中考数学一轮复习基础考点第六单元 圆第25课时 与圆有关的位置关系

第六单元圆

第25课时与圆有关的位置关系（每年第23题必考1道，8分）目录点对点“过”考点1典例“串”考点23陕西5年真题、副题“明”考法点对点“过”考点【对接教材】北师：九下第三章P89－P96；人教：九上第二十四章P92－P104.与圆有关的位置关系切线的性质与判定与圆有关的位置关系点与圆的位置关系直线与圆的位置关系性质判定方法三角形的内切圆定义圆心性质判定定义切线长定理点与圆的位置关系考点1点与圆的位置关系有三种，分别是点在圆外、点在圆上和点在圆内．设⊙O的半径为r，点到圆心的距离为d，则有：点与圆的位置关系图形d与r的大小关系

点A在圆内

d＝OA<r

点B在圆上d＝OB＝r

点C在圆外d＝OC>r

返回思维导图直线与圆的位置关系考点2设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则有：直线与圆的位置关系d与r的关系交点的个数示意图相离d____r没有公共点相切d____r有且只有一个公共点相交d____r有两个公共点＞＝＜返回思维导图切线的性质与判定考点31.定义：直线和圆只有一个公共点，这时我们说这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点．2.性质：圆的切线________于过切点的半径．3.判定方法：(1)“连半径，证垂直”：如果已知直线经过圆上一点，则连接这点和圆心得到半径，再证所作半径与这条直线垂直；(2)“作垂直，证相等”：如果已知条件中不确定直线与圆是否有公共点，则过圆心作直线的垂线段，再证明垂线段的长等于半径的长．垂直返回思维导图4.切线长及定理(*选学内容)(1)定义：经过圆外一点作圆的切线，这一点与切点之间线段的长度叫做这点到圆的切线长，如图，线段PA、PB；(2)定理：从圆外一点可以引圆的______条切线，它们的切线长______，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角，如图，PA、PB分别切⊙O于A、B两点，则有PA＝PB，∠APO＝______＝

∠APB.两相等∠BPO返回思维导图三角形的内切圆考点41.定义：与三角形各边都相切的圆．2.圆心：内心(三角形的内切圆圆心或三角形____________的交点)．3.性质：三角形的内心到三角形________的距离相等．【提分要点】直角三角形内切圆的半径：r＝

(a＋b－c)(a，b为直角边，c为斜边)．三条角平分线三条边返回思维导图1.如图，AB是⊙O的直径，点P是弦AC上一动点(不与点A、C重合)，过点P作PE⊥AB，垂足为E，射线EP交过点C的切线于点D.求证：DC＝DP.典例“串”考点第1题图突破设问一证明线段的数量关系【思维教练】要证DC＝DP，根据等角对等边，只需证∠DPC＝∠PCD，已知PE⊥AB，且CD与⊙O相切，则可连接OC.通过两角互余的性质及等角对等边的性质进行等量代换，从而得证．证明：如解图，连接OC.∵DC是⊙O的切线，OC为半径，∴∠OCD＝90°，即∠OCA＋∠ACD＝90°，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，又∵PE⊥AB，∴∠OAC＋∠APE＝90°，∴∠APE＝∠ACD.又∵∠DPC＝∠APE，∴∠DPC＝∠ACD，∴DC＝DP.第1题解图2.如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，PB与⊙O相切于点B，OP⊥BC于点D，交⊙O于点E.求证：PB·AC＝AB·CD.第2题图【思维教练】注意利用OP⊥BC于点D，得到CD＝BD.已知AB是⊙O的直径，PB是⊙O的切线，可得到直角，再进行等角代换得到相等角，进而得到四条线段所在的两个三角形相似，列出比例式即可得到所求关系式．

证明：∵AB是⊙O的直径，PB是⊙O的切线，∴∠PBO＝90°，∠C＝90°，∴∠PBC＋∠ABC＝90°，∠A＋∠ABC＝90°，∴∠PBC＝∠A，∴∠PBC＝∠A，又∵OP⊥BC，∴∠BDP＝∠C＝90°，BD＝CD，∴△PBD∽△BAC，∴PB·AC＝AB·CD.【提分要点】运用切线的性质进行证明或计算时，常作的辅助线有连接圆心与切点得垂直．1.证明两线段相等的方法：(1)若所证两线段相连共线，则可以考虑等腰三角形三线合一或直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半来证明；(2)若所证两线段相连不共线，则可以考虑将两条线段放到一个三角形中，利用等腰或等边三角形等角对等边来证明；(3)若所证两线段在不共线但有公共边的两个三角形中，则可以考虑利用全等三角形来证明；(4)若所证两线段平行，则可以考虑利用平行四边形对边相等来证明．2.遇到证线段间比例关系常考虑证两三角形相似，列比例关系式得出相关结论．突破设问二证明角度相等3.如图，点C是以AB为直径的⊙O上的一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D.求证：AC平分∠BAD.第3题图【思维教练】要证AC平分∠BAD，连接OC，可得到AD∥CO，由平行线的性质进行等量代换即可得到∠DAC＝∠CAO.证明：如解图，连接OC，∵CD切⊙O于C，∴OC⊥CD，又∵AD⊥CD，∴AD∥CO，∴∠DAC＝∠ACO，∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠CAO.∴∠DAC＝∠CAO，即AC平分∠BAD.第3题解图4.如图，AB是⊙O的直径，点C是AB延长线上的点，CD与⊙O相切于点D，连接BD、AD.求证：∠BDC＝∠A.第4题图【思维教练】连接OD，利用切线的性质和圆周角定理进行等角代换，进而得到∠BDC＝∠A.证明：如解图，连接OD.∵CD与⊙O相切于点D，∴OD⊥CD，∴∠2＋∠BDC＝90°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即∠1＋∠2＝90°，∴∠1＝∠BDC，∵OA＝OD，∴∠1＝∠A，∴∠BDC＝∠A.第4题解图【提分要点】证明两角相等的方法：1.在两个直角三角形中通过同角或等角的余角相等证明；2.利用半径相等，转化到等腰三角形中利用等边对等角证明．3.以上两种方法常结合使用．突破设问三证明线段的位置关系5.如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O分别与BC、AC相交于点D、E，BD＝CD，过点D作⊙O的切线交边AC于点F.求证：DF⊥AC.第5题图【思维教练】要证DF⊥AC，即证∠CFD＝90°.连接OD，由切线的性质即可得出∠ODF＝90°，再由BD＝CD，OA＝OB可得出OD是△ABC的中位线，根据三角形中位线的性质即可得∠CFD＝∠ODF＝90°.证明：如解图，连接OD.∵DF是⊙O的切线，∴∠ODF＝90°.∵BD＝CD，OA＝OB，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AC，∴∠CFD＝∠ODF＝90°，∴DF⊥AC.第5题解图【提分要点】证明切线垂直于非半径的线段的方法：易证连切点的半径垂直于切线，根据同位角相等，内错角相等或同旁内角互补先证得连切点的半径平行于非半径的线段，再根据平行线的性质证得切线与非半径的线段夹角为90°，从而得证．6.如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，∠CAB的平分线交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线，分别交AC、AB的延长线于点E，F.求证：EF∥BC.第6题图【思维教练】由角平分线的性质和等腰三角形的性质可得AE∥OD，由切线的性质和平行线的性质可得∠E＝∠ACB＝90°，即可得到EF∥BC.证明：如解图，连接OD，∵AD平分∠CAB∴∠CAD＝∠DAB，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠CAD＝∠ADO，∴AE∥OD.∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵EF是⊙O的切线，∴OD⊥EF，且AE∥OD，∴AE⊥EF，且∠ACB＝90°，∴∠E＝∠ACB＝90°，∴EF∥BC.第6题解图【提分要点】证明线段平行的方法：根据同位角相等、内错角相等或同旁内角互补等方法，通过角度间等量代换找到相应的角之间的关系即可证明．突破设问四求线段长7.如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线EF，交AB于点E，交AC的延长线于点F.若OA＝3，DF＝4，求CF的长．第7题图【思维教练】要求CF的长，题中无特殊角，且已知线段与所求线段无直接联系，故考虑利用相似三角形求解．结合EF是⊙O的切线及直径所对的圆周角是90°，通过等角代换为证相似创造条件．解：如解图，连接AD、OD，∵EF是⊙O的切线，∴∠ODF＝90°，∴∠FDC＋∠ODC＝90°.∵AC是⊙O的直径，∴∠OCD＋∠CAD＝90°，∵OC＝OD,∴∠OCD＝∠ODC

，∴∠FDC＝∠FAD，∵∠DFC＝∠AFD,∴△DFC∽△AFD,解得CF＝2(负值舍去)．第7题解图8.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，切线DE交AC于点E.若AD＝8，DE＝5，求BC的长．第8题图解：如解图，连接OD、CD,∵DE是⊙O的切线，

∴∠ODE＝90°，∴∠ADE＋∠BDO＝90°，∵∠ACB＝90°，第8题解图【思维教练】结合DE是⊙O的切线及直径所对的圆周角是90°，通过等角代换证得∠ADE＝∠A，故AE＝DE，AC＝2DE＝10，然后将BC放在Rt△ADC和Rt△BDC中，利用勾股定理列方程求解即可．

∴∠A＋∠B＝90°，∵OD＝OB,∴∠B＝∠BDO,∴∠ADE＝∠A，∴AE＝DE.∵∠ACB＝90°，∴EC是⊙O的切线，

∴ED＝EC,∴AE＝EC,∴AC＝2DE＝10,∴在Rt△ADC中，DC＝＝6，设BD＝x，在Rt△BDC中，BC2＝BD2＋DC2，在Rt△ABC中，BC2＝AB2－AC2,∴BD2＋DC2＝AB2－AC2，设BD＝x，则x2＋62＝(x＋8)2－102,解得x＝

，

∴BC＝9.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，且DC＝AD.过点C作⊙O的切线CG，交AB的延长线于点G.若GE＝8，求⊙O的半径．第9题图【思维教练】连接AC、OC，根据垂径定理可得△ADC为等边三角形，再根据圆周角定理求得相关角的度数，进而利用锐角三角函数可求得⊙O的半径．解：如解图，连接AC、OC.∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∴CE＝DE，AD＝AC，∵AD＝DC，∴△ACD为等边三角形，∴∠DAC＝60°，∴∠DAE＝∠CAE＝30°，∴∠EOC＝2∠EAC＝60°.∵CG为⊙O的切线，∴∠OCG＝90°，∴∠G＝30°.∵GE＝8，∴在Rt△GCE中，CE＝GE·tan30°＝

，∴在Rt△OEC中，OC＝

，即⊙O的半径为

.第9题解图【提分要点】陕西中考中，圆的综合题第2问在涉及求线段长的问题时，因题图中多含直角三角形，因此常考虑从以下方面来找突破口：1.勾股定理，2.锐角三角函数，3.相似三角形．若题目中含有30°，45°，60°特殊角，常考虑用三角函数求解；若不含，常考虑用相似三角形求解(陕西多结合相似三角形来考查)．通常利用相似三角形求解线段长度的一般步骤为：已知一组相等角→寻找一对相等锐角→得到相似三角形→写出相似比→代入已知量→得出所求线段长．突破设问五切线的判定第10题图10.如图，以△ABC的边AB为直径作⊙O，与BC交于点D，点E是弧的中点，连接AE交BC于点F，∠ACB＝2∠BAE.求证：AC是⊙O的切线．【思维教练】连接AD，利用等弧所对圆周角相等及∠ACB＝2∠BAE可得到∠BAD＝∠BCA，再结合直径所对圆周角为直角即可得证．证明：如解图，连接AD.∵E是弧

的中点，∴

＝

，∴∠1＝∠2.∵∠BAD＝2∠1.∠ACB＝2∠1，∴∠ACB＝∠BAD.∵AB为⊙O直径，∴∠ADB＝∠ADC＝90°.∴∠DAC＋∠C＝90°.∵∠C＝∠BAD，∴∠DAC＋∠BAD＝90°.∴∠BAC＝90°，即AB⊥AC.又∵AB是⊙O的直径，∴AC是⊙O的切线．第10题解图【提分要点】证明切线的方法：1．直线与圆有交点，“连半径，证垂直”．(1)图中有90°角时：证垂直的方法如下：①利用等角代换：通过互余的两个角之间的等量代换得证；②利用平行线性质证明垂直：如果有与要证的切线垂直的直线，则证明半径与这条直线平行即可；③利用三角形全等或相似：通过证明切线和其他两边围成的三角形与含90°的三角形全等或相似得证．(2)图中无90°角时：利用等腰三角形的性质，通过证明半径为所在等腰三角形底边的中线或角平分线，再根据“三线合一”的性质得证．2．直线与圆无交点，“作垂线，证相等”．陕西5年真题、副题“明”考法切线性质的相关证明与计算（必考）命题点1第1题图类型一涉及相似三角形(5年3考)1.(2015陕西23题8分)如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过点B作⊙O的切线DE，与AC的延长线交于点D，作AE⊥AC交DE于点E.(1)求证：∠BAD＝∠E；(2)若⊙O的半径为5，AC＝8，求BE的长．(1)证明：∵⊙O与DE相切于点B，AB为⊙O的直径，∴∠ABE＝90°.(1分)∴∠BAE＋∠E＝90°.又∵∠DAE＝90°，∴∠BAD＋∠BAE＝90°.∴∠BAD＝∠E；(3分)(2)解：如解图，连接BC.∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵AC＝8，AB＝2×5＝10.∴BC＝＝6.(5分)又∵∠BCA＝∠ABE＝90°，∠BAD＝∠E，∴△ABC∽△EAB.∴∴BE＝(8分)第1题解图2.(2016陕西副题23题8分)如图，已知⊙O的半径为5，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝8.过点B作⊙O的切线BD，过点A作AD⊥BD，垂足为D.(1)求证：∠BAD＋∠C＝90°；(2)求线段AD的长．第2题图(1)证明：如解图，连接BO并延长交⊙O于点E，连接AE.∵BD切⊙O于点B，∴BE⊥BD.(1分)又∵AD⊥BD，∴AD∥BE.∴∠BAD＝∠1.(2分)又∵BE是⊙O的直径，∴∠1＋∠E＝90°.∴∠BAD＋∠E＝90°.(3分)又∵∠E＝∠C，∴∠BAD＋∠C＝90°；(4分)第2题解图(2)解：由(1)得∠BAD＝∠1，又∵∠D＝∠BAE＝90°，∴△ABD∽△BEA.(6分)第3题图3.(2019陕西副题23题8分)如图，⊙O的半径OA＝6，过点A作⊙O的切线AP，且AP＝8，连接PO并延长，与⊙O交于点B、D，过点B作BC∥OA，并与⊙O交于点C，连接AC、CD.(1)求证：DC∥AP；(2)求AC的长．(1)证明：∵AP是⊙O的切线，∴∠OAP＝90°.(1分)∵BD是⊙O的直径，∴∠BCD＝90°.(2分)∵OA∥CB，∴∠AOP＝∠DBC，∴∠BDC＝∠APO.∴DC∥AP；(3分)(2)解：∵AO∥BC，OD＝OB，∴如解图，延长AO交DC于点E，则AE⊥DC，OE＝

BC，CE＝CD.在Rt△AOP中，OP＝＝10.由(1)知，△AOP∽△CBD，第3题解图4.(2019陕西23题8分)如图，AC是⊙O的直径，AB是⊙O的一条弦，AP是⊙O的切线．作BM＝AB，并与AP交于点M，延长MB交AC于点E，交⊙O于点D，连接AD.(1)求证：AB＝BE；(2)若⊙O的半径R＝5，AB＝6，求AD的长．第4题图(1)证明：∵AP是⊙O的切线，∴∠EAM＝90°，∴∠BAE＋∠MAB＝90°，∠AEM＋∠AME＝90°.(1分)又∵AB＝BM，∴∠MAB＝∠AMB，∴∠BAE＝∠AEB，∴AB＝BE；(3分)(2)解：如解图，连接BC.∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝∠EAM＝90°，在Rt△ABC中，AC＝10，AB＝6，∴BC＝＝8.(5分)由(1)知，∠BAE＝∠AEB，∴△ABC∽△EAM，∴∠C＝∠AME，又∵∠D＝∠C，∴∠D＝∠AMD.∴AD＝AM＝

.(8分)第4题解图第5题图5.(2016陕西23题8分)如图，已知：AB是⊙O的弦，过点B作BC⊥AB交⊙O于点C，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，取AD的中点E，过点E作EF∥BC交DC的延长线于点F，连接AF并延长交BC的延长线于点G.求证：(1)FC＝FG；(2)AB2＝BC·BG.证明：(1)如解图，∵EF∥BC，AB⊥BG，∴EF⊥AD.又∵E是AD的中点，∴FA＝FD，∴∠FAD＝∠D.(2分)又∵GB⊥AB，∴∠GAB＋∠G＝∠D＋∠1＝90°.∴∠1＝∠G.而∠1＝∠2，∴∠2＝∠G.∴FC＝FG；(4分)第5题解图(2)解：如解图，连接AC.∵AB⊥BG，∴AC是⊙O的直径．(5分)又∵FD是⊙O的切线，切点为C，∴AC⊥DF.∴∠1＋∠4＝90°.(6分)又∵∠3＋∠4＝90°，∴∠1＝∠3.而由(1)可知∠1＝∠G.∴∠3＝∠G.∴Rt△ABC∽Rt△GBA.(7分)∴故AB2＝BC·BG.(8分)类型二涉及锐角三角函数(2017.23)第6题图6.(2017陕西23题8分)如图，已知⊙O的半径为5，PA是⊙O的一条切线，切点为A，连接PO并延长，交⊙O于点B，过点A作AC⊥PB交⊙O于点C、交PB于点D，连接BC.当∠P＝30°时．(1)求弦AC的长；(2)求证：BC∥PA.解：如解图，连接OA，∵PA是⊙O的切线，切点为A，∴∠PAO＝90°，∵∠P＝30°，∴∠AOD＝60°，(2分)∵AC⊥PB，PB过圆心，∴在Rt△ODA中，AD＝OA·sin60°＝

，∴AC＝2AD＝5；(4分)(2)证明：如解图，连接AB，∵AC⊥PB，∠P＝30°，∴∠PAC＝60°，∵∠AOP＝60°，∴∠BOA＝120°，(6分)∴∠BCA＝60°＝∠PAC.∴BC∥PA.(8分)第6题解图切线判定及相关计算命题点27.(2017陕西副题23题8分)如图，△ABC为⊙O的内接三角形，∠ABC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E.(1)求证：DE为⊙O的切线；(2)若DE＝

AC，求∠ACB的大小．第7题图(1)证明：如解图，连接OA、OC、OD，其中OD与AC交于点N.∵DB平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∴∠AOD＝∠DOC.∴OD⊥AC.(3分)又∵DE∥AC，∴OD⊥DE.∵OD为⊙O的半径，∴DE为⊙O的切线；(5分)第7题解图(2)解：由(1)知CN＝

AC.当DE＝

AC时，DE∥CN，且DE＝CN.(7分)∴四边形NDEC为平行四边形．又∵O