【其中考试】2022-2023学年山西省晋中市某校高三（上）8月质检数学试卷答案与详细解析

试卷第=page2424页，总=sectionpages2424页试卷第=page2323页，总=sectionpages2424页2022-2023学年山西省晋中市某校高三（上）8月质检数学试卷一、选择题

1.若集合A=x|y=lnA.3,+∞ B.2,3 C.1,3 D.2,+∞

2.若复数z满足2-iz-i=5+4iA.3-3i B.3+3i C.1+3

3.“log3x-2<1A.2<x<5 B.x>5 C.

4.在1，2，3，4，6共5个整数中任取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（

）A.15 B.14 C.3

5.如图，在四边形ABCD中，E，F分别为AB，CD的中点，若AD→=a,BC→=bA.12a+12b

6.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E为棱C1A.15 B.1010 C.5

7.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0与斜率为1的直线交于A.2 B.103 C.52

8.已知fx是R上的奇函数，且f2-x=fxA.-3 B.-1 C.1

9.如图，函数fx=2sinωx+φω>0,|φ|<π2A.向右平移7π6个单位长度 B.向左平移5π2个单位长度

C.向右平移5π2个单位长度 D.向左平移

10.已知F为抛物线C：y2=2pxp>0的焦点，过F且斜率为1的直线交C于A，B两点，若|FAA.1 B.2 C.3 D.4

11.下列函数中，最小值不为2的是（

）A.yB.yC.yD.y

12.如图，在三棱锥A-BCD中，平面ABD⊥平面CBD，AB=BC=CD=AD=BD=6，点M在ACA.12π B.10π C.8π D.4二、填空题

x-a7的展开式中x3的系数为560

已知fx=2sinx+π

过点1,1的直线与圆C:x-22+y2=8

已知定义在-3,3上的函数fx满足fx+e4xf-x三、解答题

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosA2=asinB.

（1）求角A；

（2）若

2022年7月6日∼14日，素有“数学界奥运会”之称的第29届国际数学家大会，受疫情影响，在线上进行，世界各地的数学家们相聚云端、共襄盛举．某学校数学爱好者协会随机调查了学校100名学生，得到如下调查结果；男生占调查人数的55%，喜欢数学的有40人，其余的人不喜欢数学；在调查的女生中，喜欢数学的有20人，其余的不喜欢数学．

（1）请完成下面2×2列联表，并根据2×2列联表判断是否有99.5%的把握认为该校学生喜欢数学与学生的性别有关？

（2）采用分层抽样的方法，从不喜欢数学的学生中抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记X为3人中不喜欢数学的男生人数，求X的分布列和数学期望．

参考公式：K2=nad-bc2a+

如图，在三棱锥P-ABC中，侧面PAC⊥底面ABC，E为PB的中点．

（1）若AB=AP,CB=CP，求证：BP⊥AC；

（

在数列an中，a1=1，且∀n≥2,a1+12a2+13a3+⋯+1n-

已知椭圆E．x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点分别为F1,F2，且F1,F2与短轴的两个端点恰好为正方形的四个顶点，点P22,32在E上．

（1）求E的方程；

（2

已知函数fx(1)讨论fx(2)当a=-1时，判断曲线y=f

参考答案与试题解析2022-2023学年山西省晋中市某校高三（上）8月质检数学试卷一、选择题1.【答案】B【考点】交集及其运算【解析】此题暂无解析【解答】由题意知A=2,+∞,B=2.【答案】D【考点】复数代数形式的混合运算共轭复数【解析】此题暂无解析【解答】由2-iz-i=5+4i，得3.【答案】C【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】此题暂无解析【解答】由log3x-2<1，得2<x<5，所以选项A是充要条件，选项B4.【答案】A【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率【解析】此题暂无解析【解答】在1，2，3，4，6中任取2个数，共有10种取法，互质的情况有1,2,1,3,5.【答案】A【考点】向量在几何中的应用向量的加法及其几何意义【解析】此题暂无解析【解答】由题意知EF→=EB→+BC→+CF→,EF→=EA→+AD→6.【答案】B【考点】异面直线及其所成的角余弦定理【解析】此题暂无解析【解答】取A1D1的中点F，连接A1C1，EF，DF，则A1C1//AC,EF//A1C1，所以EF//AC，所以∠DEF7.【答案】C【考点】双曲线的离心率【解析】此题暂无解析【解答】设Ax1,y1,Bx2,y2，则x12a2-y12b2=1,x22a28.【答案】A【考点】函数的求值函数奇偶性的性质函数的周期性【解析】此题暂无解析【解答】由题意，得f2+x=f-x=-fx．所以fx+4=fx．所以fx是周期为4的周期函数，所以f2022+9.【答案】B【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】此题暂无解析【解答】设fx的最小正周期为T，由图象知T4=2π-π2=3π2，所以T=6π，所以ω=2π6π=13，又f10.【答案】D【考点】与抛物线有关的中点弦及弦长问题【解析】此题暂无解析【解答】由题意知Fp2,0，AB的方程为y=x-p2，代入C的方程，得x2-3px+p24=0，设Ax1,y11.【答案】D【考点】利用导数研究函数的最值基本不等式在最值问题中的应用【解析】此题暂无解析【解答】对于A，y=x24+4x2≥2x24⋅4x2=2，当且仅当x=±2时等号成立，故最小值为2；

对于B，y'=-sinx+sinx+xcosx=xcosx，所以y在0,π2,3π2,2π上单调递增，在π2,3π2上单调递减，从而x=3π12.【答案】A【考点】球的表面积和体积球内接多面体【解析】此题暂无解析【解答】由题意知△ABD和△BCD为等边三角形，取BD中点为E，连接AE，CE，则AE⊥

BD，由平面ABD⊥平面CBD，平面ABD∩平面CBD=BD，故AE⊥平面CBD，AE=

AD2-DE2=62-32=33，易知球心O在平面BCD的投影为△BCD的外心O1，过

O作OH⊥AE于H，易得OH//O1E,OO1二、填空题【答案】2(-2也可以）

【考点】二项展开式的特定项与特定系数【解析】此题暂无解析【解答】Tr+1=C7rx7-r-ar，令【答案】2【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】此题暂无解析【解答】

因为fx=2cosx+f'-π2sinx，所以【答案】2【考点】直线与圆相交的性质【解析】此题暂无解析【解答】设圆心C到直线AB的距离为d，由题意得0<d≤2,|AB|=28-d2【答案】1,5【考点】奇偶性与单调性的综合利用导数研究函数的单调性【解析】此题暂无解析【解答】

令gx=fxe2x，所以fx=e2xgx，因为fx+e4xf-x=0，所以e2x⋅gx+e4x⋅e-2xg-x=

0，化简得gx+g-x=0，所以gx是-三、解答题【答案】解：（1）由bcosA2=asinB及正弦定理，得sinBcosA2=sinAsinB，

因为sinB≠0，所以cosA2=sinA，

所以cosA2=2sinA2cosA2

．

因为A∈0,π，所以A2∈0,π2，所以cos【考点】正弦定理余弦定理【解析】此题暂无解析【解答】解：（1）由bcosA2=asinB及正弦定理，得sinBcosA2=sinAsinB，

因为sinB≠0，所以cosA2=sinA，

所以cosA2=2sinA2cosA2

．

因为A∈0,π，所以A2∈0,π2，所以cos【答案】解：（1）调查的男生人数为100×55%=55（人），调查的女生人数为100-55=45（人），

补全2×2列联表如下：

K2=100×40×25-15×20260×40×55×45≈8.249>7.879，

所以有99.5%的把握认为该校学生喜欢数学与学生的性别有关．……………

（2）在抽取的8人中，不喜欢数学的男生人数15×840=3人，不喜欢数学的女生人数25×840=5人，

由题意可知，X的可能取值为0,1，2，3，

【考点】离散型随机变量的期望与方差独立性检验【解析】此题暂无解析【解答】解：（1）调查的男生人数为100×55%=55（人），调查的女生人数为100-55=45（人），

补全2×2列联表如下：

K2=100×40×25-15×20260×40×55×45≈8.249>7.879，

所以有99.5%的把握认为该校学生喜欢数学与学生的性别有关．……………

（2）在抽取的8人中，不喜欢数学的男生人数15×840=3人，不喜欢数学的女生人数25×840=5人，

由题意可知，X的可能取值为0,1，2，3，

P【答案】（1）证明：因为E为PB的中点，AB=AP,CB=CP

所以PB⊥AE,PB⊥CE，

又AE∩CE=E，且AE，CE⊂平面ACE，所以PB⊥平面ACE，

因为AC⊂平面ACE，所以BP⊥AC.

（2）解：作PO⊥AC，垂足为点O．

因为平面PAC⊥底面ABC，平面PAC∩底面ABC=AC,PO⊂平面PAC，

所以PO⊥平面ABC．

以O为坐标原点，直线OC，OP分别为y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

设AP=1，因为∠PAC=60∘，所以P0,0,32,A0,-12,0【考点】两条直线垂直的判定用空间向量求直线与平面的夹角【解析】此题暂无解析【解答】（1）证明：因为E为PB的中点，AB=AP,CB=CP

所以PB⊥AE,PB⊥CE，

又AE∩CE=E，且AE，CE⊂平面ACE，所以PB⊥平面ACE，

因为AC⊂平面ACE，所以BP⊥AC.

（2）解：作PO⊥AC，垂足为点O．

因为平面PAC⊥底面ABC，平面PAC∩底面ABC=AC,PO⊂平面PAC，

所以PO⊥平面ABC．

以O为坐标原点，直线OC，OP分别为y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

设AP=1，因为∠PAC=60∘，所以P0,0,32,A0,-12,0,【答案】（1）解：因为∀n≥2,a1+12a2+13a3+⋯

+1n-1an-1=an

所以当n≥3,a1+12a2+13a3+⋯+1n-2an-2=an-1，

两式相减，得1n-1an-1【考点】数列的求和数列递推式【解析】此题暂无解析【解答】（1）解：因为∀n≥2,a1+12a2+13a3+⋯

+1n-1an-1=an

所以当n≥3,a1+12a2+13a3+⋯+1n-2an-2=an-1，

两式相减，得1n-1an-1【答案】（1）解：设|F1F2|=2c，因为两个焦点和短轴的两个端点为正方形的四个顶点，所以b=c

因为点P22,32在E上，所以24a2+34b2=1，又a2=b2+c2，

所以a2=2,b2=1

所以E的方程为x22+y2=1

（2）证明：由（①知F21,0，由题意知，直线AB和直线CD的斜率都存在且不为0，设直线AB方程为x=my+1，与E的方程联立

x22+y2=1x=my+1,

消去x并整理，得m2+2y2+2my-1=0，

首先Δ=4m2+4m2+2>0

其次，设Ax1,y1【考点】椭圆的标准方程圆锥曲线中的定点与定值问题【解析】此题暂无解析【解答】（1）解：设|F1F2|=2c，因为两个焦点和短轴的两个端点为正方形的四个顶点，所以b=c

因为点P22,32在E上，所以24a2+34b2=1，又a2=b2+c2，

所以a2=2,b2=1

所以E的方程为x22+y2=1

（2）证明：由（①知F21,0，由题意知，直线AB和直线CD的斜率都存在且不为0，设直线AB方程为x=my+1，与E的方程联立

x22+y2=1x=my+1,

消去x并整理，得m2+2y2+2my-1=0，

首先Δ=4m2+4m2+2>0

其次，设Ax1,y1【答案】（1）解：fx的定义域为R，f'x=ex-a

当a≤0时，f'x>0，则fx在区间-∞,+∞上单调递增；

当a>0时，由f'x=0，解得x=ln（2）设gx=ex+x+4ln2-x

则其定义域为-∞,2

g'x=ex-2+x2-x=ex1-2+x2-xex

且g'0=0

设mx=1-2+x2-xexx<2

则m'x=-x22-x2ex≤0

所以mx在