4.4 两角和与差的三角函数doc-高中数学

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4.4两角和与差的三角函数

一、选择题

1．在△ABC中，已知2sinAcosB＝sinC，那么△ABC一定是()

A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．正三角形

答案：B

2．已知sinα＋sinβ＋sinγ＝0，cosα＋cosβ＋cosγ＝0，则cos(α－β)的值为()

A．1B．－1C.

eq\f(1,2)

D．－

eq\f(1,2)

解析：将已知两式化为sinα＋sinβ＝－sinγ，cosα＋cosβ＝－cosγ.两式平方相加，有cos(α－β)＝－

eq\f(1,2)

.

答案：D

3．tan

eq\f(π,12)

－cot

eq\f(π,12)

等于()

A．4B．－4C．2

eq\r(3)

D．－2

eq\r(3)

解析：原式＝

eq\f(sin\f(π,12),cos\f(π,12))

－

eq\f(cos\f(π,12),sin\f(π,12))

＝

eq\f(－(cos2\f(π,12)－sin2\f(π,12)),sin\f(π,12)cos\f(π,12))

＝

eq\f(－cos\f(π,6),\f(1,2)sin\f(π,6))

＝－2

eq\r(3)

.

答案：D

4．已知x∈(－

eq\f(π,2)

，0)，cosx＝

eq\f(4,5)

，则tan2x等于()

A.

eq\f(7,24)

B．－

eq\f(7,24)

C.

eq\f(24,7)

D．－

eq\f(24,7)

解析：x∈(－

eq\f(π,2)

，0)，cosx＝

eq\f(4,5)

，∴sinx＝－

eq\f(3,5)

，tanx＝

eq\f(sinx,cosx)

＝－

eq\f(3,4)

.

∴tan2x＝

eq\f(2tanx,1－tan2x)

＝－

eq\f(24,7)

.

答案：D

二、填空题

5．cos

eq\f(π,5)

cos

eq\f(2,5)

π的值是________．

解析：原式＝

eq\f(1,2sin\f(π,5))

·2sin

eq\f(π,5)

cos

eq\f(π,5)

cos

eq\f(2π,5)

＝

eq\f(1,4sin\f(π,5))

·2sin

eq\f(2π,5)

cos

eq\f(2,5)

π＝

eq\f(1,4sin\f(π,5))

sin

eq\f(4,5)

π＝

eq\f(1,4)

.

答案：

eq\f(1,4)

6．若sin(

eq\f(π,4)

－α)＝

eq\f(3,5)

，sin(

eq\f(π,4)

＋β)＝

eq\f(12,13)

，其中0＜α＜

eq\f(π,4)

，0＜β＜

eq\f(π,4)

，则cos(α＋β)＝________.

解析：由已知可得cos(

eq\f(π,4)

－α)＝

eq\f(4,5)

，cos(

eq\f(π,4)

＋β)＝

eq\f(5,13)

.

则cos(α＋β)＝cos[(

eq\f(π,4)

＋β)－(

eq\f(π,4)

－α)]＝cos(

eq\f(π,4)

＋β)·cos(

eq\f(π,4)

－α)＋sin(

eq\f(π,4)

＋β)·sin(

eq\f(π,4)

－α)＝

eq\f(5,13)

×

eq\f(4,5)

＋

eq\f(3,5)

×

eq\f(12,13)

＝

eq\f(56,65)

.

答案：

eq\f(56,65)

7．已知α、β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则tanα＝________.

解析：根据已知条件：cosαcosβ－sinαsinβ＝sinαcosβ－cosαsinβ，

cosβ(cosα－sinα)＋sinβ(cosα－sinα)＝0，即(cosβ＋sinβ)(cosα－sinα)＝0.

又α、β为锐角，则sinβ＋cosβ＞0，∴cosα－sinα＝0，∴tanα＝1.

答案：1

三、解答题

8．求值：(1)

eq\f(sin7°＋cos15°sin8°,cos7°－sin15°sin8°)

；(2)sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－

eq\r(3)

cos(θ＋15°)．

解答：(1)原式＝

eq\f(sin(15°－8°)＋cos15°sin8°,cos(15°－8°)－sin15°sin8°)

＝

eq\f(sin15°cos8°,cos15°cos8°)

＝tan15°＝tan(45°－30°)＝

2－

eq\r(3)

.

(2)令θ＋15°＝α，则原式＝sin(α＋60°)＋cos(α＋30°)－

eq\r(3)

cosα＝(

eq\f(1,2)

sinα＋

eq\f(\r(3),2)

cosα)＋(

eq\f(\r(3),2)

cosα－

eq\f(1,2)

sinα)－

eq\r(3)

cosα＝0.

9．已知α为第二象限角，且sinα＝

eq\f(\r(15),4)

，求

eq\f(sin(α＋\f(π,4)),sin2α＋cos2α＋1)

的值．

解答：∵α为第二象限角，sinα＝

eq\f(\r(15),4)

，∴cosα＝－

eq\r(1－sin2α)

＝－

eq\f(1,4)

.

∴

eq\f(sin(α＋\f(π,4)),sin2α＋cos2α＋1)

＝

eq\f(sinαcos\f(π,4)＋cosαsin\f(π,4),2sinαcosα＋2cos2α)

＝

eq\f(\f(\r(15),4)×\f(\r(2),2)－\f(1,4)×\f(\r(2),2),2×\f(\r(15),4)×(－\f(1,4))＋2×(－\f(1,4))2)

＝－

eq\r(2)

.

10．(1)已知7sinα＝3sin(α＋β)，求证：2tan

eq\f(2α＋β,2)

＝5tan

eq\f(β,2)

；

(2)已知sinβ＝msin(2α＋β)，m≠1，求证：tan(α＋β)＝

eq\f(1＋m,1－m)

tanα.

证明：(1)将已知化为7sin(

eq\f(2α＋β,2)

－

eq\f(β,2)

)＝3sin(

eq\f(2α＋β,2)

＋

eq\f(β,2)

)，即7sin

eq\f(2α＋β,2)

cos

eq\f(β,2)

－7cos

eq\f(2α＋β,2)

sin

eq\f(β,2)

＝3sin

eq\f(2α＋β,2)

cos

eq\f(β,2)

＋3cos

eq\f(2α＋β,2)

sin

eq\f(β,2)

，4sin

eq\f(2α＋β,2)

cos

eq\f(β,2)

＝10cos

eq\f(2α＋β,2)

sin

eq\f(β,2)

，两边同除以2cos

eq\f(β,2)

·cos

eq\f(2α＋β,2)

，得2tan

eq\f(2α＋β,2)

＝5tan

eq\f(β,2)

.

(2)将已知化为sin[(α＋β)－α]＝msin[(α＋β)＋α]，即sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα＝msin(α＋β)cosα＋mcos(α＋β)sinα，(1－m)sin(α＋β)cosα＝(1＋m)·cos(α＋β)sinα，∵m≠1，∴tan(α＋β)＝

eq\f(1＋m,1－m)

tanα.

1．若α，β∈(0，

eq\f(π,2)

)，cos(α－

eq\f(β,2)

)＝

eq\f(\r(3),2)

，sin(

eq\f(α,2)

－β)＝－

eq\f(1,2)

，则cos(α＋β)的值等于()

A．－

eq\f(\r(3),2)

B．－

eq\f(1,2)

C.

eq\f(1,2)

D.

eq\f(\r(3),2)

解析：∵0<α<

eq\f(π,2)

，0<β<

eq\f(π,2)

，∴－

eq\f(π,4)

<α－

eq\f(β,2)

<

eq\f(π,2)

，－

eq\f(π,2)

<

eq\f(α,2)

－β<

eq\f(π,4)

，又cos(α－

eq\f(β,2)

)＝

eq\f(\r(3),2)

，sin(

eq\f(α,2)

－β)＝－

eq\f(1,2)

，∴

eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(α－\f(β,2)＝\f(π,6),\f(α,2)－β＝－\f(π,6)))

，解得α＝β＝

eq\f(π,3)

.或

eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(α－\f(β,2)＝－\f(π,6)，,\f(α,2)－β＝－\f(π,6)，))

α＋β＝0，舍去．

cos(α＋β)＝cos

eq\f(2π,3)

＝－

eq\f(1,2)

.

答案：B

2．求函数y＝7－4sinxcosx＋4cos2x－4cos4x的最大值与最小值．

解答：y＝7－