顶点的四边形为平行四边形，点P的坐标为(－1，eq\f(9,4))或(eq\f(－5＋\r(329),2)，eq\f(3\r(329)－151,8))或(eq\f(－5－\r(329),2)，－eq\f(3\r(329)＋151,8))．8.如图，已知抛物线y＝ax2＋bx(a≠0)过点A(eq\r(3)，－3)和点B(3eq\r(3)，0)，过点A作直线AC∥x轴，交y轴于点C.(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线上取一点P，过点P作直线AC的垂线，垂足为D.连接OA，使得以A，D，P为顶点的三角形与△AOC相似，求出相应点P的坐标；(3)抛物线上是否存在点Q，使得S△AOC＝eq\f(1,3)S△AOQ？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．第8题图解：(1)将点A(eq\r(3)，－3)，B(3eq\r(3)，0)分别代入y＝ax2＋bx中，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－3＝3a＋\r(3)b,0＝27a＋3\r(3)b))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,2),b＝－\f(3\r(3),2)))，∴抛物线的解析式为y＝eq\f(1,2)x2－eq\f(3\r(3),2)x；(2)设P点的坐标为P(m，eq\f(1,2)m2－eq\f(3\r(3),2)m)，则D(m，－3)，∴PD＝|eq\f(1,2)m2－eq\f(3\r(3),2)m＋3|，AD＝|m－eq\r(3)|，∵∠ACO＝∠ADP＝90°，∴①当△ACO∽△ADP时，有eq\f(AC,OC)＝eq\f(AD,PD)，即eq\f(\r(3),3)＝eq\f(|m－\r(3)|,|\f(1,2)m2－\f(3\r(3),2)m＋3|)，∴eq\r(3)|m－eq\r(3)|＝|eq\f(1,2)m2－eq\f(3\r(3),2)m＋3|，∴eq\r(3)(m－eq\r(3))＝eq\f(1,2)m2－eq\f(3\r(3),2)m＋3或－eq\r(3)(m－eq\r(3))＝eq\f(1,2)m2－eq\f(3\r(3),2)m＋3，整理得m2－5eq\r(3)m＋12＝0或m2－eq\r(3)m＝0，解方程m2－5eq\r(3)m＋12＝0得：m1＝4eq\r(3)，m2＝eq\r(3)(点P与A点重合，△APD不存在，舍去)；解方程m2－eq\r(3)m＝0得：m3＝0，m4＝eq\r(3)(点P与A点重合，△APD不存在，舍去)；此时P点的坐标为P(0，0)或P(4eq\r(3)，6)；②当△ACO∽△PDA时，有eq\f(AC,OC)＝eq\f(PD,AD)，即eq\f(\r(3),3)＝eq\f(|\f(1,2)m2－\f(3\r(3),2)m＋3|,|m－\r(3)|)，∴eq\r(3)|eq\f(1,2)m2－eq\f(3\r(3),2)m＋3|＝|m－eq\r(3)|，∴eq\r(3)(eq\f(1,2)m2－eq\f(3\r(3),2)m＋3)＝m－eq\r(3)或－eq\r(3)(eq\f(1,2)m2－eq\f(3\r(3),2)m＋3)＝m－eq\r(3)，整理得eq\r(3)m2－11m＋8eq\r(3)＝0或eq\r(3)m2－7m＋4eq\r(3)＝0，解方程eq\r(3)m2－11m＋8eq\r(3)＝0，得：m1＝eq\f(8\r(3),3)，m2＝eq\r(3)(点P与A点重合，△APD不存在，舍去)；解方程eq\r(3)m2－7m＋4eq\r(3)＝0，得：m1＝eq\f(4,3)eq\r(3)，m2＝eq\r(3)(点P与A点重合，△APD不存在，舍去)；此时P点的坐标为P(eq\f(8\r(3),3)，－eq\f(4,3))或P(eq\f(4\r(3),3)，－eq\f(10,3))，综上可知：以点A、D、P为顶点的三角形与△AOC相似时，点P的坐标为：P(0，0)或P(4eq\r(3)，6)或P(eq\f(8\r(3),3)，－eq\f(4,3))或P(eq\f(4\r(3),3)，－eq\f(10,3))；(3)存在．在Rt△AOC中，OC＝3，AC＝eq\r(3)，根据勾股定理得OA＝2eq\r(3)，∵S△AOC＝eq\f(1,2)OC·AC＝eq\f(3\r(3),2)，S△AOC＝eq\f(1,3)S△AOQ，∴S△AOQ＝eq\f(9\r(3),2)，∵OA＝2eq\r(3)，∴△AOQ边OA上的高为eq\f(9,2)，如解图，过点O作OM⊥OA，截取OM＝eq\f(9,2)，第8题解图过点M作MN∥OA交y轴于点N，∵AC＝eq\r(3)，OA＝2eq\r(3)，∴∠AOC＝30°，又∵MN∥OA∴∠MNO＝∠AOC＝30°，∴在Rt△OMN中，ON＝2OM＝9，即N(0，9)，过点M作MH⊥x轴交x轴于点H，∵∠MNO＝30°，∴∠MOH＝30°，∴MH＝eq\f(1,2)OM＝eq\f(9,4)，OH＝eq\f(9\r(3),4)，即M(eq\f(9\r(3),4)，eq\f(9,4))，设直线MN的解析式为y＝kx＋9(k≠0)，把点M的坐标代入得eq\f(9,4)＝eq\f(9\r(3),4)k＋9，即k＝－eq\r(3)，∴y＝－eq\r(3)x＋9，联立得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－\r(3)x＋9,y＝\f(1,2)x2－\f(3\r(3),2)x))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3\r(3),y＝0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－2\r(3),y＝15))，即Q(3eq\r(3)，0)或(－2eq\r(3)，15)．9.如图，抛物线经过原点O(0，0)，与x轴交于点A(3，0)，与直线l交于点B(2，－2)．(1)求抛物线的解析式；(2)点C是x轴正半轴上一动点，过点C作y轴的平行线交直线l于点E，交抛物线于点F，当EF＝OE时，请求出点C的坐标；(3)点D为抛物线的顶点，连接OD，在抛物线上是否存在点P，使得∠BOD＝∠AOP？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．第9题图备用图解：(1)由题意可设抛物线的解析式为y＝ax2＋bx，将A(3，0)，B(2，－2)代入y＝ax2＋bx中，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(9a＋3b＝0,4a＋2b＝－2))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝1,b＝－3))，∴抛物线的解析式为y＝x2－3x；(2)设直线l的解析式为y＝kx，将B(2，－2)代入y＝kx中，得－2＝2k，解得k＝－1，∴直线l的解析式为y＝－x，设点C的坐标为(n，0)，则点E的坐标为(n，－n)，点F的坐标为(n，n2－3n)．①当点C在点A的左侧时，如解图①所示，EF＝－n－(n2－3n)＝－n2＋2n，OE＝eq\r(n2＋（－n）2)＝eq\r(2)n，∵EF＝OE，∴－n2＋2n＝eq\r(2)n，解得n1＝0(C，E，F三点均与原点重合，舍去)，n2＝2－eq\r(2)，∴点C的坐标为(2－eq\r(2)，0)；②当点C在点A的右侧时，如解图②所示，EF＝n2－3n－(－n)＝n2－2n，OE＝eq\r(n2＋（－n）2)＝eq\r(2)n，∵EF＝OE，∴n2－2n＝eq\r(2)n，解得n1＝0(C，E，F均与原点重合，舍去)，n2＝2＋eq\r(2)，∴点C的坐标为(2＋eq\r(2)，0)；综上所述，当EF＝OE时，点C的坐标为(2－eq\r(2)，0)或(2＋eq\r(2)，0)；(3)存在点P使得∠BOD＝∠AOP，点P的坐标为(eq\f(14,5)，－eq\f(14,25))或(eq\f(16,5)，eq\f(16,25))．【解法提示】抛物线的解析式为y＝x2－3x＝(x－eq\f(3,2))2－eq\f(9,4)，∴顶点D的坐标为(eq\f(3,2)，－eq\f(9,4))，设抛物线的对称轴交直线l于点M，交x轴正半轴于点N，过点D作DG⊥OB于点G，过点P作PH⊥x轴于点H，如解图③所示，∵直线l的解析式为y＝－x，∴∠MON＝45°，∴△ONM为等腰直角三角形，ON＝MN＝eq\f(3,2)，OM＝eq\r(2)ON＝eq\f(3\r(2),2)，∴DM＝eq\f(9,4)－eq\f(3,2)＝eq\f(3,4)，在Rt△DGM中，∵∠DMG＝∠NMO＝45°，∴Rt△DGM为等腰直角三角形，∴MG＝DG＝eq\f(3,4)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(3\r(2),8)，∴OG＝OM＋MG＝eq\f(3\r(2),2)＋eq\f(3\r(2),8)＝eq\f(15\r(2),8).设点P的坐标为(c，c2－3c)，当点P在x轴下方时，如解图③所示，OH＝c，HP＝3c－c2，第9题解图③∵∠HOP＝∠BOD，∴tan∠HOP＝tan∠BOD，∴eq\f(HP,OH)＝eq\f(DG,OG)，即eq\f(3c－c2,c)＝eq\f(\f(3\r(2),8),\f(15\r(2),8))，解得c1＝0(P点与O点重合，舍去)，c2＝eq\f(14,5)，∴点P的坐标为(eq\f(14,5)，－eq\f(14,25))；当点P在x轴上方时，如解图④所示，OH＝c，HP＝c2－3c，第9题解图④同理可得eq\f(c2－3c,c)＝eq\f(\f(3\r(2),8),\f(15\r(2),8))，解得c1＝0(P点与O点重合，舍去)，c2＝eq\f(16,5)，∴P点的坐标为(eq\f(16,5)，eq\f(16,25))．综上所述，存在点P使得∠BOD＝∠AOP，点P的坐标为(eq\f(14,5)，－eq\f(14,25))或(eq\f(16,5)，eq\f(16,25))．10.在平面直角坐标系中，直线y＝eq\f(1,2)x－2与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数y＝eq\f(1,2)x2＋bx＋c的图象经过B，C两点，且与x轴的负半轴交于点A，动点D在直线BC下方的二次函数图象上．(1)求二次函数的表达式；(2)如图①，连接DC，DB，设△BCD的面积为S，求S的最大值；(3)如图②，过点D作DM⊥BC于点M，是否存在点D，使得△CDM中的某个角恰好等于∠ABC的2倍？若存在，直接写出点D的横坐标；若不存在，请说明理由．图①图②第10题图解：(1)直线