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文档简介

《积分变换》复习卷—、单项选择题复数z=l^_Ai的辐角为( )B2525B.-arctan—2B.-arctan—2P) 17i+arctan—2)DB.直线D.双曲线2p 1或7i-arctan—2方程Rez2=l所表木的平面曲线为(圆C.椭圆TOC\o"1-5"\h\z复数z=-3(cos|-isin-|)的三角表示式为( )CA 4 .4 Rq/4..4—3(cos;兀+1sin;兀) d.3(cos—k-1sm—k)「44 p4 4•・3(cosyk+isin—k) □・-3(cos—k-isin—k)复数e/所对应的点在( )AA.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限积分路线C是由点z=-1到z=1的上半单位圆周,贝叮企dz等于( )CCz2A.2+?ii B.2-niC・-2-ni D.-2+7ii函数w=Z2把Z平面上的扇形区域:0<argz<—,0<|z|<2映射成W平面上的区域(3AA.0<argw<—,0<|w|<4 B.0<argw<—,0<|w|<4TOC\o"1-5"\h\z3 3C.0<argw<—,0<|w|<2 D.0<argw<—,0<|w|<23 3设C为正向圆周|z+l|=2,n为正整数,则积分b 等于( )CA.1C(Z_i)n+lA.12niC.0C.02兀iTOC\o"1-5"\h\z设函数f(z)=j飞e&dg,则f(z)等于( )DoA.zez+ez+1 B.zez+ez—1—zez+ez—1 D.zez—ez+1级数U色地zn的收敛半径为( )D(2n)!n=0A.0 B.1C.2 D.+oo幕级数堂空L的收敛区域为( )Bn!n=lA.0<IzI<+oo B.IzI<+ooC.0<|z|<l D.|z|<lZ=-1是函数COE的( )c(z+1)4A.3阶极点 B.4阶极点C.5阶极点 D.6阶极点下列影射中,把角形域om鬻保角映射成单位圆内部E的为(A.w=z4+1 B.w=z4Tz4-1 z4+1w=z4— D.w=z4+1TOC\o"1-5"\h\zz4+i z4-i)12.设Q(z)在点z=0处解析,f(z)=_2Z_,则Res[f(z),O]等于( )Bz(z—1)A.Q(O)-Q(0)A.Q(O)C.QXO) D.—Q,(o)13.映射w=Z2+2z在下列区域中每一点的伸缩率都大于1的是( )AA.|z+11>- B.|z+11<-2 2C.|z|>i D.|z|<-2 2二、填空题复数z=4+我i的模|z|=.8设z=e2+i,贝。argz=.1方程Rez2=1所表示的平面曲线为.双曲线复数z=-3(cosy-isiny)的三角表示式为.3(cos-5兀+isin~兀)设z=cosi,则Imz=.0f(z)=Z2的可导处为.0积分路线C是由点z=-1到z=1的上半单位圆周,则jZ+1dz等于Cz2-2一兀i再由空=2y+p'(x)=-2x+2y=旦,

dx dy得中'(x)=-2x,于是^(x)=一x2+C,v=2xy+y2-x2+C.由v(0,0)=1,得C=1.故v=2xy+y2-X2+1.25.积分I=j以dz的值,其中C为正向圆周|z|=2.CIzl解:jz*zdz=Lj2Rezdz=J^cos0-2i(cos。+isin0)d0clzl2c 一兀=4ij71+cos20)d0=4兀i.0函数函数f(z)=jzeY2d.在点z=0处的泰勒级数,并指出其收敛区域.0解:因为f'(z)=e-z2=£F=£5z2n(|z|<+8),n! n!n=0 n=0所以由幕级数在收敛圆内逐项求积性质,得f(z)=jzf任)d.=£Hil^lL (|z|<+8).0 n!2n+1n=0设2平面上的区域为D:|z+i|>Y:2,|z-i|〈<2,试求下列保角映射:w=f(z)把D映射成W平面上的角形域D:-<argw<3兀;1 1 1 4 14w=f(w)把D映射成W平面上的第一象限D:0<argw<—;2 1 1 2 2 2 2w=f3(w2)把。2映射成叩平面的上半平面6:Imw>0;w=f(z)把。映射成6.留数求积分I=J+8―竺竺—dx的值.0x4+10x2+9解:在上半平面内,f(z)= 翌 有一阶极点z=i和z=3i.(z2+1)(z2+9)函数f(z)在正向简单闭曲线C所包围的区域D内解析,在C上连续,且z=a为D内任一点,n为正整数,则积分j-!、dz等于 .边f(n)(a)TOC\o"1-5"\h\zC(z一a)n+1 n!设C为正向圆周|z|=1,则积分j位等于.0c|z|f(z)=1[1+-^+...+一1一]在点z=0处的留数为 .6zz+1 (z+1)51 -,、垂方程lnz=-i的解为 ^ (1+N3),或,33 2设C为正向圆周|z-i|弓,则积分j「be%dz=•-2兀(兀+i)级数工Lzn的收敛半径为.ennn=1三、计算题=X2+2xy-y2的共轭调和函数v(x,y),并使v(0,0)=1.TOC\o"1-5"\h\z5u 而解:=2x+2y,=2x一2y,5x 5y由C-R条件,有丝=虫,丝=一虫,5y5x 5x 5yv=j色dy=j(2x+2y)dy=2xy+y2+p(x).••t-1+oocosx, 1+ooeix ,■—J dx=—ReJ dx2_8(x2+1)(x2+9) 2 一8(x2+1)(x2+9)-1——Re{2兀iRes[f(z),i]+2兀iRes[f(z),3i]},2Res[f(z),i]=—,16eiRes[f(z),3i]=_—,48e3i・ 71・•1=——(3e2-1).48e329.面上的区域为D:|z+i|>£,Iz-i|〈VI,试求下列保角映射:w=f(z)把D映射成W平面上的角形域D:-<argw<-K;TOC\o"1-5"\h\zi i 14 14w=f(w)把D映射成W平面上的第一象限D:0<argw<-;2 1 1 2 2 2 2w=f(w)把D映射成W平面的上半平面G:Imw>0;3 2 2w=f(z)把D映射成G.解:(1)由pz+il=J£解得交点z=1,z=-1.[lz-il=J2 1 2设w二』,则它把D映射成

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