2021年河北省廊坊市马庄英才中学高三数学理期末试题含解析

2021年河北省廊坊市马庄英才中学高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知全集，集合，那么

(

)A.

B.

C.

D.参考答案：D2.函数y=x3与y=图形的交点为（a，b），则a所在区间是（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）参考答案：B考点：函数的零点与方程根的关系．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：令f（x）=x3﹣，从而可判断函数f（x）在R上是增函数，再由函数零点的判定定理可得f（x）在（1，2）上有零点，从而得到a所在区间．解答：解：令f（x）=x3﹣，则可知f（x）在R上是增函数，又∵f（1）=1﹣2＜0，f（2）=8﹣1＞0；故f（x）在（1，2）上有零点，即a所在区间是（1，2）．故选B．点评：本题考查了函数的图象与函数零点的关系应用，属于基础题．3.已知函数的图象是下列两个图像中的一个，请你选择后再根据图象作出下面的判断：若，且，则（▲

）

A．

B．

C．

D．参考答案：D4.已知向量，满足＝3，＝2，＝5，则在方向上的投影是A．

B．

C．

D．参考答案：D5.一个几何体的三视图如图1，则该几何体的体积为

A．

B．

C．

D．

参考答案：B6.如图是一个几何体的三视图，则该几何体任意两个顶点间距离的最大值是（）A．3 B．3 C．4 D．5参考答案：B【考点】由三视图求面积、体积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】根据三视图得出：空间几何体的性质得出直线平面的垂直问题，判断各个线段的长度比较即可．【解答】解：∵根据三视图得出：几何体为下图AD，AB，AG相互垂直，面AEFG⊥面ABCDE，BC∥AE，AB=AD=AG=3，DE=1，根据几何体的性质得出：AC=3，GC===，GE==5，BG=，AD=4，EF=，CE=，故最长的为GC=3故选；B【点评】本题考查了复杂几何体的三视图的运用，主要是恢复几何体的直观图，利用几何体的性质判断即可，属于中档题．7.如果复数（m2＋i）（1＋mi）是实数，则实数m＝

A．1

B．－1

C．

D．－参考答案：B8.已知集合，，，则A.{0,1,7} B.{－1,0,7} C.{0,1,3,7} D.{－1,0,2,7}参考答案：D【分析】求得不等式的解集，得到集合，求得，再根据集合的并集运算，即可求解，得到答案．【详解】由题意，不等式，解得，所以，所以，所以．故选D．【点睛】本题主要考查了集合的混合运算，其中解答中正确求解集合M，再根据集合的运算，准确求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．9.已知集合，，则A.

B.

C.

D.参考答案：A试题分析：根据题意，，所以，故选A.考点：集合的运算.10.复数（i是虚数单位）等于

（

）

A．4+3i

B．4－3i

C．－4+3i

D．－4－3i参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.（5分）函数f（x）=（m2﹣m﹣1）xm是幂函数，且在x∈（0，+∞）上为减函数，则实数m的值是

．参考答案：﹣1考点： 幂函数的单调性、奇偶性及其应用．专题： 计算题；函数的性质及应用．分析： 运用幂函数的定义，可得m2﹣m﹣1=1，解得m，再由幂函数的单调性即可得到m．解答： 由幂函数定义可知：m2﹣m﹣1=1，解得m=2或m=﹣1，又函数在x∈（0，+∞）上为减函数，则m=﹣1．故答案为：﹣1．点评： 本题考查幂函数的定义和性质，考查函数的单调性的判断，考查运算能力，属于基础题．12._______．参考答案：．13.如图，M是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱DD1的中点，给出下列四个命题：①过M点有且只有一条直线与直线AB，B1C1都相交；②过M点有且只有一条直线与直线AB，B1C1都垂直；③过M点有且只有一个平面与直线AB，B1C1都相交；④过M点有且只有一个平面与直线AB，B1C1都平行．其中真命题是是

********

.（填写真命题的序号）参考答案：【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系．G3

【答案解析】①②④解析：过M点与直线AB有且只有一个平面，该平面与直线B1C1相交，设交点为P，连接MP，则MP与直线AB相交，∴过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都相交；①正确∵直线BC∥直线B1C1，直线BC与直线AB确定平面ABCD，过点M有且只有直线D1D⊥平面ABCD即过点M有且只有直线D1D⊥AB，⊥BC，∴过点M有且只有直线D1D⊥AB，⊥B1C1∴过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都垂直；②正确过M点与直线AB有且只有一个平面，该平面与直线B1C1相交，过M点与直线B1C1有且只有一个平面，该平面与直线AB相交，∴过点M不止一个平面与直线AB、B1C1都相交，③错误过M分别作AB，B1C1的平行线，都有且只有一条，这两条平行线成为相交直线，确定一个平面，该平面与AB，B1C1平行，且只有该平面与两直线平行，∴④正确故答案为①②④．【思路点拨】①需要构造一个过点M且与直线AB、B1C1都相交的平面，就可判断；②利用过空间一点有且只有一条直线与已知平面平行判断；③可举反例，即找到两个或两个以上过点m且与直线AB、B1C1都相交的平面，即可判断．④利用线面平行的性质来判断即可．14.坐标系与参数方程

在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为．现以极点O为原点，极轴为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为(t参数)

(I)写出直线和曲线C的普通方程；

(Ⅱ)设直线和曲线C交于A，B两点，定点P(-2，-3)，求的值．参考答案：Ⅰ），所以，

所以，即；直线的普通方程为：；………………5分（Ⅱ）把直线的参数方程带入到圆：，得，

因为点显然在直线上，由直线标准参数方程下的几何意义知=所以.………………10分略15.函数，若，则

.参考答案：16.若函数，则满足的的取值范围是

参考答案：略17.已知为锐角，且，那么的取值范围是

参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.记函数的定义域为集合，函数的定义域为集合.（1）求①；②（2）若,,求实数的取值范围。参考答案：略19.已知等差数列满足：，，的前n项和为．

（1）求及；

（2）令bn=()，求数列的前n项和．参考答案：（1）设等差数列的公差为d，因为，，所以有，解得，所以；==。（2）由（Ⅰ）知，所以bn===，所以==，即数列的前n项和=.略20.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，已知曲线C1的参数方程为（t为参数）。曲线C2的参数方程为（为参数），在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线C1，C2的极坐标方程；（2）在极坐标系中，射线与曲线C1交于点M，射线与曲线C2交于点N，求的面积（其中O为坐标原点）.参考答案：解：（1）由曲线：（为参数），消去参数得：化简极坐标方程为：曲线：（为参数）消去参数得：化简极坐标方程为：（2）联立即联立即故

21.已知AB是圆O的直径，点C在圆O上（异于点A，B），连接BC并延长至点D，使得BC=CD，连接DA交圆O于点E，过点C作圆O的切线交AD于点F．（Ⅰ）若∠DBA=60°，求证：点E为AD的中点；（Ⅱ）若CF=R，其中R为圆C的半径，求∠DBA．参考答案：【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）先证明出△ABD为等边三角形，再连BE，根据三线合一定理证明出点E为AD的中点；（2）连CO，运用中位线定理证明出BE∥CF，继而证出BE=R，最后求出∠DAB．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵AB为圆O的直径，∴AC⊥BD，而BC=CD．∴AB=AD，而∠DBA=60°，∴△ABD为等边三角形，连BE，由AB为圆的直径，∴AD⊥BE，∴E为AD中点．（Ⅱ）连CO，易知CO∥AD，∵CF为圆O的切线，∴CF⊥CO，∴CF⊥AD，又BE⊥AD，∴BE∥CF，且CF=BE，由CF=知BE=R，∴∠DAB=30°．22.（本小题满分14分）已知中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆过点，离心率为，过直线上一点引椭圆的两条切线，切点分别是、.（1）求椭圆的方程；（2）若在椭圆上的任一点处的切线方程是.求证：直线恒过定点，并求出定点的坐标；（3）是否存在实数，使得恒成立？(点为直线恒过的定点)若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.参考答案：（1）；（2）直线恒过定点；（3）存在实数，使得恒成立.【知识点】直线与圆锥曲线的关系；利用导数研究曲线上某点切线方程；椭圆的标准方程．B11H5H8解析：（1）由椭圆过点，可得………1分又，

…………………2分解得：.

……………………3分所以椭圆方程为.…………4分（2）设切点坐标为,,直线上一点的坐标，则切线方程分别为，

……5分又因为两切线均过点，则

………………6分即点的坐标都适合方程，而两点确定唯一的一条直线，故直线的方程是

……………7分显然对任意实数，点（1，0）都适合这个方程，故直线恒过定点

………8分

（3）将直线的方程，代入椭圆方程，得，即，…………9分所以

…………………10分不妨设，因为，同理……11分所以…12分即

…………13分故存在实数，使得恒成立.

………