材料力学第十章-弯曲变形课件

§10-1引言§10-2梁变形的基本方程§10-3用叠加法计算梁的变形§10-4梁的刚度校核·提高梁的刚度的措施§10-5简单静不定梁第十章弯曲变形§10-1引言§10-2梁变形的基本方程§10-3用叠在梁的设计过程中，我们不仅要研究载荷引起的应力，还要研究载荷引起的弯曲变形。一、工程中的弯曲变形问题

弯曲变形的计算是结构分析和设计的重要内容，计算弯曲变形是静定结构分析的基本要素，有时要校验弯曲变形是否在容许极限内。§10-1引言在梁的设计过程中，我们不仅要研究载荷引起的应梁式起重机的变形梁式起重机的变形钻床摇臂的变形钻床摇臂的变形齿轮轴的变形齿轮轴的变形卡车弹簧片的变形可以较大。卡车弹簧片的变形可以较大。●变形计算的目的：

（1）验算梁的刚度，确保梁在使用过程中不致发生过大的变形。

（2）为超静定梁的计算打下基础。在计算超静定梁的反力和内力时，除利用静力平衡条件外，还必须考虑梁的位移条件，根据变形协调条件建立补充方程。这样，位移的计算是求解超静定梁时必然会遇到的问题。那么，怎么样来度量梁的弯曲变形?●变形计算的目的：（1）验算梁的刚度，确保梁在使用过程二、梁的变形位移——挠度及转角变形后的轴线称作挠曲线—AB′挠度：横截面形心在垂直于轴线方向的位移，

用w表示（y

、f、v）。

→

wc转角：横截面绕中性轴转过的角度，

用表示。二、梁的变形位移——挠度及转角变形后的轴线称作挠曲线—AB′讨论：①AB是轴线，就是中性层，既不伸长也不缩短，变形后C点在x方向也有位移，但在小变形条件下，挠曲线是一条很平坦的曲线，x方向的位移相对挠度很小，所以略去不计。挠度w就是轴线上x的函数讨论：①AB是轴线，就是中性层，既不伸长也不缩短讨论：②据平面截面假设：梁变形后，横截面仍保持为平面并与挠曲线正交，作Cˊ点的切线，则此切线与x轴的夹角就等于C截面的转角。

小变形时，梁的挠曲线为一条很平坦的曲线，θ角很小，故：讨论：②据平面截面假设：梁变形后，横截面仍保持(在上图所示坐标系中)●挠度及转角正负号规定:①挠度:向上为正，向下为负；②转角:逆时针转为正，顺时针转为负。w(在上图所示坐标系中)●挠度及转角正负号规定:①挠度:向上为纯弯曲时，挠曲线的曲率方程为：一、挠曲线近似微分方程MMMM§10-2梁变形的基本方程纯弯曲时，挠曲线的曲率方程为：一、挠曲线近似微分方程MMMM横力弯曲时，挠曲线的曲率方程为：弹性力学分析得：（略去了剪力的影响）w(x)数学推导：若有一方程w=f(x)，则此曲线方程的曲率方程为：横力弯曲时，挠曲线的曲率方程为：弹性力学分析得：（略去了剪力(x)w(x)w这里正负号根据挠度w的方向而定：称为挠曲线近似微分方程。略去了剪力的影响(x)w这里正负号根据挠度w的方向而定：称为挠曲线近似微分方程。略去材料力学第十章--弯曲变形课件在选定的坐标系中，挠曲线微分方程的最终形式为w在选定的坐标系中，挠曲线微分方程的最终形式为w对方程积分一次可得：

这里C和D

是积分常数，

可由梁的边界条件确定。挠曲线方程转角方程对于等截面梁,微分方程可写为:两次积分可得二、

用积分法求弯曲变形对方程积分一次可得：这里C和D是积分常数，可由梁■梁的边界条件：①支承条件△--弹簧变形wA=0wA=0wA=Δ■梁的边界条件：①支承条件△--弹簧变形wA=0wA=0w■梁的边界条件：②连续光滑条件■梁的边界条件：②连续光滑条件讨论：挠曲线近似微分方程对方程求导：再求导：讨论：挠曲线近似微分方程对方程求导：再求导：例1.求梁的挠度和转角方程，并计算B、wB及wl/2。①求支反力解：（坐标原点只能放在左端）x11由1-1右侧：③列挠曲线近似微分方程②列弯矩方程ABFm例1.求梁的挠度和转角方程，并计算B、wB及wl/2x11ABFm④积分⑤确定积分常数(边界条件:固定端约束)x11ABFm④积分⑤确定积分常数(边界条件:固定端约束)x11ABFm⑥确定转角和挠度方程x11ABFm⑥确定转角和挠度方程x11ABFm⑦计算B、wB及wl/2。x11ABFm⑦计算B、wB及wl/2。例2.求梁的挠度和转角方程，并计算max及wmax。解：①求支反力例2.求梁的挠度和转角方程，并计算max及wmax。x11x22②列弯矩方程AC段BC段③列挠曲线近似微分方程x11x22②列弯矩方程AC段BC段③列挠曲线近似微分方程④积分x11x22④积分x11x22⑤确定积分常数边界条件：①支承条件②连续光滑条件x11x22⑤确定积分常数边界条件：①支承条件②连续光滑条件x11x22⑥确定转角和挠度方程x11x22⑥确定转角和挠度方程x11x22⑦计算max分析：应在′=0的位置来求求的极值从弯矩图可知A、B截面的弯矩为0∴A、B截面的有极值，则max在A截面或者B截面a>b，

max应在B截面x11x22MÅ⑦计算max分析：应在′=0的位置来求求的极值从弯⑧计算wmax类似分析：应在w′=0的位置来求求w

的极值从挠曲线上可知：∴=0的截面应在AC段上x11x22⑧计算wmax类似分析：应在w′=0的位置来求求w的极值从●结论：在简支梁上，若挠曲线无拐点，则最大挠度wmax可用中点处的挠度值来代替。x11x22求wmaxm●结论：在简支梁上，若挠曲线无拐点，则最大挠度wmax可用中思考：根据连续性和边界限制条件，画出近似挠曲线。以下各图中哪个是正确的?√思考：根据连续性和边界限制条件，画出近似挠曲线。以下各图中哪√√√√用积分法求梁的变形：优点：可以求得挠度和转角的普遍方程式缺点：列弯矩方程，求积分常数比较麻繁§10-3用叠加法计算梁的变形用积分法求梁的变形：优点：可以求得挠度和转角的普遍方程式缺点x11ABFm用积分法求得挠度和转角方程从方程可看出挠度和转角与载荷是成线性齐次关系∴可用叠加原理求梁的变形x11ABFm用积分法求得挠度和转角方程从方程可看出挠度和转●叠加原则：

当梁上同时作用几个载荷时，如果梁的变形很小，且应力不超过比列极限，则梁上任一横截面的总位移即等于各载荷单独作用时在该截面引起的位移的代数和。ABFmABmABF●叠加原则：当梁上同时作用几个载荷时，如果梁的变形很mFl/2ABl/2CFqqmmFl/2ABl/2CFqqm●注意：①除最后一个分子系数为5以外，其它均为1；②分母是抗弯刚度乘以一个系数；③载荷：m、F、q均为一次方；④梁的长度l的方次wm12F23q34●注意：①除最后一个分子系数为5以外，其它均为1；②分母是抗①分成单个载荷作用的梁；②画出单个载荷作用下的梁的挠曲线；③命名单个载荷作用下引起的、w；④计算。●叠加法的步骤：①分成单个载荷作用的梁；②画出单个载荷作用下的梁的挠曲线；③ABFm例3.求梁B截面的转角B及挠度wB。①分成m和F单独作用的梁；解：②画单个载荷作用下的挠曲线；AmAF③命名、w；④计算。ABFm例3.求梁B截面的转角B及挠度wB。①分成m④计算。AmAF④计算。AmAF例5.求梁B截面的转角B及挠度wB。解：①画挠曲线；②命名、w；③计算。AFCBAFl/2CBl/2例5.求梁B截面的转角B及挠度wB。解：①画挠曲线；解：①画挠曲线；②命名、w；③计算。AFCB解：①画挠曲线；②命名、w；③计算。AFCBqaAB2aC例6.求梁B截面的转角B及挠度wB。刚化法：整根梁的变形等于梁分为几段单独产生变形之和。(一个力作用时才考虑）分析：①刚化AC段；qABC②刚化BC段；qABCqaAB2aC例6.求梁B截面的转角B及挠度wB。刚①刚化AC段；②刚化BC段；qABCABCqaABCqABC①刚化AC段；②刚化BC段；qABCABCqaABCqABC①刚化AC段；③计算。②刚化BC段；qABCa2aqaABCa2a解：①刚化AC段；③计算。②刚化BC段；qABCa2aqaABCqABCa2aqaABCa2aqABCa2aqaABCa2alBAaCqm例7.求梁B截面的转角B及挠度wB。BACmBACqBACmBACmlBAaCqm例7.求梁B截面的转角B及挠度wB。BqlABlC例8.求梁B截面的转角B及挠度wB。qlABlCqABqABCqlABlC例8.求梁B截面的转角B及挠度wB。ql§10-4梁的刚度校核·提高梁的刚度的措施一、梁的刚度校核即梁在荷载作用下产生的最大挠度wmax与跨长l的比值不能超过w/l●梁的刚度条件:

检查梁在荷载作用下产生的位移是否超过容许值。在机械工程中，一般对转角和挠度都进行校核；在建筑工程中，大多只校核挠度。校核挠度时，通常是以挠度的容许值与跨长l的比值w/l作为校核的标准。§10-4梁的刚度校核·提高梁的刚度的措施一、梁的刚度校核●梁的刚度条件(另一种形式）:一般情况下，梁要同时满足强度条件和刚度条件：●梁的刚度条件(另一种形式）:一般情况下，梁要同时满足强度条二、提高梁的刚度的措施材料的弹性模量E与挠度成反比，但由于同类材料的E值都相差不多，故从材料方面来提高刚度的作用不大。如普通钢材与高强度钢材的E值基本相同，从刚度角度上看，采用高强度材料是没有什么意义的。（刚度不够，不考虑更换材料。）二、提高梁的刚度的措施材料的弹性模量E与挠度成反比，挠度与截面的惯性矩Iz成反比，故应增大Iz。①增加截面的面积，但不可取。故应采用惯性矩比较大的工字形、槽形等形状的截面，不仅在强度方面是合理的，在刚度方面也是合理的。②应尽量使面积分布在离中性轴较远的地方。挠度与截面的惯性矩Iz成反比，故应增大Iz。①增加截∴控制梁的跨度是提高刚度的有效措施。FlFl/2qq∴控制梁的跨度是提高刚度的有效措施。FlFl/2qqFF/2F/2FF/2F/2§10-5简单静不定梁一、静不定梁梁上的约束反力仅由静力平衡方程不能求解。FxFyFFmFxFyF§10-5简单静不定梁一、静不定梁梁上的约束反力仅由静力二、出现静不定梁的原因静不定梁在几何组成上具有所维持几何平衡的更多的联系，也就是有了多余的约束。但是从梁的工作需要并不多余，因为增加约束可以提高梁的强度和刚度。FF二、出现静不定梁的原因静不定梁在几何组成上具有所维三、求解静不定问题的一般关系建立并解平衡方程变形协调关系方程力-位移关系方程求解平衡方程补充方程由变形协调方程和力-位移关系方程组合而成方程数等于静不定次数三、求解静不定问题的一般关系建立并解平衡方程变形协调关系方程例9.求梁的约束反力。①静不定度的判定；解：②解除多余的约束——静定基（能维持几何平衡）；④找变形协调条件。③在去掉的多余约束处代之相应的反力，再加上原载荷——相当系统；静定基FBF相当系统ABCFl/2l/2ABC例9.求梁的约束反力。①静不定度的判定；解：②解除多余Fl/2l/2ABC④找变形协调条件;FBFFBF⑤计算FB;Fl/2l/2ABC④找变形协调条件;FBFFBF⑤计算FBFl/2l/2ABCFBF⑤计算FB;FBFFl/2l/2ABCFBF⑤计算FB;FBFFl/2l/2ABCFBF⑤计算FB;FBF⑥计算其它支反力

;Fl/2l/2ABCFBF⑤计算FB;FBF⑥计算其它Fl/2l/2ABC⑥计算其它支反力

;FmAFAxFAyFl/2l/2ABC⑥计算其它支反力;FmAFAxFAy例题讨论：①支反力求出后即可进行强度和刚度的计算；若没有B支座，C点的挠度是有B支座时的32/7倍，最大弯矩是8/3倍，所以B处的约束并不多余。②选取不同的约束作为多余约束，其变形协调条件也不同。例题讨论：①支反力求出后即可进行强度和刚度的计算；若本章完本章完§10-1引言§10-2梁变形的基本方程§10-3用叠加法计算梁的变形§10-4梁的刚度校核·提高梁的刚度的措施§10-5简单静不定梁第十章弯曲变形§10-1引言§10-2梁变形的基本方程§10-3用叠在梁的设计过程中，我们不仅要研究载荷引起的应力，还要研究载荷引起的弯曲变形。一、工程中的弯曲变形问题

弯曲变形的计算是结构分析和设计的重要内容，计算弯曲变形是静定结构分析的基本要素，有时要校验弯曲变形是否在容许极限内。§10-1引言在梁的设计过程中，我们不仅要研究载荷引起的应梁式起重机的变形梁式起重机的变形钻床摇臂的变形钻床摇臂的变形齿轮轴的变形齿轮轴的变形卡车弹簧片的变形可以较大。卡车弹簧片的变形可以较大。●变形计算的目的：

（1）验算梁的刚度，确保梁在使用过程中不致发生过大的变形。

（2）为超静定梁的计算打下基础。在计算超静定梁的反力和内力时，除利用静力平衡条件外，还必须考虑梁的位移条件，根据变形协调条件建立补充方程。这样，位移的计算是求解超静定梁时必然会遇到的问题。那么，怎么样来度量梁的弯曲变形?●变形计算的目的：（1）验算梁的刚度，确保梁在使用过程二、梁的变形位移——挠度及转角变形后的轴线称作挠曲线—AB′挠度：横截面形心在垂直于轴线方向的位移，

用w表示（y

、f、v）。

→

wc转角：横截面绕中性轴转过的角度，

用表示。二、梁的变形位移——挠度及转角变形后的轴线称作挠曲线—AB′讨论：①AB是轴线，就是中性层，既不伸长也不缩短，变形后C点在x方向也有位移，但在小变形条件下，挠曲线是一条很平坦的曲线，x方向的位移相对挠度很小，所以略去不计。挠度w就是轴线上x的函数讨论：①AB是轴线，就是中性层，既不伸长也不缩短讨论：②据平面截面假设：梁变形后，横截面仍保持为平面并与挠曲线正交，作Cˊ点的切线，则此切线与x轴的夹角就等于C截面的转角。

小变形时，梁的挠曲线为一条很平坦的曲线，θ角很小，故：讨论：②据平面截面假设：梁变形后，横截面仍保持(在上图所示坐标系中)●挠度及转角正负号规定:①挠度:向上为正，向下为负；②转角:逆时针转为正，顺时针转为负。w(在上图所示坐标系中)●挠度及转角正负号规定:①挠度:向上为纯弯曲时，挠曲线的曲率方程为：一、挠曲线近似微分方程MMMM§10-2梁变形的基本方程纯弯曲时，挠曲线的曲率方程为：一、挠曲线近似微分方程MMMM横力弯曲时，挠曲线的曲率方程为：弹性力学分析得：（略去了剪力的影响）w(x)数学推导：若有一方程w=f(x)，则此曲线方程的曲率方程为：横力弯曲时，挠曲线的曲率方程为：弹性力学分析得：（略去了剪力(x)w(x)w这里正负号根据挠度w的方向而定：称为挠曲线近似微分方程。略去了剪力的影响(x)w这里正负号根据挠度w的方向而定：称为挠曲线近似微分方程。略去材料力学第十章--弯曲变形课件在选定的坐标系中，挠曲线微分方程的最终形式为w在选定的坐标系中，挠曲线微分方程的最终形式为w对方程积分一次可得：

这里C和D

是积分常数，

可由梁的边界条件确定。挠曲线方程转角方程对于等截面梁,微分方程可写为:两次积分可得二、

用积分法求弯曲变形对方程积分一次可得：这里C和D是积分常数，可由梁■梁的边界条件：①支承条件△--弹簧变形wA=0wA=0wA=Δ■梁的边界条件：①支承条件△--弹簧变形wA=0wA=0w■梁的边界条件：②连续光滑条件■梁的边界条件：②连续光滑条件讨论：挠曲线近似微分方程对方程求导：再求导：讨论：挠曲线近似微分方程对方程求导：再求导：例1.求梁的挠度和转角方程，并计算B、wB及wl/2。①求支反力解：（坐标原点只能放在左端）x11由1-1右侧：③列挠曲线近似微分方程②列弯矩方程ABFm例1.求梁的挠度和转角方程，并计算B、wB及wl/2x11ABFm④积分⑤确定积分常数(边界条件:固定端约束)x11ABFm④积分⑤确定积分常数(边界条件:固定端约束)x11ABFm⑥确定转角和挠度方程x11ABFm⑥确定转角和挠度方程x11ABFm⑦计算B、wB及wl/2。x11ABFm⑦计算B、wB及wl/2。例2.求梁的挠度和转角方程，并计算max及wmax。解：①求支反力例2.求梁的挠度和转角方程，并计算max及wmax。x11x22②列弯矩方程AC段BC段③列挠曲线近似微分方程x11x22②列弯矩方程AC段BC段③列挠曲线近似微分方程④积分x11x22④积分x11x22⑤确定积分常数边界条件：①支承条件②连续光滑条件x11x22⑤确定积分常数边界条件：①支承条件②连续光滑条件x11x22⑥确定转角和挠度方程x11x22⑥确定转角和挠度方程x11x22⑦计算max分析：应在′=0的位置来求求的极值从弯矩图可知A、B截面的弯矩为0∴A、B截面的有极值，则max在A截面或者B截面a>b，

max应在B截面x11x22MÅ⑦计算max分析：应在′=0的位置来求求的极值从弯⑧计算wmax类似分析：应在w′=0的位置来求求w

的极值从挠曲线上可知：∴=0的截面应在AC段上x11x22⑧计算wmax类似分析：应在w′=0的位置来求求w的极值从●结论：在简支梁上，若挠曲线无拐点，则最大挠度wmax可用中点处的挠度值来代替。x11x22求wmaxm●结论：在简支梁上，若挠曲线无拐点，则最大挠度wmax可用中思考：根据连续性和边界限制条件，画出近似挠曲线。以下各图中哪个是正确的?√思考：根据连续性和边界限制条件，画出近似挠曲线。以下各图中哪√√√√用积分法求梁的变形：优点：可以求得挠度和转角的普遍方程式缺点：列弯矩方程，求积分常数比较麻繁§10-3用叠加法计算梁的变形用积分法求梁的变形：优点：可以求得挠度和转角的普遍方程式缺点x11ABFm用积分法求得挠度和转角方程从方程可看出挠度和转角与载荷是成线性齐次关系∴可用叠加原理求梁的变形x11ABFm用积分法求得挠度和转角方程从方程可看出挠度和转●叠加原则：

当梁上同时作用几个载荷时，如果梁的变形很小，且应力不超过比列极限，则梁上任一横截面的总位移即等于各载荷单独作用时在该截面引起的位移的代数和。ABFmABmABF●叠加原则：当梁上同时作用几个载荷时，如果梁的变形很mFl/2ABl/2CFqqmmFl/2ABl/2CFqqm●注意：①除最后一个分子系数为5以外，其它均为1；②分母是抗弯刚度乘以一个系数；③载荷：m、F、q均为一次方；④梁的长度l的方次wm12F23q34●注意：①除最后一个分子系数为5以外，其它均为1；②分母是抗①分成单个载荷作用的梁；②画出单个载荷作用下的梁的挠曲线；③命名单个载荷作用下引起的、w；④计算。●叠加法的步骤：①分成单个载荷作用的梁；②画出单个载荷作用下的梁的挠曲线；③ABFm例3.求梁B截面的转角B及挠度wB。①分成m和F单独作用的梁；解：②画单个载荷作用下的挠曲线；AmAF③命名、w；④计算。ABFm例3.求梁B截面的转角B及挠度wB。①分成m④计算。AmAF④计算。AmAF例5.求梁B截面的转角B及挠度wB。解：①画挠曲线；②命名、w；③计算。AFCBAFl/2CBl/2例5.求梁B截面的转角B及挠度wB。解：①画挠曲线；解：①画挠曲线；②命名、w；③计算。AFCB解：①画挠曲线；②命名、w；③计算。AFCBqaAB2aC例6.求梁B截面的转角B及挠度wB。刚化法：整根梁的变形等于梁分为几段单独产生变形之和。(一个力作用时才考虑）分析：①刚化AC段；qABC②刚化BC段；qABCqaAB2aC例6.求梁B截面的转角B及挠度wB。刚①刚化AC段；②刚化BC段；qABCABCqaABCqABC①刚化AC段；②刚化BC段；qABCABCqaABCqABC①刚化AC段；③计算。②刚化BC段；qABCa2aqaABCa2a解：①刚化AC段；③计算。②刚化BC段；qABCa2aqaABCqABCa2aqaABCa2aqABCa2aqaABCa2alBAaCqm例7.求梁B截面的转角B及挠度wB。BACmBACqBACmBACmlBAaCqm例7.求梁B截面的转角B及挠度wB。BqlABlC例8.求梁B截面的转角B及挠度wB。qlABlCqABqABCqlABlC例8.求梁B截面的转角B及挠度wB。ql§10-4梁的刚度校核·提高梁的刚度的措施一、梁的刚度校核即梁在荷载作用下产生的最大挠度wmax与跨长l的比值不能超过w/l●梁的刚度条件:

检查梁在荷载作用下产生的位移是否超过容许值。在机械工程中，一般对转角和挠度都进行校核；在建筑工程中，大多只校核挠度。校核挠度时，通常是以挠度的容许值与跨长l的比值w/l作为校核的标准。§10-4梁的刚度校核·提高梁的刚度的措施一、梁的刚度校核●梁的刚度条件(另一种形式）:一般情况下，梁要同时满足强度条件和刚度条件：●梁的刚度条件(另一种形式）:一般情况下，梁要同时满足强度条二、提高梁的刚度的措施材料的弹性模量E与挠度成反比，但由于同类材料的E值都相差不多，故从材料方面来提高刚度的作用不大。如普通钢材与高强度钢材的E值基本相同，从刚度角度上看，采用高强度材料是没有什么意义的。（刚度不够，不考虑更换材料。）二、提高梁的刚度的措施材料的弹性模量E与挠度成反比，挠度与截面的惯性矩Iz