2021年江西省上饶市上洪中学高三数学理上学期期末试题含解析

2021年江西省上饶市上洪中学高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设集合

A. B. C. D.

参考答案：A略2.已知函数的图象如图所示，则函数的大致图象是参考答案：D略3.（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积（）

A．πB．2

C．（2）πD．（2）参考答案：B【考点】：由三视图求面积、体积．【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：根据几何体的三视图，得出该几何体是上、下部为共底面的圆锥体的组合体，从而求出它的表面积．解：根据几何体的三视图，得；该几何体是上、下部为共底面的圆锥体的组合体；该圆锥的底面半径为1，高为1；∴该几何体的表面积为S=2×π?1?=2π．故选：B．【点评】：本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，是基础题目．4.给出命题：已知a、b为实数，若a+b=1，则ab≤．在它的逆命题、否命题、逆否命三个命题中，假命题的个数是（）A.3

B． 2

C．1

D． 0参考答案：B略5.已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=ex（x+1），给出下列命题：①当x＞0时，f（x）=ex（1﹣x）；②f（x）＞0的解集为（﹣1，0）∪（1，+∞）；③函数f（x）有2个零点；④x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|＜2，其中正确命题的个数是（） A．1 B． 2 C． 3 D． 4参考答案：考点： 命题的真假判断与应用；奇偶性与单调性的综合．分析： 逐个验证：①为函数对称区间的解析式的求解；②为不等式的求解，分段来解，然后去并集即可；③涉及函数的零点，分段来解即可，注意原点；④实际上是求函数的取值范围，综合利用导数和极值以及特殊点，画出函数的图象可得范围．解答： 解：设x＞0，则﹣x＜0，故f（﹣x）=e﹣x（﹣x+1），又f（x）是定义在R上的奇函数，故f（﹣x）=﹣f（x）=e﹣x（﹣x+1），所以f（x）=e﹣x（x﹣1），故①错误；因为当x＜0时，由f（x）=ex（x+1）＞0，解得﹣1＜x＜0，当x＞0时，由f（x）=e﹣x（x﹣1）＞0，解得x＞1，故f（x）＞0的解集为（﹣1，0）∪（1，+∞），故②正确；令ex（x+1）=0可解得x=﹣1，当e﹣x（x﹣1）=0时，可解得x=1，又函数f（x）是定义在R上的奇函数，故有f（0）=0，故函数的零点由3个，故③错误；④x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|＜2，正确，因为当x＞0时f（x）=e﹣x（x﹣1），图象过点（1，0），又f′（x）=e﹣x（2﹣x），可知当0＜x＜2时，f′（x）＞0，当x＞2时，，f′（x）＜0，故函数在x=2处取到极大值f（2）=，且当x趋向于0时，函数值趋向于﹣1，当x趋向于+∞时，函数值趋向于0，由奇函数的图象关于原点对称可作出函数f（x）的图象，可得函数﹣1＜f（x）＜1，故有|f（x1）﹣f（x2）|＜2成立．综上可得正确的命题为②④，故选B点评： 本题考查命题真假的判断，涉及函数性质的综合应用，属中档题．6.如图是一个几何体的三视图，在该几何体的各个面中，面积最小的面的面积为（

）A.8

B.4

C.

D.参考答案：C7.已知集合A={﹣1，1，4}，B={y|y=log2|x|+1，x∈A}，则A∩B=（）A．{﹣1，1，3，4} B．{﹣1，1，3} C．{1，3} D．{1}参考答案：D【考点】1E：交集及其运算．【分析】分别让x取﹣1，1，4，然后求出对应的y，从而得出集合B，然后进行交集运算即可．【解答】解：x=﹣1，或1时，y=1；x=4时，y=3；∴B={1，3}；∴A∩B={1}．故选D．8.已知函数在上是增函数,则的最小值是

A．－3

B．－2

C．2

D．3参考答案：A9.命题p：关于x的不等式（e为自然对数的底数）的一切恒成立；命题q：；那么命题p是命题q的（

）A．充要条件

B．充分不必要条件

C.必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：C由题设可记，则，显然在上单调递增，又，故存在，使得，当，，当，，所以，因为，所以，记，知，故，故得，又，故选C．10.设函数，则下列结论错误的是（）A．的一个周期为

B．的图像关于直线对称

C.的一个零点为

D．在区间上单调递减参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数f（x）=3x﹣1，g（x）=x2﹣2x﹣1，若存在实数a、b使得f（a）=g（b），则b是取值范围是．参考答案：（﹣∞，0）∪（2，+∞）【考点】二次函数的性质．【分析】若存在实数a、b使得f（a）=g（b），则g（b）属于函数f（x）的值域，进而得到答案．【解答】解：函数f（x）=3x﹣1∈（﹣1，+∞），若存在实数a、b使得f（a）=g（b），则g（b）=b2﹣2b﹣1＞﹣1，解得：b∈（﹣∞，0）∪（2，+∞），故答案为：（﹣∞，0）∪（2，+∞）12.设直线y=x+2a与圆C：x2+y2-2ay-2=0相交于A，B两点，若|AB|=，则圆C的面积为

.参考答案：4π试题分析：圆C：x2+y2-2ay-2=0即C：x2+(y-a)2=a2+2，圆心为C(0，a)，由|AB|=，圆心C到直线y=x+2a的距离为，所以得，得a2=2，所以圆的面积为π(a2+2)=4π.13.设，，…，是1，2，…，的一个排列，把排在的左边且比小的数的个数称为的顺序数（）．如在排列6，4，5，3，2，1中，5的顺序数为1，3的顺序数为0．则在由1、2、3、4、5、6、7、8这八个数字构成的全排列中，同时满足8的顺序数为2，7的顺序数为3，5的顺序数为3的不同排列的种数为_________

___（结果用数字表示）．参考答案：144略14.已知抛物线y2=x上一定点B（1，1）和两个动点P、Q，当P在抛物线上运动时，BP⊥PQ，则Q点的纵坐标的取值范围是．参考答案：（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】先假设P，Q的坐标，利用BP⊥PQ，可得=0，从而可得方程，再利用方程根的判别式大于等于0，即可求得Q点的纵坐标的取值范围．【解答】解：设P（t2，t），Q（s2，s）∵BP⊥PQ，∴=0，即（t2﹣1，t﹣1）?（s2﹣t2，s﹣t））=0即t2+（s+1）t+s+1=0∵t∈R，P，Q是抛物线上两个不同的点∴必须有△=（s+1）2﹣4（s+1）≥0．即s2﹣2s﹣3≥0，解得s≥3或s≤﹣1．∴Q点的纵坐标的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）．【点评】本题重点考考查取值范围问题，解题的关键是利用=0构建方程，再利用方程根的判别式大于等于0进行求解．15.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是个半圆，则该几何体的表面积为()．

参考答案：C解析：由三视图可知该几何体为一个半圆锥，即由一个圆锥沿中轴线切去一半而得．∴．16.函数f（x）是定义在R上的奇函数，对任意的x∈R，满足f（x+1）+f（x）=0，且当0＜x＜1时，f（x）=2x，则f（）+f（4）=．参考答案：﹣

【考点】函数奇偶性的性质．【专题】转化思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】根据条件判断函数的周期性，利用函数奇偶性和周期性的关系将条件进行转化进行求解即可．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，对任意的x∈R，满足f（x+1）+f（x）=0，∴f（x+1）=﹣f（x），则f（x+2）=﹣f（x+1）=f（x），则函数f（x）是周期为2的周期函数，则f（4）=f（0）=0，∵当0＜x＜1时，f（x）=2x，∴f（﹣）=f（﹣+2）=f（﹣）=﹣f（）=﹣=﹣，则f（﹣）+f（4）=﹣+0=﹣，故答案为：﹣．【点评】本题主要考查函数值的计算，根据条件判断函数的周期性，利用是周期性和奇偶性进行转化是解决本题的关键．17.设（i为虚数单位），则

参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）如图，在直四棱柱ABCD-ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，AB//CD，AB=4,BC=CD=2,

AA=2,

E、E分别是棱AD、AA的中点.)设F是棱AB的中点,证明：直线EE//平面FCC；（1）

证明:平面D1AC⊥平面BB1C1C.

参考答案：证明:（1）在直四棱柱ABCD-ABCD中，取A1B1的中点F1，连接A1D，C1F1，CF1，因为AB=4,CD=2,且AB//CD，所以CDA1F1，A1F1CD为平行四边形，所以CF1//A1D，又因为E、E分别是棱AD、AA的中点，所以EE1//A1D，所以CF1//EE1，又因为平面FCC，平面FCC，所以直线EE//平面FCC.（2）连接AC,在直棱柱中，CC1⊥平面ABCD,AC平面ABCD,所以CC1⊥AC,因为底面ABCD为等腰梯形，AB=4,BC=2,

F是棱AB的中点,所以CF=CB=BF，△BCF为正三角形，,△ACF为等腰三角形，且所以AC⊥BC,

又因为BC与CC1都在平面BB1C1C内且交于点C,所以AC⊥平面BB1C1C,而平面D1AC,所以平面D1AC⊥平面BB1C1C.

19.（本小题满分14分）已知函数（为自然对数的底数），，,．（1）判断函数的奇偶性,并说明理由；（2）求函数的单调递增区间；（3）证明：对任意实数和，且，都有不等式成立．参考答案：解:

（1）

函数的定义域为，且∴函数是奇函数.

……………2分（2）

………………3分当时，且当且仅当时成立等号，故在上递增；

………………4分当时，，令得或，故的单调递增区间为或；

………………5分当时，，令得或，故的单调递增区间为或．

………………6分

（3）不妨设,,

………………7分

令,则只需证

……………8分先证,由（2）知在上递增,∴当时，

∴，从而由知成立；

………………10分再证，即证：，令，则是减函数，∴当时，，从而成立.

………………13分综上，对任意实数和，且，都有不等式成立.

…………14分略20.已知函数的部分图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式（2）若，求函数f（x）的值域．参考答案：(1)(2)[﹣1，2]．【分析】（1）由图象求出函数的振幅A，周期，确定ω，利用图象经过确定φ，得到函数的解析式；（2）根据，得到，可得函数的值域．【详解】（1）由图可知A＝2，，由∴f（x）＝2sin（2x+），又点在图象上，∴，∴，∴∴（2）∵，∴∴函数f（x）的值域为[﹣1，2]．【点睛】本题是基础题，考查三角函数的化简求值，函数的解析式的求法，考查计算能力，常考题型．21.若正项数列{an}满足：=an+1﹣an（n∈N*）．则称此数列为“比差等数列”．（1）试写出一个“比差等数列”的前3项；（2）设数列{an}是一个“比差等数列”，问a2是否存在最小值，如存在，求出最小值：如不存在．请说明理由；（3）已知数列{an}是一个“比差等数列”，Sn为其前n项的和，试证明：Sn＞．参考答案：（1）根据比差等数列的定义写出一个比差等数列的前3项分别为2，4，；（2）∵=an+1﹣an（n∈N*），∴，∵an＞0，∴＞0，∴a1＞1，∴a2===（a1﹣1）++2=