质点运动学典型例题2

质点运动学典型例题 2求解风吹气球时气球的运动情况一气球以速率V0从地面上升，由于风的影响，气球的水平速度按Vxby增大，其中b是正的常量，y是从地面算起的高度，x轴取水平向右的方向。试计算：气球的运动学方程；气球水平飘移的距离与高度的关系；气球沿轨道运动的切向加速度和轨道的曲率与高度的关系。解：（1）取平面直角坐标系x0y，如图一，令t=0时气球位于坐标原点（地面），已知VyV0，Vxby.显然，有yV0t.（1）而dxbybV0t,dxbV0tdt,dt对上式积分，xdxtbV0tdt,得到00bV0t2（2）x.2故气球的运动学方程为：rbV0t2iV0tj.2(2)由（1）和（2）式消去t，得到气球的轨道方程，即气球的水平飘移距离与高度的关系x b y2.2V0（3）气球的运动速率V Vx2 Vy2 b2V02t2 V02 b2y2 V02气球的切向加速度dVb2V0tb2V0y.adtb2t21b2y2V02而由ana2a2和a222dVx)2dVy)222,可得axay((bV0dtdtanbV02b2y2.V02由anV2，求得V2 (b2y2 V02)3/2an bV02小船船头恒指向某固定点的过河情况一条笔直的河流宽度为 d，河水以恒定速度u流动，小船从河岸的 A点出发，为了到达对岸的O点，相对于河水以恒定的速率V（V>u）运动，不论小船驶向何处，它的运动方向总是指向O点，如图一，已知 AO r0, AOP 0,试求：小船的运动轨迹。若O点刚好在A点的对面（即AO d），结果又如何？解：选定极坐标系，原点为O点，极轴为OP。在任一时刻t，小船的位置为（r,），小船速度的径向分量和横向分量VrdrVrdVucosusindtdt两式相除，得到rddusindtdrrVucosdrdt分离变量，drVucosd(Vctg)d,rusinusin积分后，得到rdr(Vctg)drr00usinlnrV(lntanlntan0)(lnsin0lnsin)r0u22tg2V/usin0ln[[])],(tg0sin2既tgr[2]V/u(sin0).r0tg0sin2这就是用极坐标表示的小船的轨迹方程。若O点刚好在A点的对面，则r0d,0，2代入，得rd(tg)V/u.sin2求解小环对地的运动情况一细杆绕端点O在平面内匀角速旋转，角速度为，杆上一小环（可看作质点）相对杆作匀速运动，速度为u.设t0时小环位于杆的端点O，求：小环的运动轨迹及小环在任意时刻的速度和加速度。解：本题采用极坐标系较为方便。取 t=0时细杆的位置为极轴，此时小环位于端点 O.任意时刻 t，小环的位置r ut, t.这就是小环在极坐标系中的运动学方程。消去t，便得小环的轨迹方程：r u ,式中u为常量，r与 成正比，小环的轨迹为阿基米德螺线，如图一。在任意时刻，小环的径向速度Vrdru,dt横向速度速度的大小

Vrdrut,dtVVr2V2u2(r)2u12t2.速度的方向指向阿基米德线的切线方向。小环的径向速度的大小不变，横向速度随r的增大而增大。任意时刻，小环的加速度adVd(ur0r0)，dtdtr0 和0为径向和横向的单位矢量，则audr0drdtdt

0

drdt

0ud0drdtdtr2r02u

00

d 0r r既径向加速度 a r 2 u 2t;横向加速度 a 2u .加速度的大小为aa2a2u42t2尽管质点的径向速度大小不变，但径向加速度并不为零，这是横向速度方向的变化引起的。即使u=0,小环停在半径上某一位置处，这一项还是有的，这就是向心加速度。横向加速度一半是径向速度的方向改变引起的，另一半则是由半径增大造成横向速度增大引起的，因为这里横向加速度是由径向速度和横向速度共同造成的。求解烟对船的速度当蒸汽船以15km/h的速度向正北方向航行时，船上的人观察到船上的烟囱里冒出的烟飘向正东方向。过一会儿，船以24km/h的速度向正东方向航行，船上的人则观察到烟飘向正西北方向。若在这两次航行期间，风速的大小和方向都不变，求：风速。（烟对地的速度即风对地的速度。）解：设风速为，则人观察到烟的飘向速度为V烟船 V冯地 V船地由图一所示，可知Vsin15（1）24V（2）sin(1350)sin450由（2），得到cos sin 24.V将（1）代入上式，得到cossin248sin15/sin,55cos5sin8sin,得到tg51.67，5903即风来自西偏南 590，风速大小为 17.5km/h.运用速度的相对性求解飞机往返一次的飞行时间一架飞机由A处向北飞往B处，然后又向南飞回A处。已知A、B相距为L，飞机相对于空气的速度为V，而空气相对于地面的速度（即风速）为u，其方向为北偏西角，求：飞机往返一次的飞行时间。解：由分析可知，V机对地V机对气V气对地，为了使飞机相对于地面的速度V的方向指向正北。飞机相对于空气的速度V必须北偏东角，如图一所示。由上面的矢量式，得到Vx Vsin usin 0 Vy Vcos ucos.消去，得到VyV2u2sin2ucos所以往程所需时间为Lt1Vy当飞机由B返回A时，V、u、V三者的关系如图二所示。同样可得，VxVsinusin0,VyVcosucos消去，得到VyV2u2sin2ucos.所以返程所需时间为t2

LVy则所求时间可求。运用假设法判定静摩擦力和滑动摩擦力在桌上有质量为m1=1kg的板，板与桌面之间的摩擦因数u10.5.板上有放有质量m2=2kg的物体，板与物体之间的摩擦因数20.25，如图一。今以水平力F=19.6N将板从物体下抽出。问：板与物体的加速度各为多少？解：当用力F拉动木板时，板上物体的运动有两种可能性，一是物体相对于板为静止，另一是物体的加速度小于板的加速度，即物体的运动滞后于板的运动，板将从物体下抽出。现分两种情况分别讨论。1）物体的运动滞后于板的运动的情况物体和板的受力情况如图二所示。注意桌面给予板的摩擦力以及板与物体间的摩擦力均为滑动摩擦力。设板的加速度为a1，物体的加速度为a2。列出板和物体的运动方程：对板：F f1 f2 m1a1,N1 N2 m1g 0，f2m2a2,N2m2g0.又因为f11N1,f22N2联立方程组，得a1F2m2g1(m1m2)g,a22g.m1代入数值，得a10,a20.25g2.45m/S2在本题的条件下，a2a1,这显然是不合理的。2）物体与板相对静止，物体与板一起运动的情况物体与板的受力图如图三所示。这里桌面给予板的摩擦力为滑动摩擦力，而物体与板间的摩擦力为静摩擦力。板与物体的加速度相同，设为a，列出板与物体的运动方程：Ff1f2m1a,N1N2m1g0,f2m2a,N2m2g0,又因为f11N1.联立解方程，得到F1(m1m2)gam1m2,f2m2F1(m1m2)gm1m2,代入数值，得到a 1.63m/S2，f2 3.26N.所求得的静摩擦力 f2小于最大静摩擦力（fmzx 2N2 4.9N），所以是可能实现的。由第一种情况的讨论可知，只有a1a2才能将板从物体下抽出，根据以上计算结果，可得F2m2g1(m1m2)gm12g,或者F(12)(m1m2)g.代入数值，得到F〉2.25g 22.5N.飞车走壁一杂技演员在圆筒形建筑物内表演飞车走壁。设演员和摩托车的总质量为 M，直壁半径为R，演员骑摩托车在直壁上以速率V做匀速圆周螺旋运动，每绕一周上升的距离为h，如图一所示，求：直壁对演员和摩托车的作用力。解：演员受到两个力的作用。一是重力G，另一个是直壁的作用力N.把N分解为沿直壁向上的N1和指向圆周运动中心的N2，如图二所示。同样，把演员的速度V分解为竖直向上的V1和绕筒壁做圆周运动的水平速度V2，于是N1Mg,N2ManMV22.R展开螺旋面成斜面，如图三所示，V沿斜面向上。且有V2VcosV2R,(2R)2h2代入，得到N2MV242Rh242R2故圆筒壁对杂技演员的作用力大小为N12N22方向与壁成角 ，arctgN2arctg42RV2.N1(42R2h2)g求解小船转向的情况一质量为M的机动船，在进入河道弯道前Q点处关闭发动机，以速度V0在静水中行驶，设水的阻力与船速成正比。（1）若Q点至弯道处P点的距离为L0，求船行至P点时的速度；（2）若船行至P点时开动发动机，给船以F0的转向力，F0与速度方向的夹角为，如图一所示，求：船在该点的切向加速度以及航道的曲率半径。解：（1）在PQ的河流直道行驶中，船仅受水的阻力，fkV,k为比例系数，负号表示与速度的方向相反。有牛顿运动定律，得到fkVmdV,dtkVdVdsdVmmV,ds