数学学习的理论探讨课件

数学学习的理论探讨数学学习的理论探讨2前言：教师成为研究者 20世纪80年代以来，教师教育出现了一种“反思性转向”。以美国为开端，关于反思的讨论迅速在教师教育界兴起。这种讨论的结果就是形成了“教师即研究者”（Elliott，1990）的理念，也就是说，教师不应只是别人研究成果的消费者，更应是研究者。教师即技师（Teacherastechnician）教师即研究者（Teacherasresearcher）2前言：教师成为研究者 20世纪80年代以来，教师教育出现了3一、教师成为研究者是教师专业发展的需要

“教师成为研究者”有利于教师去发现和解决发生在自己课室中的教学问题，或是教育上的问题，进而改进教学以及提升教育质量。“研究者”与“教师”看问题的视角往往是不一样的，“教师成为研究者”有利于促进教师对学生学习的理解。“学”是“教”的前提，只有理解了学生是怎么学的，教学才能对症下药。在理解学生的学习方面，教师的经验固然重要，但由于学习行为是一种复杂的心理活动，因此，单纯的经验有时也会将教学引入歧途。“教师成为研究者”有助于促进教师之间、教师与专业研究人员之间、以及教师与其它行业之间的合作与交流。教师的经验由于带有太多的个性，一旦脱离了具体的情境，就难以被别人理解与借鉴，只有通过研究，将经验提升为一种带有共性的东西，才可能跨越时空和行业的界线。3一、教师成为研究者是教师专业发展的需要“教师成为研究者”4二、教师成为研究者是课程改革的需要

数学新课程的实施，带来了许多新的东西，如：新的教学理念，新的教学方法，新的教学内容，以及传统教学内容的新的处理。随之而来的则是一些新的问题和老师们的种种困惑：如何看待我国的双基教学？传统的教学经验是不是不适用啦？什么是数学探究？如何评价教学的有效性？等等。为了解除困惑，老师们常常把目光转向专家和理论，而他们常常又会发现，专家们的观点似乎并不一致，理论也似乎没有定论。于是，又形成了新的困惑。无怪乎，台湾的报纸用三个字来概括实施（台湾地区）新课程后老师们的心情，那就是：“忙、盲、茫”。 要改变这种现象，“教师成为研究者”至关重要。因为面对新的情境，老的经验往往并不适用。只有采取研究的态度，才能透过表面的现象看清本质的东西，从而提高教师的洞察力和鉴别力，而不至于像墙头草那样，风吹两面倒。4二、教师成为研究者是课程改革的需要 数学新课程的实施，带5三、研究风格的转变自上而下（演绎法）→自下而上（归纳法）定性研究→定量研究→定性研究（质的研究）教育学方法（望远镜）→心理学方法（显微镜）→数学教育研究方法（？）理论研究（改变理论）→实证研究（检验假设）→行动研究（改变行为）象牙塔（独立研究）→课堂（合作研究）基于书面资料（博览群书）→基于因特网（搜索与鉴别）5三、研究风格的转变自上而下（演绎法）→自下而上（归纳法）6四、数学教育的基本研究规范6四、数学教育的基本研究规范7论文的一般格式课题的提出文献综述研究方法研究过程结果与应用参考文献附录（已有的成果及其与本研究的联系）（起因与意义）（取样，问卷，测试卷等及其信度和效度，包括反应率）7论文的一般格式课题的提出文献综述研究方法研究过程结果与应用8五、几点建议8五、几点建议9选择一个适合自己的研究方向

数学教育涉及的研究领域和方向很多，教师的工作又比较繁忙，不可能关注数学教育研究的方方面面，因此，首先要选择一个适合自己的研究方向，作为自己的立足之地，然后安营扎寨，踏踏实实地做一点自己的东西。现在学术界的新观点、新口号很多，但笔者以为，做研究不能赶潮流，因为引领潮流的毕竟只有极少数的人，大多数只能随波逐流，容易迷失方向。大约在7年前，笔者因为出国访学的事，罗列了自己的一些研究成果去拜访张奠宙先生。先生的评价是：你的研究只是东一榔头、西一榔头，看不出自己的研究特长。这让我很是振动。从此，我就在努力寻找适合自己的研究领域。9选择一个适合自己的研究方向 数学教育涉及的研究领域和方向10从“小”做起

喜欢做大做空，是我国传统教育研究的一个通病，为此，张奠宙先生曾多次呼吁要改一改我们的文风。从研究角度来看，大体上有两种：一种是“望远镜”式的，高瞻远瞩，整体把握；另一种是“显微镜”式的，选一个小的切入点，逐步深入。从目前的国际趋势来看，更喜欢后一种方式；而从我们教师的实际情况看，比较合适的也是后一种。 本刊的老主编唐复苏教授经常挂在嘴上的一句话是：文章不在长短，有一得之见即可。这一得之见指的是自己的独到见解，而不是泛泛而谈。我们不能期望一篇短文能够讲出许多的大道理。10从“小”做起 喜欢做大做空，是我国传统教育研究的一个通11注意相关文献的积累

做研究不能靠拍脑袋。虽然论点的选择可以来自经验，但经验不能代替有效的论据。在一些学术期刊的文章中，我们仍然可以看到：“我认为…”这类比较随意的断言，却始终没有给出为什么可以这样认为的证据，则不是研究的态度。当然，像《中学数学月刊》这样兼顾学术性和实用性的刊物，并不排斥有效教学经验的分享，但要成为一个研究者，就不能仅仅是经验之谈。 提高研究水平的一条具体措施就是注意相关文献的搜集与积累，也就是要理清楚在自己的研究方向上，别人已经做了哪些工作。这样才不会原地踏步，或者做重复劳动。我国老一代数学教育研究者戴再平教授在这方面可以说是一个典范，他不仅自费订阅几乎全部的中小学数学类期刊，而且制作了大量的学术卡片。正是这种勤奋，使得他几乎可以著作等身。虽然在网络时代，研究资料的搜集更为便捷，但也同样需要日积月累。11注意相关文献的积累 做研究不能靠拍脑袋。虽然论点的选择12掌握基本的研究方法

长期以来，学科教育研究常常受到学科专家的质疑，其根本原因就是研究方法的科学性。与自然科学不同的是，教学假设是不能用纯逻辑的方法来论证的，教学实验也通常是不可复制的。因此，研究方法的适用性及信度和效度就成为关键的因素。近年来流行的教学研究方法包括：案例研究，问卷调查，深度访谈，出声思维，录像带分析，教学实验等等。这些方法并不需要高深的理论知识，用几次就熟悉了。12掌握基本的研究方法 长期以来，学科教育研究常常受到学科13增加合作与交流

现代社会越来越强调人与人的合作交流，数学教育研究也是一样。这里的合作交流不仅仅指研究结果的呈现，更在于研究过程的开放性。近年来，国外的一些研究人员往往从选题开始就在网络上公布，并毫无保留地展现自己的研究过程，包括其中的困惑，希望引起别人的关注与介入。这种做法，于人于己都有益处。13增加合作与交流 现代社会越来越强调人与人的合作交流，数14教师参与研究的程度汉森（Henson,1996）曾将教师参与研究的程度分为三级：第一级为“协助者”（helper）的角色，即仅提供教室与学生给外来的研究者使用；第二级为“初级研究者”（juniorpartner）的角色，即虽共同参与研究，但并不参与任何研究上的决策；第三级为“实质研究者”（researcher）的角色，即不论单独进行或与他人合作研究，皆处于主导研究的地位。研究表明，唯有位于第三级的教师，才能确实利用研究来改进自身的教学。

14教师参与研究的程度汉森（Henson,1996）曾将15提纲I. 前言II. 范希尔的几何思维水平III. 克鲁切茨基的数学能力心理学IV. 韬尔的高等数学思维研究V. 安德森的ACT-R理论VI. 杜宾斯基的APOS理论15提纲I. 前言16I.前言呼唤数学领域自身的学习理论！教育心理学教学心理学教与学心理学学与教心理学学习理论16I.前言呼唤数学领域自身的学习理论！教育心理学教学心理17理论的意义支持预测；为研究提供框架；具有解释的能力；能够应用于广泛的现象；有助于组织对复杂的相关现象的思考；作为数据分析的工具；提供一种深层次的交流观点的语言。17理论的意义支持预测；18数学学习领域的理论建构两条途径：第一条途径是“一般学习理论+数学例子”，也就是将一般的学习原理应用于具体的数学学习情境，然后根据数学学习的特点修正原来的理论，或者提出新的假设去寻找更合适的理论依据。另外一条途径则源自数学学习中的问题与经验,通过建立模型去解释数学学习的心理过程。这一类研究人员通常是数学专业出生，对数学有较为深入的理解，但在教育学和心理学的理论功底上有所欠缺，其研究的重点主要在于大学生和中学生的数学学习。相比之下，心理学界对数学学习的讨论主要集中在小学阶段。18数学学习领域的理论建构两条途径：19学习理论研究的趋势：走进课堂

三十年前,教育工作者们很少关注认知科学家的工作,在认知科学研究的初期,研究者们的工作是远离课堂的.今天,认知研究者们更多的是与教师合作,在真实的课堂情景中检验和改进他们的理论,因为在教室里,他们才能看到不同的课堂情境和不同的课堂交往是如何影响他们的理论在课堂中的应用.摘自《人是如何学习的》19学习理论研究的趋势：走进课堂三十年前,教20II.范希尔的几何思维水平20II.范希尔的几何思维水平21起因 在50年代的荷兰，几何教学所面临的问题是很普遍的（Freudenthal,1958）。范希尔夫妇（PierreVanHiele&DinaVanHiele）作为荷兰一所中学的数学教师，每天都亲身经历着这些问题。最让他们感到困惑的是教材所呈现的问题或作业所需要的语言及专业知识常常超出了学生的思维水平，这使得他们开始关注皮亚杰的工作。经过一段时间的研究，他们提出了几何思维的五个水平。这一成果最初发表在他们夫妇于1957年在乌特勒克大学共同完成的的博士论文上。21起因 在50年代的荷兰，几何教学所面临的问题是很普遍的（22评价 前苏联学者很快就注意到了范希尔的思想，他的论文（1959）在1963年就由皮什卡罗（A.M.Pyshkalo）作了详尽的报道。10年之后，美国人才开始了解范希尔的工作。在1974年召开的大西洋城NCTM年会上，芝加哥大学的威兹普（IsaakWirszup）将范希尔的思想正式介绍给了美国学者，并同时介绍了前苏联几何教学的“惊人进展”。威兹普的报告后来以“几何教学心理学中的一个重大突破”为标题发表在Martin和Bradbard主编的著作上（Wirszup，1976）。与此同时，弗赖登塔尔也提供了思维水平在数学归纳法学习中的范例。他发现，数学归纳实际上也是沿着五个思维水平发展的（Freudenthal,1973,p123）。所有这一些，使范希尔理论引起了全世界的广泛关注，并成为上世纪80年代几何教学研究的一个热点。22评价 前苏联学者很快就注意到了范希尔的思想，他的论文（123水平的划分层次0︰视觉(visuality)层次1︰分析(analysis)层次2︰非形式化的演绎(informaldeduction)层次3︰形式的演绎(formaldeduction)层次4︰严密性(rigior)23水平的划分层次0︰视觉(visuality)24层次0︰视觉(visuality)儿童能通过整体轮廓辨认图形，并能操作其几何构图元素（如边、角）；能画图或仿画图形，使用标准或不标准名称描述几何图形；能根据对形状的操作解决几何问题，但无法使用图形之特征或要素名称分析图形，也无法对图形做概括的论述.例如：儿童可能会說某个图形是三角形，因为它看起來像一个三明治。24层次0︰视觉(visuality)儿童能通过整体轮25层次1︰分析(analysis)儿童能分析图形的组成要素及特征，并依此建立图形的特性，利用这些特性解决几何问题，但无法解释性质间的关系，也无法了解图形的定义；能根据组成要素比较两个形体，利用某一性质做图形分类，但无法解释图形某些性质之间的关联，也无法导出公式和使用正式的定义。例如：儿童会知道三角形有三条边和三个角，但不能理解如果内角愈大，则对边愈长的性质。25层次1︰分析(analysis)儿童能分析图形的组成要26层次2︰非形式化的演绎(informaldeduction)儿童能建立图形及图形性质之间的关系，可以提出非形式化的推论，了解建构图形的要素，能进一步探求图形的内在属性和其包含关系，使用公式与定义及发现的性质做演绎推论。但不能了解证明与定理的重要性，不能由不熟悉的前提去建立证明结果的成立，也未能建立定理网络之间的内在关系。例如：学生了解了等腰三角形的性质后，他们会推出等腰直角三角形同时也是直角三角形的一种，因为等腰直角三角形较直角三角形多了一些性质的限制。因此，学童能作一些非正式的说明但还不能作系统性的证明.26层次2︰非形式化的演绎(informaldeduct27层次3︰形式的演绎学生可以了解到证明的重要性和了解“不定义元素”、“定理”和“公理”的意义，确信几何定理是需要形式逻辑推演才能建立的，理解解决几何问题必须具备充分或必要条件；能猜测并尝试用演绎方式证实其猜测，能够以逻辑推理解释几何学中的公里、定义、定理等，也能推理出新的定理，建立定理间的关系网络，能比较一个定理的不同证明方式；能理解证明中的必要与充分条件，例如至少有一个边对应相等或至少一个角对应相等是证明两个三角形全等的必要条件，两角夹边对应相等则是两三角形全等的充分条件；能写出一定理的逆定理，如平行四边形的对角线互相平分，其逆定理是对角线互相平分的四边形是平行四边形。27层次3︰形式的演绎学生可以了解到证明的重要性和了解“不28层次4︰严密性在这个层次能在不同的公理系统下严谨地建立定理以分析比较不同的几何系统，如欧氏几何与非欧氏几何系统的比较。28层次4︰严密性在这个层次能在不同的公理系统下严谨地建立29水平的修正（VanHiele，1986）直观水平（visuallevel）——整体地认识几何对象。Fuys,geddes,Lovett和Tischler（1988）认为这一阶段是“学习者依据几何图形的外表来认识，命名，比较，和画出这些图形的时候，像三角形，角度，平行线”。描述水平（descriptivelevel）——通过几何性质认识几何对象。在这一阶段学生按照图形的组成部分和这些组成部分之间的联系来分析图形。学生依据经验确立图形的性质和使用这些性质解决问题。理论水平（theoreticallevel）——利用演绎推理证明几何关系。在描述阶段中由Murray（1997）提出的概念网络图在这一阶段完整和稳定了。学生理解和接受了准确的定义，学生谈论形状时涉及到这些定义，学生理解图形内部和图形之间的联系。这一阶段学生能够运用“如果┉那么”思想，并由此发展逻辑推理能力。29水平的修正（VanHiele，1986）直观水平（v30SOLO理论SOLO是“学习结果的结构性观察”（StructureOftheObservedLearningOutcome）的缩写，由澳大利亚学者Collis和Biggs（1982）所创，SOLO分类法的理论基础是结构主义学说和皮亚杰认知发展阶段理论30SOLO理论SOLO是“学习结果的结构性观察”（Str31SOLO水平分类SOLO层次规则描述前结构学生无法解决问题或只会重复问题。学生不能理解要点。单结构学生注意到了问题的一个相关特征，但事实或观点之间没有联系。理解是有名无实的。多元结构学生找到了许多独立的相关特征，但还无法将他们有机联系起来。关联结构整合各部分内容使其成为一个有机整体。扩展抽象学生会归纳问题或重新概念化到更高的抽象层次31SOLO水平分类SOLO规则描述前结构学生无法解决问题32范希尔理论与SOLO理论的比较SOLO分类与范希尔理论在许多方面是相似的，如两者都为教师提供了一种评价学生推理的途径；两者都可以作为一种教学的框架；在各级水平（特别是最高水平和最低水平）上学生的反应指标有些类似；等。但两者之间的区别也是存在的，如SOLO系统侧重于评价学生的学习结果，而范希尔的目标则是学生个体的能力变化（Jurdak，1989，p.156）；SOLO分类可以应用于所有的学科，而范希尔一般只适用于几何课程；SOLO系统除了五个结构层次外，还给出了不同层次之间的“过渡水平”，目的是帮助学生从一个层次向另一个层次过渡，而范希尔的教学阶段则聚焦于每个层次上的教学设计32范希尔理论与SOLO理论的比较SOLO分类与范希尔理论33几何思维水平的评估

范希尔理论在几何评价上的应用主要包括相关的两个方面：一是在每个思维水平上设计出相应的测试题；二是利用编制好的测试题考查学生的范希尔思维水平。 在这方面的工作中，第一个，也是最经典的一项研究是芝加哥大学的一个题为“中学几何课上学生认知的发展和成就”的研究课题。这项研究的目的是确定学生的认知发展阶段以及学生在一个数学基础知识测验上的成绩对他们掌握几何概念和证明的影响（Usiskin，1982）。这项课题的对象包括了六个州的学习高中几何课程的近2900名学生。33几何思维水平的评估 范希尔理论在几何评价上的应用主要包34Usiskin得到的初步的研究结果以纸笔测验进行施测，有8﹪的初初中生可达到vanHiele层次3之上。范希尔几何思考层次和几何测验分数间有显著的相关。部分学生的解答介于两个水平之间，难以指派到某一层次。完成中学几何课程后，仍有40﹪学生的几何发展仍在层次3以下。范希尔层次在性别间有差异现象。利用vanHiele几何思考层次可预测学生在标准几何学习上会遇到困难34Usiskin得到的初步的研究结果以纸笔测验进行施测，35III.中小学生数学能力心理学35III.中小学生数学能力心理学36简介

前苏联心理学家克鲁切茨基从50年代末开始就对中小学生数学能力进行了长达十二年的研究.他运用深度访谈、问卷调查、跟踪分析、出声思维等质的研究方法，分析了不同能力的学生解题时的心里特性，以及数学能力组成成分中的类型、年龄、性别差异以及数学能力与个性的关系。这些研究成果集中反映在其著作《中小学生数学能力心理学》中。这本书的俄文版在1968年出版后，于1976年被基尔帕特里克等人翻译成英文版（Krutetskii,1976）。分别于1983、1984和1993年由我国上海教育出版社、教育科学出版社和九章出版社出版的中译本均译自这本英文版。36简介 前苏联心理学家克鲁切茨基从50年代末开始就对中小学37评价

“可以毫不夸张地说，这本书对从事数学教育的人来说，和皮亚杰的著作有同样的影响力。正像皮亚杰的实验题目曾为教师和研究人员所改编和使用一样，克鲁切茨基的实验题目更接近于学校的数学课程，因而同样地能为教师和研究人员加以改编和使用；正如皮亚杰关于智力发展的概念曾使教育工作者认识到不同年龄儿童思维上的差异一样，克鲁切茨基关于数学能力结构的概念，能使他们认识到能力的不同组成和它们是怎样在共同起作用的；正如皮亚杰曾经扩大了我们关于什么是恰当的研究方法一样，克鲁切茨基则更进一步扩展了这个概念。”基尔帕特里克

37评价 “可以毫不夸张地说，这本书对从事数学教育的人来说，38三个基本问题数学能力特殊性问题。数学能力本身是作为一种特殊形式存在，与一般智力范畴不同呢，还是数学能力是一般心理过程和人格品质的特殊化呢？也就是说，一般智力是与数学能力一起发展的吗？换句话说，人们能说数学能力不外是一般智力加上对数学的兴趣和学习数学的倾向性吗？数学能力的结构性问题。数学禀赋是单一性的（单独的、不可再分的）还是综合性的（复杂的）？如果是综合性的，人们就可追问关于数学能力的结构问题，也就是复杂心理形式的组成成分问题。数学能力的类型差异问题。是否存在着不同类型的数学秉赋或者有一个主要成分而只是在对某些数学分支的兴趣和倾向上出现差别？38三个基本问题数学能力特殊性问题。数学能力本身是作为一种39（一）能力结构39（一）能力结构40两类数学能力作为创造性（科学）的能力——在数学科学活动中的能力。这种能力产生对人类有意义的新成果与新成就。这是在社会上有价值的成品。作为学校的能力——在学习（学会、掌握）数学（在这种情况下是学校的数学课程）上的能力，迅速而成功地掌握适当知识和技能的能力。40两类数学能力作为创造性（科学）的能力——在数学科学活动中41中小学生数学能力结构1.获得数学信息

A.对于数学材料形式化感知的能力；对问题形式结构的掌握能力。2.数学信息加工在数量和空间关系，数字和字母符号方面的逻辑思维能力；对数学符号进行思维的能力。B.迅速而广泛地概括数学对象、关系和运算的能力。C.缩短数学推理过程和相应的运算系统的能力；以简短的结构进行思维的能力。D.在数学活动中心理过程的灵活性。E.力求解答的清晰、简明、经济与合理。F.迅速而自如地重建心理过程的方向、从一个思路转向另一个相反思路的能力（数学推理中心理过程的可逆性）。3.数学信息保持A.数学的记忆（关于数学关系，类型特征，论据和证明的图式，解题方法及探讨原则的概括性记忆）。4.一般综合性组成成分

A.数学气质。41中小学生数学能力结构1.获得数学信息42数学禀赋结构中非必要成分以时间为特征的心理过程的敏捷性。数学家可以慢慢地思考，但是却想得非常透彻和深刻。计算能力。法国著名数学家庞卡莱说，他自己即使做加法也要出错误。对符号、数字和公式的记忆。正如科尔莫戈罗夫指出的那样，许多著名数学家在这方面的记忆并不突出。关于空间概念的能力；对抽象数学关系和相依关系形象化的能力。42数学禀赋结构中非必要成分以时间为特征的心理过程的敏捷性43（二）研究中小学生数学能力的实验题体系普通测验： 考查学生知道什么和会什么。能力测验： 考查学生解题的容易程度和迅速程度43（二）研究中小学生数学能力的实验题体系普通测验：44选择实验题的依据选用的实验题目或是不需要特殊的知识、技能或习惯就可以解决的，或是它所需要的知识对全体学生来说都是具备的。实验题目对学生来说是新的，所用的材料也是他们不熟悉的，因此，也就大大减弱了过去经验的影响。如果他们的材料是新近学过的，那么就使我们有可能去探索学生掌握新技能的特点（解答相应类似题目的技能）。我们运用了一些具有数学创造性成分的题目——非常规的题目。44选择实验题的依据选用的实验题目或是不需要特殊的知识、技45系列1：没有提出问题的题目考查目的：本系列题目中，既没有直接提出问题，也没有间接提出问题，但题中所给的数量关系可以合乎逻辑地引申出问题。目的是弄清学生是否能提出问题，是否能发现题目中已知关系的逻辑依从性，是否能理解这些关系的本质，以此来考查学生对数学题的心理知觉的某些特征。考查方法：由算术、代数、几何三套测验组成，学生拿到一张带题目的卡片之后就立即阅读并立即提出问题。主试要弄清被试的整个推理过程，并记下测验所用的时间。45系列1：没有提出问题的题目考查目的：本系列题目中，既没有46系列2：信息不完全的题目考查目的：本系列题目中有些信息缺少了，看起来对所提的问题似乎不可能有正确答案，而当补充了信息以后，就能得到正确的答案。目的是弄清学生能否指出解题必需具备的条件，并注意到丢失的信息，以此考查学生能否看出题目的形式结构。考查方法：由算术和几何两套测验组成，当学生肯定地回答不能解决问题时，要求他说明原因，并补上丢失的信息。46系列2：信息不完全的题目考查目的：本系列题目中有些信息缺47系列3：有多余信息的题目考查目的：本系列题目中插进了附加的、不必要的信息，或者没有用的提示，以掩盖解题所需要的论据，目的是弄清学生能否辨别解题所需要的条件体系，以揭示他们头脑中理解数学题的一些特点。考查方法：一般用两组题：“总是缺少必要的条件”“都有多余的事实”同时进行，可在学生学习了典型例题的一课、一周或一月之后进行，用以考查学生是否记住了：1）题目的类型；2）特殊的事实；3）多余的信息。47系列3：有多余信息的题目考查目的：本系列题目中插进了附加48系列4：具有互相渗透因素的题目考查目的：研究学生分析—综合知觉几何图形的一些因素，特别是从不同观点辨别和确定几何图形渗透成分的技能，从背景中区分出图形和图形成分的技能，把一个成分包含在不同图形中，并给予恰当的不同解释的技能。考查方法：主要几何测验，其图形中有些要素是“互相渗透的”，如看出棋盘中有多少个长方形。48系列4：具有互相渗透因素的题目考查目的：研究学生分析—49系列5：单一类型的题目体系考查目的：通过学生怎样从不同的题目中看出一般的类型、如何从解决同一类型简单的题目到解决复杂的题目、以及他们怎样从外表类似的另一类型的题目中区分出这一类型的题目，来考查他们的概括能力。并通过分析学生连续解一个类型的问题时的推理过程，来判断他们“缩短”推理的能力。考查方法：对不同层次的学生用两组不同难度的测验，每组测验由8道题，由易到难体现了一个类型从容易到复杂的“阶梯式”。测试时，先做第8题，不行就做第1题，然后再做第8题，不行再做第2题，如此下去，只要求学生回答解题的思路，而不必完整解题。49系列5：单一类型的题目体系考查目的：通过学生怎样从不同的50其它系列系列6：不同类型的题目体系系列7：从具体到抽象逐渐过渡的题目体系系列8：按照特定的类型编题系列9：证明题系列10：运用题目的各种条件列方程式系列11：不现实的题目系列12：形成人工概念系列13：有几种解法的题目系列14：变化内容的题目系列15：重建一种运算的题目系列16：暗示“自我限制”的题目系列17：正向和反向的题目系列18：启发（探索）性课题系列19：关于理解和逻辑推理的题目系列20：系列题目系列21：数学诡辩题系列22：项目难记的题目系列23：在解答中具有不同程度直观性的题目系列24：既有语言又有直观表达的题系列25：有关空间概念的题目系列26：揭露非智力活动方面的直观形象与语言逻辑成分之间关系的题目50其它系列系列6：不同类型的题目体系系列17：正向和反向的51（三）能力差异

克鲁切茨基坚决主张有所谓“有数学头脑”——即倾向于以数学方式来解释世界的人。在数学禀赋好的学生身上可以清楚地看到这一点。他还提到，这种倾向甚至在人一生下来就可能有所表现。他区分出三种数学头脑的基本类型：分析型（倾向以言语——逻辑的关系来思考）、几何型（倾向以视觉——形象的关系来思考）和调和型（兼具前两种类型的特征）。

“能力问题也就是个别差异问题。如果每个人在各方面的发展和在从事任何活动上都有同样的能力，那么讨论能力问题也就没有意义了。我们谈论能力问题，就等于预先假定了人们之间有某些个别差异。没有一个人在任何事情上都是无能的，每个人都有最适宜从事某种活动的能力，不过，同是从事一样的工作，也有能力水平上的差异。”

（克鲁切茨基，1984）51（三）能力差异 克鲁切茨基坚决主张有所谓“有数学头脑”—521.天才儿童的个案研究521.天才儿童的个案研究53个案1：索尼娅

（2年级，1950年生于莫斯科，小传完成于1958-1959年）

她有一个7年级的哥哥，发育正常，没有表现出数学才能，她的近亲中只有外祖母据说酷爱数学，但无据可查。 索尼娅个子矮小，动作缓慢，讲话从容（甚至是慢吞吞地），情感表达较差；除了算术成绩优良外，其它各门功课学习正常，成绩一般。写作很差，阅读也不流畅，不大喜欢做作业。她有高度集中的能力。当她思想集中时，她不能安静地坐着，而是走来走去，坐立不安，有时甚至会做出各种反常的动作。有一次，她竟在解答一道难题时，突然站起来跑到床上，像演员表演似地翻了一个筋斗又回来坐到椅子上。但当她从事过于简单的事情时，会明显地表现出心不在焉。这就是为什么她常常10以内的加法做错的原因。在实验中，她用60节课就学完了5-7年级的全部数学课程。15岁时成为莫斯科大学数学力学系的学生53个案1：索尼娅

（2年级，1950年生于莫斯科，小传完成54心理特点推理和心理定向敏捷。这是索尼娅最显著的特征之一。通常她能以惊人的速度找到她所能理解的一种解题方案。可以说，她对数学材料有一种独特的分析和综合的“眼力”，她能立刻找到一个解题方法或看出证明的逻辑。54心理特点推理和心理定向敏捷。这是索尼娅最显著的特征之一。55心理特点（续）逻辑推理，有系统、有顺序的思考力。这也是索尼娅最显著的特征之一。她对定理的意义、求证的含义都理解得相当透彻。她能很容易地从前提得出结论，但并不简单地相信它。她在论证上逻辑严密，且有说服力。她解答数学题都毫无例外地经过逻辑上的验证。55心理特点（续）逻辑推理，有系统、有顺序的思考力。这也是索56解题分析1问题：一个牧人对另一个牧人说：“你给我8只羊，我们两人的羊数就相等了”。另一个牧人回答说：“不，你给我8只羊，我的羊就成了你的两倍。”56解题分析1问题：一个牧人对另一个牧人说：“你给我8只羊，57索尼娅的解答“假如一个牧人给另一个牧人8只羊，他们两个人的羊数就一样多，就是说，两者的差数是16只羊。另一方面，如果另一个人拿出了8只，他们的差数就成了32只，这样可以知道，一个人比另一个人多两倍，或者说多32只，就是说他们的羊数是32和64。他们交换之前的羊数是40和56。”她只用了40秒。57索尼娅的解答“假如一个牧人给另一个牧人8只羊，他们两个人58解题分析2例2：索尼娅证明了三角形的内角和等于平角之后，应实验者的要求，很容易地又证明了四边形的内角之和等于两个平角，及五边形的内角和等于3个平角并画了图（图1）。然后，她想了想说：“任何多边形都是如此：三角形的数目永远比边的数目少2。所以，要求内角和，就必须从边数中减2，再乘以2d。”

2d2d2d2d2d58解题分析2例2：索尼娅证明了三角形的内角和等于平角之后，59心理特点（续）思维的灵活性。索尼娅不受陈腐思想的束缚和一般解题方法的限制，她能很容易地从一种心理运算转为另一种运算，从一种解题方法转为另一种解题方法，而且通常能找出多种解法。59心理特点（续）思维的灵活性。索尼娅不受陈腐思想的束缚和一60解题分析3例3：小鸡和兔子在外面跑，一共有35个头，94只脚，问鸡兔各有多少？索尼娅的解答是：“如果全部是35个头，那么鸡兔总共有35只。假如全是小鸡，就有70只脚，就是说另外多出了24只脚。因为在院子里跑的除了小鸡外，还有兔子，每只兔子比小鸡多两只脚，这意味着有12只兔子和23只小鸡。还可以这样做：一共有94只脚，假如全是小鸡，就有47只，但总共只有35个头——少了12个头。这12个头，每头应有4只脚而不是2只脚。所以是12只兔子和23只小鸡。”

60解题分析3例3：小鸡和兔子在外面跑，一共有35个头，9461心理特点（续）能自如地从正面的思维进程转到反面的思维进程。解答问题时推理的迅速简略和“压缩”的倾向。“节约思考”的明显倾向。索尼娅的一个显著特点是，力求找出一种最简便的解题方法，解答力求简单、明了。对数学材料的迅速而牢固的记忆。虽然她对具体材料和数只有在解题的时候才记住，但对求证的基本过程、题目的类型和解题原则以及推理的基本模式却记得很牢。对数学作用很少感到疲劳。此外，她特别倾向于在许多生活现象中寻找它在数学与逻辑学上的意义，并把它纳入逻辑与数学范畴的结构中来加以认识。61心理特点（续）能自如地从正面的思维进程转到反面的思维进程62有关数学天才儿童的初步结论数学才能在童年早期就能形成，其中大部分是以计算能力的形式出现。数学才能的早期形成并非总是跟环境与培养上的有利条件联系着的。才能的早期发展是与算术兴趣的形成和乐于钻研的倾向分不开的。这常常表现为不懈地努力计算、解题和自己编题，而这又和他们能够长时间的紧张工作而不感疲劳有关。数学才能表现比较早的儿童，他们的心理活动具有下列特点：概括数学材料的能力（能在表面上互不相同的，或者互不联系的事物中，看出存在一般性的能力）；心理过程的灵活性；力求找出最简洁明了的解题方法；对一般化的关系、推理的模式和解答典型问题的方法有良好的记忆力；推理过程的缩短和减少推理的个别环节；对周围环境有一个初级形式的“数学”直觉——许多事物或现象似乎都是透过数学关系的棱镜折射出来的。有数学才能的儿童，在他们的童年的早期就可以看出，他们解题时，对视觉—形象与言语—逻辑这两种智力活动的成分的依赖程度是不同的。他们之间存在着类型上的差异。62有关数学天才儿童的初步结论数学才能在童年早期就能形成，其63陶哲轩:一个华裔数学天才的传奇2006菲尔兹奖（数学界的诺贝尔奖）的一个显著特点是，四位获奖者中的两位，俄罗斯的佩雷尔曼和澳大利亚的陶哲轩，均为昔日奥数金牌得主。相形之下，中国虽然也有不少奥数奖牌得主，却没有人能够取得像他们那样的杰出成就，有些人甚至远离了数学。这是一个值得思考的问题。南方周末7岁开始自学微积分，8岁半升入中学，12岁获得奥数金牌，20岁获得普林斯顿大学博士学位，24岁被洛杉矶加州大学聘为正教授，31岁获得菲尔兹奖。他就像莫扎特，数学是从他身体中流淌出来的……研究天才教育的新南威尔士大学教授米那卡·格罗斯（MiracaGross）在陶哲轩11岁时出版的一篇论文中写道，陶哲轩的智力明显超过班上其他孩子，但他不知道怎么与那些比自己大两岁的孩子相处，而学校的老师面对这种状况也束手无策。63陶哲轩:一个华裔数学天才的传奇2006菲尔兹奖（数学界的642.好、中、差三类学生的差异性研究克鲁切茨基的研究：根据能力结构分析三类学生的差异匈菲尔德的研究：专家—新手的对比分析青浦实验：几何能力差异性研究一个假设：典型例题新问题化归（策略）差生优生中等生642.好、中、差三类学生的差异性研究克鲁切茨基的研究：根65IV.高等数学思维研究65IV.高等数学思维研究66英国沃瑞克大学（WarwickUniversity）ModernRecordsCentre

UniversityofWarwickLibrary

CoventryCV47AL66英国沃瑞克大学（WarwickUniversity）67一、斯根普的工作March10,1919–June22,199567一、斯根普的工作March10,1919–Jun68代表作ThePsychologyofLearningMathematics(1971)

inseveraldifferentversionsIntelligenceLearningandAction(1979)MathematicsinthePrimarySchoolUnderstandingMathematics(aseriesoftext-booksforsecondardschool)StructuredActivitiesinIntelligentLearning(aseriesforPrimarySchool).Furtherinformationabouttheseandotherpublicationswillappearshortly.InstrumentalUnderstandingandRelationalUnderstanding

TheSilentMusicofMathematics

TheoreticalFoundationsofProblem-Solving:APositionPaper(1993)著作论文68代表作ThePsychologyofLearnin69对斯根普的工作的评价斯根普（RichardSkemp）可以称得上是数学教育心理学的先驱之一。在2002年出版的一本纪念斯根普的著作中，作为主编的韬尔与托马斯（MichaelThomas）在序言中写道：“理查德•斯根普是数学教育中的独一无二的人物——他是广大教师和教育者的一个思想先知，他们从他的工作中获得了启示；他也是创建国际数学教育心理学协作组（InternationalGroupforthePsychologyofMathematicsEducation）的精神领袖。

“他走进的是一片空地，留下的却是伟大的建筑。”

（Sfard,2002）69对斯根普的工作的评价斯根普（RichardSkem70工具性理解与关系性理解

前者是指“只管公式，不管理由”，而后者则“不仅知道要做什么，而且知道理由”。70工具性理解与关系性理解前者是指“只管公式，不管理由”71工具性数学的优点工具性数学一般比较容易理解。有些课题，如两个负数相乘，或分数相除，很难从关系上去理解。“负负得正”以及“除以分数等于乘以这个分数的倒数”是很容易记住的规则，但不易解释其原因。如果想要的是正确的答案，工具性数学可以快速而轻易的提供。教学的效果立竿见影，而且更明显。首先，学生如果能够迅速地得出正确的答案，当然是一件好事；其次，我们不能低估学生从中得到成功感受的重要性。在调查中，斯根普经常听到学生说自己是“笨蛋”，老师也这样说这些学生。这使他很难受，他觉得，对这些学生来说，最重要的是需要成功的体验来恢复自信心，而在工具性数学上，将比在关系性数学上更容易获得成功。由于比起关系性数学来牵涉的知识较少，因此，用工具性数学思考，可以更快速而且可靠的得到正确答案。以至于一些数学家也常运用机械式数学思考。71工具性数学的优点工具性数学一般比较容易理解。有些课题，72关系性数学的优点比较适应新的任务。关系性理解不仅会知道那种方法有用而且知道为什么有用，能够把方法和问题加以关联，而且还可以调整方法来处理新问题。而工具性理解则需要学生记住哪些问题可以用哪种方法来解而哪些问题不行，并且对不同的问题要学不同的方法。比较容易记住。理解概念间的相互关系让人能记得它们是整体的关联部份，就变得比较容易，而且能减少重新学习的时间。关系性知识本身可以成为有效的目标。这可以增加学生的学习动机，而减低对外界奖惩的需要水平。关系性图式是一个高质量的有机体。关系性理解使人们不满足于对已有材料的理解，还会主动去找寻新的材料并探索新的领域。72关系性数学的优点比较适应新的任务。关系性理解不仅会知道73理论的发展在斯根普研究的基础上，他的学生赫斯科维斯(N.Herscovics)和维纳(S.Vinner)等人进一步的提出了工具性、关系性、直觉性和形式性理解等模式，并进行了工具性理解与准工具性理解的差异性研究。斯根普本人也在1982年将原来的两种理解模式扩充为工具性、逻辑性和符号性理解三种不同的理解模式，还提出了“直觉与分析”是两种获得理解的主要智力活动。73理论的发展在斯根普研究的基础上，他的学生赫斯科维斯(N.74与其说他是一位研究者，不如说是一位实践者

斯根普不是一位多产的作家，他所公开发表的有关数学教育的文章只有三篇，但让他自豪的是这些论著的质量。事实上，他的那篇题为“工具性理解与关系性理解”的经典论文在正式发表之前已经经过了几年的演讲与修改。他有两句经常挂在嘴边的名言：一句是“再好的理论也不如实践”；另一句是“最简单的理论才是最好的理论”，他认为“要把一件简单的事情弄复杂并不难，难的是把复杂的事情弄简单”（Tall&Thomas,2002）。他的这两句名言很好地反映了他的学术态度，同时也成为他的弟子们的座右铭。斯根普是一位演讲大师，许多人都从他的演讲中获得过灵感。74与其说他是一位研究者，不如说是一位实践者斯根75二、DavidTall等人的主要研究成果http://www.warwick.ac.uk/staff/David.Tall/75二、DavidTall等人的主要研究成果http://76代表作截至到2005年，有他署名的各类著作与教材达35部，其中包括著名的《高等数学思维》（Tall,1991）和《智力、学习与理解》（Tall&Thomas,2002）；在各类学术期刊或国际会议（主要是PME）上发表论文近250篇；指导了近30名数学教育方向的博士生；编制了大量的计算机辅助教学软件。更令人称奇的是，他还是一位造诣颇高的作曲家，发表了近30篇音乐方面的文章和曲谱。76代表作截至到2005年，有他署名的各类著作与教材达3577理论的形成人类三种最基本的认知活动是“感知”、“行动”与“反思”，因此，有关学习的理论都离不开这些认知活动的研究。在数学学习心理领域也是如此，其中的一些研究者侧重于对各种数学认知活动的特征或者过程的剖析（如斯根普的行为图式），还有一些则尝试把各种活动组合成一个特殊的序列，从而形成教学的模式（如杜宾斯基的APOS理论，范希尔理论）77理论的形成人类三种最基本的认知活动是“感知”、“行动”78三种不同的数学认知（Tall,1995）78三种不同的数学认知（Tall,1995）79数学思维发展的一个基本框架79数学思维发展的一个基本框架80认知根源认知根源（CognitiveRoot）的概念最初是DavidTall在一篇谈论“概念表象”、“一般组织者”及计算机辅助教学的文章中提出的，当时的定义是“一个学习者容易理解、又可以作为整个理论基础的抛锚式概念”。上述说法后来经过了几次修改，特别是在提出“认知单元”的概念之后，DavidTall开始把认知根源作为认知单元的一个特别类型，其基本特征是：对某个学习序列的初学者来说是一个意义丰富的核心知识的认知单元；可以在这个认知单元的基础上通过一些认知扩充策略得到初步的发展而不必进行认知的重构；在后继的发展中具有长期的意义；在发展更复杂的理解时仍具有重要的作用。80认知根源认知根源（CognitiveRoot）的概念最81过程与概念

过程（process）与概念（concept）是学习理论中的两个基本概念，但在数学中，人们发现，同一个数学符号常常具有双重的意义：既可以作为过程，也可以作为概念（Gray&Tall,1991;1994;Sfard,1989;1991）。例如，符号“3＋2”就可以同时看作为一个（加法）过程，与一个（和）的概念。为了把这种概念与其它概念区别开来，格雷（EddieGray）与韬尔各取了“process”（过程）和“concept”（概念）的一部分而造出了一个新词“procept”。81过程与概念过程（process）与概82具有过程与概念两重性的数学符号82具有过程与概念两重性的数学符号83过程性概念的发展83过程性概念的发展84数学中不同类型的过程与概念84数学中不同类型的过程与概念85数学的三个世界85数学的三个世界86需要进一步研究的问题数学认知单元是如何“压缩”的？

过程性概念的教学有什么特点？

如何用“三个世界”理论去分析数学概念的认知发展过程？

初等数学思维是如何向高等数学思维过渡的？

如何诊断学生的数学思维？

高等数学思维与高层次数学思维有什么联系与区别？

计算机对高等数学思维有什么影响？

86需要进一步研究的问题数学认知单元是如何“压缩”的？87V.ACT-R理论87V.ACT-R理论88JohnR.AndersonDepartmentofPsychology

CarnegieMellonUniversity

Pittsburgh,PA15213

Telephone:(412)268-2788

Facsimile:(412)268-2844

E-Mail:ja+@88JohnR.AndersonDepartment89什么是ACT-R理论？ACT-R之所以被称为“学习与认知的简单理论”，是因为它的一个基本观点是：复杂认知是由相对简单的知识单元（knowledgeunits）所组成的，而这些知识单元则是通过相对简单的原理（principles）而获得的。人类的认知活动的复杂性表现在基本元素和原理的复杂组合上，就像计算机通过简单的（二进制）运算可以完成复杂的任务一样。

89什么是ACT-R理论？ACT-R之所以被称为“学习与认知90ACT-R的各种版本Predecessor HAM (Anderson&Bower1973)Theoryversions ACT-E (Anderson,1976)

ACT* (Anderson,1978)

ACT-R (Anderson,1993)

ACT-R4.0 (Anderson&Lebiere,1998)Implementations

GRAPES (Sauers&Farrell,1982)

PUPS (Anderson&Thompson,1989) ACT-R2.0 (Lebiere&Kushmerick,1993) ACT-R3.0 ACT-R4.0 (Lebiere,1998)

ACT-R/PM (Byrne,1998)90ACT-R的各种版本Predecessor HAM 91ACT-R理论的生理基础91ACT-R理论的生理基础92ACR-R理论实际上基于三个简单的二分法两类知识：关于事实的陈述性知识（declarativeknowledge）和关于如何完成各种认知活动的程序性知识（proceduralknowledge）；两个假设：关于ACT-R如何运用已有知识去解决问题的操作假设(performanceassumptions)和关于如何获得新知识的学习假设(learningassumptions)；两个水平：有关离散知识结构的符号水平(symboliclevel)和有关神经系统激活过程的亚符号水平(sub-symboliclevel)，这一水平决定符号结构的可用状态。92ACR-R理论实际上基于三个简单的二分法两类知识：关于事93两类知识陈述性知识（declarativeknowledge）：是指那些人们知道并可以表达的真实信息。在ACT-R中，陈述性知识表征为一些小的原始知识单元的网路，称为信息块，例如，下面的图1表示由加法事实“3+4=7”及一些相关事实组成的信息块（编码）程序性知识是指用于提取陈述性信息块的规则性单元，称为产生式（productions）。一个产生式规则（productionrules）就是一个“条件——反应”的单元，即针对特定的问题解决条件采取特定的认知操作。在产生式系统中，典型的思维流程就是一系列的产生式被“触发”（在ACT-R理论中，用“fire”来表示）的过程。93两类知识陈述性知识（declarativeknowl94陈述性知识的获得陈述性信息块的获得有两条途径：通过环境信息的编码；对先前操作结果的储存。

也就是说，ACT-R认为，陈述性知识的获得不外乎是两种模式：一种是被动的、接受式的（源自环境的编码）；一种是主动的、建构式的（先前心理操作结果的储存）。这两种模式都有优势与不足。被动接受的优势是效率（efficiency）与准确性（accuracy），阅读3+4的结果比计算更容易，而且也不会有算错的危险。但另一方面，通过练习获得的知识不仅储存了结果目标，还附带储存了相关的策略，便于回忆失败时运用。

94陈述性知识的获得陈述性信息块的获得有两条途径：也就是说，95研究与思考研究：大量的实验表明，上述两种模式在记忆上并没有实质的区别，实际上，自我探究知识的附带信息并不总是有的，即使有，也往往是难以捉摸的，只有当探究过程中产生了多种信息提取途径时，这种附带信息才是有用的，因此，自我探究的知识并没有什么神奇的特征。在相同的条件下，我们当然选择通过自我探究的模式去获得知识，但实际上，由于自我探究的困难及误入歧途的危险，我们更主张把知识告诉学生。

思考：对学生错误的新认识：只有当学生的错误成为一个“教学点”时，这个错误对他才是有益的，否则，学生的错误也可能会积少成多，而成为一种习惯（老毛病），特别在大班教学情况下，学生的错误并不总是能够及时纠正，因此，要尽可能的少犯错误，较少的错误才会引起较多的关注。95研究与思考研究：大量的实验表明，上述两种模式在记忆上并没96程序性知识的获得

在ACT-R理论中，产生式规则的获得主要依靠类比（analogy）的过程。类比要发生作用有两个前提：有一个解决某个目标的情境，及一个解决类似目标的范例。例如，在加法的产生式中，学习者首先必须有解决一个加法问题的意愿，同时，还需要一个已经获得的样例（如4+5）。在这种情况下，ACT-R类比机制会从样例中抽象出原理，进而形成用于当前情境的产生式规则，新的产生式规则一旦形成，又可以用于其它的情境。也就是说，按照ACT-R理论，程序性技能是在参照老问题去解决新问题的过程中获得的。因此，这一理论实际上是“做中学”（learningbydoing）和“范例学习”（learningbyexample）的理论。

96程序性知识的获得在ACT-R理论中，产生式规则的97程序性知识获得的三个阶段陈述性阶段。学习者获得有关步骤或程序的陈述性知识。比如陈述分数加法的规则或者能够描述在驾驶汽车时该如何换档。在此阶段，学习者对活动的完成是非常艰辛的，需要逐条记忆每一项规则，并缓慢地操作每一步骤。联合阶段。在这一阶段，学习者仍需思考各个步骤的规则，但经过练习和接收到的反馈，学习者已能将各个步骤联合起来，流畅地完成有关的活动自动化阶段。随着进一步的练习，学习者最终进入自动化阶段。在此阶段，学习者常常无需意识的控制或努力就能够自动完成有关的活动步骤。例如，一个人在开车时可以一边说话，一边流利地换挡，在交通拥挤的路面上连续地改变方向；或者一个学生不用想着分数加法的各项规则就能快速准确地计算分数加法题，表明他们已达到自动化阶段，即获得了有关的程序性知识或技能。

安德森（J.Anderson,1990)和加涅(E.Gagneetal.,1993)97程序性知识获得的三个阶段陈述性阶段。学习者获得有关步骤或98从双基看两类知识ACT-R对知识的分类陈述性知识策略性知识程序性知识基础知识基本技能双基典型例题两个需要探讨的问题：陈述性知识=基础知识？程序性知识=基本技能？典型例题在双基教学中的作用是什么？98从双基看两类知识ACT-R对知识的分类陈述性知识策略性知99结论1：练习是掌握双基的必由之路ACT-R对教学的建议，那就是练习、练习、再练习。实际上，并非只有ACT-R一家“拍卖”这个主张，大量的研究都表明，高层次的能力只能通过高强度的练习。特别地，研究表明，学生花在数学上的时间与他们的数学能力有很高的相关性。许多国际比较研究也都表明，美国学生数学表现糟糕的一个重要原因是他们花在数学上的时间远远不如亚洲的学生（StiglerandPerry，1990；White,1987）。

Ericsson等人的研究表明，不同的练习的效果是不一样的，而只有所谓的“精致的练习”（deliberatepractice）才能导致真正的学习。他们把“精致的练习”界定为具有良好的动机、接受有意义的反馈、及仔细的不断的指导与监督。

99结论1：练习是掌握双基的必由之路ACT-R对教学100通过反复练习才能牢固掌握技能单纯拥有符号性知识并不等于能够成功地运用。知识的运用还依赖一系列的激活程序。AndersonandFincham

(1994)andAnderson,Fincham,andDouglass(inpress)研究了产生式规则如何通过练习而逐渐生效的过程，他们发现，一个规则在练习了40次左右后变得稳定和可靠。

下面的公式描述了练习、遗忘和倍乘关系的指数律。

表现

=ANcT-d

（表现方程）其中，N是练习的总量，T是保持的时间间隔，两个因素的倍乘关系意味着增加练习可以弥补时间造成的记忆衰减（相关实验见Anderson,1995a）。

100通过反复练习才能牢固掌握技能单纯拥有符号性知识并不等于101结论2：典型例题在双基教学中的作用一是影响范例的选择。在已有的产生式不能解决当前的问题时，ACT-R会搜寻先前的解决类似问题的范例。显然，在这个过程中，当前的任务及先前范例的表征方式都会对选择哪个范例产生影响。二是范例的理解深度会影响到由类比而形成的产生式。例如，在竖式减法中，8-3=5既可以理解为“上面的数字减去下面的数字”，也可以理解为“大的数字减去小的数字”。只有前者才能形成正确的产生式。上述两个因素都说明了样例在教学中的重要性。Chi,Bassok,Lewis,Reimann,andGlaser等人（1989）的研究表明，一个好的学习者往往更关注样例，总是努力去理解样例。范例对问题解决的影响：101结论2：典型例题在双基教学中的作用一是影响范例的选择。102结论3：为什么熟能生巧？技能错误的技能正确的技能错误的方法正确的方法熟能生巧熟能生笨熟能生厌熟练熟练熟练----ACT-R对“熟能生巧”的解释----102结论3：为什么熟能生巧？技能错误的技能正确的技能错误的103改进双基教学BigIdeas数学双基创造典型例题聚焦BigIdeas探究教学降低技巧精致练习103改进双基教学BigIdeas数学双基创造典型例题聚焦104VI.APOS理论104VI.APOS理论105EdDubinsky/~edd/publications.htmlProfessor,

GeorgiaStateUniversity

1996-00

VisitingProfessor,

KentStateUniversity

2000-edd@

数学是困难的，不管用什么教学方法都无法改变这个事实。所以，在数学的学习上，我们必须抱持一种欣赏的心态来学习数学，只有这样才能逐渐发现数学的美。EDDubinsky105EdDubinskyhttp://www.math106简介

和DavidTall一样，杜宾斯基（EdDubinsky）也是一位数学家，直到80年代末期才开始从事数学教育的研究，而他的关于APOS的文章（Dubinsky,1991）也最早出现在由韬尔主编的《高等数学思维》（Tall,1991）上。按照杜宾斯基自己的说法，APOS理论是对皮亚杰的反思性抽象（Reflectiveabstraction）的一种扩展。其中的四个字母分别表示理解数学概念（特别是抽象数学概念）的四个阶段：

A—Action(活动)，

P—Process(过程)，

O—Object(对象)，

S—Schema（图式）。106简介和DavidTall一样，杜宾斯基107大学数学教育研究小组（RUMEC）RUMEC研究的三个基本环节：对某个特定数学概念的理论分析；在理论分析的基础上发展和应用一系列的教学设计（其中包括一些非标准的教学策略如合作学习、计算机辅助教学等）；收集和分析测试的数据以便修改原先的理论分析和教学设计。107大学数学教育研究小组（RUMEC）RUMEC研究的三108APOS理论的应用APOS理论有两个方面的作用：提供有效的教学设计。例如，Asialaetal.(1997)和Repo(1996)都发现，利用APOS理论设计的微积分课程显著优于传统的课程。用于分析学生的理解。例如，SantosandThomas(2003)构建了一个微积分知识的表征框架，在这个框架中，他们把符号表征、图像表征和数表征进一步划分为以下几个类型：程序定向的（procedure-oriented）、过程定向的（process-oriented）、对象定向的（object-oriented）和概念定向的（concept-oriented）。108APOS理论的应用APOS理论有两个方面的作用：109结束语构建符合中国学生特点的数学学习理论！baojiansheng@109结束语构建符合中国学生特点的数学学习理论！baoji110谢谢！110谢谢！数学学习的理论探讨数学学习的理论探讨112前言：教师成为研究者 20世纪80年代以来，教师教育出现了一种“反思性转向”。以美国为开端，关于反思的讨论迅速在教师教育界兴起。这种讨论的结果就是形成了“教师即研究者”（Elliott，1990）的理念，也就是说，教师不应只是别人研究成果的消费者，更应是研究者。教师即技师（Teacherastechnician）教师即研究者（Teacherasresearcher）2前言：教师成为研究者 20世纪80年代以来，教师教育出现了113一、教师成为研究者是教师专业发展的需要

“教师成为研究者”有利于教师去发现和解决发生在自己课室中的教学问题，或是教育上的问题，进而改进教学以及提升教育质量。“研究者”与“教师”看问题的视角往往是不一样的，“教师成为研究者”有利于促进教师对学生学习的理解。“学”是“教”的前提，只有理解了学生是怎么学的，教学才能对症下药。在理解学生的学习方面，教师的经验固然重要，但由于学习行为是一种复杂的心理活动，因此，单纯的经验有时也会将教学引入歧途。“教师成为研究者”有助于促进教师之间、教师与专业研究人员之间、以及教师与其它行业之间的合作与交流。教师的经验由于带有太多的个性，一旦脱离了具体的情境，就难以被别人理解与借鉴，只有通过研究，将经验提升为一种带有共性的东西，才可能跨越时空和行业的界线。3一、教师成为研究者是教师专业发展的需要“教师成为研究者”114二、教师成为研究者是课程改革的需要

数学新课程的实施，带来了许多新的东西，如：新的教学理念，新的教学方法，新的教学内容，以及传统教学内容的新的处理。随之而来的则是一些新的问题和老师们的种种困惑：如何看待我国的双基教学？传统的教学经验是不是不适用啦？什么是数学探究？如何评价教学的有效性？等等。为了解除困惑，老师们常常把目光转向专家和理论，而他们常常又会发现，专家们的观点似乎并不一致，理论也似乎没有定论。于是，又形成了新的困惑。无怪乎，台湾的报纸用三个字来概括实施（台湾地区）新课程后老师们的心情，那就是：“忙、盲、茫”。 要改变这种现象，“教师成为研究者”至关重要。因为面对新的情境，老的经验往往并不适用。只有采取研究的态度，才能透过表面的现象看清本质的东西，从而提高教师的洞察力和鉴别力，而不至于像墙头草那样，风吹两面倒。4二、教师成为研究者是课程改革的需要 数学新课程的实施，带115三、研究风格的转变自上而下（演绎法）→自下而上（归纳法）定性研究→定量研究→定性研究（质的研究）教育学方法（望远镜）→心理学方法（显微镜）→数学教育研究方法（？）理论研究（改变理论）→实证研究（检验假设）→行动研究（改变行为）象牙塔（独立研究）→课堂（合作研究）基于书面资料（博览群书）→基于因特网（搜索与鉴别）5三、研究风格的转变自上而下（演绎法）→自下而上（归纳法）116四、数学教育的基本研究规范6四、数学教育的基本研究规范117论文的一般格式课题的提出文献综述研究方法研究过程结果与应用参考文献附录（已有的成果及其与本研究的联系）（起因与意义）（取样，问卷，测试卷等及其信度和效度，包括反应率）7论文的一般格式课题的提出文献综述研究方法研究过程结果与应用118五、几点建议8五、几点建议119选择一个适合自己的研究方向

数学教育涉及的研究领域和方向很多，教师的工作又比较繁忙，不可能关注数学教育研究的方方面面，因此，首先要选择一个适合自己的研究方向，作为自己的立足之地，然后安营扎寨，踏踏实实地做一点自己的东西。现在学术界的新观点、新口号很多，但笔者以为，做研究不能赶潮流，因为引领潮流的毕竟只有极少数的人，大多数只能随波逐流，容易迷失方向。大约在7年前，笔者因为出国访学的事，罗列了自己的一些研究成果去拜访张奠宙先生。先生的评价是：你的研究只是东一榔头