专题03 运用建系研究向量问题（原卷版）

专题03运用建系研究向量问题一、题型选讲题型一向量中与四边形有关的建系四边形中最常见的建系图形是矩形、正方形以及菱形等含有直角的特殊图形，选择相互垂直的一组边分别作为x轴，y轴。对于普通的四边形要合理的建议，主要目的就是为了更好地表示点坐标。例1、如图,在矩形中,点为的中点,点在边上,若,则的值是____________．例2、(2019通州、海门、启东期末）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，AD＝eq\r(2)，∠BAD＝45°，E，F分别是BC，CD的中点，若线段EF上一点P满足eq\o(EP,\s\up6(→))＝2eq\o(PE,\s\up6(→))，则eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝________．题型二向量中与三角形有关的建系若三角形为直角三角形则以两个直角边为x轴，y轴。若为等腰三角形或者等边三角形则以底边和底边上的高分别为为x轴，y轴。若为一般的三角形则要合理的建系，目的是为了更好地表示点坐标。例3、(2019苏锡常镇调研）在△ABC中，已知AB＝2，AC＝1，∠BAC＝90°，D，E分别为BC，AD的中点，过点E的直线交AB于点P，交AC于点Q，则eq\o(BQ,\s\up6(→))·eq\o(CP,\s\up6(→))的最大值为________．例4、已知△ABC是边长为2的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连结DE并延长到点F，使得DE＝3EF，则eq\o(AF,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))的值为________．例5、(2019苏北三市期末）在△ABC中，AB＝2，AC＝3，∠BAC＝60°，P为△ABC所在平面内一点，满足eq\o(CP,\s\up6(→))＝eq\f(3,2)eq\o(PB,\s\up6(→))＋2eq\o(PA,\s\up6(→))，则eq\o(CP,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))的值为________．题型三、向量中与圆或半圆有关的建系圆或者半圆一般以相互的直径分布为x轴，y轴。(2018苏锡常镇调研）如图，扇形的圆心角为90°，半径为1，点是圆弧上的动点，作点关于弦的对称点，则的取值范围为题型四向量中与多边形中问题有关的建系对于多边体或者不规则的几何体的建系，要在几何体中寻找相互垂直的一对边为x轴，y轴。例7、(2018南京、盐城一模）如图是蜂巢结构图的一部分，正六边形的边长均为1，正六边形的顶点称为“晶格点”．若A，B，C，D四点均位于图中的“晶格点”处，且A，B的位置所图所示，则eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))的最大值为________．二、达标训练1、(2019南京、盐城二模）已知AD是直角三角形ABC的斜边BC上的高，点P在DA的延长线上，且满足(eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→)))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝4eq\r(2).若AD＝eq\r(2)，则eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))的值为________．2、(2019宿迁期末）如图所示，矩形ABCD的边AB＝4，AD＝2，以点C为圆心，CB为半径的圆与CD交于点E，若点P是圆弧eq\o(EB,\s\up8(︵))(含端点B，E)上的一点，则eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))的取值范围是________．3、(2018南京学情调研）在△ABC中，AB＝3，AC＝2，∠BAC＝120°，eq\o(BM,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→)).若eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝－eq\f(17,3)，则实数λ的值为________．4、(2018南通、泰州一调）如图，已知矩形ABCD的边AB＝2，AD＝1.点P，Q分别在边BC，CD上，且∠PAQ＝45°，则eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(AQ,\s\up6(→))的最小值为________．5、(2019南通、泰州、扬州一调）在平面四边形ABCD中，AB＝1，DA＝DB，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝3，eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝2，则|eq\o(AC,\s\up6(→))＋2eq\o(AD,\s\up6(→))|的最小值为________．6、(2018苏锡常镇调研）在△ABC中，P是边AB的中点，已知|eq\o(CP,\s\up6(→))|＝eq\r(3)，|eq\o(CA,\s\up6(→))|＝4，∠ACB＝eq\f(2π,3)，则eq\o(CP,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＝________．7、(2018苏州期末）如图，△ABC为等腰三角形，∠BAC＝120°，AB＝AC＝4，以A为圆心，1为半径的圆分别交AB，AC于点E，F，点P是劣弧eq\o(EF,\s\up8(︵))上的一动点，则eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))的取值范围是_