椭圆的简单几何性质系列

关于椭圆的简单几何性质系列第1页，共79页，2022年，5月20日，2点17分，星期五椭圆的定义图形标准方程焦点坐标a,b,c的关系焦点位置的判断F1(-c,0)，F2(c,0)F1(0,-c)，F2(0,c)

椭圆分母看大小焦点随着大的跑12yoFFMx1oFyx2FMcabM第2页，共79页，2022年，5月20日，2点17分，星期五椭圆简单的几何性质范围：-a≤x≤a,-b≤y≤b

椭圆落在x=±a,y=±b组成的矩形中（如图）oyB2B1A1A2F1F2cab1.观察：x,y的范围？2.思考：如何用代数方法解释x,y的范围？

-a≤x≤a,-b≤y≤b

一.范围第3页，共79页，2022年，5月20日，2点17分，星期五二、椭圆的顶点令x=0，得y=？，说明椭圆与y轴的交点（），令y=0，得x=？,

说明椭圆与x轴的交点（）。*顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做椭圆的顶点。oxyB1(0,b)B2(0,-b)A1A2(a,0)0,±b±a,0*长轴、短轴：线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴。a、b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。焦点总在长轴上!第4页，共79页，2022年，5月20日，2点17分，星期五三.椭圆的对称性YXOP1（-x，y）P2（-x，-y）P3（-x，-y）P（x，y）

把(X)换成(-X),方程不变,说明椭圆关于()轴对称；把(Y)换成(-Y),方程不变,说明椭圆关于()轴对称；把(X)换成(-X),(Y)换成(-Y),方程还是不变,说明椭圆关于(

)对称；YX原点

所以，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心。第5页，共79页，2022年，5月20日，2点17分，星期五123-1-2-3-44y123-1-2-3-44y12345-1-5-2-3-4x12345-1-5-2-3-4x练习：根据前面所学有关知识画出下列图形（1）（2）A1

B1

A2

B2

B2

A2

B1

A1

第6页，共79页，2022年，5月20日，2点17分，星期五四、椭圆的离心率离心率：椭圆的焦距与长轴长的比：叫做椭圆的离心率。[1]离心率的取值范围：1）e越接近1，c就越接近a，从而b就越小，椭圆就越扁因为a>c>0，所以0<e<1[2]离心率对椭圆形状的影响：2）e越接近0，c就越接近0，从而b就越大，椭圆就越圆3）特例：e=0，则a=b，则c=0，两个焦点重合，椭圆方程变为（？）yOx第7页，共79页，2022年，5月20日，2点17分，星期五标准方程范围对称性顶点坐标焦点坐标半轴长离心率a、b、c的关系-a≤x≤a,-b≤y≤b关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称(a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b)(c,0)、(-c,0)长半轴长为a,短半轴长为b.(a>b)知识归纳a2=b2+c2第8页，共79页，2022年，5月20日，2点17分，星期五标准方程范围对称性顶点坐标焦点坐标半轴长离心率a、b、c的关系关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称(a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b)(c,0)、(-c,0)长半轴长为a,短半轴长为b.(a>b)(b,0)、(-b,0)、(0,a)、(0,-a)(0,c)、(0,-c)关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称长半轴长为a,短半轴长为b.(a>b)-a≤x≤a,-b≤y≤b-a≤y≤a,-b≤x≤ba2=b2+c2a2=b2+c2第9页，共79页，2022年，5月20日，2点17分，星期五例题1:

求椭圆9x2+4y2=36的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点坐标。椭圆的长轴长是:离心率:焦点坐标是:四个顶点坐标是:椭圆的短轴长是:2a=62b=4解题步骤：1、将椭圆方程转化为标准方程求a、b：2、确定焦点的位置和长轴的位置.解：把已知方程化成标准方程四、例题讲解：第10页，共79页，2022年，5月20日，2点17分，星期五练习:求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点坐标。解：把已知方程化成标准方程椭圆的长轴长是:离心率:焦点坐标是:四个顶点坐标是:椭圆的短轴长是:2a=102b=8第11页，共79页，2022年，5月20日，2点17分，星期五例2:

求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）经过点Ｐ（-3，0）、Ｑ（0，-2）；解：⑴方法一：设椭圆方程为mx2＋ny2＝1（m＞0，n＞0，m≠n），将点的坐标代入方程，求出m＝1/9,n＝1/4。所以椭圆的标准方程为方法二：利用椭圆的几何性质，以坐标轴为对称轴的椭圆与坐标轴的交点就是椭圆的顶点，于是焦点在长轴上，且点P、Q分别是椭圆长轴与短轴的一个端点，故a＝3，b＝2，所以椭圆的标准方程为

（2）离心率为，经过点（2,0）第12页，共79页，2022年，5月20日，2点17分，星期五练习：椭圆的一个顶点为,其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程．分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置

椭圆的标准方程为：；椭圆的标准方程为：；解：（1）当为长轴端点时，，，（2）当为短轴端点时，,，综上所述，椭圆的标准方程是或第13页，共79页，2022年，5月20日，2点17分，星期五二.离心率的常见题型及解法题型一：定义法例1.已知椭圆方程为+=1，求椭圆的离心率；1.直接算出a、c带公式求eF2(c,0)xoyF1(-c,0)Pca2.几何意义：e为∠OPF2的正弦值第14页，共79页，2022年，5月20日，2点17分，星期五3.已知a2、c2直接求e2

变式训练1：若椭圆+=1的离心率为1/2，求m的值.4.已知a2、b2不算c直接求e

第15页，共79页，2022年，5月20日，2点17分，星期五题型二：方程法例2.依据a,b,c,e的关系，构造关于a,c,的齐次式，解出e即可，但要注意椭圆离心率范围是0<e<1F2(c,0)xoyF1(-c,0)A60°已知椭圆的两个焦点为F1和F2，A为椭圆上一点，且AF1⊥AF2

，∠AF2F1=60°，求该椭圆的离心率。第16页，共79页，2022年，5月20日，2点17分，星期五高考链接x60°p第17页，共79页，2022年，5月20日，2点17分，星期五三：向量法之垂直问题第18页，共79页，2022年，5月20日，2点17分，星期五变式训练椭圆+=1(a>b>0)的三个顶点为B1

(0，-b)，B2(0，b),A(a,0),焦点F(c,0)且B1F⊥AB2,求该椭圆的离心率。B2(0，b)B1(0，-b)A(a,0)F(c,0)xoy第19页，共79页，2022年，5月20日，2点17分，星期五

练习2：已知一椭圆的短轴长与焦距长相等，求椭圆的离心率。第20页，共79页，2022年，5月20日，2点17分，星期五五.小结1.知识点：求离心率的两种常规方法：（1）定义法:求a,c或a、c的关系；（2）方程法:根据题上的相等关系，构造关于a,c的齐次式，解出e.2.思想方法：方程的思想，转化的思想第21页，共79页，2022年，5月20日，2点17分，星期五椭圆的简单几何性质2第22页，共79页，2022年，5月20日，2点17分，星期五标准方程范围对称性顶点坐标焦点坐标半轴长离心率a、b、c的关系关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称(a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b)(c,0)、(-c,0)长半轴长为a,短半轴长为b.(a>b)(b,0)、(-b,0)、(0,a)、(0,-a)(0,c)、(0,-c)关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称长半轴长为a,短半轴长为b.(a>b)-a≤x≤a,-b≤y≤b-a≤y≤a,-b≤x≤ba2=b2+c2a2=b2+c2第23页，共79页，2022年，5月20日，2点17分，星期五二.离心率的常见题型及解法题型一：定义法例1.已知椭圆方程为+=1，求椭圆的离心率；1.直接算出a、c带公式求eF2(c,0)xoyF1(-c,0)Pca2.几何意义：e为∠OPF2的正弦值第24页，共79页，2022年，5月20日，2点17分，星期五3.已知a2、c2直接求e2

变式训练1：若椭圆+=1的离心率为1/2，求m的值.4.已知a2、b2不算c直接求e

第25页，共79页，2022年，5月20日，2点17分，星期五题型二：方程法例2.依据a,b,c,e的关系，构造关于a,c,的齐次式，解出e即可，但要注意椭圆离心率范围是0<e<1F2(c,0)xoyF1(-c,0)A60°已知椭圆的两个焦点为F1和F2，A为椭圆上一点，且AF1⊥AF2

，∠AF2F1=60°，求该椭圆的离心率。第26页，共79页，2022年，5月20日，2点17分，星期五高考链接x60°p第27页，共79页，2022年，5月20日，2点17分，星期五三：向量法之垂直问题第28页，共79页，2022年，5月20日，2点17分，星期五变式训练椭圆+=1(a>b>0)的三个顶点为B1

(0，-b)，B2(0，b),A(a,0),焦点F(c,0)且B1F⊥AB2,求该椭圆的离心率。B2(0，b)B1(0，-b)A(a,0)F(c,0)xoy第29页，共79页，2022年，5月20日，2点17分，星期五

练习2：已知一椭圆的短轴长与焦距长相等，求椭圆的离心率。第30页，共79页，2022年，5月20日，2点17分，星期五五.小结1.知识点：求离心率的两种常规方法：（1）定义法:求a,c或a、c的关系；（2）方程法:根据题上的相等关系，构造关于a,c的齐次式，解出e.2.思想方法：方程的思想，转化的思想第31页，共79页，2022年，5月20日，2点17分，星期五高考链接（2012新课标全国卷）设F1和F2是椭圆

+=1(a>b>0)的左、右焦点，P为直线x=上一点，△F2P

F1是底角为30°的等腰三角形，求该椭圆的离心率。F2(c,0)xoyF1(-c,0)x=3a/2P30°2c2cc2c=3a/2第32页，共79页，2022年，5月20日，2点17分，星期五六.课后练习2.设椭圆的两个焦点分别为F1和F2

，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若为△F2PF1等腰直角三角形，求椭圆的离心率.1.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距长成等差数列，求该椭圆的离心率.3.已知椭圆的两个焦点为F1和F2，A为椭圆上一点，且AF1⊥AF2，∠AF1F2=60°，求该椭圆的离心率。第33页，共79页，2022年，5月20日，2点17分，星期五1.椭圆以坐标轴为对称轴，离心率，长轴长为6，则椭圆的方程为（）(A)(B)(C)(D)或或C2.若某个椭圆的长轴、短轴、焦距依次成等差数列，则其离心率e=__________第34页，共79页，2022年，5月20日，2点17分，星期五已知椭圆的离心率，求的值由，得：解：当椭圆的焦点在轴上时，，，得．

当椭圆的焦点在轴上时，，，得．由，得，即．∴满足条件的或．练习2：已知椭圆的离心率，求的值第35页，共79页，2022年，5月20日，2点17分，星期五练习3：第36页，共79页，2022年，5月20日，2点17分，星期五例4：点M(x,y)与定点F(4,0)的距离和它到定直线l:x=的距离的比是常数，求点M的轨迹。xyoFMlF1l’(椭圆的第二定义)准线方程：第37页，共79页，2022年，5月20日，2点17分，星期五

解：如图，设d是点M到直线L的距离，根据题意，所求轨迹的集合是：由此得：这是一个椭圆的标准方程，所以点M的轨迹是长轴、短轴分别是2a、2b的椭圆。点M（x,y）与定点F（c,0）的距离和它到定直线的距离比是常数求M点的轨迹。平方，化简得：第38页，共79页，2022年，5月20日，2点17分，星期五若点F是定直线l外一定点，动点M到点F的距离与它到直线l的距离之比等于常数e(0＜e＜1)，则点M的轨迹是椭圆.MFHl新知探究动画第二定义第39页，共79页，2022年，5月20日，2点17分，星期五

直线叫做椭圆相应于焦点F2(c，0)的准线，相应于焦点F1(－c，0)的准线方程是OxyF2F1新知探究第40页，共79页，2022年，5月20日，2点17分，星期五椭圆的准线与离心率离心率：椭圆的准线：oxyMLL’FF’离心率的范围：相对应焦点F（c,0），准线是：相对应焦点F（-c,0），准线是：第41页，共79页，2022年，5月20日，2点17分，星期五1.基本量:a、b、c、e、几何意义：a-长半轴、b-短半轴、c-半焦距，e-离心率；

相互关系：

椭圆中的基本元素2.基本点：顶点、焦点、中心3.基本线:对称轴（共两条线），准线焦点总在长轴上!课堂小结-—准线第42页，共79页，2022年，5月20日，2点17分，星期五<例1>

椭圆+=1上一点P到右准线的距离为10,则:点P到左焦点的距离为()A.14B.12C.10D.8第43页，共79页，2022年，5月20日，2点17分，星期五第44页，共79页，2022年，5月20日，2点17分，星期五【答案】

6第45页，共79页，2022年，5月20日，2点17分，星期五第46页，共79页，2022年，5月20日，2点17分，星期五第47页，共79页，2022年，5月20日，2点17分，星期五例3：第48页，共79页，2022年，5月20日，2点17分，星期五变式第49页，共79页，2022年，5月20日，2点17分，星期五1.若椭圆的两个焦点把两准线间的距离三等分,则:离心率e=______2离心率e=,且两准线间的距离为4的椭圆的标准方程为____________3.若椭圆的短轴长为2,长轴是短轴的2倍,则:中心到准线的距离为()A.B.C.D.4.离心率e=,一条准线方程为x=-求标准方程第50页，共79页，2022年，5月20日，2点17分，星期五椭圆的简单几何性质3第51页，共79页，2022年，5月20日，2点17分，星期五例4：点M(x,y)与定点F(4,0)的距离和它到定直线l:x=的距离的比是常数，求点M的轨迹。xyoFMlF1l’(椭圆的第二定义)准线方程：第52页，共79页，2022年，5月20日，2点17分，星期五

解：如图，设d是点M到直线L的距离，根据题意，所求轨迹的集合是：由此得：这是一个椭圆的标准方程，所以点M的轨迹是长轴、短轴分别是2a、2b的椭圆。点M（x,y）与定点F（c,0）的距离和它到定直线的距离比是常数求M点的轨迹。平方，化简得：第53页，共79页，2022年，5月20日，2点17分，星期五若点F是定直线l外一定点，动点M到点F的距离与它到直线l的距离之比等于常数e(0＜e＜1)，则点M的轨迹是椭圆.MFHl新知探究动画第二定义第54页，共79页，2022年，5月20日，2点17分，星期五

直线叫做椭圆相应于焦点F2(c，0)的准线，相应于焦点F1(－c，0)的准线方程是OxyF2F1新知探究第55页，共79页，2022年，5月20日，2点17分，星期五椭圆的准线与离心率离心率：椭圆的准线：oxyMLL’FF’离心率的范围：相对应焦点F（c,0），准线是：相对应焦点F（-c,0），准线是：第56页，共79页，2022年，5月20日，2点17分，星期五1.基本量:a、b、c、e、几何意义：a-长半轴、b-短半轴、c-半焦距，e-离心率；

相互关系：

椭圆中的基本元素2.基本点：顶点、焦点、中心3.基本线:对称轴（共两条线），准线焦点总在长轴上!课堂小结-—准线第57页，共79页，2022年，5月20日，2点17分，星期五<例1>

椭圆+=1上一点P到右准线的距离为10,则:点P到左焦点的距离为()A.14B.12C.10D.8第58页，共79页，2022年，5月20日，2点17分，星期五直线与椭圆的位置关系种类:相离(没有交点)相切(一个交点)相交(二个交点)第59页，共79页，2022年，5月20日，2点17分，星期五

直线与椭圆的位置关系的判定代数方法第60页，共79页，2022年，5月20日，2点17分，星期五1.位置关系：相交、相切、相离2.判别方法(代数法)

联立直线与椭圆的方程消元得到二元一次方程组

(1)△>0直线与椭圆相交有两个公共点；

(2)△=0直线与椭圆相切有且只有一个公共点；

(3)△<0直线与椭圆相离无公共点．通法知识点1.直线与椭圆的位置关系第61页，共79页，2022年，5月20日，2点17分，星期五例1：直线y=x+1与椭圆恒有公共点,求m的取值范围。题型一：直线与椭圆的位置关系变式练习：y=kx+1与椭圆恰有公共点，则m的范围（）

A、（0，1）B、（0，5）

C、[1，5）∪（5，+∞）D、（1，+∞）第62页，共79页，2022年，5月20日，2点17分，星期五练习1.K为何值时,直线y=kx+2和曲线2x2+3y2=6有两个公共点?有一个公共点?没有公共点?练习2.无论k为何值,直线y=kx+2和曲线交点情况满足()A.没有公共点B.一个公共点C.两个公共点D.有公共点D第63页，共79页，2022年，5月20日，2点17分，星期五lmm第64页，共79页，2022年，5月20日，2点17分，星期五oxy第65页，共79页，2022年，5月20日，2点17分，星期五oxy思考：最大的距离是多少？第66页，共79页，2022年，5月20日，2点17分，星期五设直线与椭圆交于P1(x1,y1)，P2(x2,y2)两点，直线P1P2的斜率为k．弦长公式：知识点2：弦长公式可推广到任意二次曲线第67页，共79页，2022年，5月20日，2点17分，星期五例3：已知斜率为1的直线L过椭圆的右焦点，交椭圆于A，B两点，求弦AB之长．第68页，共79页，2022年，5月20日，2点17分，星期五第69页，共79页，2022年，5月20日，2点17分，星期五第70页，共79页，2022年，5月20日，2点17分，星期五例5：已知椭圆