2023版高三一轮总复习数学新教材新高考第9章 第3节第1课时随机事件、频率与概率

8/8随机事件与概率第1课时随机事件、频率与概率[考试要求]1.结合具体实例，理解样本点和有限样本空间的含义，理解随机事件与样本点的关系.2.了解随机事件的并、交与互斥的含义，掌握随机事件概率的运算法则.3.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概率的区别．1．随机试验及其特点(1)定义：对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母E表示．(2)特点：①试验可以在相同条件下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果．2．样本空间(1)随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，常用ω表示；(2)全体样本点的集合称为试验E的样本空间，常用Ω表示样本空间，称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间．3．事件的分类(1)随机事件我们将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件．随机事件一般用大写字母A，B，C，…表示．在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生．(2)必然事件Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件．(3)不可能事件空集∅不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称∅为不可能事件．4．两个事件的关系和运算事件的关系或运算含义符号表示图形表示包含A发生导致B发生A⊆B并事件(和事件)A与B至少一个发生A∪B或A＋B交事件(积事件)A与B同时发生A∩B或AB互斥(互不相容)A与B不能同时发生A∩B＝∅互为对立A与B有且仅有一个发生A∩B＝∅，A∪B＝Ω提醒：对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件．5．频率与概率(1)事件的概率对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率，事件A的概率用P(A)表示．(2)频率的稳定性一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)．我们称频率的这个性质为频率的稳定．一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值． ()(2)两个事件的和事件发生是指这两个事件至少有一个发生． ()(3)必然事件一定发生． ()[答案](1)√(2)√(3)√二、教材习题衍生1.下列事件不是随机事件的是()A．东边日出西边雨 B．下雪不冷化雪冷C．清明时节雨纷纷 D．梅子黄时日日晴B[B是必然事件，其余都是随机事件．]2．一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的对立事件是()A．至多有一次中靶 B．两次都中靶C．只有一次中靶 D．两次都不中靶D[“至少有一次中靶”的对立事件是“两次都不中靶”．]3．容量为20的样本数据，分组后的频数如下表：分组[10,20)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70]频数234542则样本数据落在区间[10,40)的频率为()A．0.35 B．0.45C．0.55 D．0.65B[由表知[10,40)的频数为2＋3＋4＝9，所以样本数据落在区间[10,40)的频率为eq\f(9,20)＝0.45.]4．把语文、数学、英语三本书随机分给甲、乙、丙三位同学，每人一本，记事件A为“甲分得语文书”，事件B为“乙分得数学书”，事件C为“丙分得英语书”，则下列说法正确的是()A．A与B是不可能事件B．A＋B＋C是必然事件C．A与B不是互斥事件D．B与C既是互斥事件也是对立事件C[事件A，事件B，事件C都是随机事件，可能发生，也可能不发生，故A，B两项错误；事件A，事件B可能同时发生，故事件A与事件B不是互斥事件，C项正确；事件B与事件C既不互斥，也不对立，D项错误．故选C．]考点一随机事件与样本空间 1．下列事件中是必然事件的是()A．任意买一张电影票，座位号是2的倍数B．13个人中至少有两个人生肖相同C．车辆随机到达一个路口，遇到红灯D．明天一定下雨B[生肖有12个，因此13个人中必定至少有2个人的生肖相同，所以“13个人中至少有两个人生肖相同”是必然事件．]2.(多选)袋中装有标号分别为1、3、5、7的四个相同的小球，从中取出两个，下列事件是基本事件的是()A．取出的两球标号为3和7B．取出的两球标号的和为4C．取出的两球的标号都大于3D．取出的两球的标号的和为8ABC[基本事件即只含有一个样本点的事件，选项A，B，C都只含有一个样本点，是基本事件，D中包含取出标号为1和7,3和5两个样本点，所以D不是基本事件．]3．从1,2,3，…，10中任意选一个数，这个试验的样本空间为________，“它是偶数”这一事件包含的样本点个数为________．Ω＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}5[任选一个数，共有10种不同选法，故样本空间为Ω＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，其中偶数共有5种，故“它是偶数”这一事件包含的样本点个数为5.]1.判断事件类型要看事件的发生是否具有随机性，搞清事件的条件．2．确定样本空间的方法(1)必须明确事件发生的条件；(2)根据题意，按一定的次序列出问题的答案．特别要注意结果出现的机会是均等的，按规律去写，要做到既不重复也不遗漏．考点二事件的关系与运算 1．盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝{3个球中有1个红球，2个白球}，事件B＝{3个球中有2个红球，1个白球}，事件C＝{3个球中至少有1个红球}，事件E＝{3个红球}，那么事件C与A，B，E的运算关系是()A．C＝(A∩B)∪E B．C＝A∪B∪EC．C＝(A∪B)∩E D．C＝A∩B∩EB[由题意可知C＝A∪B∪E.]2．(多选)从2个红球和2个黑球的口袋中任取2个小球，则下列结论正确的是()A．“至少一个红球”和“都是红球”是互斥事件B．“恰有一个黑球”和“都是黑球”是互斥事件C．“至少一个黑球”和“都是红球”是对立事件D．“恰有一个红球”和“都是红球”是对立事件BC[不妨记两个黑球为A1，A2，两个红球为B1，B2，从中取出2个球，则所有样本点如下：A1A2，A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，B1B2，恰有一个黑球包括：A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，都是黑球包括A1A至少一个黑球包括：A1A2，A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，都是红球包括B1B2两个事件没有共同的样本点，且两者包括的样本点的并集为全部样本点，故对立，C正确．同理可知A、D都不正确，故选BC．]3．对飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝{两次都击中飞机}，B＝{两次都没击中飞机}，C＝{恰有一次击中飞机}，D＝{至少有一次击中飞机}，其中彼此互斥的事件是________，互为对立事件的是________．A与B，A与C，B与C，B与DB与D[设I为对飞机连续射击两次所发生的所有情况，因为A∩B＝∅，A∩C＝∅，B∩C＝∅，B∩D＝∅，故A与B，A与C，B与C，B与D为互斥事件．而B∩D＝∅，B∪D＝I，故B与D互为对立事件．]1．判断互斥、对立事件的两种方法(1)定义法：判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件．(2)集合法：①由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥．②事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集．2．进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考虑同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可列出全部的试验结果进行分析．也可类比集合的关系和运算用Venn图分析事件．考点三随机事件的频率与概率 [典例]某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y(单位：万千瓦时)与该河上游在六月份的降雨量X(单位：毫米)有关．据统计，当X＝70时，Y＝460；X每增加10，Y增加5.已知近20年X的值为140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,160,160,200,140,110,160,220,140,160.(1)完成如下的频率分布表：近20年六月份降雨量频率分布表降雨量70110140160200220频率eq\f(1,20)eq\f(4,20)eq\f(2,20)(2)假定今年6月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同，并将频率视为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率．[解](1)在所给数据中，降雨量为110毫米的有3个，为160毫米的有7个，为200毫米的有3个，故近20年六月份降雨量频率分布表为降雨量70110140160200220频率eq\f(1,20)eq\f(3,20)eq\f(4,20)eq\f(7,20)eq\f(3,20)eq\f(2,20)(2)由已知可得Y＝eq\f(X,2)＋425，故P(“发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时”)＝P(Y<490或Y>530)＝P(X<130或X>210)＝P(X＝70)＋P(X＝110)＋P(X＝220)＝eq\f(1,20)＋eq\f(3,20)＋eq\f(2,20)＝eq\f(3,10).频率与概率的区别频率本身是随机的，在试验之前是无法确定的，在相同的条件下做同样次数的重复试验，得到的事件的频率值也可能会不同概率本身是一个在[0,1]内的确定值，不随试验结果的改变而改变eq\o([跟进训练])某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：上年度出险次数01234≥5保费/元0.85a1.251.51.752随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：出险次数01234≥5频数605030302010(1)记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”，求P(A)的估计值；(2)记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”，求P(B)的估计值；(3)求续保人本年度平均保费的估计值．[解](1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知，一年内出险次数小于2的频率为eq\f(60＋50,200)＝0.55，故P(A)的估计值为0.55.(