2008年全国生数学建模竞赛题解题思路简介

2008年大学生数学建模竞赛D题解题思路简2008D题:NBA赛程的分析NBA是全世界篮球迷们最钟爱的赛事之一，姚易加盟以后更是15支，大致按照地理位置，西部分西南、西北和太平洋3个区，东部分东南、中部和3个区，每区5支球队。对于新赛季，常规赛阶段从2008年10月29日（时间）直到20094月16日，在这5个多月有1230场赛事，每支球队要进行82场比赛，附件1是30支球队2008~2009赛季常规赛的赛程表，附件，见http .ba/。1）的结果计算、分析赛程对姚明加盟的火箭队的利弊，并找出赛程对30支球队最有利和最不利的球队。分析赛程可以发现，每支球队与同区的每一球队赛4场（2场与不同部的每一球队赛2场（主客1场与同区的每一球队有赛4场和赛3场（2121主）两种情每支球队的主客场数量相同且同部 个区的球队间保持均衡试根一.先谈谈、格式及整体(15分)第一问(40分)：这是问题关因素的列举(15分)；要说出理由，即为什么这些因素对比赛因素的量化(10分)：要用数学表达式表示各因素的量值因素综合评价(15)第二问(10分)第三问(35分均衡性(15分具体均衡方案(20分)。二.打分范围(一)80分以上；(二)二等奖60分—80分;(三)淘汰的60分以下。三.阅卷中出现较大的一有极少数队答有少数队对题意理解不全面,看成是对赛程安排好坏的评估把2008年的这道题和2002年的D题-赛程的安排所用数学方法不当30支球2460场比赛的赛程表。不能算作是某事件发生的数据表。其次对于NBA这样的球赛一有的队建立了以下的层次模型连连次对数连数路近勇士造成对比较矩阵。而比较的因素不能太多，一般不能多于9个。而这个模型最底层有30个球队，这样成对比较阵无法建立。四.比较合理的解法提取合理的因素，说出充分的理由，因素也不要过个人认为最好不超过5个，各因间应是相互独立的；有些因素虽将赛程转换为便于进行数学处理的数字格式；将各因素量化，并给出权值。权值可直接判断给出，也可用层次分析法(大多数给出综合指标，确定综合指标的计算公式；综合指标是各3问的解答答卷查阅了几年的NBA赛程发现了规律，这有可能。的；有的认为NBA比赛有很强的商业性，因此必须考虑可观赏性。附以下是两篇优 ，供大家参看NBA赛程的分析与评本文首先综合考虑了NBA队尽可能少赛（赛3场。由此建立0-1规划模型，并利用LINDO求解出了赛3场球队的最优选取方案。：隶属函数利弊指数0-1一.问题的重2008～2009二.问题分1标，对东西的30支球队进行排序。问题2把此不利因素降到最底，毕竟影响胜负的关键还是实力。因此，采用0-三.模型假四.符号说i表示第iSi表示某球队第i个影响因素值。Sij表示第ij个影响因素值ai表示东南区第i个球队的胜率。bj表示区第i个球队的胜率。cj表示中部区第i个球队的胜率。xij表示选取东南区球队i和区球队j比赛的场次 五.模型的建立1排列表1，为了使球队的强弱指标便于量化，将排列名次进行简化（前15只球1球队强弱排123456789762，；2各球队各影响因素值的统1442423674555436337人93655534369585644565568776566AminA' 1 Aj (j1,2,..,

max1

min1

22minB' 1 Bj (j1,2,..,

max1

min1

23minC' Cj (j1,2,..,

min

9（1（2（3）3各球队各影响因素规范化后值12031450600787690000111111015,4,3,2,1。根据实际情况取偏大型柯西分布隶属函数[2f(x) 3x

f(5)为隶属度为0.01f(1)0.01；于是可以确定出a1.1086b0.8942c0.3915d0.3699。将其代入（6）

f(x) 3xf(2)0.5245,f(4)0.9126（1，0.9126，0.8，0.245，0.01权处理结果见表4；4影响因素的权背靠背有比赛强1为S；3s其中si为某球队第i个影响因素值，i为第i个影响因素权重

利用表3，建立各球队各影响因素值矩阵：Sij (i1,2,..,30;j1,2,其中S为第i个球队第j个影响因素值。取表4归一后的权向量 S

ij

3则S表5赛程对每支球队利弊指标组合权向量表SS12345766789问题每支球队的S值都存在差异（量化差值，但从总体上看S值波动不会很大，表明2008～2009年的赛程安排对于球队而言是比较公平的。赛3场球队选取的分综合分析2007～2008年的赛程安排和2008～2009年的赛程安排，得出以根据资料得知，赛3场和赛4场的球队选取是随机的，所以对阵双方实力有间尽可能少打赛34现以东部的东南区对区和中部区比赛3场的队伍选取为例进行设计。根据结论1，计算出东南区的球队对区和中部区的实力差的绝对值矩

(i,j1,2,..,(i,j1,2,..,其中ai表示东南区第i个球队的胜率,bj表示区第i个球队的胜率,cj表示中部区第i个球队的胜率。记xij=1，若选取东南区球队i和区球队j比赛4场则记xij=0，yij若选取东南区球队ij3yij=1，若选取东南区球队i xij2,yij2,xij2,yij2,xij,yijj j 比赛3场则两个球队间的差值为kijxij和mijyij于是该问题的目标函5Maxz1(kijxijmijyiji15Maxz(kijxijmijyiji15 jxij j yijs.t

j5xiji5

yij

0.210.317 表6为整理后的数据；44334444337644343334443344444433444334334433444343444343443443763434434434443433434434434434434433443443的实力差之和z2=3.156。zz2=4.758-六.模型的评七．参考文[1]NBA赛程的安排表[OL]. [2]，数学建模方法及其应用，：高等教育 平的赛程是一件非常重要的事情。在本题中，通过建立数学模型对20082009 xiji2ji

m

(b)11续遭遇强队的指标：i12 1Pik2连续的客场之旅：i 5 2k 0.290770.3056940.200367Yiz1Ai10z2Bi10z3Ciz4在问题二中，根据第一问的计算结果对30个队进行利弊的总排序，顺序见表（8），从而找出赛程对魔术队最有利，对森林狼队最不利，并可以分析出对于问题三，通过对04—05，05—06…，08—09五年中，各球队的赛程安排进行分析发现了NBA对同部异区打三场或是四场比赛的安排是采取以五年为一个周期的特定模式来循环进行的,通过“钟盘”模型加以实现；同时NBA的实际编排结果均衡性更好、：综合评价模 层次分析 方 矩阵变NBA是全世界篮球迷们最钟爱的赛事之一，姚易加盟以后更是让中国球迷宠爱有加。NBA共有30支球队，西部、东部各15支，大致按照地理52008-200920081029日（题要求用数学建模方法对已有的赛程进行定量的分析与评价：程对30支球队最有利和最不利的球队。4（2场33问题经常会听到或看到球员、和对NBA赛程的抱怨或评论，说明在一定的性与不合理性。问题一要求找出赛程安排对球队利弊的影响因素，并将赛程转换为便于越均匀越好，此考虑为一个因素，用方差对其进行定量描述，此过程在中实现。量此因素的指标，通过数据处理，在中实现了此因素的数量化（见附录311 续函数i12 大时），i的值越接近1，以此作为这一因素的数据衡量，此过程 现（211 个函数来描述这一因素，i12 k（即连续客场次数越多时），i的值越接近1，通过程序得到了这一因素的数据衡量（见附录4。对于问题二，根据第一问的计算结果直接对30个队的赛程安排情况进08—09赛季与同部不同区要打三场比赛的球队，并以此往前推，发现NBA对采用一定规律且以五年为周期循环的方法安排，并给出实现方模型安排等因素不予考虑。中国获取题目中缺失的数据对的分析不造成影响，以NBA中国网符号i j m t xiji2iSi

表示i球队两场比赛之间的时间间隔表示iNih hii

表示i球队遭遇强手的连续性 kii

表示i球队遭遇客场之旅的连续性z1 z2:表示“背靠背”的次数在总因素中所占的权重z3:表示连续遭遇强手的连续性在总因素中所占的权重z4:表示连续客场之旅的连续性在总因素中所占的权重Ai:表示i球队时间间隔均匀度归一化后的数值 表示i球队“背靠背”次数归一化后的数值Ci: 表示i球队连续遭遇强手的连续性归一化后的数值Di Yi 模型的建立与隔，见附录（1。计算公式如下：

x m xij2j m12345678976用作图如下因素二背靠背 间间隔为1就是一次“背靠背”。通过数1的个数， 背”的次数Si，并将其无量纲化。结果用下表（2）来表示12345678976用作图如下 因素三：连续遭遇强h

1Nih1 12 h1 总对连30613299328327832673258224768223724223121520613199318623174167315831421393126211921059289247826459349437232413用画图54320

因素四：连续的客场之i

k 1Pik1 k1 在中编程求解得到每支球队客场的总次数，客场的时间分布，最长客306297284278265255 766238224215204198186174165156147134127118106 385746754453425156层次分析中，为了确保所给权值的合理性，特意在学校每周日的照例晚排序，共了60个对象，并将其结果汇总为表（见附录6通过对表中的数据分析整理，得到它们的平均并得到归一化后的最终（注意此数值用归一值乘以10得到）结果如下表（5）所示： Q 0.8 在中得到上面成对比较矩阵的特征值为其对应的特征向量为 123456789RI00 CI4.109744RICRCI0.0366 Yiz1Ai10z2Bi10z3Ciz4 AiBi 度次数i4436376938765凯尔特人34321（二）背”总评价函数4因素主要有以下5点：10111812次客场比赛，这将是从遭遇强队因素着手：在上述12次客场比赛中，有9个对手是劲旅，从时间均匀度考虑：火箭队赛程中，有9天内打6场的赛程，这种安排对队员的体能，状态将是极大的。从“背靠背”考虑：火箭队在08-09赛季有19次“背靠背”，且成员能否经受这种赛程安排严峻考验。（5）3、4月份的冲刺阶段：全赛后紧跟的12808—09NBA近几年的赛规律1：如果一支球队在第n个赛季与另一支球队赛三场，那么在n1和n1个赛季中，这两支球队一定赛四场(n不是旧循环的最后一年和新循环的第一年)，vi，ui中u，v分别表示同部中两个不同的区。i1,2,3分别表 。其中u，v相间可以保证均衡性以此规则类推，再一个赛季，阴影部分大小不变，接着顺时针走4个刻度，可以发现如果阴影部分顺或逆时针走五个赛季后会回出发点，由于发现4年每个赛程中每支队都满足这种规律（2003-2004赛季不满足这2004-2005赛季为起点的5年为一周期的固定模外面的队数也是两区相同的，即保持均衡。所以决定对这种固定模式进行分时间（年比赛三场球队地区 比赛四场球队地区08— 76西洋 网 龙 76西洋 06—07凯尔特西洋76西洋活塞中部篮网猛龙骑士中部 活塞 76西 步行者 76西洋凯尔特西洋 表的解释05—06赛季，与热火赛三场的球队是步行者、尼克斯、7604—0506—07分别与这四支球队都是赛四场。所以05—06赛季中，与热火赛通过上面分析解释可知：NBANBA当前对同部不同区各球队之间打三场还是打四场的安排方法是NBA的本质是商业操作，而商家的目的是利益最大化，追（三）认为更为合适的方NBA最近几个赛季的“三场队”对阵形式的安排结果的基础上，我（对阵形式表结构如表9：表 赛季“三场队”对阵形式 名次队名1队2队3队4队5队1队2队3队4队5队1队2队3队4队5队123451234512345为有阴影的区域）55×52：11：2（在相应的格子里分别2：11：2（表内标记同前排确定。并将由此得到的基础子表到其余5个子表处，就得到初始赛季该部“三场队”的完整对阵形式表为表10：表 赛季“三场队”对阵形式 名次队名1队2队3队4队5队1队2队3队4队5队1队2队3队4队5队1 ———2———3———4——5———1——————2——————3——————4——————5——————1——————2——————3——————4——————5——————2、后续赛季“三场队”对阵形式