微分方程模型建模辅导课件

微分方程模型微分方程模型1

引言

在研究某些实际问题时，经常无法直接得到各变量之间的联系，问题的特性往往会给出关于变化率的一些关系。利用这些关系，我们可以建立相应的微分方程模型。在自然界以及工程技术领域中，微分方程模型是大量存在的。它甚至可以渗透到人口问题以及商业预测等领域中去，其影响是广泛的。

2一、数学建模的基本思维过程

转化实际问题1、对要讨论的问题所涉及的重要特征进行合理的数学刻画（转化），即用数学语言对问题涉及到的重要特征进行表述.2、寻求实际问题的文字叙述，利用一些原则或定律，将其转化为数学描述。3、解数学问题用数学工具求解得到的数学问题。一、数学建模的基本思维过程转化实际问题2、寻求实3二、微分方程模型

涉及“改变”、“变化”、“增加”、“减少”、“衰变”、“边际”、“速度”、“运动”、“追赶”、“逃跑”、等等词语的确定性连续问题。

b、微分方程建模的基本手段

微元法等a、微分方程建模的对象

二、微分方程模型涉及“改变”、“变化”、“增加41、寻找改变量一般说来微分方程问题都遵循这样的文字等式变化率（微商）=单位增加量--单位减少量等式通常是利用已有的原则或定律。c、微分方程建模的基本规则2、对问题中的特征进行数学刻画1、寻找改变量一般说来微分方程问题都遵循这样的文字等式c、53、用微元法建立微分方程；4、确定微分方程的定解条件（初边值条件）；5、求解或讨论方程（数值解或定性理论）；6、模型和结果的讨论与分析。3、用微元法建立微分方程；6一阶微分方程求解1.一阶标准类型方程求解关键:辨别方程类型,掌握求解步骤2.一阶非标准类型方程求解(1)变量代换法——代换自变量代换因变量代换某组合式(2)积分因子法——选积分因子,解全微分方程四个标准类型:可分离变量方程,齐次方程,线性方程,全微分方程一阶方程复习一阶微分方程求解1.一阶标准类型方程求解关键:辨别7一、两类二阶微分方程的解法

1.可降阶微分方程的解法—降阶法令令逐次积分求解一、两类二阶微分方程的解法1.可降阶微分方程的解法—82.二阶线性微分方程的解法

常系数情形齐次非齐次代数法(特征方程，待定系数）

欧拉方程化为常系数情形2.二阶线性微分方程的解法常系数情形齐次非齐次代数法(9当我们描述实际对象的某些特性随时间（或空间）而演变的过程、分析它的变化规律、预测它的未来性态，研究它的控制手段时，通常要建立对象的动态模型。本章的模型是分析具体情况或进行类比给出假设条件，作出不同的假设，得到不同的方程，所以是事先没有答案的。求解结果还要用来解释实际现象并接受检验。

微分方程模型案例一、人口的预测和控制二、经济增长模型三、传染病模型四、正规战与游击战当我们描述实际对象的某些特性随微分方程模型案例10一、人口的预测和控制一、人口的预测和控制111问题的提出

人口问题是当今世界上最令人关注的问题之一，一些发展中国家的人口出生率过高，越来越威胁着人类的正常生活，有些发达国家的自然增长率趋于零，甚至变为负数，造成劳动力紧缺，也是不容忽视的问题。另外，在科学技术和生产力飞速发展的推动下，世界人口以空前的规模增长，统计数据显示：年16251830193019601974198719992011人口（亿）5102030405060701问题的提出人口问题是当今世界上最令人关注的12

可以看出，人口每增长十亿的时间，由一百年缩短为十二三年。我们赖以生存的地球，已经带着它的60亿子民踏入了21世纪。

长期以来，人类的繁衍一直在自发地进行着。只是由于人口数量的迅速膨胀和环境质量的急剧恶化，人们才猛然醒悟，开始研究人类和自然的关系，人口数量的变化规律，以及如何进行人口控制等问题。

可以看出，人口每增长十亿的时间，由一百年缩短为13

我国是世界第一人口大国，地球上每九个人中就有二个中国人，在20世纪的一段时间内我国人口的增长速度过快，如下表：年19081933195319641982199020002009人口（亿）3.04.76.07.210.311.312.9513.35

有效地控制人口的增长，不仅是使我国全面进入小康社会、到21世纪中叶建成富强民主文明的社会主义国家的需要，而且对于全人类社会的美好理想来说，也是我们义不容辞的责任。我国是世界第一人口大国，地球上每九个人中就有二14

认识人口数量的变化规律，建立人口模型，作出较准确的预报，是有效控制人口增长的前提，下面介绍两个最基本的人口模型。2.模型1(Malthus模型)18世纪末，英国人Malthus在研究了百余年的人口统计资料后认为，在人口自然增长的过程中，净相对增长率（出生率减去死亡率为净增长率）是常数。认识人口数量的变化规律，建立人口模型，作出较准确15微分方程模型建模辅导课件16微分方程模型建模辅导课件17微分方程模型建模辅导课件18返回返回19

这个模型可以与19世纪以前欧洲一些地区的人口统计数据很好地吻合，但是当后来人们用它与19世纪的人口资料比较时，却发现了相当大的差异。人们还发现，迁往加拿大的法国移民后代的人口比较符合指数增长模型。而同一血统的法国本土居民人口的增长却与指数模型大相径庭。这个模型可以与19世纪以前欧洲一些地区的人口统计数据20分析表明，以上这些现象的主要原因是随着人口的增长，自然资源，环境条件等因素对人口增长的限制作用越来越显著。人口较少时，人口的自然增长率基本上是常数，而当人口增加到一定数量以后，这个增长率就要随着人口的增加而减少。因此，我们将对指数模型关于净相对增长率是常数的基本假设进行修改。2.5模型修改分析表明，以上这些现象的主要原因是随着人口的增21微分方程模型建模辅导课件22返回返回23微分方程模型建模辅导课件24微分方程模型建模辅导课件25

这个模型称为Logistic模型，其结果经过计算发现与实际情况比较吻合。

图：这个模型称为Logistic模型，其结果26进一步的模型

在前面我们介绍了人口的指数模型和Logistic模型，这些模型只考虑人口总数和总的增长率，不涉及年龄结构。事实上，在人口预测中人口按年龄分布状况是十分重要的，因为不同年龄人的生育率和死亡率有着很大的差别。两个国家或地区目前人口总数一样，如果一个国家或地区年轻人的比例高于另一国家或地区，那么二者人口的发展状况将大不一样。因此，既要考虑时间，又要考虑人口年龄。模型假设：1、只考虑出生与死亡，不考虑迁移等因素对人的影响。2、t表示时间，r（≥0）表示年龄，rm为人的最高年龄，t和r均为连续变量3、为时刻t年龄r的人的死亡率进一步的模型在前面我们介绍了人口的指数模型和27建立模型1、人口的分布函数和密度函数时刻t年龄小于r的人口称为人口分布函数，记作可以假设F是连续可微函数。时刻t的人口总数记为N（t），则有人口的密度函数定义为表示时刻t年龄在区间[r，r+dr）内的人数2、死亡人数的表示表示时刻t年龄在[r，r+dr）内单位时间死亡3、建立模型考察时刻t年龄在[r，r+dr）内的人到时刻t+dt的情况，他们中活着的那一部分人的年龄变为[r+dr1，r+dr+dr1），这里dr1=dt。而在[t，t+dt）这段时间死亡的人数为于是有：注意到dr1=dt就可以得到：这是人口密度函数p（r，t）的一阶偏微分方程，其中死亡率为已知函数从这个方程确定出密度函数p（r，t）以后，立即可以得到各个年龄的人口数即人口分布函数建立模型1、人口的分布函数和密度函数时刻t28微分方程模型---经济增长模型微分方程模型---经济增长模型29发展经济、提高生产力主要有以下手段:增加投资、增加劳动力、技术革新.1、建立产值与资金、劳动力之间的关系;2、研究资金与劳动力的最佳分配，使投资效益最大;3、调节资金与劳动力的增长率，使经济（劳动生产率）得到有效的增长.本节的模型将解决以下三个问题：这里暂不考虑技术革新的作用,一是因为在经济发展的初期或者在不太长的时期内,技术相对稳定,二是由于技术革新量化比较困难.背景与问题发展经济、提高生产力主要有以下手段301、道格拉斯（Douglas）生产函数－－－问题1的解决柯布—道格拉斯生产函数是生产函数的一种特殊形式，是由美国数学家柯布（C.W.Cobb）和经济学家道格拉斯（P.H.Douglas）于20世纪30年代提出来的，所以，这种函数被称为柯布-道格拉斯生产函数。符号化:资金K（t），劳动力L（t），技术f（t）=c，产值Q(t)一般记为:F为待定函数对于固定的时刻t，上述关系可写作:为寻求F的函数形式，引入记号:每个劳动力的产值每个劳动力的投资模型假设:◆Z随着y的增加而增长,但增长速度递减.即简化假设表示为:yg(y)0（1）建立模型显然g(y)满足假设,因此Douglas生产函数1、道格拉斯（Douglas）生产函数柯布—道格拉斯生产函数31记:由Douglas生产函数可得:（4）更一般的Douglas生产函数(２)模型的性态Q具有的性质（3）弹性及意义可以解释为：是资金在产值中占有的份额，是劳动力在产值中占有的份额。于是，的大小直接反映了资金劳动力二者对于创造产值的轻重关系记:由Douglas生产函数可得:（4）更一般的Dougla322、资金与劳动力的最佳分配---问题2的解决假定资金来自贷款，利润为r每个劳动力需付工资为w那么，资金和劳动力创造的效率问题归结为求资金与劳动力的分配比例K/L（每个劳动力占有的资金），使效率S最大即为资金与劳动力的最佳分配，同时，我们可以发现，当和w变大、r变小的时候，分配比例K/L变大，这与常识是吻合的2、资金与劳动力的最佳分配假定资金来自贷款，利润为r每个333、劳动生产率增长的条件---问题3的解决这个模型讨论K（t），L（t）满足什么条件才能使Q（t），Z（t）保持增长？模型假设▲投资增长率与产值成正比（用一定比例扩大再生产）▲劳动力相对增长率为常数Bernoulli方程建立模型解为3、劳动生产率增长的条件这个模型讨论K（t），L（t）满足什34评注Douglas生产函数是计量经济学中重要的数学模型,在此给出它的简洁的建模过程.在这基础上讨论的资金与劳动力的最佳分配,是一个静态模型.而利用微分方程研究的劳动生产率增长的条件,是一个动态模型,虽然它的推导过程稍繁,但其结果却相当简明,并且可以给出合理的解释评注Douglas生产函数是计量经济学中重要的数学模型,在此35传染病模型传染病模型36随着卫生设施的改善、医疗水平的提高以及人类文明的不断发展，诸如霍乱、天花等曾经肆虐全球的传染性疾病已经得到有效的控制。但是一些新的、不断变异着的传染病毒却悄悄向人类袭来。20世纪80年代，十分险恶的爱滋病毒开始肆虐全球，至今仍在蔓延；2003年春来历不明的SARS病毒突袭人间，给人们的生命财产带来了极大的危害。长期以来，建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程，分析受感染人数的变化规律，探索制止传染病蔓延的手段等，一直是各国有关专家和官员关注的课题。不同类型传染病的传播过程有其各自不同的特点，弄清这些特点需要相当多的病理知识，这里不可能从医学的角度一一分析各种传染病的传播，而只是按照一般的传播机理建立几种模型。-----首先来看一种最简单的模型背景与问题随着卫生设施的改善、医37模型1设时刻t的病人人数x（t）是连续的并且每天每个病人有效接触的人数为常数，足以是使人致病的接触考察t到t+病人人数的增加，方程的解为：结果表明，随着t的增加，病人人数x（t）无限增长，这显然是不符合实际的建模失败的原因在于：在病人有效接触的人群中，有健康人也有病人，而其中健康人才可以被传染为病人，所以在改进的模型中必须区分这两类人。-----下面看修改假设后的模型当等式左右两边都取极限又记t=0时有个病人，即得微分方程：在短时间内x（t）没有很大的跳动，所以可以认为是可微的。故病人人数x（t）增加每天病人有效接触后增加的病人数左右两边同除以模型1设时刻t的病人人数x（t）是连续的常数38模型2假设条件为◆在疾病传播期内所考察地区的总人数N不变既不考虑生死，也不考虑迁移，人群分为易感染者（Susceptible）和已感染（Infective）两类，以下简称健康者和病人。时刻t这两类人在总人数中所占的比例分别记为s（t）和i（t）。因此，模型2也称为（SI模型）◆每个病人每天有效接触的平均人数是常数，当病人与健康者有效接触时，使健康者受感染变为病人。称为日接触率建立模型由假设，每个病人每天可使个健康者变为病人，因为病人数为，所以每天共有个健康者被感染，于是就是病人数的增加率，即有：又因为再记初始时刻（t=0）病人的比例为i0，则此方程为著名的Logistic模型，它的解为：模型2假设条件为39O1/21i图2SI模型的di/di～I曲线i1½i0otmt图1SI模型的i～t曲线模型解释通过图1和图2，我们可以发现，当i=1/2时达到最大值，这时病人增加得最快，可以认为是医院的门诊量最大的一天，预示着传染病高潮的到来，是医疗卫生部门关注的时刻，同时，表示该地区的卫生水平，它和tm成反比，越小卫生水平越高，所以，改善保健设施、提高卫生水平可以推迟传染病高潮的到来另外，通过分析，发现当时，即所有人最终将被传染，全变为病人，这显然是不符合实际情况的，其原因是模型中没有考虑到病人可以治愈，人群中的健康者只能变成病人，病人不会再变成健康者。-----接着我们来研究再次修改假设的模型O1/21i40模型3有些传染病如伤风、痢疾等愈后免疫力很低，可以假定无免疫性，于是病人被治愈后变成健康者，健康者还可以被感染再变成病人，所以这个模型称为SIS模型在前面2个模型的基础上，增加假设条件：◆每天被治愈的病人数占病人总数的比例为常数，病人治愈后成为仍可被感染的健康者，显然是这种传染病的平均传染期

建立模型定义日治愈率可知是整个传染期内每个病人有效接触的平均人数，称为接触数所以--下面，我们通过图形来分析i（t）的变化规律病人数Ni(t)的增加率=病人数-治愈后的人数模型3有些传染病如伤风、痢疾等愈后免疫力很低，可以SIS模型41Oi图3SIS模型的di/dt～i曲线io图5SIS模型的di/dt～i曲线oti图4SIS模型的i～t曲线oit图6SIS模型的i～t曲线病人数越来越少，最终趋于零病人的增加率先增加再降低，最后趋于零病人数逐渐增加，最终趋于一个稳定的数

病人的增长率一直是个负增长通过比较图形，我们不难看出：当时i（t）的增减性取决于的大小（见图4），但其极限值随的增加而增加；当时病人比例i（t）越来越小，最终趋于零，这是由于传染期内经有效接触从而使健康者变成的病人数不超过原来病人数的缘故其中SI可视为本模型的特例O42模型4很多传染病治愈后有免疫性——病人治愈后即非病人，也非健康人，他们退出感染系统，称移出者（Removed)SIR模型假设1）总人数N不变，病人、健康人和移出者的比例分别为2）病人的日接触率,日治愈率,传染期接触数=/建模需建立的两个方程模型4很多传染病治愈后有免疫性——病人治愈后即非病人，也非健43模型4SIR模型无法求出的解析解在相平面上研究解的性质模型4SIR模型无法求出在相平面44模型4消去dtSIR模型相轨线的定义域相轨线11si0D在D内作相轨线的图形，进行分析模型4消去dtSIR模型相轨线的定义域45si101D模型4SIR模型相轨线及其分析传染病蔓延传染病不蔓延s(t)单调减相轨线的方向P1s0imP1:s0>1/i(t)先升后降至0P2:s0<1/

i(t)单调降至01/~阈值P3P4P2S0si101D模型4SIR模型相轨线及其分46模型4SIR模型预防传染病蔓延的手段(日接触率)卫生水平(日治愈率)医疗水平传染病不蔓延的条件——s0<1/的估计降低s0提高r0提高阈值1/降低(=/),群体免疫模型4SIR模型预防传染病蔓延的手段(日接触率)47模型4SIR模型被传染人数的估计记被传染人数比例x<<s0i0P1i00,s01小,s01提高阈值1/降低被传染人数比例xs0-1/=模型4SIR模型被传染人数的估计记被传染人数比例x<<s0i48微分方程模型---正规战与游击战微分方程模型---正规战与游击战49正规战与游击战战争分类：正规战争，游击战争，混合战争只考虑双方兵力多少和战斗力强弱兵力因战斗及非战斗减员而减少，因增援而增加战斗力与射击次数及命中率、战争的类型有关建模思路和方法为用数学模型讨论社会领域的实际问题提供了可借鉴的示例第一次世界大战Lanchester提出预测战役结局的模型忽略了经济、政治、社会等因素，正规战与游击战战争分类：正规战争，游击战争，混合战争只考虑双50一般模型每方战斗减员率取决于双方的兵力和战斗力由表示每方非战斗减员率与本方兵力成正比甲乙双方的增援率为u(t),v(t)f,g

取决于战争类型x(t)~甲方兵力，y(t)~乙方兵力模型假设模型一般模型每方战斗减员率取决于双方的兵力和战斗力每方非战斗51正规战争模型甲方战斗减员率只取决于乙方的兵力和战斗力双方均以正规部队作战忽略非战斗减员假设没有增援f(x,y)=ay,a~乙方每个士兵的杀伤率a=rypy,ry~射击率，

py~命中率正规战争模型甲方战斗减员率只取决于乙方的兵力和战斗力双方均520正规战争模型为判断战争的结局，不求x(t),y(t)而在相平面上讨论x与y的关系平方律模型乙方胜0正规战争模型为判断战争的结局，不求x(t),y(t)而在53游击战争模型双方都用游击部队作战甲方战斗减员率还随着甲方兵力的增加而增加忽略非战斗减员假设没有增援f(x,y)=cxy,c~乙方每个士兵的杀伤率c=rypyry~射击率py~命中率py=sry/sxsx~甲方活动面积sry~乙方射击有效面积游击战争模型双方都用游击部队作战甲方战斗减员率还随着甲方兵540游击战争模型线性律模型0游击战争模型线性律模型550混合战争模型甲方为游击部队，乙方为正规部队乙方必须10倍于甲方的兵力设x0=100,rx/ry=1/2,px=0.1,sx=1(km2),sry=1(m2)0混合战争模型甲方为游击部队，乙方为正规部队乙方必须10倍于56微分方程模型微分方程模型57

引言

在研究某些实际问题时，经常无法直接得到各变量之间的联系，问题的特性往往会给出关于变化率的一些关系。利用这些关系，我们可以建立相应的微分方程模型。在自然界以及工程技术领域中，微分方程模型是大量存在的。它甚至可以渗透到人口问题以及商业预测等领域中去，其影响是广泛的。

58一、数学建模的基本思维过程

转化实际问题1、对要讨论的问题所涉及的重要特征进行合理的数学刻画（转化），即用数学语言对问题涉及到的重要特征进行表述.2、寻求实际问题的文字叙述，利用一些原则或定律，将其转化为数学描述。3、解数学问题用数学工具求解得到的数学问题。一、数学建模的基本思维过程转化实际问题2、寻求实59二、微分方程模型

涉及“改变”、“变化”、“增加”、“减少”、“衰变”、“边际”、“速度”、“运动”、“追赶”、“逃跑”、等等词语的确定性连续问题。

b、微分方程建模的基本手段

微元法等a、微分方程建模的对象

二、微分方程模型涉及“改变”、“变化”、“增加601、寻找改变量一般说来微分方程问题都遵循这样的文字等式变化率（微商）=单位增加量--单位减少量等式通常是利用已有的原则或定律。c、微分方程建模的基本规则2、对问题中的特征进行数学刻画1、寻找改变量一般说来微分方程问题都遵循这样的文字等式c、613、用微元法建立微分方程；4、确定微分方程的定解条件（初边值条件）；5、求解或讨论方程（数值解或定性理论）；6、模型和结果的讨论与分析。3、用微元法建立微分方程；62一阶微分方程求解1.一阶标准类型方程求解关键:辨别方程类型,掌握求解步骤2.一阶非标准类型方程求解(1)变量代换法——代换自变量代换因变量代换某组合式(2)积分因子法——选积分因子,解全微分方程四个标准类型:可分离变量方程,齐次方程,线性方程,全微分方程一阶方程复习一阶微分方程求解1.一阶标准类型方程求解关键:辨别63一、两类二阶微分方程的解法

1.可降阶微分方程的解法—降阶法令令逐次积分求解一、两类二阶微分方程的解法1.可降阶微分方程的解法—642.二阶线性微分方程的解法

常系数情形齐次非齐次代数法(特征方程，待定系数）

欧拉方程化为常系数情形2.二阶线性微分方程的解法常系数情形齐次非齐次代数法(65当我们描述实际对象的某些特性随时间（或空间）而演变的过程、分析它的变化规律、预测它的未来性态，研究它的控制手段时，通常要建立对象的动态模型。本章的模型是分析具体情况或进行类比给出假设条件，作出不同的假设，得到不同的方程，所以是事先没有答案的。求解结果还要用来解释实际现象并接受检验。

微分方程模型案例一、人口的预测和控制二、经济增长模型三、传染病模型四、正规战与游击战当我们描述实际对象的某些特性随微分方程模型案例66一、人口的预测和控制一、人口的预测和控制671问题的提出

人口问题是当今世界上最令人关注的问题之一，一些发展中国家的人口出生率过高，越来越威胁着人类的正常生活，有些发达国家的自然增长率趋于零，甚至变为负数，造成劳动力紧缺，也是不容忽视的问题。另外，在科学技术和生产力飞速发展的推动下，世界人口以空前的规模增长，统计数据显示：年16251830193019601974198719992011人口（亿）5102030405060701问题的提出人口问题是当今世界上最令人关注的68

可以看出，人口每增长十亿的时间，由一百年缩短为十二三年。我们赖以生存的地球，已经带着它的60亿子民踏入了21世纪。

长期以来，人类的繁衍一直在自发地进行着。只是由于人口数量的迅速膨胀和环境质量的急剧恶化，人们才猛然醒悟，开始研究人类和自然的关系，人口数量的变化规律，以及如何进行人口控制等问题。

可以看出，人口每增长十亿的时间，由一百年缩短为69

我国是世界第一人口大国，地球上每九个人中就有二个中国人，在20世纪的一段时间内我国人口的增长速度过快，如下表：年19081933195319641982199020002009人口（亿）3.04.76.07.210.311.312.9513.35

有效地控制人口的增长，不仅是使我国全面进入小康社会、到21世纪中叶建成富强民主文明的社会主义国家的需要，而且对于全人类社会的美好理想来说，也是我们义不容辞的责任。我国是世界第一人口大国，地球上每九个人中就有二70

认识人口数量的变化规律，建立人口模型，作出较准确的预报，是有效控制人口增长的前提，下面介绍两个最基本的人口模型。2.模型1(Malthus模型)18世纪末，英国人Malthus在研究了百余年的人口统计资料后认为，在人口自然增长的过程中，净相对增长率（出生率减去死亡率为净增长率）是常数。认识人口数量的变化规律，建立人口模型，作出较准确71微分方程模型建模辅导课件72微分方程模型建模辅导课件73微分方程模型建模辅导课件74返回返回75

这个模型可以与19世纪以前欧洲一些地区的人口统计数据很好地吻合，但是当后来人们用它与19世纪的人口资料比较时，却发现了相当大的差异。人们还发现，迁往加拿大的法国移民后代的人口比较符合指数增长模型。而同一血统的法国本土居民人口的增长却与指数模型大相径庭。这个模型可以与19世纪以前欧洲一些地区的人口统计数据76分析表明，以上这些现象的主要原因是随着人口的增长，自然资源，环境条件等因素对人口增长的限制作用越来越显著。人口较少时，人口的自然增长率基本上是常数，而当人口增加到一定数量以后，这个增长率就要随着人口的增加而减少。因此，我们将对指数模型关于净相对增长率是常数的基本假设进行修改。2.5模型修改分析表明，以上这些现象的主要原因是随着人口的增77微分方程模型建模辅导课件78返回返回79微分方程模型建模辅导课件80微分方程模型建模辅导课件81

这个模型称为Logistic模型，其结果经过计算发现与实际情况比较吻合。

图：这个模型称为Logistic模型，其结果82进一步的模型

在前面我们介绍了人口的指数模型和Logistic模型，这些模型只考虑人口总数和总的增长率，不涉及年龄结构。事实上，在人口预测中人口按年龄分布状况是十分重要的，因为不同年龄人的生育率和死亡率有着很大的差别。两个国家或地区目前人口总数一样，如果一个国家或地区年轻人的比例高于另一国家或地区，那么二者人口的发展状况将大不一样。因此，既要考虑时间，又要考虑人口年龄。模型假设：1、只考虑出生与死亡，不考虑迁移等因素对人的影响。2、t表示时间，r（≥0）表示年龄，rm为人的最高年龄，t和r均为连续变量3、为时刻t年龄r的人的死亡率进一步的模型在前面我们介绍了人口的指数模型和83建立模型1、人口的分布函数和密度函数时刻t年龄小于r的人口称为人口分布函数，记作可以假设F是连续可微函数。时刻t的人口总数记为N（t），则有人口的密度函数定义为表示时刻t年龄在区间[r，r+dr）内的人数2、死亡人数的表示表示时刻t年龄在[r，r+dr）内单位时间死亡3、建立模型考察时刻t年龄在[r，r+dr）内的人到时刻t+dt的情况，他们中活着的那一部分人的年龄变为[r+dr1，r+dr+dr1），这里dr1=dt。而在[t，t+dt）这段时间死亡的人数为于是有：注意到dr1=dt就可以得到：这是人口密度函数p（r，t）的一阶偏微分方程，其中死亡率为已知函数从这个方程确定出密度函数p（r，t）以后，立即可以得到各个年龄的人口数即人口分布函数建立模型1、人口的分布函数和密度函数时刻t84微分方程模型---经济增长模型微分方程模型---经济增长模型85发展经济、提高生产力主要有以下手段:增加投资、增加劳动力、技术革新.1、建立产值与资金、劳动力之间的关系;2、研究资金与劳动力的最佳分配，使投资效益最大;3、调节资金与劳动力的增长率，使经济（劳动生产率）得到有效的增长.本节的模型将解决以下三个问题：这里暂不考虑技术革新的作用,一是因为在经济发展的初期或者在不太长的时期内,技术相对稳定,二是由于技术革新量化比较困难.背景与问题发展经济、提高生产力主要有以下手段861、道格拉斯（Douglas）生产函数－－－问题1的解决柯布—道格拉斯生产函数是生产函数的一种特殊形式，是由美国数学家柯布（C.W.Cobb）和经济学家道格拉斯（P.H.Douglas）于20世纪30年代提出来的，所以，这种函数被称为柯布-道格拉斯生产函数。符号化:资金K（t），劳动力L（t），技术f（t）=c，产值Q(t)一般记为:F为待定函数对于固定的时刻t，上述关系可写作:为寻求F的函数形式，引入记号:每个劳动力的产值每个劳动力的投资模型假设:◆Z随着y的增加而增长,但增长速度递减.即简化假设表示为:yg(y)0（1）建立模型显然g(y)满足假设,因此Douglas生产函数1、道格拉斯（Douglas）生产函数柯布—道格拉斯生产函数87记:由Douglas生产函数可得:（4）更一般的Douglas生产函数(２)模型的性态Q具有的性质（3）弹性及意义可以解释为：是资金在产值中占有的份额，是劳动力在产值中占有的份额。于是，的大小直接反映了资金劳动力二者对于创造产值的轻重关系记:由Douglas生产函数可得:（4）更一般的Dougla882、资金与劳动力的最佳分配---问题2的解决假定资金来自贷款，利润为r每个劳动力需付工资为w那么，资金和劳动力创造的效率问题归结为求资金与劳动力的分配比例K/L（每个劳动力占有的资金），使效率S最大即为资金与劳动力的最佳分配，同时，我们可以发现，当和w变大、r变小的时候，分配比例K/L变大，这与常识是吻合的2、资金与劳动力的最佳分配假定资金来自贷款，利润为r每个893、劳动生产率增长的条件---问题3的解决这个模型讨论K（t），L（t）满足什么条件才能使Q（t），Z（t）保持增长？模型假设▲投资增长率与产值成正比（用一定比例扩大再生产）▲劳动力相对增长率为常数Bernoulli方程建立模型解为3、劳动生产率增长的条件这个模型讨论K（t），L（t）满足什90评注Douglas生产函数是计量经济学中重要的数学模型,在此给出它的简洁的建模过程.在这基础上讨论的资金与劳动力的最佳分配,是一个静态模型.而利用微分方程研究的劳动生产率增长的条件,是一个动态模型,虽然它的推导过程稍繁,但其结果却相当简明,并且可以给出合理的解释评注Douglas生产函数是计量经济学中重要的数学模型,在此91传染病模型传染病模型92随着卫生设施的改善、医疗水平的提高以及人类文明的不断发展，诸如霍乱、天花等曾经肆虐全球的传染性疾病已经得到有效的控制。但是一些新的、不断变异着的传染病毒却悄悄向人类袭来。20世纪80年代，十分险恶的爱滋病毒开始肆虐全球，至今仍在蔓延；2003年春来历不明的SARS病毒突袭人间，给人们的生命财产带来了极大的危害。长期以来，建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程，分析受感染人数的变化规律，探索制止传染病蔓延的手段等，一直是各国有关专家和官员关注的课题。不同类型传染病的传播过程有其各自不同的特点，弄清这些特点需要相当多的病理知识，这里不可能从医学的角度一一分析各种传染病的传播，而只是按照一般的传播机理建立几种模型。-----首先来看一种最简单的模型背景与问题随着卫生设施的改善、医93模型1设时刻t的病人人数x（t）是连续的并且每天每个病人有效接触的人数为常数，足以是使人致病的接触考察t到t+病人人数的增加，方程的解为：结果表明，随着t的增加，病人人数x（t）无限增长，这显然是不符合实际的建模失败的原因在于：在病人有效接触的人群中，有健康人也有病人，而其中健康人才可以被传染为病人，所以在改进的模型中必须区分这两类人。-----下面看修改假设后的模型当等式左右两边都取极限又记t=0时有个病人，即得微分方程：在短时间内x（t）没有很大的跳动，所以可以认为是可微的。故病人人数x（t）增加每天病人有效接触后增加的病人数左右两边同除以模型1设时刻t的病人人数x（t）是连续的常数94模型2假设条件为◆在疾病传播期内所考察地区的总人数N不变既不考虑生死，也不考虑迁移，人群分为易感染者（Susceptible）和已感染（Infective）两类，以下简称健康者和病人。时刻t这两类人在总人数中所占的比例分别记为s（t）和i（t）。因此，模型2也称为（SI模型）◆每个病人每天有效接触的平均人数是常数，当病人与健康者有效接触时，使健康者受感染变为病人。称为日接触率建立模型由假设，每个病人每天可使个健康者变为病人，因为病人数为，所以每天共有个健康者被感染，于是就是病人数的增加率，即有：又因为再记初始时刻（t=0）病人的比例为i0，则此方程为著名的Logistic模型，它的解为：模型2假设条件为95O1/21i图2SI模型的di/di～I曲线i1½i0otmt图1SI模型的i～t曲线模型解释通过图1和图2，我们可以发现，当i=1/2时达到最大值，这时病人增加得最快，可以认为是医院的门诊量最大的一天，预示着传染病高潮的到来，是医疗卫生部门关注的时刻，同时，表示该地区的卫生水平，它和tm成反比，越小卫生水平越高，所以，改善保健设施、提高卫生水平可以推迟传染病高潮的到来另外，通过分析，发现当时，即所有人最终将被传染，全变为病人，这显然是不符合实际情况的，其原因是模型中没有考虑到病人可以治愈，人群中的健康者只能变成病人，病人不会再变成健康者。-----接着我们来研究再次修改假设的模型O1/21i96模型3有些传染病如伤风、痢疾等愈后免疫力很低，可以假定无免疫性，于是病人被治愈后变成健康者，健康者还可以被感染再变成病人，所以这个模型称为SIS模型在前面2个模型的基础上，增加假设条件：◆每天被治愈的病人数占病人总数的比例为常数，病人治愈后成为仍可被感染的健康者，显然是这种传染病的平均传染期

建立模型定义日治愈率可知是整个传染期内每个病人有效接触的平均人数，称为接触数所以--下面，我们通过图形来分析i（t）的变化规律病人数Ni(t)的增加率=病人数-治愈后的人数模型3有些传染病如伤风、痢疾等愈后免疫力很低，可以SIS模型97Oi图3SIS模型的di/dt～i曲线io图5SIS模型的di/dt～i曲线oti图4SIS模型的i～t曲线oit图6SIS模型的i～t曲线病人数越来越少，最终趋于零病人的增加率先增加再降低，最后趋于零病人数逐渐增加，最终趋于一个稳定的数

病人的增长率一直是个负增长通过比较图形，我们不难看出：当时i（t）的增减性取决于的大小（见图4），但其极限值随的增加而增加；当时病人比例i（t）越来越小，最终趋于零，这是由于传染期内经有效接触从而使健康者变成的病人数不超过原来病人数的缘故其中SI可视为本模型的特例O98模型4很多传染病治愈后有免疫性——病人治愈后即非病人，也非健康人，他们退出感染系统，称移出者（Removed)SIR模型假设1）总人数N不变，病人、健康人和移出者的比例分别为2）病人的日接触率,日治愈率,