高考教案数学三角函数知识总结点计划总结练习

三角函数总结及统练一.授课内容：三角函数总结及统练（一）基础知识1.与角终边相同的角的会合S{2k,kZ}2.三角函数的定义（六种）——三角函数是x、y、r三个量的比值三角函数的符号——口诀：一正二弦，三切四余弦。三角函数线正弦线MP=sin余弦线OM=cos正切线AT=tan同角三角函数的关系平方关系：商数关系：倒数关系：tancot1sincsc1cossec1口诀：凑一拆一；切割化弦；化异为同。引诱公式——口诀：奇变偶不变，符号看象限。正弦余弦正切余切两角和与差的三角函数二倍角公式——代换：令sin21cos22cos21cos2降幂公式21cos1cos1cossincostan1cos半角公式：22；22；2三角函数的图象和性质函数图象定义RR域值x2k/2时x2k时R域ymax1ymax1x2k/2时x2k无最大值最时无最小值值ymin1ymin1周期周期为2周期为2周期为性奇偶奇函数偶函数奇函数性[2k,2k]在[2k,2k]上k,k单一在22都是增函数，在在22性上都是增函数；在[2k,2k]上都内都是增函数[2k,2k3是减函数（kZ）（kZ）]22上都是减函数（kZ）10.函数yAsin(x)的图象变换A0,0函数yAsin(x)的图象能够经过以下两种方式获取：（1）ysinx图象左移ysin(x)横坐标缩短到原来的1倍横坐标缩短到原来的1倍图象左移（2）ysinxysin(x)（二）数学思想与基本解题方法式子变形原则：凑一拆一；切割化弦；化异为同。引诱公式原则：奇变偶不变，符号看象限。估用公式原则：一看角度，二看名称，三看特点。角的和与差的相对性如：( )－角的倍角与半角的相对性2,2如：224升幂与降幂：升幂角减半，降幂角加倍。数形联合：心中有图，观图解题。等价转变的思想：将未知转变成已知，将复杂转变成简单，将高级转变成初级。换元的手段：经过换元实现转变的目的。【典型例题】yasinxbcosxa2b2sin(x),tanb1.如：a（化成一个角的一个三角函数）[例1]求以下函数的最大值和最小值及何时取到？（1）f(x)sin2x2sinxcosx3cos2x（2）f(x)sin2xsinxcosx1解：y22sin(2x)22xk(kZ)（1）4，ymax，8y32sin(2x)32k3(kZ)22ymax2x（2）4，，832xk(kZ)ymin2，8“1”的妙用——凑一拆一熟悉以下三角式子的化简1cos2sin1cos2cos2；2[例2]化简21sin822cos8。答案：2sin4化异为同[例3]已知tan2，求：sincossin22（1）sincos（2）3cos2sin2答案：（1）3；（2）142cos2sin1[例4]tan222,2已知2，求：sincos答案：3224.sincos与sincos间的相互转变sint21（1）若sincoscos2；sint21；sincos=t，则（2）若sincost，则sincos12t；sincos12ttancot

12（3）sincossin2[例5]tancot8。化简：8答案：22sincos5cos[例6]若在第二象限，sin222，求22。3答案：2互为余角的三角函数相互转变若2，则sincos；cossinsin()1cos()[例7]4，则已知36。1答案：4sin40sin50[例8]求值：cos10。1答案：2[例9]求值：sin18sin54。1答案：4公式的变形及活用（1）tantantan( )[1tantan]AB(1tanA)(1tanB)2（2）若4[例10]计算(1tan1)(1tan2)(1tan3)(1tan45)。答案：223[例11]tan70tan103tan70tan10。答案：3角的和与差的相对性；角的倍角与半角的相对性[例12]tan1,tan()2。若3，则tan答案：7[例13]5cos()7cos0tantan。若22，则22答案：6[例14]在ABC中，A为最小角，C为最大角，且cos(2AC)0.8sinB0.8，求cos(2B2C)，的值。527答案：625角的范围的限制由于条件中的三角式是有范围限制的，所以求值时可除去值的多样性。[例15]sincos1,(0,)已知3，求cos2。17答案：9sincos5cos[例16]若是第二象限角且sin222，求22的值。(sincos)21sin解法一：利用公式22此后限制角的范围。sincost解法二：设22利用平方和求t的值，此后限制角的范围。(sincos)(sincos)解法三：利用2222cos，可回避限制角的范围。3答案：2在三角形中的相关问题ABCABC180；AB180C；222结论：sin(AB)sinC；cos(AB)cosCsinABcosCcosABsinC22；22[例17]已知A、B、C是ABC的内角且lgsinAlgsinBlgcosClg2，试判断此三角形的形状。答案：等腰三角形，B=C[例18]在锐角三角形ABC中，求证：sinAsinBsinCcosAcosBcosCAB0BA证明：由2则22故sinAcosB同理sinBcosCsinCcosA三式相加，得证。10.形如cos2cos4cos8cos2n的化简[例19]求值：（1）cos36cos72coscos2cos4（2）77711答案：（1）4（2）8三角函数图像和性质的应用会求——定义域、值域、最值、周期、对称轴、单一区间（“一套”）；会解——简单的三角不等式、三角方程、比较大小。[例20]求以下函数的定义域。1）ylgsin(cosx)（2）y2log0.5xtanx答案：(2k,2k)(kZ)（1）22(0,)[,4]（2）2[例21]求以下函数的值域。sinx[0,]yx（1）2sinx（2）若x是锐角，则ysinxcosx的值域。答案：（1）[0,1]（2）(1,2]312.可化为形如：yAsin(x)B的形式（一个角的一个三角函数）[例22]已知函数y3cos2x23sinxcosxsin2x，求“一套”。y2sin(2x)24，ymin0；T答案：6，定义域：R；值域：[0,4]，ymaxxk(kZ)[k,k]2对称轴6增区间：36减区间：[k,k2](kZ)6313.函数yAsin(x)B的图像的变换——两个题型，两种门路题型一：已知解析式yAsin(x)B确定其变换方法变换有两种门路：其一，先平移后横向伸缩；其二，先横向伸缩后平移。注：关注先横向伸缩后平移时平移的单位与的关系题型二：由函数图像求其解析式yAsin(x)B[例23]已知函数yAsin(x)，（A0,0，2）在一个周期内，当x6时，y有2x时，y有最小值为2，求函数表达式，并画出函数yAsin(x)在最大值为2，当3一个周期内的简图。（用五点法列表描点）答案：y2sin(2x)614.可化为形如：yat2btc，tD（定义域有限制的一元二次函数）y3[例24]求函数(2cosx)(5cosx)的值域[1,1]解：42[例25]已知ycos2xasinx，若记其最大值为g(a)，求g(a)的解析式。解：y(sinxa)21a2，当a2时，g(a)a24g(a)1a2当2a24时，当a2时，g(a)a周期函数与周期[例26]已知函数yf(x)对定义域中每一个x都有f(2xT)f(2x)，其中T0，则f(x)的周期。解：T[例27]已知奇函数yf(x)对定义域中每一个x都有f(x2)f(x)建立，求其周期。解：4[例28]已知奇函数yf(x)对定义域中每一个x都有f(x2)f(2x)建立，求其周期。解：8f(x1[例29]已知奇函数y3)f(x)对定义域中每一个x都有f(x)建立，求其周期。解：6f(x1f(x)已知奇函数y3)f(x)建立，求其周期。[例30]f(x)对定义域中每一个x都有1解：6函数与方程的思想[例31]方程100sinxx的解的个数。解：63【模拟试题】（答题时间：60分钟）求以下函数的最大值和最小值及何时取到？2.已知tan2，求：sin22sincos3cos2sincos13.4，则sincos。设4.求ysinxcosxsinxcosx的最大值和最小值。cos40sin50(13tan10)5.求值：sin701cos40。sincos1(0,)，求cot6.5；若tan()117.已知、(0,)且2，tan的值。7，求28.a为何值时方程cos2xcosxa0有解？9.方程cos2xasinx0，x[0,]有两解时求a的值。求值：1）cos20cos40cos60cos802）sin18sin54求以下函数的定义域。2x23sinxcosxsin2x，当x[,]12.已知函数y3cos44时，求函数的最大值和最小值及何时取到？【试题答案】1.y13sin22x1，xk(kZ)4，ymax2ymin1xkZ)4(k，241162.53.2cosx，y1(t1