力学第十一章 流体力学

Mechanics

力学12Chap.11

FluidMechanics

流体力学3

流体包含气体和液体，可以发生形状和大小的改变

研究流动的规律以及它与固体的相互作用

液体和气体：只有体积压缩弹性，没有拉伸弹性和剪切弹性，具有流动性4§11.1

理想流体(idealfluid)

当流体流动时，各流层之间存在着阻碍相对运动的内摩擦力，这就是流体的粘性。例如，河流中心流层流动最快，越靠近河岸流动越慢，岸边水几乎不流动，这种现象就是由于流层间存在内摩擦力造成的1.粘性(viscosity)v5

在研究流体问题时，如果流体的可压缩性、粘性处于极次要地位，就可把实际流体视为理想流体，从而使问题变得简单2.理想流体(idealfluid)

理想流体就是不可压缩、无粘性的流体⒊流体体元的特点在流体力学中，常谈到流体体元、流体微元或流体质点，这里说的体元、微元、质点，都具有宏观小、微观大的特点，就是说它们相对整个流体极小，但相对分子、原子来说却是很大。6§11.2Pressureinstaticfluids

静止流体内的压强i、静止流体内一点的压强液体内部各部分的相互作用力，取一假想截面正压力：与假想截面垂直的分力；剪应力(内摩擦力)：与假想截面平行的分力。静止流体内部无剪应力。xyzΔxΔyΔlΔSΔFΔS：假想面元的面积ΔF：通过面元两侧流体相互压力的大小7与无穷小假想面元dS相对应的压强可证：压强与无穷小面元方向无关证明：取体元据平衡条件:yxαPnΔnΔlPyΔxΔlαPxΔyΔlwxyzΔxΔyΔlΔSΔFΔn8因此，静止流体内的压强是与空间点对应的，与无穷小面元方向无关,这就是点压强的概念。这一结论也适用于非惯性系和流动的理想流体。9ii、静止流体内不同空间点压强的分布⒈等高各点压强相等体积力：力作用于流体体元全部体积上，重力等。面积力：力作用于包围体元的假想截面上，压力等。yzx10表明：流体内等高各点压强相等,

即等压面与体积力方向垂直。⒉压强沿体积力方向的分布yzx11如有自由表面，令p2=p0，p1=p，则p=p0+ρgh

12例1：求大气压随高度的变化规律。设g为恒量，大气密度与压强成正比，即，为海平面大气的密度和压强。解:以海平面为原点建立图示坐标o-y13例2：已知坝长

L=1088m，水深H=5m，不计大气压，求水对坝的水平推力。(不计大气压)解：如图所示，取长为L,宽为dl的狭长面元，该面元受力dF=ρghLdl，方向垂直该面元dF在水平方向的分力：dFdFdF水平dlh,dhH0ααy14坝受水平推力15[例3]阿基米德原理为：物体在流体中所受浮力等于该物体排开流体的重量.证明之.hpdS浮力[解]16iii.相对非惯性系(noninertialframe)静止的流体内的压强mgFyaαdyma油罐车沿水平方向以加速度a行驶，以车为参考系，油静止.求油中压强分布在油中取一质量为m的体元，它受重力mg和惯性力ma的作用合力,F与竖直方向成α角，17它相对车静止，必定还受一压力作用，方向与F方向相反，因此，等压面与F方向垂直，与水平方向成α角沿与F相反方向建立坐标o-y，设体元m：高为dy，面积Δs的圆柱，则积分得：18[例4]

水桶绕铅直轴以角速度匀速转动。设水因黏性而完全随桶一起运动.求水的自由表面达到稳定时的形状.[解]

已知条件如图.建立坐标系如右图.任取一质元，xFNmg等压面19积分求解，得20§11.3Kinematicsoffluid

流体运动学i.研究流体运动学的两种方法及相关概念⒈拉格朗日(J.L.Lagrange)的追踪法流体微元的运动轨迹叫流迹(orbitofflow)，不同微元，由于初始条件不同，流迹也不同追踪每个流体微元的运动，根据动力学方程和初始条件求得微元的运动学方程和运动轨迹。21⒉欧拉(L.Euler)的速度场法这种研究方法把注意力放在流体流动的空间，观察各个流体微元经过空间各点的流速(fluidvelocity)，每一点都对应一个流速矢量，这些流速矢量构成流速场。定常流动:

空间各点流速不随时间而变,即22流线(stream-line)：在流速场中画一些曲线，使曲线上每点切线方向与该点的流速方向相同，这些曲线就叫流线。流线不能相交，在一般情况下，流线分布随时间而变化，只有在定常流动中，流线分布才不随时间而变化流线才会与流迹重合。23

流管(tubeofflow)：在流速场中,一束流线组成的细管就叫流管,管内外流体不通过管壁，一般流管形状随时间而变化，只有在定常流动中，流管形状才不随时间变化24一般流线分布随时间改变，流迹并不与流线重合.定常流动空间各点流速不随时间变化称定常流动.

在定常流动中流线分布不随时间改变，流线与流迹相重合.25ii.流体的连续性方程(equationofcontinuity)V1ΔS1V2ΔS2在不可压缩流体定常流动的流速场中,任取一细流管，由于体积不可压缩，流管形状不随时间变化，流迹与流线重合，所以单位时间通过截面ΔS1的流体体积与通过截面ΔS2的流体体积必然相等。表明：截面大处，流速小，流线疏；截面小处，流速大，流线密。流管的特殊性26单位时间内通过某截面的流体体积Q=vΔS，又叫作通过该截面的流量(volumeflowrate)，因此，连续性方程可表述为：当不可压缩流体做定常流动时，沿一流管，流量守恒无源场：有源场：27§11.4

伯努利方程(Bernoulli’sequation)理想流体应用质点系功能原理推导出来的结果.

讨论在惯性系中理想流体在重力场中作定向流动时一流线上的压强.1.运动流体压强没内部势能28i.无粘性流体流动时一空间点的压强流体微元处于运动状态,加速度a.由牛顿第二定律,得：xαPnΔnΔlPyΔxΔlαPxΔyΔlwyxyzΔxΔyΔlΔSΔFΔn29令可得到对于无粘性运动流体，其内部任一点处不同方位无穷小有向面元上的压强可沿用静止流体内一点压强的概念.同无流动情况：每个点的压强从每个面方向来定义都是相等的！30类比情况：x定义在复平面上，此时微分的定义？因为x在复平面上，可以从各个方向趋向于x0：31含时非同点情况：伯努利方程的推导在定常流动理想流体中取一细流管,任选ab这一段流体,在Δt时间内移动到a',b'，(12)改为p1’改为p2’32应用质点系功能原理流体微元动能增量流体微元势能增量能量守恒内部势能没变化33只有作用于微元前后两底面的压力做功因理想流体不可压缩，依连续原理,得因此假定的一段流体密度没变体积没变34注：考虑因为流动导致前后外压力不一致而做的功。由上面，知道，压强只与空间点有关。p(x,y)流管路径l

35(伯努利方程)结论:在惯性系中,当理想流体在重力作用下作定常流动时,一定流线上(或细流管内)各点的量为一恒量.36注：这里关系式的推导是采用欧拉方法，也可以采用拉格朗日方法，应用F=ma推导出动力学方程，也既书上p395页注。感兴趣的话，可以推导下，然后应用该动力学方程，可以再推导出上面关系式。37讨论：在一般情况下，这一恒量对不同流线是不相同的。但是，如果各流线均来自速度矢量相同的空间，则此恒量对所有流线都是相同的PAPB证明：虚框内空间各点流速大小、方向都相同，取图示柱形流体，由平衡条件38取B点所在高度重力势能为零点，39例：文特利(Venturi)流量计原理P1,S1,v1P2,S2,v2hP1'P2'解：取图示流线上两点，由伯努利方程有由连续性方程有水银40由压强公式：,流量：所以，根据h，即可求出流速和流量求得流动水平竖直上下压强分布同静止见p10分析41[例题2]

皮托(Pitot)管原理。皮托管常用来测量气体的流速。如图，开口1和1’与气体流动的方向平行，开口2则垂直于气体流动的方向。两开口分别通向U型管压强计的两端，根据液体的高度差便可求出气体的流速。

已知气体密度为，液体密度为液，管内液面高度差为h，求气体流速。气体沿水平方向，皮托管亦水平放置。空气视作理想流体，并相对于飞机作定常流动。12h2’1’42[解]对于1、2两点说来因h1-h2较小，有43例：求小孔流速解：由于容器线度远大于小孔，在短时间内可视为理想流体定常流动,且vA<<vB,可认为vA=0

由伯努利方程：ABhρP0,vP0,v≈044§11.5流体的动量和角动量§11.5.1流体的动量§11.5.2流体和角动量不做要求45§11.5流体的动量和角动量§11.5.1流体的动量

设理想流体沿弯管定常流动。取横截面a1和a2间的流体为研究对象，在t时间内动量的增量为由质点系的动量定理46和连续性方程定常流动为恒力.不计流体重力47水流对变管的作用力

说明流体经弯管改变流动方向时，将对弯管作用以压力.48§11.5.2流体和角动量AB’AB如图，大容器下有小口，往里供水。流体微团对圆筒中轴线的角动量守恒，设液面高度差为h

按伯努力方程有由连续性方程知，即液面不可能保持水平，故中间必下降并呈漏斗状.49§11.6黏性流体的运动§11.6.1黏性定律§11.6.2雷诺数§11.6.3层流和湍流§11.6.4泊肃叶公式§11.6.5不可压缩黏性流体定常流动的功能关系50§11.6黏性流体的运动§11.6.1黏性定律xyzO粘滞现象——流体运动时，层与层之间有阻碍相对运动的现象.速度梯度与流速垂直方向上流速对空间平均变化率51实验规律F为流体内面元两侧相互作用的黏性力，为黏度,与物质材料、温度和压强有关.52§11.6.2雷诺数定义和分别表示流体的密度和黏度，v为特征流速，L表示流动涉及的特征长度.雷诺数的动力相似判据：两种流动,只要雷诺数相同,其动力学性质也相似.53§11.6.3层流和湍流层流(片流)——各层互不相扰的分层流动.湍流——流动具有混杂、紊乱的特征.层流和湍流可用雷诺数判定，Re临为临界雷诺数，Re<Re临——层流Re>Re临——湍流54§11.6.4泊肃叶公式粘性流体在管道内流动,层流流速v与半径r的关系被观测管长l，被观测管长两端压强p1，p2(p1>p2)R圆管半径.流量——泊肃叶公式p1p2lR55§11.6.5不可压缩黏性流体定常流动的功能关系w12表示单位体积流体微团沿流管自1运动至2的能量损失.不可压缩黏性流体作定常流动的功能关系(1)水平管道的定常流动56流量由泊肃叶公式得(2)管内为湍流实验证明决定于管的长度、直径、雷诺数及管壁的粗糙程度.57§11.7固体在流体中受到的阻力§11.7.1黏性阻力·密立根油滴实验§11.7.2涡旋的产生·压差阻力§11.7.3兴波阻力58§11.7固体在流体中受到的阻力§11.7.1黏性阻力·密立根油滴实验当雷诺数Re<<1时，球形物体受到黏性阻力v为球体运动速度，r