力学第九章 振动

Mechanics

力学12Chap.9Oscillation振动3

振动是物质的普遍运动形式。

振动：某物理量在某一值附近作周期性变化机械振动：物体在平衡位置附近的重复往返运动电磁振动（荡）：电场、磁场随时间作周期性变化。

简谐振动（运动）：最简单、最基本的运动。

各种复杂振动都可以看作若干简谐振动的合成4§9-1简谐振动的动力学特征（1）在怎样的力（或力矩）作用下，物体作简谐振动。（2）根据力（或力矩）和运动的关系，求出简谐振动的动力学方程。5公式：是相对于平衡位置的位移。

3.

简谐振动

质点在线性回复力作用下围绕平衡位置的运动。i.

基本概念

1.

平衡位置(equilibriumposition)

质点在某位置所受的力（或沿运动方向受的力）等于零，该位置即为平衡位置。

2.

线性回复力(linearreinstatingforce)

若作用于质点的力与质点相对于平衡位置的位移（线位移或角位移）成正比，且指向平衡位置，则此作用力称作线性回复力。

6ii、简谐振动的几个例子1.

弹簧振子如图示：弹簧自由伸展时，滑块的位置为原点（即平衡位置），x

表示位移：7由牛顿第二定律：令，可得到如下二阶常系数齐次线性方程：弹簧振子作简谐振动的动力学方程。82.单摆

mgFTlo'oθ不可伸长的轻线悬一小球，小球在竖直平面内沿圆弧摆动，且摆动中相对于悬线竖直位置的角位移θ很小9由牛顿第二定律：令单摆简谐振动的动力学方程10Ixyφ3.扭摆

金属丝上端固定，下端连接匀质圆盘中心。建立坐标系O-xyz,圆盘绕z轴转过小角度φ释放，圆盘绕

z轴扭动不止。扭转力矩：11由刚体定轴转动定理扭摆简谐振动的动力学方程12Summary：物体在线性回复力作用下作简谐振动。或在线性回复力矩作用下作简谐振动。或者运动物体具有上述动力学微分方程*13例：不计阻力和弹簧质量，试证明竖直弹簧振子的运动也是简谐振动ΔloxFmg证明：在平衡位置,取为原点o回复力：所以与水平弹簧振子一样也是简谐振动动力学方程为*14§9-2

简谐振动的运动学

i、运动学方程方程的解为：上式就是简谐振动的运动学方程，该式又是周期函数，故简谐振动是围绕平衡位置的周期运动。ω0由振动系统本身决定，α和A由振动的初始条件决定，x可以是线位移，也可以是角位移解的正确性可进行验证:*15ii、物理量1.周期（T）:完成一次全振动所用的时间弹簧振子：单摆：扭摆：*162.

频率（）单位时间内完成的全振动的次数：

的含义：个单位时间内完成的全振动的次数，即圆频率。3.振幅(A)定义：物体离开平衡位置的最大位移的绝对值。振幅可以由初始条件决定。如：t=0时刻，*174.

相位振动系统的状态指：任意瞬时的位移和速度。但仅知振幅,频率还不够，还须知道才能完全决定系统的运动状态。叫简谐振动的相位。当 时，叫初相位。*18由：可得：若已知初始条件：t=0时，有：*19相位差：两振动相位之差。讨论：（1）若是的整数倍，则振动同相位；（2）若是的奇数倍，则振动相位相反；（3）若，则称超前；（4）若，则称落后；相位差的不同，表明二振动有不同程度的参差错落，振动步调不同。*2021例:讨论振动的位移，速度和加速度之间的相位关系。解：设：则，所以：速度的位相比位移的位相超前；加速度的位相比速度的位相超前；加速度的位相比位移的位相超前。22总结：

⑴简谐振动是周期性运动；⑵简谐振动各瞬时的运动状态由振幅A、频率及初相位决定，或者说，由振幅和相位决定。⑶简谐振动的频率是由振动系统本身固有性质决定的，而振幅和初相位不仅决定于系统本身性质，而且取决于初始条件。*23iii、相平面相轨迹

相平面表示：Aω0Axv

相平面：用质点坐标和速度建立的坐标系相轨迹(相图):质点运动状态在相平面上代表点移动的曲线24例题、已知物体作简谐运动的图线，试根据图线写出其振动方程*25解：方法Ⅰ设振动方程为由图知，又由图知所以则得*26由图知所以∴取由此得振动方程27§9-3

简谐振动的能量转换

简谐振动系统只有保守内力做功，因此，动能和势能互相转换，总机械能保持不变。弹簧振子系统的动能和势能分别为：故，弹簧振子的总能为：*28oxlmsmdlL例题：已知弹簧原长L，质量ms，劲度系数k，振子质量m

，设弹簧质量及形变沿x

轴均匀分布，计算弹簧振子系统的固有频率。解：以弹簧自由伸长处为原点建立Ox坐标轴。在距固定端l

处取一线元dl

，振子位移为x

时，dl相对固定端的位移为，速度为，动能为*29整个弹簧的动能：其中，，称为弹簧的等效质量水平弹簧振子的总质量相当于M=m+m',所以振子的固

有频率为：整个振动系统的动能：*30§9-4

简谐振动的合成i、同方向同频率简谐振动的合成设质点参与同方向同频率的两个简谐振动：合振动：31

两个同方向同频率简谐运动合成后仍为同频率的简谐运动32（1）若相位差，即同相位，则：，振幅最大；（3）一般情况下，振幅A介于与之间。同方向同频率简谐振动的原理，在光波、声波等的干涉和衍射中很有用。讨论

（2）若相位差，即反相位，

则：

，振幅最小；

33ii、同方向、不同频率简谐振动的合成m,n为整数，m≠n用x-t图像合成最方便如：T1=2s,T2=3sx1t2sx2t3sxt6s结论：合振动不是简谐振动，但有周期性，合振动周期为两个分振动周期的最小公倍数34⒉两个分振动频率很高,又非常接近,即由于则：的周期远大于的周期。35令：可以看作：振幅按照缓慢变化的，而圆频率等于的准简谐振动。即：振幅有周期变化的简谐振动。调制圆频率

36平均圆频率

令：

合振动为圆频率等于平均圆频率的“简谐振动”，其振幅作缓慢的周期变化。37拍：振动方向相同，频率之和远大于频率之差的两个简谐振动合成时，合振动振幅周期变化的现象叫拍。合振动变化一个周期叫一拍；单位时间内拍出现的次数叫拍频。不论达到正的最大或负的最大，对加强振幅来说，都是等效的，因此拍的圆频率为：拍频：3839问题：若二分振动的振幅不同，但初位相仍都为零，则合振动仍会形成拍吗？？40iii、互相垂直、同频率简谐振动的合成

二分振动方程如下：合成的振动表示：质点既沿x

轴运动，又沿y

轴运动，实际上在平面上运动。上式中消去时间t，得质点运动的轨迹：此为一椭圆的轨迹方程，椭圆的形状大小及长短轴方位由振幅和以及初位相差所决定。41讨论：1.分振动相位相同或相反时①

相位相同，即：或。则轨迹方程成为：合振动的轨迹为过原点且在一、三象限的直线42此时合振动也是简谐振动，与分振动频率相同，但振幅为②相位相反，即：合振动的轨迹为过原点，且在二、四象限的直线表明：合振动也是简谐振动，与分振动频率相同。432.

相位差为时，合振动的轨迹为以x

和y

轴为轴的椭圆。若，即x

方向的振动比y

方向的振动超前，即：44若，即y

方向的振动比x

方向的振动超前，即：3.

振幅相等，频率相同，相位差为时合振动的轨迹为一圆周运动：总之：两振动方向垂直、频率相同的简谐振动，合振动的轨迹为直线、圆或椭圆，轨迹的形状和运动方向由分振动的振幅和相位差决定。45iv、互相垂直、不同频率简谐振动的合成

一般来说，互相垂直的分振动频率不同的条件下，合振动的轨迹不能形成稳定的图案。但如果分振动的频率成整数比，则合振动的轨迹为稳定的曲线