深化数学课改落实数学核心素养(浙江省级骨干章建跃)

1、深化数学课程深化数学课程改革改革落实数学核心素养落实数学核心素养人民教育出版社人民教育出版社 章建跃章建跃一一、数学课改的数学课改的核心核心任务任务 十八大提出的十八大提出的“教育的根本任务在于立德教育的根本任务在于立德树人树人”就是整个教育改革的核心任务。就是整个教育改革的核心任务。 数学教育的核心任务是数学教育的核心任务是“数学育人数学育人”。 如何把这个要求在如何把这个要求在数学教育数学教育中落实下来，中落实下来，在在课程教材课程教材中体现出来中体现出来，在课堂教学中，在课堂教学中实实施下去施下去？ 要把要把“立德树人立德树人”的要求具体化，体现在的要求具体化，体现在教学内容和教学过程中

2、，转化为一种可操教学内容和教学过程中，转化为一种可操作的行动，转化为数学育人的具体作的行动，转化为数学育人的具体措施措施。 教育部教育部的顶层的顶层设计，设计，数学学科的数学学科的“立德树人立德树人”目标，首先体现在数学学科的核心素养目标，首先体现在数学学科的核心素养上上。 义教课标中义教课标中提出提出了了八八个个“核心概念核心概念”：数感、：数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型念、运算能力、推理能力、模型思想；思想； 高中高中课标修订组进一步提炼了六个数学学科核课标修订组进一步提炼了六个数学学科核心素养：数学抽象、

3、逻辑推理、数学建模、数心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析学运算、直观想象、数据分析。 数学课改的数学课改的核心核心任务任务是提升学生的数学学科核是提升学生的数学学科核心素养，心素养，要有具体措施要有具体措施，要要把数学学科核心素把数学学科核心素养的培育落实在养的培育落实在数学教育的数学教育的各个环节。各个环节。思考思考 到底该不该提到底该不该提“学科核心素养学科核心素养”？ “数学核心素养数学核心素养”与与“核心素养核心素养”是什么关系？是什么关系？ “数学核心素养数学核心素养”的内涵到底是什么？的内涵到底是什么？“六要六要素素”合理吗？是不是缺了点什么？合理吗

4、？是不是缺了点什么？ 例如，蔡金法、徐斌艳提出例如，蔡金法、徐斌艳提出“四要素四要素”：数学：数学交流、数学建模、数学智能计算思维、数学情交流、数学建模、数学智能计算思维、数学情感（全球教育展望，感（全球教育展望，20162016第第1111期）。期）。 对核心素养的内涵尚未形成共识，对数学核心对核心素养的内涵尚未形成共识，对数学核心素养内涵的共识也没有形成。素养内涵的共识也没有形成。 核心素养核心素养是是一个复杂的结构，它的内涵是一个复杂的结构，它的内涵是多维度、多元化的，是情感、态度、知识、多维度、多元化的，是情感、态度、知识、技能的综合表现，因此技能的综合表现，因此“以核心素养为纲以核心

5、素养为纲”的教育教学必然的教育教学必然是超越是超越知识技能知识技能的。的。 学科学科教育要为学生成长和终身发展作出独教育要为学生成长和终身发展作出独特贡献，要通过特贡献，要通过“基于核心素养的教学，基于核心素养的教学，帮助学生形成必备品格和关键能力帮助学生形成必备品格和关键能力”。 日常日常教育以学科教学教育以学科教学为主，为主，脱离具体学科脱离具体学科知识技能的知识技能的“核心素养教育核心素养教育”是苍白无力是苍白无力的，只能是一种空洞说教，因此的，只能是一种空洞说教，因此“如何使如何使学科教学超越知识技能学科教学超越知识技能”是是落实落实核心素养核心素养的关键问题的关键问题。二二、提升学生

6、核心素养的思考点提升学生核心素养的思考点 “学科育人学科育人”要依靠学科的内在力量要依靠学科的内在力量。 “数学育人数学育人”要要用数学的方式，在用数学的方式，在数学数学内内部挖掘育人资源，并使它们在数学教育的部挖掘育人资源，并使它们在数学教育的各个环节中发挥作用各个环节中发挥作用。 从从数学的数学的学科学科本质本质出发出发开展思考和开展思考和研究：研究：数学数学到底是一门怎样的到底是一门怎样的学科学科？其？其独特独特的、的、别的学科不能替代的育人功能到底在别的学科不能替代的育人功能到底在哪里哪里？怎样教才能实现这些育人功能？这样教的怎样教才能实现这些育人功能？这样教的效果如何？效果如何？树立

7、课程意识树立课程意识（1）我教的是一门怎样的课）我教的是一门怎样的课课程性质课程性质（2）这门课这门课能发挥怎样的育人功能，在学生能发挥怎样的育人功能，在学生发展中的不可替代作用是什么发展中的不可替代作用是什么课程目标课程目标（3）如何教这门课）如何教这门课课程实施课程实施（4）这样教在多大程度上实现了它的育人功）这样教在多大程度上实现了它的育人功能能课程评价课程评价数学是这样的学科数学是这样的学科 数学是研究数学是研究数量关系和空间形式的科学。数量关系和空间形式的科学。数学源于对现实世界的数学源于对现实世界的抽象抽象，基于抽象，基于抽象结结构构，通过符号运算、形式推理、模型构建，通过符号运算

8、、形式推理、模型构建等理解和表达现实世界中事物的等理解和表达现实世界中事物的本质本质、关关系系与与规律规律。课标如是说。课标如是说。 数学数学是思维的是思维的科学，科学，具有具有“追求最大限度的一追求最大限度的一般性模式特别是一般性算法的倾向般性模式特别是一般性算法的倾向”，有有一套一套具有普适性的思考结构和交流的符号形式，这具有普适性的思考结构和交流的符号形式，这种结构和符号形式是强大的，富有逻辑，简明种结构和符号形式是强大的，富有逻辑，简明而且精确，是人们可以借助于理解和处理周围而且精确，是人们可以借助于理解和处理周围环境的一种环境的一种思维思维方式方式，包括包括：抽象化、运用符：抽象化、

9、运用符号、建立模型、逻辑分析、推理、计算，不断号、建立模型、逻辑分析、推理、计算，不断地改进、推广，更深入地洞察内在的联系，在地改进、推广，更深入地洞察内在的联系，在更大范围内进行概括，建立更为一般的统一理更大范围内进行概括，建立更为一般的统一理论等一整套严谨的、行之有效的科学方法，这论等一整套严谨的、行之有效的科学方法，这是在获得数学结论、建立数学知识体系的过程是在获得数学结论、建立数学知识体系的过程中必须使用的思维方式中必须使用的思维方式。 推理是数学的命根子，推理是数学的命根子，运算是数学的运算是数学的“童童子功子功”。思维训练的载体就是推理和运算。思维训练的载体就是推理和运算。 数学是

10、一门语言，与语文有相似的特性，数学是一门语言，与语文有相似的特性，它有自己的一套独立的符号系统和严谨的它有自己的一套独立的符号系统和严谨的表达方式表达方式阅读、表达、交流的工具阅读、表达、交流的工具。数学学科的独特育人功能数学学科的独特育人功能 主要在培养学生的思维特别是逻辑思维上，主要在培养学生的思维特别是逻辑思维上，要使学生学会思考，特别是学会要使学生学会思考，特别是学会“有逻辑有逻辑地思考地思考”、创造性思考、创造性思考，使，使学学生成为善于生成为善于认识问题、认识问题、善于善于解决问题的人才。解决问题的人才。 学会严格的逻辑推理，学会运算的方法和学会严格的逻辑推理，学会运算的方法和技巧

11、。技巧。 学会使用学会使用数学数学语言，能用数学的方式阅读、语言，能用数学的方式阅读、表达和交流。表达和交流。例例 如何阅读这段教材如何阅读这段教材怎样才算读懂了这段内容？怎样才算读懂了这段内容？（1 1）这是在象限角概念之后研究它的性质。）这是在象限角概念之后研究它的性质。一般而言，概念明确了研究对象的内涵或组一般而言，概念明确了研究对象的内涵或组成要素，性质研究的主题之一是内涵或要素成要素，性质研究的主题之一是内涵或要素之间的关系。从概念出发研究性质是研究数之间的关系。从概念出发研究性质是研究数学对象的基本之道学对象的基本之道。（2）提出问题的方法：象限角的始边相同，）提出问题的方法：象限

12、角的始边相同，以射线以射线OB为终边的角有无数个，即这些角有为终边的角有无数个，即这些角有“始边、终边都相同始边、终边都相同”的共同特征。这一定的共同特征。这一定性特征如何量化？一般而言，具有相同特征性特征如何量化？一般而言，具有相同特征的事物一定有内在联系，数学要研究这种联的事物一定有内在联系，数学要研究这种联系在数、形上如何表达，特别是要追求精确系在数、形上如何表达，特别是要追求精确的量化表示。从定性到定量是数学的基本策的量化表示。从定性到定量是数学的基本策略略。（3）发现联系方式的方法：借助图像，观察）发现联系方式的方法：借助图像，观察几个与几个与32终边相同的角之间的数量关系，终边相同

13、的角之间的数量关系，在在“旋转整数周旋转整数周”的帮助下，通过运算发现的帮助下，通过运算发现共同特征，得出表达式；再将共同特征，得出表达式；再将32推广到推广到一般角一般角。这里用到数形结合、从特殊到一般、。这里用到数形结合、从特殊到一般、从具体到抽象、通过运算发现规律等，这是从具体到抽象、通过运算发现规律等，这是数学地探索事物性质的普遍方法数学地探索事物性质的普遍方法。 这样的阅读中，有在研究具体内容中领悟这样的阅读中，有在研究具体内容中领悟数学思想方法，也有一般观念指导下的发数学思想方法，也有一般观念指导下的发现和提出问题、分析和解决问题的过程，现和提出问题、分析和解决问题的过程，学生在对

14、课文的深度解读中实现了高水平学生在对课文的深度解读中实现了高水平数学思维参与，再一次经历和体验了数学数学思维参与，再一次经历和体验了数学性质的发现过程，学习了用简洁的符号语性质的发现过程，学习了用简洁的符号语言表示数学规律的方法。言表示数学规律的方法。这是这是用用“数学的数学的方式方式”阅读阅读，是课程意识的体现，也是落是课程意识的体现，也是落实核心素养的要诀实核心素养的要诀。以数学知识为载体发展学生的以数学知识为载体发展学生的核心素养核心素养 数学对象的获得，要注重数学对象的获得，要注重数学数学与现实之间与现实之间的的联联系系，也要注重数学内在的前后一致、逻辑连贯也要注重数学内在的前后一致、

15、逻辑连贯性，从这两个方面发现和提出问题，提升数学性，从这两个方面发现和提出问题，提升数学抽象、直观想象等素养；抽象、直观想象等素养； 对对数学数学对象的对象的研究研究，要注重以，要注重以“一般观念一般观念”为为引导发现规律、获得猜想，通过数学的推理、引导发现规律、获得猜想，通过数学的推理、论证证明结论（定理、性质等）的过程，提升论证证明结论（定理、性质等）的过程，提升推理、运算等素养；推理、运算等素养； 应用数学知识解决问题应用数学知识解决问题，要注重利用数学概念要注重利用数学概念原理分析实际问题原理分析实际问题，体现建模的全过程体现建模的全过程，学会学会分析数据分析数据，从数据中挖掘信息等从

16、数据中挖掘信息等。“两个过程两个过程”的合理性的合理性 从数学从数学知识发生发展过程的合理性、学生知识发生发展过程的合理性、学生思维过程的合理性上加强思考，这是落实思维过程的合理性上加强思考，这是落实数学学科核心素养的关键点数学学科核心素养的关键点。 前前一个的核心是数学的学科思想问题，后一个的核心是数学的学科思想问题，后一个是学生的思维规律、认知特点问题一个是学生的思维规律、认知特点问题。三三、教师专业发展的三大基石、教师专业发展的三大基石理解数学理解数学理解学生理解学生理解教学理解教学 特别是，特别是，“内容所反映的数学思想方法内容所反映的数学思想方法”的理解水平决定了理解数学的高度，同时

17、的理解水平决定了理解数学的高度，同时也决定了教学所能达到的水平和效果。也决定了教学所能达到的水平和效果。“理解数学理解数学”到底要理解什么？到底要理解什么？ 理解数学理解数学理解数学知识的意蕴。理解数学知识的意蕴。 知识的意蕴就是知识所蕴含的理性内涵，知识的意蕴就是知识所蕴含的理性内涵，包括知识的价值、知识的精神、知识的情包括知识的价值、知识的精神、知识的情感等，它是知识的精义和主旨所在。感等，它是知识的精义和主旨所在。 数学知识的意蕴与数学的文化价值、美育数学知识的意蕴与数学的文化价值、美育价值有着天然联系。价值有着天然联系。 只有感知和领悟了数学知识的意蕴，才能理解只有感知和领悟了数学知识

18、的意蕴，才能理解数学的基本思想，才能领会数学思维的奥秘，数学的基本思想，才能领会数学思维的奥秘，才能把握数学的基本方法。所以，理解数学知才能把握数学的基本方法。所以，理解数学知识的意蕴是形成数学学科核心素养的前提。识的意蕴是形成数学学科核心素养的前提。 数学知识的意蕴是启动、维持与深化认识活动数学知识的意蕴是启动、维持与深化认识活动的原动力，是推动数学知识产生的内在根本力的原动力，是推动数学知识产生的内在根本力量。所以，从数学学习的角度看，使学生感悟量。所以，从数学学习的角度看，使学生感悟数学知识的意蕴是培养学生数学地认识问题和数学知识的意蕴是培养学生数学地认识问题和解决问题能力的根基所在。解

19、决问题能力的根基所在。 从培养创新人才出发从培养创新人才出发,应围绕应围绕“数量关系数量关系”、“空间形式空间形式”、“数形结合数形结合”和和“公理化公理化思想思想”这四条主线这四条主线,让让学生学生有机会体会和认有机会体会和认识一些数学本源性问题，例如引发某个数识一些数学本源性问题，例如引发某个数学分支创立的基本问题学分支创立的基本问题,创立过程中出现的创立过程中出现的瓶颈和突破的关键思想瓶颈和突破的关键思想,以及从定性到精确以及从定性到精确定量的基本过程等。定量的基本过程等。 数学对象是怎么抽象出来的；有哪些问题数学对象是怎么抽象出来的；有哪些问题值得研究，如何构建研究路径，如何形成值得研

20、究，如何构建研究路径，如何形成研究方法；如何用已有知识去解决问题，研究方法；如何用已有知识去解决问题，发展新知识；等等。发展新知识；等等。问题讨论问题讨论 什么什么叫叫“数学的方式数学的方式”？从从“有理数有理数” 背景引入背景引入现实的背景、数学内在的逻辑必然现实的背景、数学内在的逻辑必然性；性； 定义定义外延列举式；外延列举式； 表示表示符号、图形；符号、图形； 分类分类分类标准的确定；分类标准的确定； 性质性质相反数、绝对值、大小关系等；相反数、绝对值、大小关系等； 运算和运算律运算和运算律如何定义运算法则？运算法则如何定义运算法则？运算法则需要证明吗？运算律与运算法则的关系？运算律需要

21、证明吗？运算律与运算法则的关系？运算律如何证明？为什么（如何证明？为什么（1）（1）1？到到“实数实数” 背景背景归纳具体实例，发现数的不同属性（无归纳具体实例，发现数的不同属性（无限循环、无限不循环）；限循环、无限不循环）； 定义定义外延列举式；外延列举式； 表示表示符号、图形；符号、图形； 分类分类分类标准的确定；分类标准的确定； 性质性质相反数、绝对值、大小关系等；相反数、绝对值、大小关系等； 运算和运算律（有限提及）。运算和运算律（有限提及）。 再到再到“复数复数”体现数系扩充的基本思想体现数系扩充的基本思想 数系扩充：引入一种新数（如何引入）；数系扩充：引入一种新数（如何引入）；定义

22、其运算（如何定义）；满足怎样的运定义其运算（如何定义）；满足怎样的运算律。算律。 扩充的基本原则是：使算术运算的运算律扩充的基本原则是：使算术运算的运算律保持不变。保持不变。 体现数学体现数学推广过程推广过程的重要特性：的重要特性：使得在原使得在原来范围内成立的规律在更来范围内成立的规律在更大范围大范围内仍然成内仍然成立立。小结：需要关注的问题小结：需要关注的问题 渗透数系扩充的思想；渗透数系扩充的思想； 明确要研究哪些问题；明确要研究哪些问题； 研究研究的的“套路套路”逻辑结构、过程与方逻辑结构、过程与方法；法； 发现和提出问题的方法发现和提出问题的方法归纳；归纳； 一般一般观念指导下的发现

23、和提出问题、分析观念指导下的发现和提出问题、分析和解决问题的和解决问题的过程过程；等等。；等等。再到再到“向量向量” 问题问题1：定义向量概念要完成哪些事情？：定义向量概念要完成哪些事情？ 现实背景现实背景定义定义表示（图形、符号、表示（图形、符号、方向、大小）方向、大小）特例（零向量、单位向特例（零向量、单位向量）量）性质（向量与向量性质（向量与向量的关系，相等的关系，相等是最重要的关系；重点考虑是最重要的关系；重点考虑“方向方向”，所，所以先有平行、共线、相反向量；等等以先有平行、共线、相反向量；等等）。）。问题问题2 2 如何定义向量加法？如何定义向量加法？ 既有大小，又有方向既有大小，

24、又有方向“方向方向”如何相如何相加？加？ “位移位移”是最好的模型，得到是最好的模型，得到“三角形法三角形法则则”； 接下来研究什么问题？接下来研究什么问题？ 定义定义a+0=0+a=a（完备性）；（完备性）； 向量加法的性质：特例（共线）、三角形向量加法的性质：特例（共线）、三角形不等式；运算律。不等式；运算律。向量的向量的数乘数乘 问题问题3 3 这个研究对象是怎么提出来的？这个研究对象是怎么提出来的？ 研究路径该怎样构建（内容、过程和方研究路径该怎样构建（内容、过程和方法）？法）？ 以以发展学生发展学生数学素养为数学素养为追求，根据学生的追求，根据学生的认知规律，螺旋上升地安排认知规律，

25、螺旋上升地安排教教学学内容内容，特，特别是要让重要的（往往也是难以一次完成别是要让重要的（往往也是难以一次完成的）数学概念、思想方法得到反复理解的的）数学概念、思想方法得到反复理解的机会机会。 以以“事实事实概念概念性质（关系）性质（关系）结构（联系）结构（联系）应用应用”为明线为明线； 以以“事实事实方法方法方法论方法论数学学数学学科本质观科本质观”为为暗线。暗线。从数学思维、思想或核心素养角度看从数学思维、思想或核心素养角度看 “事实事实概念概念”主要是主要是“抽象抽象”（对对典型而丰富典型而丰富的具体事例进行观察、比较、分析的具体事例进行观察、比较、分析，归纳共性归纳共性，抽抽象出共同本

26、质特征，并推广到同类事物中去而得出象出共同本质特征，并推广到同类事物中去而得出概念概念）；）； “概念概念性质性质”主要是主要是“推理推理”，包括通过归纳，包括通过归纳推理发现性质，通过（逻辑）演绎推理证明性质推理发现性质，通过（逻辑）演绎推理证明性质； “性质性质结构结构”主要也是主要也是“推理推理”，是建立相关，是建立相关知识之间的联系而形成结构功能良好、迁移能力强知识之间的联系而形成结构功能良好、迁移能力强大的数学认知结构的过程大的数学认知结构的过程； “概念、性质、结构概念、性质、结构应用应用”主要是主要是“建模建模”，是是用用数学数学知识知识解决数学内外的问题。解决数学内外的问题。理

27、解数学知识的三重境界理解数学知识的三重境界 知其然知其然 知其所以然知其所以然 何由以知其所以然何由以知其所以然 启发启发学生，示以思维之道耳！学生，示以思维之道耳！四四、如何、如何“示以学生思维之道示以学生思维之道” 使学生明白数学思维之道的关键点：使学生明白数学思维之道的关键点：（1 1）明确研究对象；）明确研究对象；（2 2）明确研究目标；）明确研究目标；（3 3）明确到达目标的思路概要）明确到达目标的思路概要发挥一般发挥一般观念的引领作用。观念的引领作用。几何几何教材教材呈现呈现的的“研究之道研究之道” 一般一般按按“背景（实际背景、数学背景）背景（实际背景、数学背景）定义（内含、表示

28、）定义（内含、表示）分类（以要素分类（以要素为标准）为标准）性质（要素、相关要素的相性质（要素、相关要素的相互关系）互关系）特例（性质和判定）特例（性质和判定）联联系（应用）系（应用）”的逻辑的逻辑展开展开，在定性研究的，在定性研究的基础上进行定量研究基础上进行定量研究。这个系统具有一般这个系统具有一般意义，是科学研究的意义，是科学研究的“基本之道基本之道”。教师。教师以此为基本依据设计课堂教学，并让学生以此为基本依据设计课堂教学，并让学生反复经历这个逻辑过程，是反复经历这个逻辑过程，是“使学生学会使学生学会思考思考”的的关键。关键。平面几何的研究思路和方法平面几何的研究思路和方法 平面图形中

29、，三角形是最简单的平面图形中，三角形是最简单的，圆，圆是最完美是最完美的（主要表现在对称性上）。于是，平面几何的（主要表现在对称性上）。于是，平面几何中研究三角形、圆的基本性质有奠基作用中研究三角形、圆的基本性质有奠基作用。三三角形是最基本的。角形是最基本的。 得到得到三角形的性质是一方面，更重要的是得到三角形的性质是一方面，更重要的是得到了研究几何图形的一个典范了研究几何图形的一个典范研究研究其他其他几何几何对象都对象都可以循着这样的思路展开，同时还得到可以循着这样的思路展开，同时还得到了一个了一个“工具工具”，因为我们往往利用三角形的，因为我们往往利用三角形的性质去分析其他几何图形的性质。

30、性质去分析其他几何图形的性质。三角形性质的研究思路和三角形性质的研究思路和方法方法 以以三角形三角形的的要素（三条边、三个内角）、要素（三条边、三个内角）、相关要素（高、中线、角平分线、外角等）相关要素（高、中线、角平分线、外角等）以及几何量（边长、角度、面积等）之间以及几何量（边长、角度、面积等）之间的相互关系为基本问题，从的相互关系为基本问题，从“形状、大小形状、大小和位置关系和位置关系”等角度展开研究。显然，这等角度展开研究。显然，这是一般观念指导下的研究是一般观念指导下的研究。 “性质就是一类事物共有的特性性质就是一类事物共有的特性”之类的之类的说法过于宏观，在具体思考中没有可操作说法

31、过于宏观，在具体思考中没有可操作性，需要针对具体内容进行归纳。例如：性，需要针对具体内容进行归纳。例如： 运算中的不变性（规律性）就是性质运算中的不变性（规律性）就是性质研究代数性质，研究代数性质，“算算看算算看”是基本方法；是基本方法； 变化中的不变性（规律性）就是性质变化中的不变性（规律性）就是性质研究函数的性质，在运动变化中进行观察研究函数的性质，在运动变化中进行观察是基本方法；是基本方法； 要素和要素之间确定的关系就是性质要素和要素之间确定的关系就是性质观察几何图形的构成要素之间的相互关系观察几何图形的构成要素之间的相互关系（位置（位置关系、大小关系等）是研究几何性关系、大小关系等）是

32、研究几何性质的基本方法质的基本方法； 让学生理解让学生理解“几何性质几何性质”的内涵的内涵 从三角形的从三角形的“内角和为内角和为180”、“两边之两边之和大于第三边和大于第三边”、“大边对大角大边对大角”、“等等边对等角边对等角”等你想到了什么？等你想到了什么？ 三角形要素之间确定的关系三角形要素之间确定的关系不随三角不随三角形的变化而变化。形的变化而变化。 几何对象组成要素之间确定的关系就是性几何对象组成要素之间确定的关系就是性质。质。 从从“外角等于不相邻两内角的和外角等于不相邻两内角的和”、“三三条高交于一点条高交于一点”、“等腰三角形三线合一等腰三角形三线合一”等又想到了什么？等又想

33、到了什么？ 把外角、高、中线、角平分线等叫做三角把外角、高、中线、角平分线等叫做三角形的相关要素，这些形的相关要素，这些“相关要素相关要素”、要素、要素之间确定的关系。之间确定的关系。 要素、相关要素之间确定的关系也是性质。要素、相关要素之间确定的关系也是性质。 两个几何事物所形成的某种位置关系所体两个几何事物所形成的某种位置关系所体现的性质，例如两条直线平行，从现的性质，例如两条直线平行，从“同位同位角相等角相等”、“内错角相等内错角相等”以及以及“同旁内同旁内角互补角互补”可以想到，这时的可以想到，这时的“性质性质”是借是借助助“第三条直线第三条直线”构成一些角，然后看由构成一些角，然后看

34、由两条直线平行这一位置关系所决定的这些两条直线平行这一位置关系所决定的这些角之间有什么确定的关系。角之间有什么确定的关系。 研究两个几何事物的某种位置关系下具有研究两个几何事物的某种位置关系下具有什么性质，可以从探索这种位置关系下的什么性质，可以从探索这种位置关系下的两个几何事物与其他几何事物之间是否形两个几何事物与其他几何事物之间是否形成确定的关系入手。成确定的关系入手。圆的几何性质圆的几何性质 要素、相关要素：圆心、半径、直径、弧、要素、相关要素：圆心、半径、直径、弧、弦、圆心角、圆周角弦、圆心角、圆周角 你认为可以怎样引导学生发现和提出值得你认为可以怎样引导学生发现和提出值得研究的命题？

35、研究的命题？ 同（等）圆的直径大于不经过圆心的任何同（等）圆的直径大于不经过圆心的任何一条弦；一条弦； 垂直于弦的直径平分弦，并且平分这条弦垂直于弦的直径平分弦，并且平分这条弦所对的两条弧；所对的两条弧； 在同（等）圆中：弧相等则所对的弦相等，在同（等）圆中：弧相等则所对的弦相等，且弦心距也相等；两条劣弧不等，则大弧且弦心距也相等；两条劣弧不等，则大弧所对的弦较大（弦心距较小）；逆定理也所对的弦较大（弦心距较小）；逆定理也成立。成立。 切线垂直于过切点的半径。切线垂直于过切点的半径。 过圆外一点所作圆的两条切线长相等。过圆外一点所作圆的两条切线长相等。 你能发现一些与圆心角相关的定理吗？你能发

36、现一些与圆心角相关的定理吗？几何体结构特征的研究几何体结构特征的研究 棱柱棱柱 要素、相关要素：面、棱、顶点、面对角要素、相关要素：面、棱、顶点、面对角线、体对角线、高线、体对角线、高 要素、相关要素之间的关系：面与面、棱要素、相关要素之间的关系：面与面、棱与棱、面与棱与棱、面与棱 特例：长方体特例：长方体正方体，平行六面体正方体，平行六面体 直线与平面平行的性质直线与平面平行的性质 位置关系：直线位置关系：直线l 平面平面； 其他事物：直线、平面；其他事物：直线、平面； 命题：命题：（1）如果）如果 al，那么，那么a ；（2）如果）如果 a ，那么，那么a l；（3）如果）如果a l，那么

37、，那么a；（4）如果）如果a，那么，那么a l；（5）如果）如果l，那么，那么；（6）如果）如果，那么，那么l；（7）如果）如果l，那么，那么 ；（8）如果）如果 ，那么，那么 l。（9）与）与“公理公理”相联系，直线相联系，直线l与平面与平面 内任内任意一点意一点A确定一个平面确定一个平面 ， =m ，那么，那么 ml；（10）l ，所以，所以l =。如果。如果m在在 内，内，则或者则或者ml，或者，或者m与与l是异面直线。是异面直线。（11）直线）直线m与直线与直线l异面，则过直线异面，则过直线m有且有且只有一个平面与直线只有一个平面与直线l平行。平行。（12）l ， =l， =l1， =

38、l2，那那么么l1l2。贯彻贯彻“以学生为中心以学生为中心”的原则的原则 围绕教学围绕教学目标目标设计尽量多设计尽量多的的挑战性挑战性任务任务； 制造悬念，激发好奇心、学习兴趣；制造悬念，激发好奇心、学习兴趣； 教师教师少做少做，学生，学生多多做做，让学生，让学生感到感到“我我能做能做，能做好能做好”； 避免避免“告知告知”，给学生，给学生更多更多尝试、尝试、发现的机会发现的机会； 调动调动学生学生的所有感官参与的所有感官参与学习学习； 努力努力促成促成学生之间学生之间的的互相学习互相学习； 轻松愉快的轻松愉快的学习氛围，学习氛围，整洁清新的整洁清新的学习环境学习环境； 丰富丰富的反馈信息，包

39、括形成的反馈信息，包括形成性性、总结性总结性的评估的评估和评论和评论。从培养系统思维的要求出发设计教学从培养系统思维的要求出发设计教学 以数学知识的发生发展过程为载体，按学以数学知识的发生发展过程为载体，按学生的认知规律设计教学，使学生经历研究生的认知规律设计教学，使学生经历研究一个数学对象的基本过程，提高发现和提一个数学对象的基本过程，提高发现和提出问题、分析和解决问题的能力，培养认出问题、分析和解决问题的能力，培养认识和解决问题的能力。识和解决问题的能力。数学化的过程数学化的过程关于核心素养立意的教学思考关于核心素养立意的教学思考以三角函数为例以三角函数为例观点：教观点：教好好数学就落实了

40、核心素养数学就落实了核心素养 数学育人的载体是数学知识；数学育人的载体是数学知识； 数学育人要用数学的方式数学育人要用数学的方式什么叫什么叫“数数学的方式学的方式”？ 教教好数学就落实了核心素养好数学就落实了核心素养怎样教才怎样教才算是算是“教好数学教好数学”？一、对三角函数的认识一、对三角函数的认识（一）三角函数发展史概述（一）三角函数发展史概述三角术在希腊定量几何学中三角术在希腊定量几何学中应运而生应运而生，到托到托勒密出版勒密出版数学汇编，希腊三角术及在天数学汇编，希腊三角术及在天文学上的应用达到顶峰。这部著作中有大量文学上的应用达到顶峰。这部著作中有大量三角恒等变形问题，包括和（差）角

41、公式、三角恒等变形问题，包括和（差）角公式、和差化积公式等，证明采用了初等几何方法和差化积公式等，证明采用了初等几何方法。三角学三角学的发展与天文学相互交织，且服务于的发展与天文学相互交织，且服务于天文学。到十六世纪，三角学开始从天文学天文学。到十六世纪，三角学开始从天文学里分离出来，并成为数学的一个分支里分离出来，并成为数学的一个分支。 为了应付航海、天文、测量等实践之需，为了应付航海、天文、测量等实践之需，制作三角函数表成为三角学研究的核心工制作三角函数表成为三角学研究的核心工作。因为在制作过程中需要大量的三角恒作。因为在制作过程中需要大量的三角恒等变形，所以三角恒等变形问题占据了重等变形

42、，所以三角恒等变形问题占据了重要地位要地位。 随着随着对数的发明，特别是微积分的创立，对数的发明，特别是微积分的创立，三角函数表的制作变得轻而易举，繁杂的三角函数表的制作变得轻而易举，繁杂的三角恒等变形不再需要，曾经重要的三角三角恒等变形不再需要，曾经重要的三角公式也风光不再公式也风光不再。（二）三角函数课程的与时俱进（二）三角函数课程的与时俱进 从从应用的角度看，应强调三角函数作为描应用的角度看，应强调三角函数作为描述周期现象的重要数学模型的地位，因为述周期现象的重要数学模型的地位，因为“三角函数与其它学科的联系与结合非常三角函数与其它学科的联系与结合非常重要，最重要的是它与振动和波动的联系

43、，重要，最重要的是它与振动和波动的联系，可以说，它几乎是全部高科技的基础之可以说，它几乎是全部高科技的基础之一一”。在建立三角函数的基本概念、认识。在建立三角函数的基本概念、认识它的基本性质的基础上它的基本性质的基础上，对，对y=Asin(x+)的的研究研究很重要很重要，实用且实用且有利于有利于提升学生的提升学生的数学建模能力数学建模能力。 “正弦、余弦函数是一对起源于圆周运动，正弦、余弦函数是一对起源于圆周运动，密切配合的周期函数，它们是解析几何学密切配合的周期函数，它们是解析几何学和周期函数的分析学中最为基本和重要的和周期函数的分析学中最为基本和重要的函数；而正弦、余弦函数的基本性质乃是函

44、数；而正弦、余弦函数的基本性质乃是圆的几何性质（主要是其对称性）的直接圆的几何性质（主要是其对称性）的直接反映。反映。”所以，要充分发挥单位圆的作用所以，要充分发挥单位圆的作用，借助借助单位圆的性质研究三角函数的所有内单位圆的性质研究三角函数的所有内容，这有利于提高学生的数形转化、直观容，这有利于提高学生的数形转化、直观想象能力。想象能力。 在思想、方法上，要强调函数的变换（映在思想、方法上，要强调函数的变换（映射）与坐标系的变换及其关系、对称性与射）与坐标系的变换及其关系、对称性与不变性等数学的主流思想和不变性等数学的主流思想和方法方法有些有些放正文，有些可以作为拓展放正文，有些可以作为拓展

45、。 这样认识和处理内容，体现了三角函数性这样认识和处理内容，体现了三角函数性质的整体性，可以更充分地发挥三角函数质的整体性，可以更充分地发挥三角函数在培养学生在培养学生的的直观想象、直观想象、数学数学抽象、抽象、逻辑逻辑推理推理、数学运算和数学建模、数学运算和数学建模等等核心素养的核心素养的作用作用。 要强调三角函数与向量、复数、解析几何要强调三角函数与向量、复数、解析几何等的联系与综合，这可以通过加强三角函等的联系与综合，这可以通过加强三角函数在后续相关内容中的应用来体现，也可数在后续相关内容中的应用来体现，也可以通过用向量、复数的方法重新推导三角以通过用向量、复数的方法重新推导三角变换公式

46、等来实现。变换公式等来实现。 总之，定义三角函数的最好方式是利用直总之，定义三角函数的最好方式是利用直角坐标系中的单位圆。抓住三角函数作为角坐标系中的单位圆。抓住三角函数作为刻画匀速圆周运动的数学模型，这就真正刻画匀速圆周运动的数学模型，这就真正抓住了要领，就能以简驭繁抓住了要领，就能以简驭繁。二、课标对三角函数的定位二、课标对三角函数的定位 三角函数三角函数是一类最典型的是一类最典型的周期函数周期函数。 整体要求：整体要求：借助单位圆建立一般三角函数的概念，借助单位圆建立一般三角函数的概念，体会引入弧度制的必要性；能够用几何直观和代数体会引入弧度制的必要性；能够用几何直观和代数运算的方法研究

47、三角函数的周期性、对称性、单调运算的方法研究三角函数的周期性、对称性、单调性和最值等性质；能够探索和研究三角函数之间的性和最值等性质；能够探索和研究三角函数之间的一些恒等关系；能够利用三角函数构建数学模型，一些恒等关系；能够利用三角函数构建数学模型，解决实际问题。提升数学抽象能力、直观想象和运解决实际问题。提升数学抽象能力、直观想象和运算能力以及数学建模能力。算能力以及数学建模能力。 本章本章内容的大结构：概念内容的大结构：概念（基本）（基本）性质性质（周期周期性性、对称性、单调性和最值、对称性、单调性和最值等等）特殊性质特殊性质（三三角函数角函数的恒等的恒等关系）关系）应用。应用。 加强单位

48、圆的作用，进一步突出主线和核加强单位圆的作用，进一步突出主线和核心概念；心概念； 体现研究一个数学对象的内容、过程和方体现研究一个数学对象的内容、过程和方法：概念法：概念图像、基本性质（直接由定图像、基本性质（直接由定义推出，要素的关系）义推出，要素的关系）其他性质（联其他性质（联系层面）系层面）应用（把应用（把y = A sin (x+)作为作为应用、建模的结果）。应用、建模的结果）。三、学生认知三、学生认知分析分析 认知基础：认知基础：学习了函数的一般概念、表示学习了函数的一般概念、表示与性质等，掌握了研究函数的一般方法，与性质等，掌握了研究函数的一般方法，通过幂、指、对函数的学习，已经掌

49、握了通过幂、指、对函数的学习，已经掌握了研究一类函数的结构、内容、过程与方法。研究一类函数的结构、内容、过程与方法。这些函数的一个共同特点是它们的表达式这些函数的一个共同特点是它们的表达式都是代数式，是代数运算规律的反映。学都是代数式，是代数运算规律的反映。学生在平面几何中学习了圆的知识，对圆的生在平面几何中学习了圆的知识，对圆的几何性质有一定的掌握，但对几何性质有一定的掌握，但对“圆的旋转圆的旋转对称性对称性”强调不够。强调不够。学习困难分析学习困难分析 三角函数三角函数不不以以“代数运算代数运算”为为媒介媒介，是是几几何量（角与有向线段）之间何量（角与有向线段）之间的的直接直接对应对应，不

50、是通过对不是通过对计算得到函数值，这是一个复计算得到函数值，这是一个复杂、不良结构杂、不良结构情境情境，是主要的学习难点。是主要的学习难点。 在在“对应关系对应关系”的认识上必须采取措施破的认识上必须采取措施破除定势，帮助学生搞清三角函数的除定势，帮助学生搞清三角函数的“三要三要素素”，特别是要在落实，特别是要在落实“给定一个角，如给定一个角，如何得到对应的函数值何得到对应的函数值”的操作过程的基础的操作过程的基础上再给上再给定义定义。 三角函数的三角函数的性质与以往不同性质与以往不同，主要表现在，主要表现在丰富的对称性上丰富的对称性上；以单位圆为媒介而建立以单位圆为媒介而建立起性质之间的丰富

51、关联，例如，由定义直起性质之间的丰富关联，例如，由定义直接推出同角三角函数之间的关系；结合单接推出同角三角函数之间的关系；结合单位圆上点的运动及其坐标的变化规律（非位圆上点的运动及其坐标的变化规律（非常直观），由定义可直接推出单调性、周常直观），由定义可直接推出单调性、周期性期性。四、四、教教学设计学设计的思考的思考 根据根据数学知识发生发展过程的内在逻辑，数学知识发生发展过程的内在逻辑，体现研究一个数学对象的体现研究一个数学对象的“基本套路基本套路”，使使教教学学内容具有逻辑严谨性内容具有逻辑严谨性，教学过程具，教学过程具有有连贯性；连贯性；同时，要发挥核心概念及其蕴同时，要发挥核心概念及其

52、蕴含的数学思想方法的纽带作用，使含的数学思想方法的纽带作用，使教教学过学过程程具有具有思想方法思想方法的的前后前后一致性。一致性。科学科学性性 以以发展学生发展学生数学素养为数学素养为追求，根据学生的追求，根据学生的认知规律，螺旋上升地安排认知规律，螺旋上升地安排教教学学内容内容，特，特别是要让重要的（往往也是难以一次完成别是要让重要的（往往也是难以一次完成的）数学概念、思想方法得到反复理解的的）数学概念、思想方法得到反复理解的机会机会。心理性心理性 以以“事实事实概念概念性质（关系）性质（关系）结构（联系）结构（联系）应用应用”为明线为明线； 以以“事实事实方法方法方法论方法论数学学数学学科

53、本质观科本质观”为为暗线。暗线。从数学思维从数学思维、思想、思想或核心或核心素养角度素养角度看看 “事实事实概念概念”主要是主要是“抽象抽象”（在周而复（在周而复始的运动过程中，涉及哪些量，它们之间的关始的运动过程中，涉及哪些量，它们之间的关系如何，可以用怎样的数学方式表示）系如何，可以用怎样的数学方式表示）； “概念概念性质性质”主要是主要是“推理推理”，包括通过，包括通过归纳推理发现性质，通过（逻辑）演绎推理证归纳推理发现性质，通过（逻辑）演绎推理证明性质明性质； “性质性质结构结构”主要也是主要也是“推理推理”，是建立，是建立相关知识之间的联系而形成结构功能良好、迁相关知识之间的联系而形

54、成结构功能良好、迁移能力强大的数学认知结构的过程移能力强大的数学认知结构的过程； “概念、性质、结构概念、性质、结构应用应用”主要是主要是“建建模模”，是，是用用数学数学知识知识解决数学内外的问题。解决数学内外的问题。 在在整个整个教学内容教学内容的的展开过程中，都要发挥展开过程中，都要发挥“一般观念一般观念”的作用，加强的作用，加强“如何思考如何思考”、“如何发现如何发现”的启发和引导，特别是在概的启发和引导，特别是在概念的抽象要做念的抽象要做什么什么、“几何性质几何性质”“”“代数代数性质性质”“”“函数性质函数性质”指什么等问题指什么等问题上要及上要及时引导，以使学生明确思考方向时引导，

55、以使学生明确思考方向。 当前的教学，主要问题是数学没有讲好，当前的教学，主要问题是数学没有讲好，老师不知道如何老师不知道如何“示以思维之道示以思维之道”。我们。我们应当加强这方面的研究。应当加强这方面的研究。五、素材选择的五、素材选择的思考思考 在概念引入阶段，要使用学生熟悉的周而在概念引入阶段，要使用学生熟悉的周而复始现象，使学生认识到研究三角函数的复始现象，使学生认识到研究三角函数的必要性。必要性。 在概念的抽象（即研究对象的获得）阶段，在概念的抽象（即研究对象的获得）阶段，要利用典型的匀速圆周运动，如水车、摩要利用典型的匀速圆周运动，如水车、摩天轮等，物理中的简谐振动、波动、电磁天轮等，

56、物理中的简谐振动、波动、电磁振荡等，构建振荡等，构建“周期变化现象周期变化现象匀速圆匀速圆周运动周运动单位圆上的点以单位速率作匀单位圆上的点以单位速率作匀速运动速运动”的过程的过程。 在性质的研究阶段，要充分发挥学生已经在性质的研究阶段，要充分发挥学生已经掌握的研究函数性质的已有经验以及圆的掌握的研究函数性质的已有经验以及圆的几何性质的作用，因此要在选材上重视函几何性质的作用，因此要在选材上重视函数性质、圆的性质等要素。数性质、圆的性质等要素。 在应用阶段，要注意利用水车、摩天轮、在应用阶段，要注意利用水车、摩天轮、潮起潮落等现实素材，让学生经历真实的潮起潮落等现实素材，让学生经历真实的建立三

57、角函数模型解决实际问题的过程；建立三角函数模型解决实际问题的过程；还要选择物理等相关学科有一定变式性质还要选择物理等相关学科有一定变式性质的实例，如钟摆、电学等的实例，如钟摆、电学等。六、系列数学活动的安排六、系列数学活动的安排（一）数学知识、数学活动与核心素养的（一）数学知识、数学活动与核心素养的关系关系 核心素养就是在复杂情境中解决问题的能力和核心素养就是在复杂情境中解决问题的能力和品质品质。 核心核心素养所蕴含的学习观认为，核心素养是个素养所蕴含的学习观认为，核心素养是个体在与情境的持续互动中，不断解决问题、创体在与情境的持续互动中，不断解决问题、创生意义的过程中形成的生意义的过程中形成

58、的。 数学数学核心素养的形成是以数学知识为载体，以核心素养的形成是以数学知识为载体，以数学活动为路径而逐步实现的。情境化是数学数学活动为路径而逐步实现的。情境化是数学知识转化为数学素养的重要途径。知识转化为数学素养的重要途径。 构建构建系列数学系列数学活动活动，要要注重创设与现实生注重创设与现实生活紧密关联的、真实性的问题情境（这样活紧密关联的、真实性的问题情境（这样的情境必然具有一定的复杂性），设计基的情境必然具有一定的复杂性），设计基于问题的、基于项目的活动方式（如典型于问题的、基于项目的活动方式（如典型实例的共同特征的抽象与概括，数学对象实例的共同特征的抽象与概括，数学对象的要素之间关系

59、的探索，相关概念之间联的要素之间关系的探索，相关概念之间联系性的研究等），引导学生开展体验学习、系性的研究等），引导学生开展体验学习、合作学习、建构学习，通过有结构、有逻合作学习、建构学习，通过有结构、有逻辑的系统学习，逐步形成数学学科观念、辑的系统学习，逐步形成数学学科观念、数学思维方式和探究技能，促进数学知识数学思维方式和探究技能，促进数学知识和技能的持续结构化，使学生的理性思维和技能的持续结构化，使学生的理性思维不断走向成熟不断走向成熟。（二）以（二）以系统化知识结构系统化知识结构为载体的为载体的数学活动数学活动设计设计 背景引入背景引入，通过通过典型而丰富的周而复始的典型而丰富的周而复始的变化现象，着重解决研究三角函数的必要变化现象，着重解决研究三角函数的必要性，要发挥信息技术的力量。性，要发挥信息技术的力量。 预备预备概念，任意角与弧度制，通过生产、概念，任意角与弧度制，通过生产、生活中的实际问题，使