《复变函数》复习提要：第6章

PAGEPAGE3复变函数期末复习提要第6章：解析函数的罗朗级数表示⒈了解双边幂级数的有关概念；⒉理解孤立奇点的概念，掌握判别孤立奇点类别的方法；⒊了解罗朗定理，熟练掌握将函数在孤立奇点（无穷远点除外）展成罗朗级数的方法；⒋了解解析函数在其孤立奇点邻域内的性质定义6.1 称级数 n c c nc(za) n c c(za)c(za) nn

(za)n z

0 1 n

（6.1）a与cn

(n0,1,2, 为复常数，称cn

(n0,12为双定义6.2 若级在圆环rzaR(0rR)内收敛则称此圆环为级数（6．1）的收敛圆环．类似幂级数，双边幂级数有如下定理：定理6.1 若级数（6.1）的收敛圆环为G:rzaR(0rR)，则级数（6.1）在G内绝对收敛，且在G内每个较小的同心闭圆环G:rzaR(rrRR上一致收敛，其和函数在G内为解析函数．定理6.2 若函数f(z)在圆环G:rzaR(0rR)内解析则f(z)在G内可展成双边幂级数为cn

(za)n （6.4）1其中1c n c

nf) a)n1

, n0,1,2, （6.5）这里的c为圆周a(rR)，并且系数cn

被f(z)及圆环G唯一确定．例1 试将f(z)(z

3z2)1在圆环1z2内展成罗朗级数．解f(z在圆环1z2f(z在该圆环内可展成罗朗级数，且展式是唯一的．其次，利用展式

1 zn1z

, z11zf(z展成罗朗级数．由1z21z

n0z21及 z2故f(z)

1(z1)(z2)1 1z2z11 12(1

z)z(11)2 zzn2n1n0

1znn0

, 1z2例2试将f(z)

在点z0的去心邻域内展成罗朗级数．z解首先，确定使在其中解析的点z0的最大去心邻域为0展成罗朗级数，有f(z)

sinzz1 z2n1 ( z n0(z2n , 0zn0孤立奇点的分类定义6.3设点a为函数的奇点若在点a的某个去心邻域0zaR内解析，则称点a的孤立奇点．6.4设点a的孤立奇点：a的罗朗级数的主要部分为零，则称点a的可去奇点；a的罗朗级数的主要部分有有限多项，设为c c m

c 1 ,c 01 za m则称点a的m级（阶）极点；⑶若a的罗朗级数的主要部分有无限多项，则称点a为的本性奇点．z0为z0ezz1为sinzz z2 1z的本性奇点．函数在孤立奇点的去心邻域内的性质⑴函数在可去奇点的去心邻域内的性质6.3若点a的孤立奇点，则下列三个条件是等价的：①点a的可去奇点；②limc( )；za在点a的某个去心邻域内有界．⑵函数在极点的去心邻域内的性质6.4若点a的孤立奇点，则下列三个条件是等价的．①点a的m级极点；②f(z)在点a的某个去心邻域0zaR内可表示为h(z)f(z) (za)m其中的h(z)在点a的邻域zaR 内解析，且h(a)0；a

1 的m级零点（可去奇点视作解析点时）．f(z)定理6.5 点a为函数f(z)的极点的充分必要条件是limf(z)za⑶函数在本性奇点的去心邻域内的性质定理6.6 点a为函数f(z)的本性奇点的充分必要条件是limf(z)不存在，即当zaza时，f(z)既不趋于有限值，也不趋于．定理6.7 若点a为f(z)的本性奇点，且f(z)在点a的充分小的邻域内不为零，则点1a必为 的本性奇点．f(z)例3 设f(z)ez)1，试求f(z)在复平面上的奇点，并判定其类别．解首先，求f(z)的奇点．f(z)的奇点出自方程1ez0的解．解方程得

zLn(1)(2ki

, k0,1,2,若设zk

(2ki(k012 )zk

为f(z)的孤立奇点．另外，因ez)

zzk

0, ez

0zz