广东省汕头市潮阳区高中2023学年高考冲刺模拟数学试题（含解析）

2023学年高考数学模拟测试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，用现代式子表示即为：在中，角所对的边分别为，则的面积.根据此公式，若，且，则的面积为（）A． B． C． D．2．若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．240 B．264 C．274 D．2823．音乐，是用声音来展现美，给人以听觉上的享受，熔铸人们的美学趣味．著名数学家傅立叶研究了乐声的本质，他证明了所有的乐声都能用数学表达式来描述，它们是一些形如的简单正弦函数的和，其中频率最低的一项是基本音，其余的为泛音．由乐声的数学表达式可知，所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍，称为基本音的谐波．下列函数中不能与函数构成乐音的是（）A． B． C． D．4．设则以线段为直径的圆的方程是（）A． B．C． D．5．函数的部分图象如图所示，则（）A．6 B．5 C．4 D．36．如图，在三棱锥中，平面，，现从该三棱锥的个表面中任选个，则选取的个表面互相垂直的概率为（）A． B． C． D．7．某校8位学生的本次月考成绩恰好都比上一次的月考成绩高出50分，则以该8位学生这两次的月考成绩各自组成样本，则这两个样本不变的数字特征是（）A．方差 B．中位数 C．众数 D．平均数8．已知为圆：上任意一点，，若线段的垂直平分线交直线于点，则点的轨迹方程为()A． B．C．（） D．（）9．已知是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，下列命题正确的是（）A．若，，，，则B．若，，，则C．若，，，则D．若，，，则10．若表示不超过的最大整数(如，，)，已知，，，则（）A．2 B．5 C．7 D．811．正方形的边长为，是正方形内部（不包括正方形的边）一点，且，则的最小值为（）A． B． C． D．12．一个超级斐波那契数列是一列具有以下性质的正整数:从第三项起，每一项都等于前面所有项之和(例如:1，3，4，8，16…).则首项为2，某一项为2020的超级斐波那契数列的个数为（）A．3 B．4 C．5 D．6二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若满足约束条件，则的最大值为__________．14．若关于的不等式在时恒成立，则实数的取值范围是_____15．若存在实数使得不等式在某区间上恒成立，则称与为该区间上的一对“分离函数”，下列各组函数中是对应区间上的“分离函数”的有___________.（填上所有正确答案的序号）①，，；②，，；③，，；④，，.16．已知各项均为正数的等比数列的前项积为，，（且），则__________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数．（1）讨论的单调性并指出相应单调区间；（2）若，设是函数的两个极值点，若，且恒成立，求实数k的取值范围．18．（12分）设函数，．（Ⅰ）讨论的单调性；（Ⅱ）时，若，，求证：．19．（12分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，），点.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的直角坐标方程，并指出其形状；（2）曲线与曲线交于，两点，若，求的值.20．（12分）己知的内角的对边分别为.设（1）求的值；（2）若，且，求的值.21．（12分）已知在中，角，，的对边分别为，，，且.（1）求的值；（2）若，求面积的最大值.22．（10分）已知，函数．（1）若，求的单调递增区间；（2）若，求的值．

2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【答案解析】

根据，利用正弦定理边化为角得，整理为，根据，得，再由余弦定理得，又，代入公式求解.【题目详解】由得，即，即，因为，所以，由余弦定理，所以，由的面积公式得故选：A【答案点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理以及类比推理，还考查了运算求解的能力，属于中档题.2、B【答案解析】

将三视图还原成几何体，然后分别求出各个面的面积，得到答案.【题目详解】由三视图可得，该几何体的直观图如图所示，延长交于点，其中，，，所以表面积.故选B项.【答案点睛】本题考查三视图还原几何体，求组合体的表面积，属于中档题3、C【答案解析】

由基本音的谐波的定义可得,利用可得,即可判断选项.【题目详解】由题,所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍,称为基本音的谐波,由,可知若,则必有,故选:C【答案点睛】本题考查三角函数的周期与频率,考查理解分析能力.4、A【答案解析】

计算的中点坐标为，圆半径为，得到圆方程.【题目详解】的中点坐标为：，圆半径为，圆方程为.故选：.【答案点睛】本题考查了圆的标准方程，意在考查学生的计算能力.5、A【答案解析】

根据正切函数的图象求出A、B两点的坐标，再求出向量的坐标，根据向量数量积的坐标运算求出结果．【题目详解】由图象得,令=0,即=kπ，k=0时解得x=2，令=1,即，解得x=3，∴A(2,0),B(3,1)，∴，∴.故选：A.【答案点睛】本题考查正切函数的图象，平面向量数量积的运算，属于综合题，但是难度不大，解题关键是利用图象与正切函数图象求出坐标，再根据向量数量积的坐标运算可得结果，属于简单题.6、A【答案解析】

根据线面垂直得面面垂直，已知平面，由，可得平面，这样可确定垂直平面的对数，再求出四个面中任选2个的方法数，从而可计算概率．【题目详解】由已知平面，，可得，从该三棱锥的个面中任选个面共有种不同的选法，而选取的个表面互相垂直的有种情况，故所求事件的概率为．故选：A．【答案点睛】本题考查古典概型概率，解题关键是求出基本事件的个数．7、A【答案解析】

通过方差公式分析可知方差没有改变，中位数、众数和平均数都发生了改变.【题目详解】由题可知，中位数和众数、平均数都有变化.本次和上次的月考成绩相比，成绩和平均数都增加了50，所以没有改变，根据方差公式可知方差不变.故选：A【答案点睛】本题主要考查样本的数字特征，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.8、B【答案解析】

如图所示：连接，根据垂直平分线知，，故轨迹为双曲线，计算得到答案.【题目详解】如图所示：连接，根据垂直平分线知，故，故轨迹为双曲线，，，，故，故轨迹方程为.故选：.【答案点睛】本题考查了轨迹方程，确定轨迹方程为双曲线是解题的关键.9、B【答案解析】

根据空间中线线、线面位置关系，逐项判断即可得出结果.【题目详解】A选项，若，，，，则或与相交；故A错；B选项，若，，则，又，是两个不重合的平面，则，故B正确；C选项，若，，则或或与相交，又，是两个不重合的平面，则或与相交；故C错；D选项，若，，则或或与相交，又，是两个不重合的平面，则或与相交；故D错；故选B【答案点睛】本题主要考查与线面、线线相关的命题，熟记线线、线面位置关系，即可求解，属于常考题型.10、B【答案解析】

求出，，，，，，判断出是一个以周期为6的周期数列，求出即可．【题目详解】解：.，∴，，，同理可得：；；.；，，…….∴.故是一个以周期为6的周期数列，则.故选：B.【答案点睛】本题考查周期数列的判断和取整函数的应用．11、C【答案解析】

分别以直线为轴，直线为轴建立平面直角坐标系，设，根据，可求，而，化简求解.【题目详解】解：建立以为原点，以直线为轴，直线为轴的平面直角坐标系.设，，，则，，由，即，得.所以=，所以当时，的最小值为.故选：C.【答案点睛】本题考查向量的数量积的坐标表示，属于基础题.12、A【答案解析】

根据定义，表示出数列的通项并等于2020.结合的正整数性质即可确定解的个数.【题目详解】由题意可知首项为2，设第二项为，则第三项为，第四项为，第五项为第n项为且，则，因为，当的值可以为；即有3个这种超级斐波那契数列，故选：A.【答案点睛】本题考查了数列新定义的应用，注意自变量的取值范围，对题意理解要准确，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、4【答案解析】

作出可行域如图所示：由，解得.目标函数，即为，平移斜率为-1的直线，经过点时，.14、【答案解析】

利用对数函数的单调性，将不等式去掉对数符号，再依据分离参数法，转化成求构造函数最值问题，进而求得的取值范围。【题目详解】由得，两边同除以，得到，，，设，，由函数在上递减，所以，故实数的取值范围是。【答案点睛】本题主要考查对数函数的单调性，以及恒成立问题的常规解法——分离参数法。15、①②④【答案解析】

由题意可知，若要存在使得成立，我们可考虑两函数是否存在公切点，若两函数在公切点对应的位置一个单增，另一个单减，则很容易判断，对①，③，④都可以采用此法判断，对②分析式子特点可知，，进而判断【题目详解】①时，令，则，单调递增，，即.令，则，单调递减，，即，因此，满足题意.②时，易知，满足题意.③注意到，因此如果存在直线，只有可能是（或）在处的切线，，因此切线为，易知，，因此不存在直线满足题意.④时，注意到，因此如果存在直线，只有可能是（或）在处的切线，，因此切线为.令，则，易知在上单调递增，在上单调递减，所以，即.令，则，易知在上单调递减，在上单调递增，所以，即.因此，满足题意.故答案为：①②④【答案点睛】本题考查新定义题型、利用导数研究函数图像，转化与化归思想，属于中档题16、【答案解析】

利用等比数列的性质求得，进而求得，再利用对数运算求得的值.【题目详解】由于，，所以，则，∴，，.故答案为：【答案点睛】本小题主要考查等比数列的性质，考查对数运算，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）答案见解析（2）【答案解析】

（1）先对函数进行求导得，对分成和两种情况讨论，从而得到相应的单调区间；（2）对函数求导得，从而有，，，三个方程中利用得到.将不等式的左边转化成关于的函数，再构造新函数利用导数研究函数的最小值，从而得到的取值范围.【题目详解】解：（1）由，，则，当时，则，故在上单调递减；当时，令，所以在上单调递减，在上单调递增．综上所述：当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增．（2）∵，,由得，∴，，∴∵∴解得.∴.设，则,∴在上单调递减；当时，.∴，即所求的取值范围为.【答案点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、最值，考查分类讨论思想和数形结合思想，求解双元问题的常用思路是：通过换元或消元，将双元问题转化为单元问题，然后利用导数研究单变量函数的性质.18、（1）证明见解析；（2）证明见解析.【答案解析】

（1）首先对函数求导，再根据参数的取值，讨论的正负，即可求出关于的单调性即可；（2）首先通过构造新函数，讨论新函数的单调性，根据新函数的单调性证明.【题目详解】（1），令，则，令得，当时，则在单调递减，当时，则在单调递增，所以，当时，，即，则在上单调递增，当时，，易知当时，，当时，，由零点存在性定理知，，不妨设，使得，当时，，即，当时，，即，当时，，即，所以在和上单调递增，在单调递减；（2）证明：构造函数，，，，整理得，，（当时等号成立），所以在上单调递增，则，所以在上单调递增，，这里不妨设，欲证，即证由（1）知时，在上单调递增，则需证，由已知有，只需证，即证，由在上单调递增，且时，有，故成立，从而得证.【答案点睛】本题主要考查了导数含参分类讨论单调性，借助构造函数和单调性证明不等式，属于难题.19、（1），以为圆心，为半径的圆；（2）【答案解析】

（1）根据极坐标与直角坐标的互化公式，直接得到的直角坐标方程并判断形状；（2）联立直线参数方程与的直角坐标方程，根据直线参数方程中的几何意义结合求解出的值.【题目详解】解：（1）由，得，所以，即，.所以曲线是以为圆心，为半径的圆.（2）将代入，整理得.设点，所对应的参数分别为，，则，.，解得，则.【答案点睛】本题考查极坐标与直角坐标的互化以及根据直线参数方程中的几何意义求值，难度一般.（1）极坐标与直角坐标的互化公式：；（2）若要使用直线参数方程中的几何意义，要注意将直线的标准参数方程代入到对应曲线的直角坐标方程中，构成关于的一元二次方程并结合韦达定理形式进行分析求解.20、（1）（2）【答案解析】

（1）由正弦定理将，转化，即，由余弦定理求得，再由平方关系得再求解.（2）由，得，结合再求解.【题目详解】（1）由正弦定理，得，即，则，而，又，解得，故.（2）因为，则，因为，故，故，解得，故，则.【答案点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式，考查运算求解能力以及化归与转化思想，属于中档题.21、(1);(2).【答案解析】分析：（1）在式子中运用正弦、余弦定理后可得．（2）由经三角变换可得，然后运用余弦定理可得，从而得到，故得．详解：(1)由题意及正、余弦定理得，整理得，∴（2）由题意得，∴，∵，∴，∴.由余弦定理得，∴，，当且仅当时等号成立．∴．∴面积的最大值为