现代控制理论控制系统的状态方程求解名师优质课赛课一等奖市公开课获奖课件

当代控制理论基础第1页1第二章控制系统状态方程求解2.1线性定常系统状态方程解2.2线性定常系统状态转移矩阵几个求法2.3线性离散系统状态空间表示式及连续系统

离散化2.4线性定常离散系统状态方程求解第2页2§

2.1.线性定常连续系统状态方程解可见，输出方程求解要依赖状态方程解。关键是求解状态方程。本节重点来讨论这个问题。先讨论自由运动规律，即求自由解。前面我们详细讨论了状态空间表示式建立及相互转换。在建立了新数学模型之后，接着就是求解问题。因为状态空间表示式由两部分组成,即第3页3一、齐次状态方程解 所谓齐次状态方程，与齐次微分方程类似，即输入u(t)=0情况。故齐次方程为：设初始时刻t0=0，初始状态为x01.采取拉氏变换法求解：对齐次方程两边取拉氏变换.反变换即得齐次状态方程解：第4页4下面就来讨论：---解改变是按指数形式改变。对于状态方程解，是否也含有指数形式呢？2.级数展开法：分析标量微分方程可知第5页5第6页6逐项变换即x(t)=e-Atx0当初始时刻为t0≠0,初始状态为x(t0)时所以齐次状态方程解可写为第7页73.求齐次状态解关键是求转移矩阵eAt，前面已给出了两种方法：2.系统状态改变实质上是从初始状态开始状态转移，而转移规律取决于eAt

，eA(t-t0)故称其为状态转移矩阵.普通用1.齐次状态方程解表示了系统在初始条件作用下自由运动，又称为零输入解；小结：来表示。第8页8a)拉氏变换法：例：已知系统状态方程为：试求在初始状态时状态解。因为按幂级数计算不易写出闭式结果，故通惯用拉氏变换法。b)幂级数法：第9页9解：1.求eAt第10页10所以

2.求x(t):第11页11二.状态转移矩阵：解Φ(t),定义为系统状态转移矩阵。1.定义：线性定常系统，初始时刻t0

=0,满足以下矩阵微分方程和初始条件在状态空间分析中状态转移矩阵是一个十分主要概念。第12页12讨论：（1）满足上述定义解为Φ(t)=eAt(t0=0)证实：第13页13所以当Φ(t)=eAt时，又因为Φ(t)=eAt(t=0时)eA0=I+A0+...=I

所以Φ(0)=I故eAt是状态转移矩阵Φ(t)（2）状态转移矩阵Φ(t)是A阵同阶方阵，其元素均为时间函数.第14页14因为状态转移矩阵含有矩阵指数函数形式，故可推出以下性质2.性质：（1）Φ(t-t0)是非奇异阵.且第15页15（2）其中第16页16（3）（4）第17页17由此关系可用于从eAt反求A.例：已知（5）第18页18（6）若则第19页19第20页20块对角阵、约旦块矩阵见P872)、3)第21页21当系统输入u≠0时，其S-E为.直接用分离变量法积分求解方程与采取拉式变换法求解方程,其结果是一致.第一个方法：直接求解法三.非齐次状态方程解：第22页22左乘e-

At：移项：即在区间[t0,t]上积分第23页23结论：非齐次状态方程解由两部分组成： a).由初始状态产生自由分量—零输入解 b).由输入引发强迫分量—零状态解即或：第24页24例：已知系统由前例得：解：1.求eAt：试求：x(0)=0,u(t)=1(t)时状态解。第25页252.求x(t)第26页26将该非齐次状态方程两边取拉氏变换,可得sX(s)-x0=AX(s)+BU(s) 即 X(s)=(sI-A)-1[x0+BU(s)] 其中X(s)和U(s)分别为x(t)和u(t)拉氏变换。对上式两边取拉氏反变换,并利用卷积分公式,则有上述求解关键为等式右边第二项。第二种方法：拉氏变换法第27页27下面先回顾卷积积分拉氏变换法则。设W1(s)和W2(s)分别为原函数f1(t)和f2(t)拉氏变换,则f1(t)和f2(t)卷积拉氏变换为结果与直接求解法完全相同。对上述状态方程求解式利用卷积分公式,则有第28页28所谓脉冲响应，即初始条件为零时，输入u为单位脉冲函数δ(t)，系统输出称为脉冲响应。四.系统脉冲响应及脉冲对应矩阵：依据这个定义，可求线性定常系统脉冲响应。不过多变量系统输入有r个，输出有m个。则脉冲响应显然与传递函数阵维数不一样,即系统地输出为Y(s)=G(s)U(s)是m×1维列向量.而G(s)是m×r维矩阵.在单变量系统定义脉冲响应函数为h(t)=L-1[G(s)]第29页29即h(t)=L-1[G(s)]m×r,而y(t)=L-1[G(s)U(s)]m×1

为了将这一含义推广到多变量系统，我们按以下方式定义脉冲响应函数阵。以后将会知道，在多变量系统中,脉冲响应函数阵虽不等于真正脉冲响应输出y(t),但却等于传递矩阵拉式反变换。定义：m×r阶矩阵h(t)=CeAtB称为系统脉冲响应矩阵。第30页30状态解为：初始时刻t0=0初始状态x(0)=0 设系统状态空间表示式为则输出解为：第31页31讨论单变量系统情况:当输入--卷积第32页32以上关系表明h(t)包含了G(s)全部信息，也反应系统基本传递特征。反之性质：1.h(t)是传递矩阵拉式变换第33页332.h(t)在线性变换下不变性：即证实:令线性变换后.其中: 第34页34则状态转移矩阵满足以下性质：普通有：第35页351.齐次状态方程解：小结：本节主要讨论了状态求解问题：2.非齐次状态方程解：第36页364.脉冲响应矩阵：定义：满足矩阵微分方程解Φ（t）3.状态转移矩阵：第37页37§2.2线性定常连续系统Φ(t)算法1.对低阶系统（三阶以下）计算较方便，写出结果是解析式，在实际中最惯用。特点：一.拉氏变换法： 前面已在求状态解时推出在线性定常系统状态方程求解中，关键是求Φ(t),本节介绍几个算法:2.对于高阶系统，会碰到求逆困难,如第38页38求逆阵可采取一些数值计算方法，用计算机计算。求逆变换关键是高阶分解因式，部分分式展开很麻烦。二.幂级数法：此法是一个直接计算法，前面已介绍过。第39页39特点：是一个无穷开式，极难写成闭式，普通采取近似计算，精度将取决于所取项数多少，适合于计算机计算。例：已知系统状态方程为：试求其状态转移矩阵.解：将A阵代入幂级数展开式第40页40第41页41三.对角形法与约当标准形法：1.矩阵A特征值λ1λ2…λn互不相同，其状态转移矩阵可由下式求得其中：P是使A化成对角形线性变换。第42页42则证实：λ1λ2…λn互异，必有非奇异矩阵P，将A化成对角形，即：第43页43小结：利用对角线法eAt方法: 1.求λ1λ2…λn（条件：λ1λ2…λn互异）; 2.求特征矢量：P1P2…Pn;

3.写出变换阵P=[P1P2…Pn

],求出P-1 4.求eAt：特点：求P阵比较麻烦，惯用于理论推导。第44页44例：已知用对角形求Φ（t）解：1.求特征值：第45页452.求特征矢量：即解出：第46页46第47页47第48页483.求P，P-1：4.求

eAt：第49页49第50页502.矩阵A有相重特征值:定理：若矩阵A有相重特征值，其状态转移矩阵可由下式求得第51页51

eAt=QeJtQ-1

其中：Q是使A化为约当标准形J线性变换阵。证实:若A阵含有重特征值，且每个互异特征值对应一个独立特征矢量，则必存在一个非奇异阵Q，使A阵化为约当标准形J。 即其中

则J=QAQ-1第52页52其中：若Ji为J约当块，则eJit为Φ（t）中对应约当块。第53页53证实:以Ji有三重特征值为例证实。此时第54页54第55页55步骤：求eAt方法同对角形求法相一致 1.求λi； 2.求Qi； 3.求eAt=QeJtQ-1第56页56四.化eAt

为A有限项法：因为eAt

可展开无穷级数，但计算时只取有限项，计算结果是不准确，若能把无穷项级数化成有限项，则计算会简便准确。1.

化有限项相关理论：凯—哈定理及最小多项式概念在当代理论中经惯用到.下面简明介绍一下相关内容：1）矩阵A零化多项式： 定理：设有变量s多项式，矩阵A是n×n阶方阵，若满足：第57页57则称为矩阵Ａ零化多项式。2）凯—哈密顿定理 定理：矩阵Ａ特征多项式是Ａ零化多项式。即：证实：第58页58 又因为 中各元为(n-1)次多项式，故可普通表示为： 代入上式有： 用A代替s将上式展开得 第59页593）矩阵A最小多项式：定义：A零化多项式中，次数最低零化多项式称为A最小多项式。用表示。 求法：定理：设A伴随矩阵全部元素最大公因子为d(s)则. 第60页60注：1.该定理证实要用到矩阵多项式概念. 2.计算要先求。将各元变为因子相乘多项式。从中找出各元最大公因子，且取首1多项式形式. 例：已知：试求A最小多项式并验证凯—哈定理。第61页61解： 1.第62页62所以最大因子：故A最小多项式为：

深入可验证上式是以A为根零化多项式第63页632.验证凯—哈定理： 第64页64则An可表示成低于n阶幂矩阵线性组合。2.eAt能化成有限项依据：由凯—哈定理知：矩阵A特征多项式是A零化多项式，即第65页65由此可推得：上式表明：对于k≥n，Ak均可用An-1，…，A,I这n个独立项线性组合来表示。所以可将eAt无穷项化成有限项。第66页66故可令：设n个根为λ1λ2…..λn，按上式对每个根都有以下结果即特征方程第一个情况：A特征值互异2.待定系数求法式中，—n个待定系数，是t标量函数。第67页67于是对于其中系数与前面eAt系数相同。当k≥n时，λik各项均可用线性组合表示，得出以下方程组：第68页68解此方程组，得系数例：已知试用化为A有限项法求第69页69解：1.求特征值2.求系数第70页70第71页713.求

第72页72第73页73第二种情况：A有相重特征值设A有n重特征值λ1，则按以上方法必有下式但因为是n重根，不能按一样形式写出n个方程，对上式依次对λ1求导，直至（n-1）次，可得到（n-1）个导数方程。然后联立这n个方程解出n个待定系数。即

第74页74解方程组即可求得系数。第75页75第三种情况：系统有单根，也有重特征根设系统矩阵A特征值中，λ1为m重特征值，λm+1，…，λn为互异单特征值，依据情况二列写m个方程，依据情况一列写（n−m）个方程，解上述n个方程，即可得出系数计算公式。例：已知系统矩阵试用化eAt为A有限项法求eAt。第76页762.求系数αi(t)：解：1.求特征值：第77页77

即第78页783.求eAt

：第79页79可见，以上几例求出eAt

中各元都是线性组合。第80页80§2-3 线性离散系统状态空间表示式及连续系统离散化一.离散系统状态空间表示式1.普通形式。由离散状态方程和离散输出方程组成。式中：T是采样周期。方程中矢量，各系数矩阵名称和维数都与连续系统相同，为简单起见常省去T将方程写成以下形式

第81页81即：2.结构图。上述方程可用结构图来表示第82页823.差分方程和脉冲传递函数与离散状态空间表示式之间转换在单变量离散系统中，数学模型分为差分方程和脉冲传递函数两类，它们与离散状态空间表示式之间变换，和连续系统分析相类似。连续D.E离散差分方程脉冲传函状态空间表T.FS.E 达式第83页83解：1,G(z)差分方程状态空间表示式例：已知脉冲传递函数为试求其状态空间表示式差分方程为第84页84所以第85页852.G（z）部分分式法状态空间表示式则第86页863.状态空间表示式G(z)第87页87对连续系统，若惯用数字计算机进行实时控制或求解，首先必须把连续系统转化成离散系统，这个过程称之为连续系统离散化。二.定常连续系统离散化离散方程设定常连续系统第88页88连续系统其状态解为：即取t0=kT,t=(k+1)T1、直接离散化(准确离散化方法)：离散化实质就是用一个矩阵差分方程去代替一个矩阵微分方程。第89页89在其输入向量u(t)=u(kT)，初始时刻t0

=kT，则状态方程解为

对第二项积分作变量代换：令t=(k+1)T-τ；dt=-dτ上限：τ=(k+1)T，t=(k+1)T-τ=0下限：τ=kT,t=(k+1)T-τ=T第90页90与离散系统状态空间模型比较可得：第91页91

例：求离散化方程解：先求eAt：由拉氏变换法得第92页92第93页93第94页94U(s)G0(s)Y(s)2、由脉冲传函实现离散化步骤：1首先求连续系统传递函数2按照离散系统结构图求脉冲传函3按脉冲传函与标准型状态空间表示式关系写出离散化状态空间表示式第95页95U(s)解：因为离散化后系统结构图为：上图传递函数为：例1-26已知连续系统传递函数为，试求其离散化状态空间表示式第96页96对上式取z变换：最终由G（z）写出其能控标准型状态空间表示式第97页97§2-4离散系统状态方程解k=0时,x(1)=Gx(0)+Hu(0)k=1时,x(2)=Gx(1)+Hu(1)=G2X(0)+GHu(0)+Hu(1) ……一.定常离散系统状态方程解：（两种方法）1迭代法：状态方程本身就是一个基本迭代方程依次将采样时刻k=0，1，2，3……代入上式即可。已知：初始时刻KT=0，初始状态为x(0)第98页98几点讨论：2).第k个采样时刻状态，只与采样时刻0,1,2…k-1时输入值相关系，而与第k个次采样时刻输入值无关，这是惯性系统一个基本特征；由初始状态引发响应——反应系统自由运动——零输入响应由输入引发响应——反应系统强迫运动——零状态响应。1).定常离散系统状态解由两部分组成：第99页99φ(k)也满足状态转移矩阵两个定义条件：矩阵差分方程：φ(k+1)=Gφ(k)初始条件：φ(0)=

G0=I证实：

3).与连续系统状态解比较上式中Gk称为定常离散系统状态转移矩阵，记为φ(k)=Gk第100页100

4).φ(k)基本性质第101页101序列：或5).引入φ(k)后，状态解又可表示为：序列：第102页1022.z变换法：对方程两边取z变换与第一个方法比较可知：求反变换：第103页103所以第104页1042.迭代法求出解是一个数值解。只能求出某一时刻数值。但迭代公式本身就是状态方程，简单方便，而且不用求出状态转移矩阵Gk；假如已求出φ(k)=Gk，则可用解迭代公式求出自由分量和强迫分量.1.z变换求出解是一个完整解，其中解结构可分为自由解和强迫解两部分，可分别求出，对分析运动过程有本质帮助。解形式是一个闭式，即解析式。注：第105页105例：求线性定常离散系统解解：(1)用迭代法求解已知第106页106直至第107页107(2)用标准型求Gk,再代入解迭代公式也可先求出第108页108又知u(k)=1于是（3）用z变换法求解:先计算(zI

–G

)-1第109页109第110页110令k=0，1，2，3，…代入上式，可得以上两种方法计算结果完全一致，只是迭代法是一个数值解，而z变换法则得到了一个解析表示式。第111页111二、离散系统状态转移矩阵离散系统状态转移矩阵Φ(k)求取与连续系统转移矩阵Φ(t)极为类似。2．z变换法依据z变换法求取离散系统状态方程解中对应关系，状态转移矩阵Φ(k)为来计算。该方法简单，易于计算机来解，但不易得到Φ(k)封闭式。1．直接法依据离散系统递推迭代法中定义第112页112那么，离散系统状态转移矩阵Φ(k)为式中，为对角线标准形，若特征方程│λI−G│=0特征根为λ1，λ2，…，λn，则有3．化系统矩阵G为标准形法（1）当离散系统矩阵G特征值均为单根时当离散系统矩阵G特征根均为单根时，经过线性变换可将系统矩阵G化为对角线标准形，即第113页113式中，P为化系统矩阵G为对角线标准形变换矩阵。第114页114例:齐次离散系统状态方程为试求其状态转移矩阵Φ(k)。解：其特征值λ1=−0.2λ2=−0.8化系统矩阵G为对角线标准形变换矩阵P为第115页115则第116页116(2)当离散系统矩阵G特征值有重根时式中J—约当标准形；

Q—化系统矩阵G为约当标准形变换矩阵。4．化为G有限项法应用凯莱-哈密尔顿定理，系统矩阵G满足其本身零化多项式。离散系统状态转移矩阵可化为G有限项，即第117页117式中αi(k)(i=0，1，…n−1)为待定系数，可仿照连续系统方法来求取。例:线性定常离散系统状态方程为试求系统状态转移矩阵Φ(k)。解：离散系统特征方程为第118页118其特征值λ1=−1λ2=−2待定系数可按下式求取解之得则离散系统状态转移矩阵为第119页119第120页120第二章总结一、线性定常连续系统