增分点5 掌握四种函数构造法,破解导数解决不等式问题

解：解：(1)f'(x)=ab(lnx+x)+用D(x>0),增分点掌握四种函数构造法，破解导数解决不等式问题利用导数证明不等式是近几年高考命题的一种热点题型．利用导数证明不等式，关键是要找出与待证不等式紧密联系的函数，然后以导数为工具来研究该函数的单调性、极值、最值(值域)，从而达到证明不等式的目的，这时常常需要构造辅助函数来解决．题目本身特点不同，所构造的函数可有多种形式，解题的繁简程度也因此而不同，这里给出几种常用的构造技巧．“比较法”构造函数证明不等式当试题中给出简单的基本初等函数，例如f(x)=x3,g(x)=lnx,进而证明在某个取值范围内不等式fx)Mg(x)成立时，可以类比作差法，构造函数血(x)=fx)—g(x)或0(x)=g(xLfx)，进而证明h(x)min^0或^(x)WO即可，在求最值的过程中，可以利用导数为工具.此外，在能够说明g(x)>0(f(x)>0)的前提下，max也可以类比作商法，构造函数h(x)=g^G(x)=gX)，进而证明h(x)诚nai@(x)maxW1).［典例］(2018•广州模拟)已知函数f(x)=ex_ax(e为自然对数的底数，a为常数)的图象在点(0,1)处的切线斜率为－1.⑴求a的值及函数fx)的极值；(2)证明：当x>0时，x2Va・［方法演示］解：(1)由fxjub—ax，得f(x)=ex—a.因为f(0)=1—a=—1,所以a=2,所以fx)=ex—2x,f(x)=ex—2,令f(x)=0,得x=ln2,当xVln2时，f(x)V0,fx)单调递减；当x>ln2时，f(x)>0,fx)单调递增.所以当x=ln2时，fx)取得极小值，且极小值为f(ln2)=32—2ln2=2—ln4,fx)无极大值.(2)证明：令g(x)=ex—x2，则g'(x)=a—2x・由⑴得g'(x)=fx)M«ln2)>0,故g(x)在R上单调递增.所以当x>0时，g(x)>g(0)=1>0,即x2Vex.［解题师说］在本例第(2)问中，发现“x2,ex”具有基本初等函数的基因，故可选择对要证明的“x2Vex”构造函数，得到“g(x)=ex—x2”，并利用⑴的结论求解.［应用体验］1.已知函数f(x)=xlnx—2x，g(x)=—ax2＋ax—2(a>1).⑴求函数金)的单调区间及最小值；⑵证明flx)^g(x)在［1,+8)上恒成立.解：(1fx)的定义域为(0,+8),°・°fx)=xlnx—2x,：f(x)=lnx+1—2=lnx—1,由f(x)>0,得x>e;由f(x)VO,得OVxVe,・•・函数fx)的单调递增区间为(e,+8),单调递减区间为(0,e),.•・函数fx)的最小值为f(e)=elne—2e=—e.(2)证明：令方(x)=fx)—g(x),•・・fx)Mg(x)在［1,+8)上恒成立，・h(x)诚n^O，XE［1，+8),•・°h(x)=xlnx+ax2—ax—2x+2,(x)=lnx+1+2ax—a—2=lnx+2ax—a—1.令m(x)=lnx+2ax—a—1,xE［1,+8),1则m'(x)=；+2a,xVx>1,a>1,・.m'(x)>0,・・m(x)在［1,+8)上单调递增，•・m(x)Mm⑴二a—1,即h'(x)Ma—1,•・・a>1,・・・a—1>0,・・・h'(x)>0,・h(x)=xlnx+ax2—ax—2x+2在［1,+8)上单调递增,・h(x)Mh⑴=0,即fx)—g(x)M0,故fx)$g(x)在［1,+8)上恒成立.“拆分法”构造函数证明不等式当所要证明的不等式由几个基本初等函数通过相乘以及相加的形式组成时,如果对其直接求导,得到的导函数往往给人一种“扑朔迷离”“不知所措”的感觉.这时可以将原不等式合理拆分为fx)Wg(x)的形式，进而证明fx)maxWg(x)遇即可，此时注意配合使用导数工具.在拆分的过程中，一定要注意合理性的把握,一般以能利用导数进行最值分析为拆分标准.［典例］设函数用戸处血x+，曲线y=fx)在点(1,f(1))处的切线为y=e(x—1)+2.x(1)求a，b；⑵证明：fx)>1・［方法演示］由于直线y=e(x-1)+2的斜率为e,图象过点(1,2),所以fW=2,f所以fW=2,f(1)=e,b=2,\a=1,即(ae=e,解得b=2・(x>0),(2)证明：由(1)知f(x)=e(x>0),2从而fx)>1等价于xlnx>xe-x—e.构造函数g(x)=xlnx,则g'(x)=1+lnx,所以当xeg'(x)VO,当xeC，+8)时，g'(x)>0,故g(x)在(0,》上单调递减，在(，+8)上单调递增,从而g(从而g(x)在(0,+8)上的最小值为1e*2构造函数h(x)=xe-x—则h'(x)=e-x(1-x)．所以当xe(0,1)时，h'(x)>0；当xe(1,+8)时，h'(x)V0；故h(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减,1从而h(x)在(0,+8)上的最大值为h(1)=—e*综上，当x>0时，g(x)>h(x),即fx)>1・［解题师说］bex－1bex－1对于第⑵问"ae4nx+>1”的证明，若直接构造函数h(x)=aexlnx+—1,求导以后不易分析，因此并不宜对其整体进行构造函数，而应先将不等式"aexlnx+訂>1”合理拆分为“xlnx>xe-xx2一2”，再分别对左右两边构造函数，进而达到证明原不等式的目的.［应用体验］2.已知函数fx)=a+^+x，曲线y=fx)在点(1,f(1))处的切线方程为x+2y—3=0*求a，b的值；lnx证明：当x>0,且xH1时，fx)>x一1解,-lnx)b解：(1f(x)=(x+1)2-x(x>0).1由于直线x+2y-3=0的斜率为一2,且过点(1,1),00・00・fw=i.故1,1f(D=—2,b=1，fw=i.故1,1f(D=—2,b=1，1解得1a=1，b=1.(2)证明：由(1)知金)=第+$兀>0),

所以fx)—X—1=1—X2%x-宁).考虑函数h(x)=2lnx——~~(x>0),则h(XT)2x2・所以当x^1时，hr(X)V0・而h(1)=0,1故当xe(0,1)时，h(x)>0,可得1—?(x)>0；当xW(1,+8)时，h(x)V0,可得J—x2h(x)>0・lnx从而当x>0,且xH1时，fx)—x^>0,即f即f(x)>Inxx—1“换元法”构造函数证明不等式若两个变元叫，x2之间联系“亲密”，我们可以通过计算、化简，将所证明的不等式整体转化为关于皿(兀］,x2)的表达式(其中m(x1^x2)为兀］,x2组合成的表达式)，进而使用换元令m(xfx2)=t,使所要证明的不等式转化为关于t的表达式，进而用导数法进行证明，因此，换元的本质是消元.［典例］已知函数fx)=xn^(aGR)，曲线y=fx)在点(1,f(1))处的切线与直线x+y+1=0垂直.试比较20172018与20182017的大小，并说明理由；若函数g(x)=fx)—k有两个不同的零点x、，x2，证明：x^?〉©2.［方法演示］x+a丁—lnx解：⑴依题意得f(x)=(x+a)2,1+a1所以f(1)=阿1又曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线x+y+1=0垂直，所以f(1)=1,即1+a=1，解得a=lnx1_lnx故用)—x，f(x)=x2・由f(兀)>0,得OV^Ve;由f(r)V0,得x>e,所以函数fx)的单调递增区间为(0,e),单调递减区间为(e,+8).ln2017ln2018所以爪2017)>^2018)，即2017>2018°整理得ln20172018>ln20182017,所以20172018>20182017.lnx⑵证明：g(x)=*—无，设X]>x2>0,由g(X])=g(x2)=0,可得lnx—kx=0,lnx2—kx2=0,两式相加减，1122得lnx1+lnx2=k(x1+x2),lnx1—lnx2=k(x1—x2)．x1+x2要证X[X2>e2，即证lnxk2>2,只需证lnx.+lnx2>2,也就是证无匕+兀2)>x1+x212121212即证「.lnx—lnXr~_二、lnx—lnx^2即证因为k=-x1二「，所以只需证—X寸>五'令j=t(t>令j=t(t>1)，则只需证lnt>x22(t_1)

t+1(t>1).令h(t)=lnt—2(t_1)

t+1(t>1),则(t)J—-=>0则h(t)t(t+1)2t(t+1)2>0,故函数h(t)在(1,+8)上单调递增，所以h(t)>h(1)=0,即lnt>2(+11).所以x1x2>e2.[解题师说](1)由题意易知f(1)=1,可列出关于a的方程，从而求出a的值，得到函数fx)的解析式.欲比较20172018与20182017的大小，只需比较f(2017),f(2018)的大小，即需判断函数y=fx)的单调性.(2)不妨设x1^x2>0，由g(x1)^^(x2)=0，可得lnx1—kx1=0，lnx2—kx2=0，两式相加减，利用分析法将要证明的不等式转化为gx1的不等式转化为gx1—hl%>x1—x22叫+可再利用换元法，通过求导证明上述不等式成立.［应用体验］3.已知函数f(x)=x2lnx.⑴求函数fx)的单调区间；(2)证明：对任意的t>0,存在唯一的使t=fs)；⑶设⑵中所确定的s关于t的函数为s=g(t)，证明：当t>e2时，有解：(1)由已知，得f(x)=2xlnx+x=x(2lnx+1)(x>0),令f(x)=0,得x=*・当x变化时，f(X),f(x)的变化情况如下表:X(o,勸丄Ve信，+8)f(X)—0+fx)极小值所以函数fx)的单调递减区间是@，扌T，单调递增区间是仕，+8)・(2)证明：当0VxW1时，fx)W0,•・・t>0,・・・当OVxWl时不存在t=fs).令h(x)=fx)—t，xE[1，+8).由⑴知，h(x)在区间(1+8)上单调递增.h(1)=—tV0，h(et)=e2tlnet—t=t(e2t—1)>0.故存在唯一的sW(1，+8)，使得t=f(s)成立.(3)证明：因为s=g(t)，由(2)知，t=fs),且s>1,从而lng(t)=Ins=lnsIntlnfSln(s2lns)从而其中ulns・_其中ulns・2lns+ln(lns)2u+lnu，要使2VllJng?)V2成立，只需0Vlnu<U・当t>e2时，若s=g(t)We,则由fs)的单调性，有t=fs)Wf(e)=e2,矛盾.所以s>e,即u>1,从而lnu>0成立.另一方面，令F(u)=lnu—2，u>1,F(u)=匸_2,令F(u)=0,得u=2.当1VuV2时，F(u)>0;当u>2时，F(u)V0.故对u>1,F(u)WF(2)V0,因此lnuV》成立.综上，当t>e2时，有2V晋兽V*.rm转化法构造函数在关于Xfx2的双变元问题中，若无法将所要证明的不等式整体转化为关于皿(叫，x2)的表达式，则考虑将不等式转化为函数的单调性问题进行处理，进而实现消元的目的．［典例］设函数fx)=lnx^m,mwR.x当m=e(e为自然对数的底数)时，求fx)的最小值；⑵讨论函数g(x)=f'(x)—扌零点的个数；(3)若对任意b>>0,恒成立，求m的取值范围.［方法演示］ex－e解：⑴当m=e时，fx)=lnx+x，则f(x)=~X厂，故当兀丘(°，e)时，f(x)<0,f(x)在(0,e)上单调递减，当x^(e,+8)时，f(x)>0,fx)在(e,+8)上单调递增，故当x=e^,f(x)取到极小值，也是最e小值，f(e)=lne+e=2,故fx)的最小值为2.g(x)=f(x)^x=x_x2^3(x>0)，令g(x)=0，得m=—3x3+x(x>0).1设0(x)=—3x3+x(xM0)，则0’(x)=—(x—1)(x+1)，当xW(0,1)时，0(x)>0，0(x)在(0,1)上单调递增；当xW(1,+8)时，0(x)<0，0(x)在(1，+8)上单调递减，2故0(x)的最大值为0(1)=3.又0(0)=0,画出函数y=0(x)的图象如图所示.①当m>3时，函数g(x)无零点；②当m=2时，函数g(x)有且只有一个零点；③当0<m<3时，函数g(x)有两个零点；④当mWO时，函数g(x)有且只有一个零点.综上所述，当m>3时，函数g(x)无零点；当m=2或mW0时，函数g(x)有且只有一个零点；当0<m<2时，函数g(x)有两个零点.(3)对任意的b>a>0,f?—¥")<1等价于fb)—b<fa)—a恒成立.(*)设h(x)=f(x)—x=lnx++~—x(x>0),x故(*)等价于h(x)在(0,+8)上单调递减.

由h(兀戸由f(x)>0,得x>a，所以函数fx)在(0,1上单调递减，在隹，+8)上单调递增.(2)因为函数fx)在x=1处取得极值，所以f(1)=0,解得a=由f(x)>0,得x>a，所以函数fx)在(0,1上单调递减，在隹，+8)上单调递增.(2)因为函数fx)在x=1处取得极值，所以f(1)=0,解得a=1,所以fxRx-2W+1-詈刃［解题师说］本例第⑶问中，利用不等式的性质，将等价转化为f)—bfa)_a”，进而构造函数“h(x)=fx)—x”，通过研究函数的单调性求解实数m的取值范围.［应用体验］4.已知函数f(x)=ax—1—lnx(aGR).讨论函数fx)的单调性；若函数fx)在x=1处取得极值，不等式f(x)Nbx—2对Vx£(0，+8)恒成立，求实数b的取值范围；当x>y>e—1时，证明不等式exln(1＋y)>eyln(1＋x).1ax—1解：(1)函数fx)的定义域是(0,+8),且f(x)=a—x=x-当aW0时，ax—1v0,从而f(x)v0,函数fx)在(0,+8)上单调递减.1令g(x)=1+x~乎，则g(x)=ln令g(x)=1+x~乎，则g(x)=lnx—2x2令g'(x)=0,得x=e2・则g(x)在(0,e2)上单调递减，在(e2,+8)上单调递增,11所以g(x)min^g(e2)=1—e2，即b^1—e2，故实数b的取值范围为(一8,1—e2・ex+1ey+1成立.(3)证明：由题意可知，要证不等式e4n(1+y)>exln(1+x)成立，只需证］n(x+1)>］n©+1)成立.构造函数h(x)=mx(x>e),册x^x叫nr则h(x)=辭=辭>°・所以h(x)在(e,+8)上单调递增，由于x>y>e—1,所以x+1>y+1>e,、ex+iev+1所以ln(x+1)>ln(y+1)，即exln(1+y)>eyln(1+x)．［升级增分训练］

当m》1时，M+m—ln(r+1)—2Mer+1—ln(x+1)—2.要证6^+™—ln(x+1)—2>0,只需证明b+i—ln(x+1)—2>0・1设^(x)=ex+1—ln(x+1)—2,则於(x)=ex+1—^+1«设p(x)=e^+1—，则p(x)=ex+1+^x++1^2>0，1所以函数p(x)=方'(x)=ex+1—x+1在(—1,+TO)上单调递增.因为h(一g)=e2—2V0,h(0)=e—1>0,所以函数h(兀)=审+1—x+1在(一1,+8)上有唯一零点x0,且兀0丘(—2，o因为h因为h(x0)=0,所以ex0+1=1x°+1'即ln(x0+1)即ln(x0+1)=—(x0+1).当xw(—1,x0)时，h(x)V0,当xW(x0,+8)时，h(x)>0,所以当x=x0时，h(x)取得最小值h(x0),所以h(x)^h(x0)=ex0+1—ln(x0+1)—21=莎+(%+1)—2>0・综上可知，当mM1时，fx)>g(x)—x3・(文)已知函数fx)=(ox—1)lnx+专・(1)若o=2,求曲线y=fx)在点(1,f(1))处的切线l的方程；4⑵设函数g(x)=f(x)有两个极值点x1，x2，其中x1^(0,e],证明g(xj—g(x2)M—e・解：(1)当o=2时，f(x)=2lnx+x—^1+2,f(1)=2,/(1)=1,・•・切线l的方程为y—2=2(x—1)，即4x—2y—3=0・1⑵函数g(x)=olnx+x—~+a,定义域为(0,+8),x则g则g'(x)=1+0+丄=炉+妙+1x+x2=x2令令g'(x)=0,得x2+ax+1=0,其两根为x1,x2，且x1^x2=—a^x1x2=1,故x2=f，0=_G+x^・•・€(%)—g(x2)=g(叫)_g(x)=alnXi+xi_占+a—(alf+占_x〔+a)11x1x1x11=2@—)+还xi=2(Xi_X)_2xi.令h(x)=2(x_X)—+X)lnx,x^(0,e］,则［g(x1)_g(X2)］min=h(X)min，2(1+x)(1_x)lnxh(X)=X2当xe(0,1］时，h(x)W0,当x£(1,e］时，h(x)V0,即当x£(0,e］时，h(x)单调递减，4••・h(X)min=h(e)=_e，4故g(x1)_g(x2)M_e・3.(2018・兰州诊断)已知函数/(x)=-a厂+lnx在(1,+8)上是增函数，且a＞0.(1)求a的取值范围；TwTIh⑵若〃＞0,试证明*＜谥厂＜b・11ax_1解：(1f(x)=_aX2+X=ax2，因为f'(x)N0,且a>0,所以ax_1$0，即兀$2・a1因为xe(1,+8),所以；W1,即aM1・a所以a的取值范围为［1,+8).(2)证明：因为b＞0,aM1,所以書＞1・又f(x)=a^+lnx在(1,+8)上是增函数,1a+b/a+b)ba+b所以人丁丿朋1)，即r+b+】nar>0，a・~r1a+b化简得a+<int-lna+鸞等价于m宇_b=ln(1+a)_a<0,

令g(")=ln(1+x)—x(x>0),1—x则g，何=吊—1=吊<0所以TnIh综上，《+金〒垮得证.所以函数g(x)在所以TnIh综上，《+金〒垮得证.,a+ba皿、=ln〒一b<g(0)=O,4.(理)已知函数fx)=xinx.(1)求fx)的单调区间和极值；⑵设A(X],fx』，B(x2,fx2)),且X]Hx2，证明:兀2_兀1I2/解：(1fx)的定义域为(0,+8),f(x)=inx+x・j=1+inx.x1由f(x)>o,得x>e；1由f(x)vO,得0<x<e，9所以fx)的单调递增区间是e，+8)，单调递减区间是9问极小值®=jinj=—e，问无极大值・(2)证明：不妨设x1<x2,fxj—fx)“，(x,+x\x」nx~—x」nxx+xx+x~x+x„.x—x<f2J—J*<in-^+l^x2inx2_x1inx1<x2in^T^—x1in^T2^x2—2121「■2x,2x..x,OxinL<xinl+x—x,TOC\o"1-5"\h\z12x1+x21x1+x2212x2两边同除以x〔得,jin」宇<in——+^—1,11+21+2兀1令—2=t,则t>1,即证：川。1+<1血1+^+/—1・“2t2令g(t)=tlnj^—inj^—1+1,+t・2t.1+t2.1+t2一.2t.1—t■仃.t—1]t—1则g‘(t)=ini+；+t•亍时+〒•耐—1=1曲+不=呻+局+t・t－1令t+J=x(x>0),%(x)=ln(1+x)—x,1－x则h(兀)=吊一1=甬<°，h(X)在(0,+8)上单调递减.所以h(x)<h(O)=0,即ln(1+x)<x，即g'(/)=ln^+1<0恒成立.所以g(0在(1,+8)上是减函数.2t2所以g(t)<g(1)=0,所以tlnj+tvlni+t+t—1得证.所以警x吗'符)成立.(文)已知函数金)=宇・若/X)在区间(一8,2)上为单调递增函数，求实数a的取值范围；⑵若a=0,x0V1，设直线y=g(x)为函数/X)的图象在x=x0处的切线，求证：/(x)Wg(x).解：(1)易得/'(x)=—巳严，由已知知/'(X)M0对xE(—8,2)恒成立，故xW1—a对x£(—8,2)恒成立，1—aM2,・°・aW—1.故实数a的取值范围为(—8,—1].证明：a=0,则/X)=±・函数/X)的图象在x=x0处的切线方程为y=g(x)=/'(x0)(x—x0)+/Xo).令h(x)=/(x)—g(x)=/x)—/'(x0)(x—x0)—/x0),x^R,1—X1—X则h(x)=/