天津市滨海新区七所重点学校2022年高三第二次模拟考试数学试卷含解析

2021-2022高考数学模拟试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。125601xy之间的一组数据：xx1234ym3.24.87.5若y关于x的线性回归方程为y0.25，则m的值为（ ）A．1.5 B．2.5 C．3.5 D．4.5x∈（0

a lnx

1ln

c

a b c若

，，＝

，＝2 ，＝

的大小关系为（ ） A．b＞c＞a B．c＞b＞a

C．a＞b＞c D．b＞a＞c已知双曲线Cx2y210,b0FF

P为双曲线C上一点，QC渐近a2 b2 1 2PQ均位于第一象限，且

，QF13132 1313

QF2

0，则双曲线C的离心率为（ ）33A． 1 B．33

1 C．

2 D． 2已知椭

x2y2a2 b2

x2y2a2 b2

的焦点相同则双曲线渐近线方程（ ）23A．y x332C．y x22

B．y 3xD．y 2x

x

Rx

0,

x

是单调递减函数，则f

log

15，flog ，flog5

3的大小关系是（ ）

2 35 1 1A．flog f3f5 B．flog f5f3 35 5 2 35 2 5C．f3flog1f5 D．f5flog1f35 35 2 2 35 56M

,（nN*，若集合Aa,a1 2

M，且对任意的bM，存在使得bai

aj

，其中a,ai j

A，1ij2AM的基底下列集合中能作为集合M的基底的是（ ）

B．

C．2,3

D．2,4如图，在

M是边

的中点，将

沿着AM翻折成 ，且点不在平面

内，点是线段 上一点若二面角

与二面角

的平面角相等，则直线 经过

的（ ）A．重心 B．垂心 C．内心 D．外心xy1

x,

xx2y2xy1

，则2x3y

的最大值为（ ）1

C．3 D．2已知数列A．

满足 ，且B．

，则数列D．

的通项公式为（）已知正项等比数列

的前nS

1,

7，则aa

a的最小值为（ ）n n 2 9 3 274 4 4

12 n4A．( )2

B．( )3

C．( )4

D．( )527 27已知全集A． B．

27 27， ，则 （）C． D．fx

ex,xf2x1fxm40(mR)有四个相异的实数根m的取值范x围是( )A．4,e

4 e1

B．4,3

C．e

4e1

,3

D．e

4e1

, 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。x2双曲线a2

y2b2

1a0,b0的左焦点为F1

点A5点P为双曲线右支上的动点且APF周1长的最小值为8，则双曲线的实轴长，离心率为 .14．农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗粽子”，古称角黍”，是端午节大家都会尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，则该六面体的体积；若该六面体内有一球，则该球体积的最大值．x2已知双曲线a2

y2b2

b0)的左右焦点分别关于两渐近线对称点重合，则双曲线的离心率 在ABC 中，内角C的对边长分别为、、c，已知a2c2，且sinAcosC3cosAsinC，则b ．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）某企业质量检验员为了检测生产线上零件的质量情况，从生产线上随机抽取了80所测量的零件尺寸（m，得到如下的频率分布直方图：根据频率分布直方图，求这80个零件尺寸的中位数（结果精确到0.01；若从这80个零件中尺寸位于之外的零件中随机抽取4X表示尺寸在上的零件个数，求X的分布列及数学期望EX；已知尺寸在63.0,64.5 上的零件为一等品，否则为二等品，将这80个零件尺寸的样本频率视为概.现对生产线上生产的零件进行成箱包装出售，每箱100个.企业在交付买家之前需要决策是否对每箱的所有零件进行检验，已知每个零件的检验费用为99元.企业要向买家对每个二等品支付500元的赔偿费用现对一箱零件随机抽检了11个，结果有1个二等品，以整箱检验费.18（12分）已知数列an

}是各项均为正数的等比数列(nN*)a1

2，且2a1

，3

成等差数列．（Ⅰ）求数列{a}的通项公式；n（Ⅱ）设bn

log2

a，n

为数列{bn

}的前n项和，记Tn

11S S1

1S3

1，证明：1 TS n

2．x2t19（12分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为y

1 （t为参数，以原点O为极点，x轴的正半t22轴为极轴建立极坐标系，直线l极坐标方程为cos 2.若直线l交曲线C于A，

两点，求线段AB的长.4 B4 20（12分）已知两数f(x)lnxkx．当kf(x的极值点；当k0时，若f(x)ba 0(a,bR)恒成立，求ea1b1的最大值．x21（12分）某公园有一块边长为3百米的正三角形ABC卉方案是：先建造一条直道DE将ABC分成面积之比为2:1的两部分（点E分别在边AB，AC上；再取DEMAM（如图）.ADxDEy1

，AMy2

（单位：百米）.y1

yx的函数关系式；2D.x34t 22（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 （t为参数）以坐标原点为极点， y 2 轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为22cos80.求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；若点p是直线l的一点，过点p作曲线C的切线，切点为Q，求PQ的最小值.参考答案125601、D【解析】利用表格中的数据，可求解得到x2.5,代入回归方程，可得y5，再结合表格数据，即得解.【详解】利用表格中数据，可得x2.5,又y2.1x0.25,y5，m3.24.87.520．解得m4.5故选：D【点睛】2、A【解析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解．【详解】∵∈（，，∴a＝lnx＜0，b＝（

1 1）lnx＞（）0＝1，2 20＜c＝elnx＜e0＝1，∴a，b，c故选：A．【点睛】本题考查三个数的大小的判断，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3、D【解析】由双曲线的方程

x2y2

1F

，P为双曲线C上的一点，Q为双曲线C的渐近线上的一点，a2 b2 1 2且P,Q都位于第一象限，且2QPPF

,QF2

QF2

0，可知P为QF2

的三等分点，且QFQFQF,点Q在直线bxay0上，并且OQc，则Q(a,b)，F2

(c,0)，P(xy2(xayb(cxy，1 1 1 1 1 12ac 2ac

,y ，即P( , )，131 3 13

3 3 3(2ac)2 1代入双曲线的方程可得 4a2 4

1，解得eca

2D．点睛：本题考查了双曲线的几何性质，离心率的求法，考查了转化思想以及运算能力，双曲线的离心率是双曲线最重ac，代入公式ec；②只需要a根据一个条件得到关于a,b,c的齐次式，转化为a,c的齐次式，然后转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得e(e的取值范围)．4、A【解析】由题意可得2a22b2a2b2，即a2【详解】

3b2，代入双曲线的渐近线方程可得答案.x2 y2

x2 y2 1

x2y21(a0,b0)依题意椭圆 a2 b2

1(ab0)与双曲线 a2

(a0,b0)即a2 b2 的焦点相同，可b2 22 2a2b2

1a2 b2，12 2123b233b 3a2

3b2，∴a

，可得232

a 3,2b2双曲线的渐近线方程为：y

3x x,32a 32故选：A．【点睛】5、D【解析】利用对数函数的单调性可得log5log5log3fx.2 3 5【详解】因为log5log310log1log3log51，3 3 5 5 5故log5log30.3 5又log5log42log9log50，故log5log5log3.2 2 3 3 2 3 5x0,fx是单调递减函数，所以flog2

5f3

5f5

3.

x

f

135

log3

5

log3

5，

log5flog1flog

3.2 35 5D.【点睛】本题考查抽象函数的奇偶性、单调性以及对数函数的单调性在大小比较中的应用，比较大小时注意选择合适的中间数来传递不等关系，本题属于中档题.6、C【解析】根据题目中的基底定义求解.【详解】因为1213，21203，30213，41212，51213，61313，所以M故选：C【点睛】7、A【解析】根据题意到两个平面的距离相等，根据等体积法得到

，得到答案.【详解】二面角与二面角的平面角相等，故到两个平面的距离相等.故故 ，故，即为 中点.，两三棱锥高相等，故 ，故选：.【点睛】本题考查了二面角，等体积法，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.8、C【解析】作出可行域，直线目标函数对应的直线l，平移该直线可得最优解．【详解】作出可行域，如图由射线AB，线段AC，射线CD 围成的阴影部分（含边界，作直线l:2x3y40，平移直线l，当l过点C(1,1)z2x3y4故选：C．【点睛】本题考查简单的线性规划问题，解题关键是作出可行域，本题要注意可行域不是一个封闭图形．9、D【解析】试题分析：因为公比为的等比数列，所以，所以，即，即，所以数列，所以数列是以的通项公式是为首项，，故选D．考点：数列的通项公式．10、D【解析】由S 2

1,S 9 3

727

的通项公式an

27

1n5n

1n6an

1，从而可知aa12

a的最小值为aan 1

aaa34

，求解即可.【详解】设等比数列n的公比为q，则q0， 41aq2 2714

a1

SS

aq ，解得1

27，3 3

27 1 1

q2得a n

2n1.27

q0当1n5时，a 1；当n6时，a 1，n n4则aa12

a的最小值为aan 1

aaa345

(a3

)5(

)5.27D.【点睛】本题考查等比数列的通项公式的求法，考查等比数列的性质，考查学生的计算求解能力，属于中档题.11、C【解析】先求出集合U，再根据补集的定义求出结果即可．【详解】由题意得 ，∵ ，∴ ．C．【点睛】本题考查集合补集的运算，求解的关键是正确求出集合和熟悉补集的定义，属于简单题．12、A【解析】exf x = f x =

,x

,当x0时fx

ex

x1

0,x1,x0,1时,fxx时,fxx ex x

,x0 x2单调递增x,fxe,,x,fxe,,x0xexx10恒x2x,0时,fxfx0,,f2x1fxm40(mR)有四个相异的实数根fxt,t2m40则0t1

e,t2

e,e21em400210m40,m4,e

4 e1.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、2 2【解析】

2,0，根据APF周长为PF

PA

AF

2a3，计算得到答案.2 1 1 1 2【详解】x2 y2设双曲线a2 b2

1a0,b0F2

2,0.APFPFPAAFPF2aPA3

2a362a8.1 1 1 2 2APF2

共线时等号成立，故a1，即实轴长为2a2，e

c2.a22.【点睛】本题考查双曲线周长的最值问题，离心率，实轴长，意在考查学生的计算能力和转化能力.28 628 66 729【解析】(1)先算出正四面体的体积，六面体的体积是正四面体体积的2倍，即可得出该六面体的体积；(2)由图形的对称性得,小球的体积要达到最大,即球与六个面都相切时，求出球的半径，再代入球的体积公式可得答案.【详解】

331 33S21

2

，由对称性可知该六面是由两个正四面合成的，4 132313236362可求出该四面体的高为

，故四面体体积为 ，3 3 4 3 122因此该六面体体积是正四面体的2倍，所以六面体体积是 ；26由图形的对称性得，小球的体积要达到最大，即球与六个面都相切时，由于图像的对称性，内部的小球要是体积最大，就是球要和六个面相切，68 6连接球心和五个顶点，把六面体分成了六个三棱锥设球的半径为R，68 6231 23

33所以 6 36

R R4

，所以球的体积V R369 3 396

.729故答案为：6【点睛】

； .28 628 6本题考查由平面图形折成空间几何体、考查空间几何体的的表面积、体积计算，考查逻辑推理能力和空间想象能力求解球的体积关键是判断在什么情况下，其体积达到最大，考查运算求解能力.215、2【解析】x2a2

y20,b0)1，即ba，b2即可求出双曲线的离心率．【详解】x2a2

y21(a0,b0)的左右焦点分别关于两条渐近线的对称点重合，b2一条渐近线的斜率为1，即ba，2c 2a，ec ，2a2故答案为： ．2【点睛】116、4【解析】∵sinAcosC3cosAsinCa2b2c2 b2c2a2∴根据正弦定理与余弦定理可得：a 3 c，即2c22a2b22ab 2bc∵a2c2∴b2∵∴b4故答案为4三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（）63.47（）分布列见详解，期望为16（）.7【解析】计算62.0,63.0,63.0,63.50.5计算位于62.5,64.5之外的零件中随机抽取4X..【详解】（1）尺寸在62.0,63.0的频率：0.50.0750.2250.15尺寸在63.0,63.50.50.750且0.150.50.150.375所以可知尺寸的中位数落在63.0,63.5假设尺寸中位数为x所以0.15x63.00.7500.5x63.47所以这80个零件尺寸的中位数63.47（2）尺寸在62.0,62.5的个数为800.0750.5尺寸在的个数为800.1000.54X的所有可能取值为1，2，3，4 C1C3 4 C2C2 18则P X1 4 3 ，P X2 4 3C4 35 C4 357 7 C3C1 12 C4 1P X3 4 3 ，P X4 4C4 35 C4 357 7X123X1234P41812135353535EX14218312411635 35 35 35 7（3）二等品的概率为0.50.0750.2250.1000.2如果对余下的零件进行检验则整箱的检验费用为P100999900（元）1余下二等品的个数期望值为890.2如果不对余下的零件进行检验，整箱检验费用与赔偿费用之和的期望值为P119950017.89989（元）2P1

P.2【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，掌握中位数，平均数，众数的计算方法，中位数的理解应该从中位数开始左右两边的频率各为0.5，考验分析能力以及数据处理，属中档题.18（Ⅰ）an

2n，nN*（Ⅱ）见解析【解析】（Ⅰ）由a1

22aa1 3

,3a2

成等差数列，可求得q，从而可得本题答案；（Ⅱ）化简求得bn【详解】

，然后求得

1S ，再用裂项相消法求n

，即可得到本题答案.（Ⅰ）因为数列

是各项均为正数的等比数列N

2qq0，2a,a1

,3a2

n 1成等差数列，所以2a3

2a13a2

，即22q2432q，22qq

（舍去，则a

aqn11

2n，nN*；（Ⅱ）证明：bn

loga2

log2n2

n，S 1n(n1)，1

2 21 1 n 2 Sn

n(n1) n n1则T

11

1

12(11111

1 )2(1 1 )，n S S S1 2 3

S 2 2 3 n n1 n1n1 1 1 1 因为0

，所以

21 2即1Tn

n1 2 2.

n1【点睛】本题主要考查等差等比数列的综合应用，以及用裂项相消法求和并证明不等式，考查学生的运算求解能力和推理证明能力.19、16【解析】2由coscoscossinsin ，化简得cossin2，由xcos,ysin，所2 44 44 x2t以直线l的直角坐标方程为xy2，因为曲线C的参数方程为 1

x2

8y，直线l的方程与曲线Cxy2的方程联立，

x28x160

Ax,y

y2tBx,y

x8,x

，根据弦长公式求解即可.

x2

8y

1 1 2 2 1 12【详解】2coscoscossinsin2

，化简得cossin2，44 44 又因为xcos,ysin，所以直线l的直角坐标方程为xy2，x2t因为曲线C的参数方程为 1

，消去tx2

8y，y2t2xy2将直线l的方程与曲线C的方程联立，x2

8y

yx28x160，Ax,

Bx,

x8,x

16，1 1 2 2 1 12xx2xx2yy21 2 1 2xx2xx21 2 1 22 xx24xx1 2 12将xx8,xx1 1

16AB16.【点睛】20（）唯一的极大值点1（）1【解析】f(x0的解，确定此解两侧导数值的正负，确定极值点；问题可变形为a lnxb恒成立，由导数求出函数ylnxb

的最小值，b0ylnxb

无最小值，因x x x此只有b0，从而得出ab的不等关系，得出所求最大值．【详解】（）f(x)定义域为(0,)，当k1时，f(x)lnxx,f(x)11，xf(x0x1f(x0,0xf(x0,x1f(x在(0,1)上单调递增，在f(xx1，无极小值点．（2）当k0f(xbalnxba．x x若f(x)ba 0,(a,bR)恒成立，则lnxba 0(a,bR)恒成立，x x所以a lnxb恒成立，xylnxby

xb

，由题意b0，函数在(0,b)上单调递减，在(b,)上单调递增，x x2所以a lnb1，所以a1 lnb所以ea1 b，所以ea1b11，故eab11．【点睛】f(x0x0

不一定是极值点，还需满足在x0

两侧f(x)的符号相反．不等式恒成立深深转化为求函数的最值，这里分离参数法起关键作用．21（1）y1

，x2,3.y x2x2366x2x2934x22

，x2,3.（2）AD

6百米时，两条直道的长度之和取得最小值6

63 2百米.63 22 【解析】由S

ADE

S22

AE.ADEy1

关于x的函数关系式；在ADE和AEM中，利用余弦定理，可得y2

关于x的函数关系式.方法二：在ADE中，可得DEAEAD，则有1 DE

AE

2AEADAD2，化简整理即得；同理AM

ADAE 由和基本不等式，计算即得.SADE23SADE23

SABC

3ADx，1 21 6 ADAEsin 2 3

3232sin

3，AEx.0ADx3由0AE

6x

，得2x3.1：在ADE中，由余弦定理，得DE2AD2AE22ADAEcos3

x2

366.x2x2366x2故直道DE长度y1

xy1

，x2,3.ADE中，由余弦定理，得①AD2DM2AM22DMAMcosAMD①AE2EM2AM22EMAMcosAMD ②1MDEDMEM

DE.21AD2AE