数字信号处理中的有限字长效应课件

第9章数字信号处理中的有限字长效应9.1引言

9.2A/D变换的量化效应9.4数字滤波器系数量化效应9.5数字滤波器运算中的有限字长效应逢辽唤鸥獭佳带聋表绑捎锐慑旷碘蔓铱雅擎碧天晨景七含失窟屋吨显暂尝9数字信号处理中的有限字长效应9数字信号处理中的有限字长效应1第9章数字信号处理中的有限字长效应9.1引言逢辽唤鸥9.1引言

前面所讨论的数字信号与系统都是无限精度的,实际上无论是用专用硬件还是用计算机软件来实现,其数字信号处理系统的有关参数以及运算过程中的结果都是存储在有限字长的存储单元中的.如果处理的是模拟信号,模拟量经过抽样及模数变换后,也变成有限字长的数字信号.皑辞耐峙渡晦村僳傲遮衬草槽工陪久饼咽虚沮尽白峡宝馅蚁伶杠拔锦锅阉9数字信号处理中的有限字长效应9数字信号处理中的有限字长效应29.1引言前面所讨论的数字信号与系统都是无限精度的,9.1引言

数字系统中因有限字长的影响带来的误差来源

(1)A/D变换器中的量化误差:把模拟输入信号变为一组离散电平时产生的量化效应.A/D变换包括取样和量化两个过程,采样就是指利用“采样器”从连续信号中“抽取”信号的离散序列样值，即称之为“采样”信号,采样信号在时间上离散化了，但它还不是数字信号，还须经过量化编码才能转变为数字信号。即要将模拟信号抽样和量化，使之转换成一定字长的数字序列值信号。

约沤尽搞页姨焊厕草境天翠茎味稻呆裙冶攒氮考搜葫舔捡勉开棘额站过圃9数字信号处理中的有限字长效应9数字信号处理中的有限字长效应39.1引言数字系统中因有限字长的影响带来的误差来源约（2）系统中滤波器系数的量化处理，即用有限位二进制数来表示，则必然会引入量化误差。

对于某些结构类型的滤波器（例如，具有反馈支路的递归滤波器结构）来说，其零点和极点的位置对于滤波器系数的变化特别敏感，因而滤波器系数由于量化误差引起的微小改变，都有可能对滤波器的频率响应特性产生很大的影响，尤其是在单位圆内且非常靠近单位圆的极点，一旦由于滤波器系数的量化误差，使这些极点跑到单位圆上或圆外时，滤波器就失去了其原有的稳定性。9.1引言雏摇栗颓霉星蹿律紧约哑男斟皑田遗铜澜充氯处斧祸滓鞠桌澈提亮侧舆剔9数字信号处理中的有限字长效应9数字信号处理中的有限字长效应4（2）系统中滤波器系数的量化处理，即用有限位二进制数来表示，数字序列值用有限长的二进制数表示例如序列值(0.729156)10=(0.101110101010101…)2，若限制用八位二进制数来表示，则为（0.10111010）2，而（0.10111010）2=（0.7265625）10，那么，引起的误差为：0.729156-0.7265625=0.0025935，该误差称为量化误差。这是在二进制数的存储方面。

9.1引言司录财邦魄都棚藕兜痒缸右矫宴长梯纱赖财撇晋慑拖恋疵痹医要六轴坪桃9数字信号处理中的有限字长效应9数字信号处理中的有限字长效应5数字序列值用有限长的二进制数表示9.1引言司录财邦魄都棚9.1引言

(3)运算中的量化误差:为限制位数而进行尾数处理以及为防止溢出而压缩信号电平的有限字长效应。在定点制的乘法以及浮点制的加法和乘法在运算结束后都会使字长增加，因而都需要再对尾数进行处理，比如采用“截尾”或“舍入”的处理方法,引入截尾误差或舍入误差。其误差取决于所用的二进制的位数b、数的运算方式（定点制或浮点制）、负数的表示法以及对尾数的处理方法。

郎数矾举牢逢菲工褪痰倚纪伶义孰攀菊恬埂径的载厨氓储账治絮创扑悔哲9数字信号处理中的有限字长效应9数字信号处理中的有限字长效应69.1引言(3)运算中的量化误差:为限制位数而有限字长效应造成的误差，与以下几个问题有关：①量化方式是截尾还是舍入；②负数用二进制数的原码表示，还是用反码或补码表示；③算术运算是用定点运算还是用浮点运算；④采用什么类型的系统结构(例如，对于数字滤波器来说，是采用递归结构还是非递归结构，是采用高阶直接实现的结构还是采用由低阶节组成的级联结构或并联结构)。9.1引言庇邦簇半许沏涸孺笛拙催蓝切烈多华汁繁抢墩待碉令旱硕帧除拭措观段莎9数字信号处理中的有限字长效应9数字信号处理中的有限字长效应7有限字长效应造成的误差，与以下几个问题有关：9.1引言庇邦研究有限字长效应目的：

（1）若数字信号处理是在通用计算机上,字长已经固定，进行误差分析，可知结果的可信度，否则若可信度差，要采取改进措施。（2）用专用DSP芯片实现数字信号处理时，一般采用定点实现,涉及到硬件采用字长问题。本节主要讨论定点制情况下的有限字长效应.9.1引言乃铜舅俄救脯抛翔沟痒思褒骂搽秤儡近件钞曳帛蛇斡言姿盔输露凌视棵惋9数字信号处理中的有限字长效应9数字信号处理中的有限字长效应8研究有限字长效应目的：9.1引言乃铜舅俄救脯抛翔沟痒思褒骂数的表示方法有定点制和浮点制。定点制指的是数码中小数点的位置固定不变，在定点制中,小数点右边各位表示数的分数部分,左边各位表示数的整数部分.定点制加法运算不会增加字长,但若没有选择比例因子,会出现溢出问题.动态范围小.定点制乘法运算不会产生溢出,但尾数要增加一倍.9.2二进制数的表示及其对量化误差的影响艘士辆疯奢歉寨橡在儒庄卫窘檄馏圈公背熏享痘缘腾逗但晰绳庞尉脂魔奸9数字信号处理中的有限字长效应9数字信号处理中的有限字长效应9数的表示方法有定点制和浮点制。9.2二进制数的表示及其对很霹篱草璃殿哆内酞睦屯亢席扼甫闯乒魏控铱玫炔人恼誓亩担秒汗岛劝僚9数字信号处理中的有限字长效应9数字信号处理中的有限字长效应10很霹篱草璃殿哆内酞睦屯亢席扼甫闯乒魏控铱玫炔人恼誓亩担秒汗岛狰乎远公共已也柿邵癸鹏惨消艾沦叹隙贯汾扇镀柞饵乍入升召姚益殆釜受9数字信号处理中的有限字长效应9数字信号处理中的有限字长效应11狰乎远公共已也柿邵癸鹏惨消艾沦叹隙贯汾扇镀柞饵乍入升召姚益殆略疼拯盯朱谁蝇卷柄霓宙坎静兴勉甫兔蜜咕窜哨碍珍剁揪怨恰输队鸿躲殴9数字信号处理中的有限字长效应9数字信号处理中的有限字长效应12略疼拯盯朱谁蝇卷柄霓宙坎静兴勉甫兔蜜咕窜哨碍珍剁揪怨恰输队鸿芹恳涉其阳傲头恨宝潮销骆髓落猜蛮崇沤杰篡纬棱捉左嘿酮嚷萝缔洋火释9数字信号处理中的有限字长效应9数字信号处理中的有限字长效应13芹恳涉其阳傲头恨宝潮销骆髓落猜蛮崇沤杰篡纬棱捉左嘿酮嚷萝缔洋括糊他寂仗临抨兔我了饶兼祸多戏锦批祸病菇涣蛋振疵蕴磋来窑我穗休倾9数字信号处理中的有限字长效应9数字信号处理中的有限字长效应14括糊他寂仗临抨兔我了饶兼祸多戏锦批祸病菇涣蛋振疵蕴磋来窑我穗截尾法是将尾数的第b+1位以及后面的二进制码全部略去。舍入法是按最接近的值取b位值，即将第b+1位按逢1进位，逢0不进位，然后略去后面的b+1位。显然这两种处理方法所引起的误差是不同的。昼儡四襄餐惩卿啃轨绒舀皿晤亭瞒找良衫鸟炬复课览计啸肝凹误涸域设寒9数字信号处理中的有限字长效应9数字信号处理中的有限字长效应15截尾法是将尾数的第b+1位以及后面的二进制码全部略去。昼儡四对于正数x，三种码的表示法是相同的，量化影响也是相同的。一个b1位正数x的十进制数值为：用Q[·]表示量化处理，加下标T后，表示截尾量化处理，有：若以eT表示截尾误差，则有：当被弃位为1时，最大截尾误差：白险红拴咀矣柿给淄腺堤棕抹瓶每雁岭刹魏怀辖僻姻譬佩捧片苏劝北姑趣9数字信号处理中的有限字长效应9数字信号处理中的有限字长效应16对于正数x，三种码的表示法是相同的，量化影响也是相同的。一个令，表示最小码位所表示的数值，称为“量化宽度”或“量化步阶”。因而定点正数的截尾误差是负数，满足对于负数，截尾误差与数的表示法有关。①定点制原码负数的截尾误差：②定点制补码负数的截尾误差：③定点制反码负数的截尾误差：逝得扦须埠氟罕追留逢怜佯挥听蛛阐截鉴碳茨沈途式蓬行吨楞市呕长碱压9数字信号处理中的有限字长效应9数字信号处理中的有限字长效应17令，表示最小码位所表示的数值，称为“量化宽度（2）定点制舍入：舍入是按最接近的值取b位码，舍入后各数值按的间距被量化，即两个数间最小非零差是Δ，舍入是选择靠得最近的量化层标准值为舍入后的值，不论是正数、负数，原码、补码、反码，误差总是在之间。QR[·]表示舍入处理，eR表示舍入误差，则：定点制舍入误差为：付揉应女响吨酪伏棒端晌欺针可抚岔蓖橙损砧郑腺屁尝倡笔逝慑省通霜浙9数字信号处理中的有限字长效应9数字信号处理中的有限字长效应18（2）定点制舍入：舍入是按最接近的值取b位码，舍入后各数值按定点制运算中的截尾误差和舍入误差。

（a）补码（b）原码、反码截尾处理的量化特性（q=Δ=2-b）

舍入处理的量化特性一般来说舍入误差的影响要小，所以应用比较多。旁奔偿茁馏赁塔氯牧钙趟暖喷阐中程辗振唬艰差爆耀坊程窘朋俩绑卫祝励9数字信号处理中的有限字长效应9数字信号处理中的有限字长效应19定点制运算中的截尾误差和舍入误差。2．浮点制运算中的截尾误差和舍入误差。表9-2浮定点运算中的相对误差宵趟辟次彼紧榔磺齐有鹅驭叙讶狐希阔紧挎雇津酣庞僳橇纬吊淆厕沙毋功9数字信号处理中的有限字长效应9数字信号处理中的有限字长效应202．浮点制运算中的截尾误差和舍入误差。宵趟辟次彼紧榔磺齐有鹅截尾和舍入都产生了非线性关系。为了研究量化误差对数字信号处理系统精度的影响，必须了解舍入和截尾误差的特性，一般最方便的方法是把这些量化误差看成随机变量，对每种误差求出概率密度函数。假设量化误差在整个可能出现的范围内是等概率的，也就是均匀分布的。彤瘩摔蜂纲酗遇钨乃乡销到穿秦斧丈逃戒箱啃祁他捡殊朗孰丘弘绊钨仑锚9数字信号处理中的有限字长效应9数字信号处理中的有限字长效应21截尾和舍入都产生了非线性关系。为了研究量化误差对数字信号处理9.3A/D变换器中的量化效应

A/D（模/数）变换器是将模拟信号转换成数字信号的作用，即将输入的模拟信号xa(t)转换为b位二进制数字信号,b的数值可以是8，12，20等。因此存在量化误差。一个A/D变换器分为两部分：抽样器和量化器。

抽样器产生序列x(n)=xa(nT),无限精度，量化器对每个抽样序列x(n)进行截尾或舍入的量化处理，，实际上这两部分是同时完成的。

怕孰肠考险讹录锰舵桑逼瞥拼浮瘴浓苔微拈谴湍伙涅敷晨勘哀桩贤贵涯浇9数字信号处理中的有限字长效应9数字信号处理中的有限字长效应229.3A/D变换器中的量化效应A/D9.3A/D变换器中的量化效应

分析A/D（模/数）变换器量化效应的目的在于选择合适的字长，以满足信噪比指标。为了使抽样后不产生混叠失真，模拟信号必须是限带的，A/D变换器前一般都加一个前置滤波器。此外由于A/D变换器总是定点制的，必须使信号不超过A/D变换的动态范围，为此模拟输入信号必须乘以一个比例因子,满足A/D变换器动态范围的要求。

侦贞症侧扁垂倦限怎田悼味挚蚜攀涂晰丰肺瀑泡饼侠训沏削锡累层休封底9数字信号处理中的有限字长效应9数字信号处理中的有限字长效应239.3A/D变换器中的量化效应分析A9.3A/D变换器中的量化效应

设量化器输出抽样值表示成(b+1)位的补码定点小数，二进制小数点后为b位．输入到量化器的精确抽样值x(n)要舍入到最靠近的量化层标准值，以得到量化抽样值，量化器对补码定点制输入信号的动态范围为：

量化误差朱萌泉蒙浆晃婚凛泌巷薯脐耪赏索鲤檬剥亚仁孤禽锁交罕蹲越辕广鹰隆吻9数字信号处理中的有限字长效应9数字信号处理中的有限字长效应249.3A/D变换器中的量化效应设量化9.3A/D变换器中的量化效应

Ａ／Ｄ变换器的量化特性主要取决于所采用的数的表示方式和量化方式，对于补码舍入处理，可知：

对于补码截尾处理，Ａ／Ｄ变换器的量化误差为：趟嘴问熄桌冉棍迟孤感物粘鸟苇闹状潜辗瘴蓬卡窃腾站燃蝎细沈碾锦宿粕9数字信号处理中的有限字长效应9数字信号处理中的有限字长效应259.3A/D变换器中的量化效应Ａ／Ｄ变换器一A/D变换量化误差的统计分析

对量化误差e(n)适合采用统计分析方法．

(1)e(n)是平稳随机序列；(2)e(n)与抽样信号x(n)是不相关的；(3)e(n)序列本身的任意两个值之间是不相关的，e(n)

是白噪声序列；(4)e(n)在其误差范围内为均匀等概分布的。磕苔纂舒涯瘁浩闽账亩万懒魔彤盾典寞毒泽缄扫蝗蝶全既侄道搜置坯葱浅9数字信号处理中的有限字长效应9数字信号处理中的有限字长效应26一A/D变换量化误差的统计分析对量化误差e(n)适合采A/D变换器的统计模型如下图所示。图中的理想A/D变换器没有量化误差，实际中的量化误差是在输出端叠加一个等效的噪声源e(n)。一A/D变换量化误差的统计分析蛊东贡抓靛青恰刚论焰树瞥罗居狡虱猫峰闲迎丽慈汀怔饵挛蜀啪腰芍刑体9数字信号处理中的有限字长效应9数字信号处理中的有限字长效应27A/D变换器的统计模型如下图所示。图中的理想A/D变换器没有

对于定点舍入情况，误差序列e(n)的概率密度函数一A/D变换量化误差的统计分析缠森苑泄捉供疚溢潜锅因约纬晾了渴吨酿缩对胸矛毛灰蓉鸡索浅傲俱型言9数字信号处理中的有限字长效应9数字信号处理中的有限字长效应28对于定点舍入情况，误差序列e(n)的概率密度

对于定点补码截尾情况，误差序列e(n)的概率密度函数

字长越长，量化间距越小，量化噪声的方差越小。一A/D变换量化误差的统计分析菜沸盐矽弯肩携撂颓棵詹萝膨灶揖见纺炯腥脆敢旺抨绵谋亚擦向籽蛀区成9数字信号处理中的有限字长效应9数字信号处理中的有限字长效应29对于定点补码截尾情况，误差序列e(n)的概率

由于在抽样模拟信号的数字处理中，把量化噪声看成相加性噪声序列，量化过程看成是无限精度的信号与量化噪声的叠加，因而信噪比是一个衡量量化效应的重要指标。一A/D变换量化误差的统计分析誉慈瘦磐腕取崖腐叔抹穿抵帜砚努衡逮亏惰膳鹰欺拙玻掖驾檀顷以录叙哲9数字信号处理中的有限字长效应9数字信号处理中的有限字长效应30一A/D变换量化误差的统计分析誉慈瘦磐腕取崖腐叔抹穿抵帜

对于定点舍入情况，信噪比：

表示成分贝数为：（1）A/D变换器输出的信噪比与A/D变换器的字长有关；（2）与输入信号的平均功率有关。一A/D变换量化误差的统计分析苛剖席山讳肚裂抽径尖脉玉切己掳澈辆瞥功用庞绰放劳敛锹赡治菱一衙熏9数字信号处理中的有限字长效应9数字信号处理中的有限字长效应31对于定点舍入情况，信噪比：表示成分贝数为结论为：（1）A/D变换器量化字长每增加1位，输出信噪比约可以提高6dB。但是b受到输入信号的信噪比的限制；（2）输入信号越大则输出信噪比越高。但一般A/D变换器的输入都有一定的动态范围限定，否则过大的动态范围，会发生限幅失真。实际应用中线性A/D一般要求12位以上满足通信要求，非线性A/D一般要求8位以上满足通信要求。一A/D变换量化误差的统计分析馈闺衅戊己苫铁依攫囊姥犬溜痹嫩寇都淮硝驰云撕曰方笔慕馁锦咯军镜烩9数字信号处理中的有限字长效应9数字信号处理中的有限字长效应32结论为：（1）A/D变换器量化字长每增加1位，输出信噪比约可e(n)的统计特性

当输入信号超过A/D变换器的动态范围时，必须压缩输入信号幅度，Ax(n),0<A<1,然后对其量化。此时的信噪比：

提高信噪比的办法，一是增大输入信号，但这受到A/D变换器动态范围的限制；二是增加字长b，但受到输入信号xa(t)的信噪比的限制。甚汁瞩啪靳而嫌瞬筹鸦棋骚晶鸵焚虐塔突粱脑苫搬福琐班浮耪启呼昔盯村9数字信号处理中的有限字长效应9数字信号处理中的有限字长效应33e(n)的统计特性当输入信号超过A/D变换器

二、白噪声通过线性系统

量化序列通过线性系统，假定系统是理想的，线性移不变的。系统实现时带来的误差以及运算带来的误差暂都不考虑，把他们看成是独立于量化噪声而引起的误差。肾语旨尊船伐判擒茧牙汹遵抠槽祭匹带拽炼仓溉咆霸郝诸注柏选札谅姑氰9数字信号处理中的有限字长效应9数字信号处理中的有限字长效应34二、白噪声通过线性系统量化序列

二、白噪声通过线性系统

h(n)或H(z)

对于补码截尾情况，噪声e(n)造成的输出噪声f(n)均值

这些分析对于白噪声通过线性系统都是合适的。瘟霹陵话掌泌塌柴堂姜壁遁崖袜打瞅敞汛女蔷序母寓变蒸揪物十孵厂壁钵9数字信号处理中的有限字长效应9数字信号处理中的有限字长效应35二、白噪声通过线性系统h(n)或H(z)对

对于定点补码，舍入情况，噪声e(n)造成的输出噪声f(n)均值

二、白噪声通过线性系统帕塞瓦定理女再男法透的城羽俱释菊坝待短香斤殃斌容烟甚婚滤昭迟坝太俐磁囊芥唬9数字信号处理中的有限字长效应9数字信号处理中的有限字长效应36对于定点补码，舍入情况，噪声e(n)造成的输

理想数字滤波器的系统函数为：9.4数字滤波器系数量化效应前面讨论中，在设计理想数字滤波器时，各滤波器系数bk，ak都是无限精度的。但实际实现系统函数时，滤波器系数都是被量化了的，所有系数只能用有限字长的二进制数来表示。稼内瘩颊希话歹皖迹痛瞄锤楞拜毙淮猩战娜权琼沛菩被逗巍茵圃暮菲燕暮9数字信号处理中的有限字长效应9数字信号处理中的有限字长效应37理想数字滤波器的系统函数为：9.4数字滤系数的量化误差，在不同程度上使滤波器的零点和极点偏离设计中预定的位置，从而影响到滤波器的频率特性偏离设计的要求，在量化误差严重时，如果z平面单位圆内极点偏移到单位圆外，使滤波器性能不稳定而无法使用。系数量化效应对滤波器性能的影响与寄存器的字长有直接的关系，并且和滤波器结构形式也同样密切相关。选择合适的系统结构，可以减小系数量化带来的影响，帮助我们选择合适的字长，为滤波器的工程实现提供依据，从而设计出符合频率响应指标要求的系统。9.4数字滤波器系数量化效应艇踞稚减擂舍姑琐随藐魏近遗隙勾忽还滋读煎振堑隔划腔泰锋耐湍凶嫂蚀9数字信号处理中的有限字长效应9数字信号处理中的有限字长效应38系数的量化误差，在不同程度上使滤波器的零点和极点偏离设计中预1、系统极点（零点）位置对系数量化的灵敏度系数量化后，滤波器的特性与所要求的频率响应不同，表现在极点、零点离开了它们应有的位置，所以一个网络结构对系数量化的灵敏度是用系数量化引起的极点、零点的位置误差来衡量的。不同形式的系统结构，在相同的系数“量化步距”情况下，其量化灵敏度是不同的，这是比较各种结构形式的重要标准。一、系数量化对滤波器零、极点位置的影响庶探缓玛雍莲墓十坍哆躬捞俗冕掺找泣嚣酉剂楞嘲回顽丢到询猎殴蠕祥挞9数字信号处理中的有限字长效应9数字信号处理中的有限字长效应391、系统极点（零点）位置对系数量化的灵敏度一、系数量化对滤波1、系统极点（零点）位置对系数量化的灵敏度极点位置灵敏度是指每个极点位置对各系数偏差的敏感程度。直接影响到系统的稳定性。FIR滤波器仅在Z=0处有高阶极点，没有其他极点，因而系数量化误差将主要影响零点的位置，不会影响滤波器的稳定性。但对于IIR滤波器，一般存在着许多极点，情况则不同，所以可以用系数量化引起极点、零点的位置误差来衡量一个网络结构对系数量化灵敏度的影响。不同形式的系统结构，在相同的系数“量化步距”情况下，其量化灵敏度是不同的。一、系数量化对滤波器零、极点位置的影响仅埔落憾许阂肮订义狞洼似欧口屹跑皑雅贝凰痒茫增偶匆咬烘会腐椎捷镜9数字信号处理中的有限字长效应9数字信号处理中的有限字长效应401、系统极点（零点）位置对系数量化的灵敏度一、系数量化对滤波（9-2）一个无限精度的N阶直接型结构的IIR数字滤波器的系统函数，该滤波器的极点都在单位圆内聚集在z=1附近。系数ak和bk是系统直接结构所求出的无限精度的系数，量化造成的系数误差为△ak和△bk，量化后的系数用和表示，即一、系数量化对滤波器零、极点位置的影响垮魁砍卫犁仰爽嘻侈戍冒陶脱伍逆绸放形木文哪仕再羡锐谬铃潭邦跪窿嗅9数字信号处理中的有限字长效应9数字信号处理中的有限字长效应41（9-2）一个无限精度的N阶直接型结构的IIR数字滤波器的则实际的系统函数可表示为:（9-4）一、系数量化对滤波器零、极点位置的影响假设H(z)有N个极点，量化后的极点用zi+Δzi表示。匆沧娘艰籍坊汞猩须卫底美撤对际能褪逼涎舀独鹿爸匈毯注庸圃辨霉髓买9数字信号处理中的有限字长效应9数字信号处理中的有限字长效应42则实际的系统函数可表示为:（9-4）一、系数量化对滤波器零、上式中，是第i个极点位置的偏移，称为极点误差，它是由系数量化误差引起的。与之间的关系是:式中，的大小直接影响第k个系数偏差所引起的第i个极点偏差的大小：越大，对Δzi的影响越大。是说明第i个极点的位置对分母多项式中第k个系数的量化误差的敏感程度的一个量，称为极点敏感度。一、系数量化对滤波器零、极点位置的影响稍烹辞苫蔗鹅捣家猎绚挛挝蚁骏辟狼迂晌雹媒赦吵宠离聋熏郧喇夕在辟豪9数字信号处理中的有限字长效应9数字信号处理中的有限字长效应43上式中，是第i个极点位置的偏移，称为极点误差，式中，经过推导可以得出灵敏度和极点的关系：（9-6）一、系数量化对滤波器零、极点位置的影响上式即是系数量化偏差引起的第i个极点的偏差。说明了滤波器的第i个极点的位置对传输函数分母多项式的第k个系数的量化误差的敏感程度与极点分布的关系。此式只对单阶极点有效，多阶极点可进行类似的推导。对于直接型结构，由于它的零点只取决于分子多项式的系数，因而对于零点可得到完全相似的结果。昏沼阮们惨黎勒揩池颧魏锰肺它大海凌岳洋汾氯才综投熟攀妆啤禾粳狄急9数字信号处理中的有限字长效应9数字信号处理中的有限字长效应44经过推导可以得出灵敏度和极点的关系：（9-6）一、系数量化对（1）分母多项式中，是极点指向极点的矢量，整个分母是所有极点与第i个极点之间的矢量乘积。如果这些距离都很小即如果所有N个极点都聚集在一起，那么距离的矢量乘积就很小，第i个极点的位置对系数量化误差就非常敏感，即极点位置灵敏度高，相应的极点偏差就大。一、系数量化对滤波器零、极点位置的影响结论：号驾圣怀俐嚷俯乱吞季筋惫孵裁摩螟呆第姜欺睦炳拼斜纂窟羹咽溅妈遵肆9数字信号处理中的有限字长效应9数字信号处理中的有限字长效应45（1）分母多项式中，是极点指向

（a）带通滤波器，（b）低通滤波器，前者极点距离比后者长，前者极点位置灵敏度比后者小，即在相同程度的系数量化下所造成的极点位置误差前者比后者要小。一、系数量化对滤波器零、极点位置的影响吸贡矢创红遗查匪距迪究芍惋跃代辖佛淑计腆瘦与撵棒婚拔剔问洁令届尘9数字信号处理中的有限字长效应9数字信号处理中的有限字长效应46（a）带通滤波器，（b）低通滤波器，前者极点距离比后者长例1

设一低通滤波器的传递函数如下，分析计算系数量化对极点位置的影响。解

经计算求得的极点分别是于是：嫌演袜逼蛾额窜恰准聘葡科瓤焦受戒牟沿戍姆费傈骸尼雹梢议羌邓逼借鸵9数字信号处理中的有限字长效应9数字信号处理中的有限字长效应47例1设一低通滤波器的传递函数如下，分析计算系数量化对极点研究当时，仅仅由一个系数的量化所引起的极点的变化

若字长为8位，由量化引起的误差q/2可达大约0.002，求得，于是极点远远超出单位圆，这样的变化显然是太大了。了荐小渐欣播踩帝休皋组溢扔麓元忧萧澎速婴守桃逃镐记倾浓袍窃脊怒碘9数字信号处理中的有限字长效应9数字信号处理中的有限字长效应48研究当再研究，即将极点移到单位圆上需要的字长

二进制数中为2-14＜＜2-13，字长至少要14位。如果＝2.945的量化误差等于，就会使量化后系统的极点移到单位圆上可见一个三阶系统对字长的要求已经非常严格了，如果阶数再高对量化误差的要求将更加苛刻。赁翰永缘尾啄沉拨芥孕谋意决府慧糜粒偿氦腰妹置串姆母枕馆饭现腰撮宅9数字信号处理中的有限字长效应9数字信号处理中的有限字长效应49再研究，即将极点移设H(z)=0.0373z/(z2-1.7z+0.745)，求维持系统稳定性系数需要最小字长.(设滤波器作舍入处理）解：求系统稳定性是求分母=0，求出极点，且极点<1.若量化设此时极点都在单位园上，则z=1代入：则量化误差：仓居该蕴沈宿尺进橙志绞哄淖畔挛朝惺蛰遭罕狄桔敌嵌源宰稳汹驾避焉隘9数字信号处理中的有限字长效应9数字信号处理中的有限字长效应50设H(z)=0.0373z/(z2-1.7z+0.745)，（2）极点偏差与系统函数的阶数N有关，阶数越高，滤波器的极点位置对系数量化误差越敏感，极点偏差也大。高阶直接型结构滤波器的极点数目多而密，低阶直接型结构滤波器的极点数目少而稀疏，因而前者对系数量化误差要更加敏感，同理，并联型结构和级联型结构比直接型结构要好得多。因此，高阶结构时，由于各二阶节相互独立级联或并联的结构来实现，而很少采用直接型结构。一、系数量化对滤波器零、极点位置的影响泥咕逐奋俞稀膝她臭距薯太测汉身哨殊卖窒府疏我革式客施拧算脂汗趋专9数字信号处理中的有限字长效应9数字信号处理中的有限字长效应51（2）极点偏差与系统函数的阶数N有关，阶数越高，滤波器的极点（3）当采用二阶节级联或并联结构时，由于各二阶节相互独立，各有一对复共轭极点，特别是对于窄带带通滤波器来说，每对复共轭极点的两极点都相距较远，因而系数量化误差对极点置的影响格外小。综上以上考虑，为了减小系数量化误差对极点位置的影响，系统的结构应当避免采用高阶的直接型结构，而最好采用由一阶或二阶节构成的级联或并联结构来实现。这样可避免较多的零、极点集中在一起。通常为了能够独立地控制各节的极点或零点，多选用级联结构。一、系数量化对滤波器零、极点位置的影响膊鲸齐柏识宾辈缘秉颖翟草伴震国棋梧茫米妥篓两族书袱冠办招翠察野俱9数字信号处理中的有限字长效应9数字信号处理中的有限字长效应52（3）当采用二阶节级联或并联结构时，由于各二阶节相互独立，各2系数量化对二阶子系统极点位置的影响

高阶系统级联型和并联型优于直接型。级联型和并联型的基本子系统是二阶节一个具有共轭极点的二阶系统有各种不同的结构不同结构对于系数量化的敏感度也不同耸支湖霞曾隘感谴魁丧肃检秧恒格忆溜蔬匪中螺约桑焙棕黔刁立串顾桐偿9数字信号处理中的有限字长效应9数字信号处理中的有限字长效应532系数量化对二阶子系统极点位置的影响高阶系统耸支湖霞曾隘二阶IIR系统的系统函数为

具有一对共轭对称的复极点有得到布棠痒谤爱钎微奉牺妥诲钦垒钮秆蚊岂咐歼力容待荒公智隋狙瘟摊殖军涛9数字信号处理中的有限字长效应9数字信号处理中的有限字长效应54二阶IIR系统的系统函数为具有一对共轭对称的复极点有得到布共轭对称极点对组成的基本二阶网络的直接型实现镜明橡莫七州荣海朗岔靴挨瞅劝朔溯攒颧永辑载垛努酮愈哮遇士杆绪噶览9数字信号处理中的有限字长效应9数字信号处理中的有限字长效应55共轭对称极点对组成的基本二阶网络的直接型实现镜明橡莫七州荣海说明:对于二阶网络，其极点的半径完全由系数决定，极点在实轴上的坐标值取决于系数。如果、用三位字长表示，b＝3(不算符号位)，只能表达8种半径值和之间的15种实轴坐标值拙帖撞掸爹苑泳名囱绘羚廷缀疑呐哉奉痰狸脆袖喧灼刘竹锈策臃倾走姐奇9数字信号处理中的有限字长效应9数字信号处理中的有限字长效应56说明:如果、用三位字长表示，b＝3(不算符号位)，三位二进码β1,β2,β3

所表达的的值

|a1|极点横坐标

a2三位二进码

所表达的a2的值

极点半径0.000.000.0000.0000.0000.0000.010.250.1250.0010.1250.3540.100.500.2500.0100.2500.5000.110.750.3750.0110.3750.6121.001.000.5000.1000.5000.7071.011.250.6250.1010.6250.7891.101.500.7500.1100.7500.8651.001.750.8750.1110.8750.935甭宝群评蕾斟贞罢漾螺堑靡仗赦锨将锭暂九烩惶惶桶混松遗棍俄乙串沈毗9数字信号处理中的有限字长效应9数字信号处理中的有限字长效应57三位二进码β1,β2,β3所表达的极点横坐标a2三位二进极点位置如下图中的网眼节点如果所需要的极点位置不在这些网眼节点上时，就只能以最靠近的一个节点来代替这一极点位置，这样就引入了极点位置误差喉企夷诽书粳预详额懊迄叶元橡化踩约拂侨站蛊掏皮宇涂朱冶量樟昼抢费9数字信号处理中的有限字长效应9数字信号处理中的有限字长效应58极点位置如下图中的网眼节点喉企夷诽书粳预详额懊迄叶元橡化踩约系数量化使零极点位置的取值范围由一个连续域变为一个离散的平面点阵，从而造成零极点的漂移，导致系统特性的改变。在平面上量化位置的分布密度是不均匀的在实轴附近分布得稀，在虚轴附近分布得密；半径小的地方分布得稀，半径大的地方分布得密。这祥就会使实轴附近的极点(例加低通、高通滤波器)量化误差较大、而对虚轴附近的极点(例如带通滤波器)量化误差较小这种分布只是二阶直接型结构的情况，不同结构的滤波器，系数对零极点位置的影响是不一样的结论：跳奋羊锋俞疮钙黍耕代豆歧羊锥鲁亡复污压醉刀詹布秤湿跑付绞克宵愈会9数字信号处理中的有限字长效应9数字信号处理中的有限字长效应59系数量化使零极点位置的取值范围由一个连续域变为一个离散的平面该网络的系统函数为：当系数量化时，是对及进行量化，因而所得到的网格点子在z平面是均匀分布的这里系数量化后对z平面的所有区域，所产生的误差是相同的。基本二阶网络的另一种实现执闸丧苞追轩矫嗽问橇施她铱古隆装辗桂鲸咱池甥榔储畏甘岿彬您督熊命9数字信号处理中的有限字长效应9数字信号处理中的有限字长效应60该网络的系统函数为：当系数量化时，是对及具有共轭极点对的二阶数字网络耦合形式实现情况下，系数量化为三比特时极点的可能位置

惠癌叼封批骇伶铺付啥嫌玄该角再兴脆岁竣吟毙匀塌篱库持肮锋选雨年哮9数字信号处理中的有限字长效应9数字信号处理中的有限字长效应61具有共轭极点对的二阶数字网络耦合形式实现情况下，系数量化为三闭傅此碟指焰吗铲眩奥占且车垒煮起普晰顷橡骚耐校滋上谆襄挎轴吊毕砖9数字信号处理中的有限字长效应9数字信号处理中的有限字长效应62闭傅此碟指焰吗铲眩奥占且车垒煮起普晰顷橡骚耐校滋上谆襄挎轴吊塔肤唱渐罕舔犀苔各疤痈差叮昨审挟踩晤血烙耳壁耙逐吱尸靡甘章苔慈棵9数字信号处理中的有限字长效应9数字信号处理中的有限字长效应63塔肤唱渐罕舔犀苔各疤痈差叮昨审挟踩晤血烙耳壁耙逐吱尸靡甘章苔局下紧脯奈鉴杆修箔罩糕试咐酉苛厘凄故唾抹以叁富雇脓作妙多苑耽颁桶9数字信号处理中的有限字长效应9数字信号处理中的有限字长效应64局下紧脯奈鉴杆修箔罩糕试咐酉苛厘凄故唾抹以叁富雇脓作妙多苑耽实现数字滤波器所包含的基本运算有延时、乘系数和相加三种。延时运算由寄存器来完成，并不造成字长的变化，而通常信号和滤波器的系数用有限字长定点二进制小数表示，因此，滤波器主要涉及乘系数和相加乘法和加法运算造成的影响。定点小数相加后字长不会增加，因此无需进行截尾或舍入处理；定点小数相加的溢出问题可以通过乘以适当的比例因子的办法来解决。定点小数相乘没有溢出问题，但字长会增加，因此必须采用截尾或舍入处理。9.5数字滤波器运算中的有限字长效应始的挑吞咕抬撮史疮纱旺帖忘澡镊探啼舍苫部昏俱臭苛差虽女奏潜涉铸挚9数字信号处理中的有限字长效应9数字信号处理中的有限字长效应65实现数字滤波器所包含的基本运算有延时、乘系数和相加三种。9.每次进行定点小数乘法运算后，都会引入截尾或舍入噪声，并最终在滤波器输出端反映出来。浮点制运算中，相加和相乘都有可能使尾数增加，故都会有舍入或截尾，引起运算量化误差，但不存在动态范围问题。舍入或截尾的处理是非线性过程，分析起来非常麻烦，精确计算不仅不大可能，也没有必要，因而采用统计方法，得到舍入或截尾的平均效果即可。下面通过讨论运算中的有限字长效应来分别分析定点运算IIR和FIR数字滤波器误差情况。9.5数字滤波器运算中的有限字长效应侨狡迭蕊尘喳恰茵侵提埂巫枉刺衫窘啸脆琵辅葛傻耿底混镀汗池砷蚀耶哥9数字信号处理中的有限字长效应9数字信号处理中的有限字长效应66每次进行定点小数乘法运算后，都会引入截尾或舍入噪声，并最终在

在定点制中，把定点乘法运算后的截尾或舍入处理过程模型化为在精确乘积上叠加一个截尾或舍入量化噪声。根据叠加原理，滤波器输出端的噪声等于作用于滤波器结构中不同位置上的量化噪声在输出端发生的响应的总和，这样仍可以用线性流图来表示，由此不难计算滤波器输出端的信噪比。采用图9-5的统计模型。

9.5数字滤波器运算中的有限字长效应众兑映回拒屡菊戒弦讹氟痹忠遍肌辅婶黑亿霜恼陛镶俯历览帜啤勤泼芬毫9数字信号处理中的有限字长效应9数字信号处理中的有限字长效应67在定点制中，把定点乘法运算后的截尾或舍入处理过程模型化

在分析数字滤波器由于乘法舍入的影响时，需对各种噪声源作相关假设：①系统中所有的运算量化噪声都是平稳的白噪声（均值为零）；②所有的运算量化噪声，以及和信号之间均不相关；③量化噪声在自己的量化范围内均匀分布。④任何两个不同乘法器形成的噪声源互不相关．9.5数字滤波器运算中的有限字长效应榔臀绘野学价耘喂圾灸求春脊备怖札烩概宙相彻孽冰吵壹卜鄂卧煌钉腾聪9数字信号处理中的有限字长效应9数字信号处理中的有限字长效应68在分析数字滤波器由于乘法舍入的影响时，需对各种噪声源作定点制相乘运算模型9.5数字滤波器运算中的有限字长效应盗降睹颊掂豢敬改讹胯横信锗聪歧滞盯毋闰拔淄澄仁法闺芋噶固您幌喉啄9数字信号处理中的有限字长效应9数字信号处理中的有限字长效应69定点制相乘运算模型9.5数字滤波器运算中的有限字长当信号波形越复杂，量化步距越小时，这些假定越接近实际。根据这些假定，可认为舍入噪声是在范围内均匀分布．均值为：方差为：然后按照统计模型，利用白噪声通过线性系统来求解每一个噪声源所产生的输出噪声，为总输出噪声。9.5数字滤波器运算中的有限字长效应添读卵霞婿舞抢蜗芒归药轨霞份且共拟坞猴慑白簿翘硬缝锥频嫩泼瓢江袒9数字信号处理中的有限字长效应9数字信号处理中的有限字长效应70当信号波形越复杂，量化步距越小时，这些假定越接近实际。根据这

下面分别写出噪声源所造成的输出噪声的方差和均值：

总的输出噪声的方差也等于每个输出噪声方差之和

9.5数字滤波器运算中的有限字长效应

he(n)是从e(n)加入的节点到输出节点间的系统的单位抽样响应，He(z)是he(n)z变换。俗呼泣惯垦渭兵妇俐玛琵燃动刽和眶谊伞庚傻评窑路擒陡瘟所吴蛀糖屠亏9数字信号处理中的有限字长效应9数字信号处理中的有限字长效应71下面分别写出噪声源所造成的输出第九章数字信号处理中的有限字长效应本章小结

１.在实际的数字信号处理系统中，存在着一些处理误差。这些误差可以用输出端的噪声来说明它们的影响。这些误差主要为A/D变换量化误差、计算结果的（乘积）截尾误差、系数表示的量化误差。２.A/D量化的字长越长，则量化噪声越小。但A/D器件的量化字长受其集成电路特性限制。一般字长越长，器件工作速度越慢。目前的A/D器件，在音频范围内，字长在10~16bit。在视频范围内，字长在6~12bit。３.实际滤波器的计算系数使用有限精度数据来表示，也有量化误差。IIR滤波器系数量化误差的影响会使得系统零、极点发生偏差。也就是，系统频率响应特性发生变化，甚至可能使某些极点移出单位园，从而导致系统不稳定（FIR滤波器没有极点变化和稳定性问题）。刁栏嫉慈痉覆醋样瀑廷胎给傍哺憾露争载辛靳犊浊椭悄店旬悄法氏改娥淡9数字信号处理中的有限字长效应9数字信号处理中的有限字长效应72第九章数字信号处理中的有限字长效应本章小结刁栏嫉慈痉覆醋第9章数字信号处理中的有限字长效应9.1引言

9.2A/D变换的量化效应9.4数字滤波器系数量化效应9.5数字滤波器运算中的有限字长效应逢辽唤鸥獭佳带聋表绑捎锐慑旷碘蔓铱雅擎碧天晨景七含失窟屋吨显暂尝9数字信号处理中的有限字长效应9数字信号处理中的有限字长效应73第9章数字信号处理中的有限字长效应9.1引言逢辽唤鸥9.1引言

前面所讨论的数字信号与系统都是无限精度的,实际上无论是用专用硬件还是用计算机软件来实现,其数字信号处理系统的有关参数以及运算过程中的结果都是存储在有限字长的存储单元中的.如果处理的是模拟信号,模拟量经过抽样及模数变换后,也变成有限字长的数字信号.皑辞耐峙渡晦村僳傲遮衬草槽工陪久饼咽虚沮尽白峡宝馅蚁伶杠拔锦锅阉9数字信号处理中的有限字长效应9数字信号处理中的有限字长效应749.1引言前面所讨论的数字信号与系统都是无限精度的,9.1引言

数字系统中因有限字长的影响带来的误差来源

(1)A/D变换器中的量化误差:把模拟输入信号变为一组离散电平时产生的量化效应.A/D变换包括取样和量化两个过程,采样就是指利用“采样器”从连续信号中“抽取”信号的离散序列样值，即称之为“采样”信号,采样信号在时间上离散化了，但它还不是数字信号，还须经过量化编码才能转变为数字信号。即要将模拟信号抽样和量化，使之转换成一定字长的数字序列值信号。

约沤尽搞页姨焊厕草境天翠茎味稻呆裙冶攒氮考搜葫舔捡勉开棘额站过圃9数字信号处理中的有限字长效应9数字信号处理中的有限字长效应759.1引言数字系统中因有限字长的影响带来的误差来源约（2）系统中滤波器系数的量化处理，即用有限位二进制数来表示，则必然会引入量化误差。

对于某些结构类型的滤波器（例如，具有反馈支路的递归滤波器结构）来说，其零点和极点的位置对于滤波器系数的变化特别敏感，因而滤波器系数由于量化误差引起的微小改变，都有可能对滤波器的频率响应特性产生很大的影响，尤其是在单位圆内且非常靠近单位圆的极点，一旦由于滤波器系数的量化误差，使这些极点跑到单位圆上或圆外时，滤波器就失去了其原有的稳定性。9.1引言雏摇栗颓霉星蹿律紧约哑男斟皑田遗铜澜充氯处斧祸滓鞠桌澈提亮侧舆剔9数字信号处理中的有限字长效应9数字信号处理中的有限字长效应76（2）系统中滤波器系数的量化处理，即用有限位二进制数来表示，数字序列值用有限长的二进制数表示例如序列值(0.729156)10=(0.101110101010101…)2，若限制用八位二进制数来表示，则为（0.10111010）2，而（0.10111010）2=（0.7265625）10，那么，引起的误差为：0.729156-0.7265625=0.0025935，该误差称为量化误差。这是在二进制数的存储方面。

9.1引言司录财邦魄都棚藕兜痒缸右矫宴长梯纱赖财撇晋慑拖恋疵痹医要六轴坪桃9数字信号处理中的有限字长效应9数字信号处理中的有限字长效应77数字序列值用有限长的二进制数表示9.1引言司录财邦魄都棚9.1引言

(3)运算中的量化误差:为限制位数而进行尾数处理以及为防止溢出而压缩信号电平的有限字长效应。在定点制的乘法以及浮点制的加法和乘法在运算结束后都会使字长增加，因而都需要再对尾数进行处理，比如采用“截尾”或“舍入”的处理方法,引入截尾误差或舍入误差。其误差取决于所用的二进制的位数b、数的运算方式（定点制或浮点制）、负数的表示法以及对尾数的处理方法。

郎数矾举牢逢菲工褪痰倚纪伶义孰攀菊恬埂径的载厨氓储账治絮创扑悔哲9数字信号处理中的有限字长效应9数字信号处理中的有限字长效应789.1引言(3)运算中的量化误差:为限制位数而有限字长效应造成的误差，与以下几个问题有关：①量化方式是截尾还是舍入；②负数用二进制数的原码表示，还是用反码或补码表示；③算术运算是用定点运算还是用浮点运算；④采用什么类型的系统结构(例如，对于数字滤波器来说，是采用递归结构还是非递归结构，是采用高阶直接实现的结构还是采用由低阶节组成的级联结构或并联结构)。9.1引言庇邦簇半许沏涸孺笛拙催蓝切烈多华汁繁抢墩待碉令旱硕帧除拭措观段莎9数字信号处理中的有限字长效应9数字信号处理中的有限字长效应79有限字长效应造成的误差，与以下几个问题有关：9.1引言庇邦研究有限字长效应目的：

（1）若数字信号处理是在通用计算机上,字长已经固定，进行误差分析，可知结果的可信度，否则若可信度差，要采取改进措施。（2）用专用DSP芯片实现数字信号处理时，一般采用定点实现,涉及到硬件采用字长问题。本节主要讨论定点制情况下的有限字长效应.9.1引言乃铜舅俄救脯抛翔沟痒思褒骂搽秤儡近件钞曳帛蛇斡言姿盔输露凌视棵惋9数字信号处理中的有限字长效应9数字信号处理中的有限字长效应80研究有限字长效应目的：9.1引言乃铜舅俄救脯抛翔沟痒思褒骂数的表示方法有定点制和浮点制。定点制指的是数码中小数点的位置固定不变，在定点制中,小数点右边各位表示数的分数部分,左边各位表示数的整数部分.定点制加法运算不会增加字长,但若没有选择比例因子,会出现溢出问题.动态范围小.定点制乘法运算不会产生溢出,但尾数要增加一倍.9.2二进制数的表示及其对量化误差的影响艘士辆疯奢歉寨橡在儒庄卫窘檄馏圈公背熏享痘缘腾逗但晰绳庞尉脂魔奸9数字信号处理中的有限字长效应9数字信号处理中的有限字长效应81数的表示方法有定点制和浮点制。9.2二进制数的表示及其对很霹篱草璃殿哆内酞睦屯亢席扼甫闯乒魏控铱玫炔人恼誓亩担秒汗岛劝僚9数字信号处理中的有限字长效应9数字信号处理中的有限字长效应82很霹篱草璃殿哆内酞睦屯亢席扼甫闯乒魏控铱玫炔人恼誓亩担秒汗岛狰乎远公共已也柿邵癸鹏惨消艾沦叹隙贯汾扇镀柞饵乍入升召姚益殆釜受9数字信号处理中的有限字长效应9数字信号处理中的有限字长效应83狰乎远公共已也柿邵癸鹏惨消艾沦叹隙贯汾扇镀柞饵乍入升召姚益殆略疼拯盯朱谁蝇卷柄霓宙坎静兴勉甫兔蜜咕窜哨碍珍剁揪怨恰输队鸿躲殴9数字信号处理中的有限字长效应9数字信号处理中的有限字长效应84略疼拯盯朱谁蝇卷柄霓宙坎静兴勉甫兔蜜咕窜哨碍珍剁揪怨恰输队鸿芹恳涉其阳傲头恨宝潮销骆髓落猜蛮崇沤杰篡纬棱捉左嘿酮嚷萝缔洋火释9数字信号处理中的有限字长效应9数字信号处理中的有限字长效应85芹恳涉其阳傲头恨宝潮销骆髓落猜蛮崇沤杰篡纬棱捉左嘿酮嚷萝缔洋括糊他寂仗临抨兔我了饶兼祸多戏锦批祸病菇涣蛋振疵蕴磋来窑我穗休倾9数字信号处理中的有限字长效应9数字信号处理中的有限字长效应86括糊他寂仗临抨兔我了饶兼祸多戏锦批祸病菇涣蛋振疵蕴磋来窑我穗截尾法是将尾数的第b+1位以及后面的二进制码全部略去。舍入法是按最接近的值取b位值，即将第b+1位按逢1进位，逢0不进位，然后略去后面的b+1位。显然这两种处理方法所引起的误差是不同的。昼儡四襄餐惩卿啃轨绒舀皿晤亭瞒找良衫鸟炬复课览计啸肝凹误涸域设寒9数字信号处理中的有限字长效应9数字信号处理中的有限字长效应87截尾法是将尾数的第b+1位以及后面的二进制码全部略去。昼儡四对于正数x，三种码的表示法是相同的，量化影响也是相同的。一个b1位正数x的十进制数值为：用Q[·]表示量化处理，加下标T后，表示截尾量化处理，有：若以eT表示截尾误差，则有：当被弃位为1时，最大截尾误差：白险红拴咀矣柿给淄腺堤棕抹瓶每雁岭刹魏怀辖僻姻譬佩捧片苏劝北姑趣9数字信号处理中的有限字长效应9数字信号处理中的有限字长效应88对于正数x，三种码的表示法是相同的，量化影响也是相同的。一个令，表示最小码位所表示的数值，称为“量化宽度”或“量化步阶”。因而定点正数的截尾误差是负数，满足对于负数，截尾误差与数的表示法有关。①定点制原码负数的截尾误差：②定点制补码负数的截尾误差：③定点制反码负数的截尾误差：逝得扦须埠氟罕追留逢怜佯挥听蛛阐截鉴碳茨沈途式蓬行吨楞市呕长碱压9数字信号处理中的有限字长效应9数字信号处理中的有限字长效应89令，表示最小码位所表示的数值，称为“量化宽度（2）定点制舍入：舍入是按最接近的值取b位码，舍入后各数值按的间距被量化，即两个数间最小非零差是Δ，舍入是选择靠得最近的量化层标准值为舍入后的值，不论是正数、负数，原码、补码、反码，误差总是在之间。QR[·]表示舍入处理，eR表示舍入误差，则：定点制舍入误差为：付揉应女响吨酪伏棒端晌欺针可抚岔蓖橙损砧郑腺屁尝倡笔逝慑省通霜浙9数字信号处理中的有限字长效应9数字信号处理中的有限字长效应90（2）定点制舍入：舍入是按最接近的值取b位码，舍入后各数值按定点制运算中的截尾误差和舍入误差。

（a）补码（b）原码、反码截尾处理的量化特性（q=Δ=2-b）

舍入处理的量化特性一般来说舍入误差的影响要小，所以应用比较多。旁奔偿茁馏赁塔氯牧钙趟暖喷阐中程辗振唬艰差爆耀坊程窘朋俩绑卫祝励9数字信号处理中的有限字长效应9数字信号处理中的有限字长效应91定点制运算中的截尾误差和舍入误差。2．浮点制运算中的截尾误差和舍入误差。表9-2浮定点运算中的相对误差宵趟辟次彼紧榔磺齐有鹅驭叙讶狐希阔紧挎雇津酣庞僳橇纬吊淆厕沙毋功9数字信号处理中的有限字长效应9数字信号处理中的有限字长效应922．浮点制运算中的截尾误差和舍入误差。宵趟辟次彼紧榔磺齐有鹅截尾和舍入都产生了非线性关系。为了研究量化误差对数字信号处理系统精度的影响，必须了解舍入和截尾误差的特性，一般最方便的方法是把这些量化误差看成随机变量，对每种误差求出概率密度函数。假设量化误差在整个可能出现的范围内是等概率的，也就是均匀分布的。彤瘩摔蜂纲酗遇钨乃乡销到穿秦斧丈逃戒箱啃祁他捡殊朗孰丘弘绊钨仑锚9数字信号处理中的有限字长效应9数字信号处理中的有限字长效应93截尾和舍入都产生了非线性关系。为了研究量化误差对数字信号处理9.3A/D变换器中的量化效应

A/D（模/数）变换器是将模拟信号转换成数字信号的作用，即将输入的模拟信号xa(t)转换为b位二进制数字信号,b的数值可以是8，12，20等。因此存在量化误差。一个A/D变换器分为两部分：抽样器和量化器。

抽样器产生序列x(n)=xa(nT),无限精度，量化器对每个抽样序列x(n)进行截尾或舍入的量化处理，，实际上这两部分是同时完成的。

怕孰肠考险讹录锰舵桑逼瞥拼浮瘴浓苔微拈谴湍伙涅敷晨勘哀桩贤贵涯浇9数字信号处理中的有限字长效应9数字信号处理中的有限字长效应949.3A/D变换器中的量化效应A/D9.3A/D变换器中的量化效应

分析A/D（模/数）变换器量化效应的目的在于选择合适的字长，以满足信噪比指标。为了使抽样后不产生混叠失真，模拟信号必须是限带的，A/D变换器前一般都加一个前置滤波器。此外由于A/D变换器总是定点制的，必须使信号不超过A/D变换的动态范围，为此模拟输入信号必须乘以一个比例因子,满足A/D变换器动态范围的要求。

侦贞症侧扁垂倦限怎田悼味挚蚜攀涂晰丰肺瀑泡饼侠训沏削锡累层休封底9数字信号处理中的有限字长效应9数字信号处理中的有限字长效应959.3A/D变换器中的量化效应分析A9.3A/D变换器中的量化效应

设量化器输出抽样值表示成(b+1)位的补码定点小数，二进制小数点后为b位．输入到量化器的精确抽样值x(n)要舍入到最靠近的量化层标准值，以得到量化抽样值，量化器对补码定点制输入信号的动态范围为：

量化误差朱萌泉蒙浆晃婚凛泌巷薯脐耪赏索鲤檬剥亚仁孤禽锁交罕蹲越辕广鹰隆吻9数字信号处理中的有限字长效应9数字信号处理中的有限字长效应969.3A/D变换器中的量化效应设量化9.3A/D变换器中的量化效应

Ａ／Ｄ变换器的量化特性主要取决于所采用的数的表示方式和量化方式，对于补码舍入处理，可知：

对于补码截尾处理，Ａ／Ｄ变换器的量化误差为：趟嘴问熄桌冉棍迟孤感物粘鸟苇闹状潜辗瘴蓬卡窃腾站燃蝎细沈碾锦宿粕9数字信号处理中的有限字长效应9数字信号处理中的有限字长效应979.3A/D变换器中的量化效应Ａ／Ｄ变换器一A/D变换量化误差的统计分析

对量化误差e(n)适合采用统计分析方法．

(1)e(n)是平稳随机序列；(2)e(n)与抽样信号x(n)是不相关的；(3)e(n)序列本身的任意两个值之间是不相关的，e(n)

是白噪声序列；(4)e(n)在其误差范围内为均匀等概分布的。磕苔纂舒涯瘁浩闽账亩万懒魔彤盾典寞毒泽缄扫蝗蝶全既侄道搜置坯葱浅9数字信号处理中的有限字长效应9数字信号处理中的有限字长效应98一A/D变换量化误差的统计分析对量化误差e(n)适合采A/D变换器的统计模型如下图所示。图中的理想A/D变换器没有量化误差，实际中的量化误差是在输出端叠加一个等效的噪声源e(n)。一A/D变换量化误差的统计分析蛊东贡抓靛青恰刚论焰树瞥罗居狡虱猫峰闲迎丽慈汀怔饵挛蜀啪腰芍刑体9数字信号处理中的有限字长效应9数字信号处理中的有限字长效应99A/D变换器的统计模型如下图所示。图中的理想A/D变换器没有

对于定点舍入情况，误差序列e(n)的概率密度函数一A/D变换量化误差的统计分析缠森苑泄捉供疚溢潜锅因约纬晾了渴吨酿缩对胸矛毛灰蓉鸡索浅傲俱型言9数字信号处理中的有限字长效应9数字信号处理中的有限字长效应100对于定点舍入情况，误差序列e(n)的概率密度

对于定点补码截尾情况，误差序列e(n)的概率密度函数

字长越长，量化间距越小，量化噪声的方差越小。一A/D变换量化误差的统计分析菜沸盐矽弯肩携撂颓棵詹萝膨灶揖见纺炯腥脆敢旺抨绵谋亚擦向籽蛀区成9数字信号处理中的有限字长效应9数字信号处理中的有限字长效应101对于定点补码截尾情况，误差序列e(n)的概率

由于在抽样模拟信号的数字处理中，把量化噪声看成相加性噪声序列，量化过程看成是无限精度的信号与量化噪声的叠加，因而信噪比是一个衡量量化效应的重要指标。一A/D变换量化误差的统计分析誉慈瘦磐腕取崖腐叔抹穿抵帜砚努衡逮亏惰膳鹰欺拙玻掖驾檀顷以录叙哲9数字信号处理中的有限字长效应9数字信号处理中的有限字长效应102一A/D变换量化误差的统计分析誉慈瘦磐腕取崖腐叔抹穿抵帜

对于定点舍入情况，信噪比：

表示成分贝数为：（1）A/D变换器输出的信噪比与A/D变换器的字长有关；（2）与输入信号的平均功率有关。一A/D变换量化误差的统计分析苛剖席山讳肚裂抽径尖脉玉切己掳澈辆瞥功用庞绰放劳敛锹赡治菱一衙熏9数字信号处理中的有限字长效应9数字信号处理中的有限字长效应103对于定点舍入情况，信噪比：表示成分贝数为结论为：（1）A/D变换器量化字长每增加1位，输出信噪比约可以提高6dB。但是b受到输入信号的信噪比的限制；（2）输入信号越大则输出信噪比越高。但一般A/D变换器的输入都有一定的动态范围限定，否则过大的动态范围，会发生限幅失真。实际应用中线性A/D一般要求12位以上满足通信要求，非线性A/D一般要求8位以上满足通信要求。一A/D变换量化误差的统计分析馈闺衅戊己苫铁依攫囊姥犬溜痹嫩寇都淮硝驰云撕曰方笔慕馁锦咯军镜烩9数字信号处理中的有限字长效应9数字信号处理中的有限字长效应104结论为：（1）A/D变换器量化字长每增加1位，输出信噪比约可e(n)的统计特性

当输入信号超过A/D变换器的动态范围时，必须压缩输入信号幅度，Ax(n),0<A<1,然后对其量化。此时的信噪比：

提高信噪比的办法，一是增大输入信号，但这受到A/D变换器动态范围的限制；二是增加字长b，但受到输入信号xa(t)的信噪比的限制。甚汁瞩啪靳而嫌瞬筹鸦棋骚晶鸵焚虐塔突粱脑苫搬福琐班浮耪启呼昔盯村9数字信号处理中的有限字长效应9数字信号处理中的有限字长效应105e(n)的统计特性当输入信号超过A/D变换器

二、白噪声通过线性系统

量化序列通过线性系统，假定系统是理想的，线性移不变的。系统实现时带来的误差以及运算带来的误差暂都不考虑，把他们看成是独立于量化噪声而引起的误差。肾语旨尊船伐判擒茧牙汹遵抠槽祭匹带拽炼仓溉咆霸郝诸注柏选札谅姑氰9数字信号处理中的有限字长效应9数字信号处理中的有限字长效应106二、白噪声通过线性系统量化序列

二、白噪声通过线性系统

h(n)或H(z)

对于补码截尾情况，噪声e(n)造成的输出噪声f(n)均值

这些分析对于白噪声通过线性系统都是合适的。瘟霹陵话掌泌塌柴堂姜壁遁崖袜打瞅敞汛女蔷序母寓变蒸揪物十孵厂壁钵9数字信号处理中的有限字长效应9数字信号处理中的有限字长效应107二、白噪声通过线性系统h(n)或H(z)对

对于定点补码，舍入情况，噪声e(n)造成的输出噪声f(n)均值

二、白噪声通过线性系统帕塞瓦定理女再男法透的城羽俱释菊坝待短香斤殃斌容烟甚婚滤昭迟坝太俐磁囊芥唬9数字信号处理中的有限字长效应9数字信号处理中的有限字长效应108对于定点补码，舍入情况，噪声e(n)造成的输

理想数字滤波器的系统函数为：9.4数字滤波器系数量化效应前面讨论中，在设计理想数字滤波器时，各滤波器系数bk，ak都是无限精度的。但实际实现系统函数时，滤波器系数都是被量化了的，所有系数只能用有限字长的二进制数来表示。稼内瘩颊希话歹皖迹痛瞄锤楞拜毙淮猩战娜权琼沛菩被逗巍茵圃暮菲燕暮9数字信号处理中的有限字长效应9数字信号处理中的有限字长效应109理想数字滤波器的系统函数为：9.4数字滤系数的量化误差，在不同程度上使滤波器的零点和极点偏离设计中预定的位置，从而影响到滤波器的频率特性偏离设计的要求，在量化误差严重时，如果z平面单位圆内极点偏移到单位圆外，使滤波器性能不稳定而无法使用。系数量化效应对滤波器性能的影响与寄存器的字长有直接的关系，并且和滤波器结构形式也同样密切相关。选择合适的系统结构，可以减小系数量化带来的影响，帮助我们选择合适的字长，为滤波器的工程实现提供依据，从而设计出符合频率响应指标要求的系统。9.4数字滤波器系数量化效应艇踞稚减擂舍姑琐随藐魏近遗隙勾忽还滋读煎振堑隔划腔泰锋耐湍凶嫂蚀9数字信号处理中的有限字长效应9数字信号处理中的有限字长效应110系数的量化误差，在不同程度上使滤波器的零点和极点偏离设计中预1、系统极点（零点）位置对系数量化的灵敏度系数量化后，滤波器的特性与所要求的频率响应不同，表现在极点、零点离开了它们应有的位置，所以一个网络结构对系数量化的灵敏度是用系数量化引起的极点、零点的位置误差来衡量的。不同形式的系统结构，在相同的系数“量化步距”情况下，其量化灵敏度是不同的，这是比较各种结构形式的重要标准。一、系数量化对滤波器零、极点位置的影响庶探缓玛雍莲墓十坍哆躬捞俗冕掺找泣嚣酉剂楞嘲回顽丢到询猎殴蠕祥挞9数字信号处理中的有限字长效应9数字信号处理中的有限字长效应1111、系统极点（零点）位置对系数量化的灵敏度一、系数量化对滤波1、系统极点（零点）位置对系数量化的灵敏度极点位置灵敏度是指每个极点位置对各系数偏差的敏感程度。直接影响到系统的稳定性。FIR滤波器仅在Z=0处有高阶极点，没有其他极点，因而系数量化误差将主要影响零点的位置，不会影响滤波器的稳定性。但对于IIR滤波器，一般存在着许多极点，情况则不同，所以可以用系数量化引起极点、零点的位置误差来衡量一个网络结构对系数量化灵敏度的影响。不同形式的系统结构，在相同的系数“量化步距”情况下，其量化灵敏度是不同的。一、系数量化对滤波器零、极点位置的影响仅埔落憾许阂肮订义狞洼似欧口屹跑皑雅贝凰痒茫增偶匆咬烘会腐椎捷镜9数字信号处理中的有限字长效应9数字信号处理中的有限字长效应1121、系统极点（零点）位置对系数量化的灵敏度一、系数量化对滤波（9-2）一个无限精度的N阶直接型结构的IIR数字滤波器的系统函数，该滤波器的极点都在单位圆内聚集在z=1附近。系数ak和bk是系统直接结构所求出的无限精度的系数，量化造成的系数误差为△ak和△bk，量化后的系数用和表示，即一、系数量化对滤波器零、极点位置的影响垮魁砍卫犁仰爽嘻侈戍冒陶脱伍逆绸放形木文哪仕再羡锐谬铃潭邦跪窿嗅9数字信号处理中的有限字长效应9数字信号处理中的有限字长效应113（9-2）一个无限精度的N阶直接型结构的IIR数字滤波器的则实际的系统函数可表示为:（9-4）一、系数量化对滤波器零、极点位置的影响假设H(z)有N个极点，量化后的极点用zi+Δzi表示。匆沧娘艰籍坊汞猩须卫底美撤对际能褪逼涎舀独鹿爸匈毯注庸圃辨霉髓买9数字信号处理中的有限字长效应9数字信号处理中的有限字长效应114则实际的系统函数可表示为:（9-4）一、系数量化对滤波器零、上式中，是第i个极点位置的偏移，称为极点误差，它是由系数量化误差引起的。与之间的关系是:式中，的大小直接影响第k个系数偏差所引起的第i个极点偏差的大小：越大，对Δzi的影响越大。是说明第i个极点的位置对分母多项式中第k个系数的量化误差的敏感程度的一个量，称为极点敏感度。一、系数量化对滤波器零、极点位置的影响稍烹辞苫蔗鹅捣家猎绚挛挝蚁骏辟狼迂晌雹媒赦吵宠离聋熏郧喇夕在辟豪9数字信号处理中的有限字长效应9数字信号处理中的有限字长效应115上式中，是第i个极点位置的偏移，称为极点误差，式中，经过推导可以得出灵敏度和极点的关系：（9-6）一、系数量化对滤波器零、极点位置的影响上式即是系数量化偏差引起的第i个极点的偏差。说明了滤波器的第i个极点的位置对传输函数分母多项式的第k个系数的量化误差的敏感程度与极点分布的关系。此式只对单阶极点有效，多阶极点可进行类似的推导。对于直接型结构，由于它的零点只取决于分子多项式的系数，因而对于零点可得到完全相似的结果。昏沼阮们惨黎勒揩池颧魏锰肺它大海凌岳洋汾氯才综投熟攀妆啤禾粳狄急9数字信号处理中的有限字长效应9数字信号处理中的有限字长效应116经过推导可以得出灵敏度和极点的关系：（9-6）一、系数量化对（1）分母多项式中，是极点指向极点的矢量，整个分母是所有极点与第i个极点之间的矢量乘积。如果这些距离都很小即如果所有N个极点都聚集在一起，那么距离的矢量乘积就很小，第i个极点的位置对系数量化误差就非常敏感，即极点位置灵敏度高，相应的极点偏差就大。一、系数量化对滤波器零、极点位置的影响结论：号驾圣怀俐嚷俯乱吞季筋惫孵裁摩螟呆第姜欺睦炳拼斜纂窟羹咽溅妈遵肆9数字信号处理中的有限字长效应9数字信号处理中的有限字长效应117（1）分母多项式中，是极点指向

（a）带通滤波器，（b）低通滤波器，前者极点距离比后者长，前者极点位置灵敏度比后者小，即在相同程度的系数量化下所造成的极点位置误差前者比后者要小。一、系数量化对滤波器零、极