(新高考)高考数学二轮精品复习专题18《利用函数的极值求参数值》(解析版)

专题18利用函数的极值求参数值一、单选题1．若函数SKIPIF1<0的极值为SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0的值为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】对SKIPIF1<0分SKIPIF1<0和SKIPIF1<0两种情况讨论，分析函数SKIPIF1<0的单调性，结合函数SKIPIF1<0的极值为SKIPIF1<0，可求得实数SKIPIF1<0的值.【详解】由已知可得SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时，对任意的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，此时函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，函数SKIPIF1<0无极值；当SKIPIF1<0时，令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，此时函数SKIPIF1<0单调递减；令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，此时函数SKIPIF1<0单调递增.所以，函数SKIPIF1<0的极小值为SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0单调递增；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0单调递减.所以，SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故选：D.【点睛】本题考查利用函数的极值存在的条件求参数的值，考查计算能力，属于中等题.2．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0是函数SKIPIF1<0的极小值点，则实数SKIPIF1<0的取值范围为（）A．SKIPIF1<0且SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0且SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】由SKIPIF1<0既是SKIPIF1<0的极小值点，又是零点，且SKIPIF1<0的最高次项系数为1，因此可设SKIPIF1<0，这样可求得SKIPIF1<0，然后求出SKIPIF1<0，求得SKIPIF1<0的两个零点，一个零点是SKIPIF1<0，另一个零点SKIPIF1<0必是极大值点，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0的范围．【详解】因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是函数SKIPIF1<0的极小值点，结合三次函数的图象可设SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是极小值点，则SKIPIF1<0是极大值点，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故选：B．【点睛】本题考查导数与极值点的关系，解题关键是结合零点与极值点，设出函数表达式，然后再求极值点，由极小值点大于极大值点可得所求范围．3．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处有极值，则SKIPIF1<0的最大值等于（）.A．16 B．25 C．36 D．49【答案】C【分析】先对函数求导，根据题中条件，得到SKIPIF1<0，再结合基本不等式，即可得出结果.【详解】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处有极值，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时，等号成立.故选：C.4．若函数SKIPIF1<0不存在极值点，则SKIPIF1<0的取值范围是（）A．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】由已知条件得SKIPIF1<0只有一个实数根或没有实数根，从而SKIPIF1<0由此能求出SKIPIF1<0的取值范围.【详解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0在定义域内不存在极值，SKIPIF1<0只有一个实数根或没有实数根，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0故选：D.【点睛】本題主要考查极值的概念，利用导数研究函数的极值，考查发推理论证能力，转化能力，属于中档题.5．函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处取得极值，则（）A．SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0为极大值点 B．SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0为极小值点C．SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0为极大值点 D．SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0为极小值点【答案】B【分析】先求导，再根据题意得SKIPIF1<0，由此求得SKIPIF1<0，再根据导数研究函数的极值．【详解】解：∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处取得极值，∴SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，同理，由SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处附近的左侧为负，右侧为正，∴函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处取得极小值，故选：B．【点睛】本题主要考查利用函数的导数研究函数的单调性与极值，属于基础题．6．已知SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处取得极值，则SKIPIF1<0的最小值是（）A．SKIPIF1<0 B．2 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】求导SKIPIF1<0，根据极值点得到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，展开利用均值不等式计算得到答案.【详解】SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，根据题意SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，经检验SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处取得极值.SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，等号成立.故选：SKIPIF1<0.【点睛】本题考查了根据极值点求参数，均值不等式，意在考查学生的综合应用能力.7．若函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0内有极小值，则SKIPIF1<0的取值范围是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】求出SKIPIF1<0，根据SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内有极小值可得SKIPIF1<0的图象性质，从而可求SKIPIF1<0的取值范围.【详解】SKIPIF1<0，由题意SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上有零点，且在该零点的左侧附近，有SKIPIF1<0，右侧附近有SKIPIF1<0.则SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上有零点，且在该零点的左侧附近，有SKIPIF1<0，右侧附近有SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0为开口向上的抛物线且SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，无解.当SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，舍.当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为开口向下的抛物线，其对称轴为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故选：C.【点睛】本题考查函数的极值，注意根据极值的类型判断导数的函数图象性质，本题属于中档题.8．已知函数SKIPIF1<0的极大值为4，若函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的极小值不大于SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0的取值范围是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】对函数求导，令导函数为0，结合函数单调性可得极值，明确极大值和极小值的定义求解即可.【详解】∵SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0无极值；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0的递增区间是SKIPIF1<0,递减区间是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处取得极大值，则有SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上不存在极小值.当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递减，在SKIPIF1<0单调递增，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处取得极小值，SKIPIF1<0依题意有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0.故选：A.【点睛】本小题主要考查的数学知识是：函数与导数，导数与单调性、极值的关系，考查分类讨论的数学思想方法.9．已知函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处取极大值，则SKIPIF1<0（）A．－2或－6 B．2或6 C．6 D．2【答案】C【分析】由题意可知SKIPIF1<0，从而可求得SKIPIF1<0的值，然后再验证在x＝2处是否取得极大值即可【详解】解：由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，因为函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处取极大值，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处取得极大值，在SKIPIF1<0处取得极小值，所以SKIPIF1<0不合题意，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处取得极大值，在SKIPIF1<0处取得极小值，所以SKIPIF1<0，故选：C【点睛】此题考查由函数的极值点求参数，考查导数的应用，属于基础题10．已知a为常数，函数SKIPIF1<0有两个极值点x1，x2(x1＜x2)，则下列结论正确的是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】求导得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，转化条件为要使函数SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的图象有两个不同交点，由导数的几何意义、函数的图象可得SKIPIF1<0；数形结合可得当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0单调递减，且SKIPIF1<0，即可得SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，即可得解.【详解】因为SKIPIF1<0，所以若要使函数SKIPIF1<0有两个极值点，则SKIPIF1<0有两个零点，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则要使函数SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的图象有两个不同交点，易知直线SKIPIF1<0恒过点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在同一直角坐标系中作出函数SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的图象，如图，当直线SKIPIF1<0与函数SKIPIF1<0的图象相切时，设切点为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以当且仅当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的图象有两个不同交点，所以若要使函数SKIPIF1<0有两个极值点，则SKIPIF1<0，故A、B错误；当SKIPIF1<0时，由图象可得当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0单调递减，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故C正确，D错误.故选：C.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的切线、极值及函数与方程的综合应用，考查了运算求解能力与数形结合思想，属于中档题.二、解答题11．已知函数SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为自然对数的底数）.（1）当SKIPIF1<0时，求证：函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恰有一个零点；（2）若函数SKIPIF1<0有两个极值点，求实数SKIPIF1<0的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）SKIPIF1<0.【分析】（1）法一：利用导数的性质进行求证即可；法二：利用函数的性质直接判断即可求证；（2）对SKIPIF1<0求导，得SKIPIF1<0，构造函数SKIPIF1<0，利用导数的性质求出参数SKIPIF1<0的范围即可【详解】（1）法一：易得：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，且SKIPIF1<0；在SKIPIF1<0上单调递增且有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故命题获证.法二：易得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0恒成立，SKIPIF1<0SKIPIF1<0有唯一零点SKIPIF1<0.（2）易得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减且SKIPIF1<0；在SKIPIF1<0上单调递增且有SKIPIF1<0，∵函数SKIPIF1<0有两个极值点，∴SKIPIF1<0.【点睛】关键点睛：解题的关键在于求导得到SKIPIF1<0后，构造函数SKIPIF1<0，并通过对SKIPIF1<0通过求导得到奇函数的极值点，进而求出SKIPIF1<0的范围，难度属于中档题12．已知函数SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处取得极值．（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）若当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0恒成立，求c的取值范围；（Ⅲ）对任意的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是否恒成立？如果成立，给出证明；如果不成立，请说明理由．【答案】（Ⅰ）SKIPIF1<0；（Ⅱ）c的取值范围是SKIPIF1<0．（Ⅲ）成立，证明见解析.【分析】（Ⅰ）由题意得f（x）在x＝1处取得极值所以f′（1）＝3﹣1+b＝0所以b＝﹣2．（Ⅱ）利用导数求函数的最大值即g（x）的最大值，则有c2＞2+c，解得：c＞2或c＜﹣1．（Ⅲ）对任意的x1，x2∈[﹣1，2]，|f（x1）﹣f（x2）|SKIPIF1<0恒成立，等价于|f（x1）﹣f（x2）|≤f（x）max﹣f（x）minSKIPIF1<0．【详解】（Ⅰ）∵f（x）＝x3SKIPIF1<0x2+bx+c，∴f′（x）＝3x2﹣x+b．∵f（x）在x＝1处取得极值，∴f′（1）＝3﹣1+b＝0．∴b＝﹣2．经检验，符合题意．（Ⅱ）f（x）＝x3SKIPIF1<0x2﹣2x+c．∵f′（x）＝3x2﹣x﹣2＝（3x+2）（x﹣1），当x∈（﹣1，SKIPIF1<0）时，f′（x）＞0当x∈（SKIPIF1<0，1）时，f′（x）＜0当x∈（1，2）时，f′（x）＞0∴当xSKIPIF1<0时，f（x）有极大值SKIPIF1<0c．又f（2）＝2+cSKIPIF1<0c，f（﹣1）SKIPIF1<0cSKIPIF1<0c∴x∈[﹣1，2]时，f（x）最大值为f（2）＝2+c．∴c2＞2+c．∴c＜﹣1或c＞2．（Ⅲ）对任意的x1，x2∈[﹣1，2]，|f（x1）﹣f（x2）|SKIPIF1<0恒成立．由（Ⅱ）可知，当x＝1时，f（x）有极小值SKIPIF1<0c．又f（﹣1）SKIPIF1<0cSKIPIF1<0c∴x∈[﹣1，2]时，f（x）最小值为SKIPIF1<0c．∴|f（x1）﹣f（x2）|≤f（x）max﹣f（x）minSKIPIF1<0，故结论成立．【点睛】本题考查函数的极值及最值的应用，易错点是知极值点导数为0要检验，结论点睛：|f（x1）﹣f（x2）|≤a恒成立等价为f（x）max﹣f（x）min≤a13．设函数SKIPIF1<0，其图像与SKIPIF1<0轴交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，且SKIPIF1<0．（I）求SKIPIF1<0的取值范围；（Ⅱ）证明：SKIPIF1<0．【答案】（I）SKIPIF1<0；（Ⅱ）证明见解析.【分析】（I）先求出SKIPIF1<0，易得当SKIPIF1<0不符合题意；当SKIPIF1<0时，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得极小值，所以SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0的范围，再由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，结合零点存在定理，得到答案.（Ⅱ）由题意，SKIPIF1<0，两式相减，得到SKIPIF1<0，记SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0转化为SKIPIF1<0，再由导数求出其单调性，从而得到SKIPIF1<0.【详解】（I）解：因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则函数SKIPIF1<0是单调增函数，SKIPIF1<0的图像与SKIPIF1<0轴至多有一个交点，这与题设矛盾.所以SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是单调减函数；SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是单调增函数；于是当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得极小值.因为函数SKIPIF1<0的图像与SKIPIF1<0轴交于两点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.此时，存在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；存在SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上连续，故SKIPIF1<0.（Ⅱ）证明：因为SKIPIF1<0，两式相减得SKIPIF1<0.记SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时，即SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是单调减函数，则有SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.【点睛】思路点睛：已知函数的零点情况求参数的取值范围，通常通过研究函数的单调性，进一步研究函数的值域，再解不等式求得参数的范围；证明函数值恒小于零，通过换元法构造新函数，再研究新函数的单调性和值域即可证明，不过这类题涉及知识点多，难度大.14．已知函数SKIPIF1<0.（1）若SKIPIF1<0是函数SKIPIF1<0的一个极值点，求SKIPIF1<0的值；（2）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恒成立，求SKIPIF1<0的取值范围.【答案】（1）2；（2）SKIPIF1<0.【分析】（1）由解析式得到导函数SKIPIF1<0，结合SKIPIF1<0是函数SKIPIF1<0的一个极值点，SKIPIF1<0即可求SKIPIF1<0的值；（2）由题设分析知，在SKIPIF1<0内有SKIPIF1<0，结合已知SKIPIF1<0，讨论SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别求SKIPIF1<0的范围，然后求并集即可.【详解】解：（1）由函数解析式知：SKIPIF1<0，由题意，得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.经检验，SKIPIF1<0满足题意.（2）由已知，当SKIPIF1<0时，只需SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.SKIPIF1<0.①当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单减，在SKIPIF1<0单增.所以SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0（舍去）.②当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单增，在SKIPIF1<0单减，在SKIPIF1<0单增.由于SKIPIF1<0，所以只需SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.③当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单增，所以SKIPIF1<0，满足题意.④当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单增，在SKIPIF1<0单减，在SKIPIF1<0单增.由于SKIPIF1<0，所以只需SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.综上，知：SKIPIF1<0.【点睛】思路点睛：已知函数极值点求参数时，一般应用极值点处的导数为0列方程；函数在闭区间内任意两个函数值的差小于定值转化为最值间的距离小于该定值，（1）当SKIPIF1<0有极值则SKIPIF1<0，即可得有关参数的方程；（2）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恒成立转化为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；15．已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0（1）若函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处取得极值SKIPIF1<0，求函数SKIPIF1<0的解析式；（2）在（1）的条件下，令SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的单调区间；【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0的单调递减区间为SKIPIF1<0，单调递增区间为SKIPIF1<0.【分析】（1）求出导函数SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0可解得SKIPIF1<0，得函数解析式；（2）求出SKIPIF1<0，然后求出SKIPIF1<0的解，确定SKIPIF1<0的正负，得单调区间．【详解】（1）函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0SKIPIF1<0由已知可得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，经检验：SKIPIF1<0符合题意SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0SKIPIF1<0由于SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0故：SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单增，故：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0恒成立故SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0单调递减单调递增故：SKIPIF1<0的单调递减区间为SKIPIF1<0，单调递增区间为SKIPIF1<0【点睛】本题考查用导数研究函数的极值，求单调区间，解题基础是掌握导数的运算法则，求出导函数．再根据导数与极值、单调性的关系求解．16．设函数SKIPIF1<0（1）若函数SKIPIF1<0有两个极值点，求SKIPIF1<0实数的取值范围；（2）设SKIPIF1<0，若当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0的两个极值点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）证明见解析.【分析】（1）先由题中条件，得出函数定义域，由题意，得到SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有两个零点，即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有两个不等实根，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得到函数SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有两个不同交点，对函数SKIPIF1<0求导，判定其单调性，得出最值，进而可得出结果；（2）对函数SKIPIF1<0求导，根据题中条件，由韦达定理，得到SKIPIF1<0，求出SKIPIF1<0得到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0对其求导，用导数的方法求出最值，即可得出结果.【详解】（1）由已知，可知函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有两个零点，即方程SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有两个不等实根，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因此函数SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有两个不同交点，又SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0；由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0；则函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减；则SKIPIF1<0；又当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；为使函数SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有两个不同交点，只需SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即实数SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0.（2）证明：因为SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0的两根为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故可得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是增函数；所以SKIPIF1<0；因此SKIPIF1<0.【点睛】本题主要考查由函数极值点个数求参数，考查由导数的方法证明不等式，属于常考题型.17．已知函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处取得极值．（1）求实数a的值．（2）当SKIPIF1<0时，求函数SKIPIF1<0的最小值．【答案】（1）1；（2）SKIPIF1<0.【分析】（1）SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处取得极值，则SKIPIF1<0可求出SKIPIF1<0的值；（2）求出函数在SKIPIF1<0上的单调区间，从而得出函数的最小值；【详解】解：（1）由SKIPIF1<0，∵函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处取得极值，∴SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，∴函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减，∴SKIPIF1<0极大值SKIPIF1<0，SKIPIF1<0极小值SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0符合题意．（2）由（1）得SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减；SKIPIF1<0极大值SKIPIF1<0，SKIPIF1<0极小值SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，∴当SKIPIF1<0时，求函数SKIPIF1<0的最小值为：SKIPIF1<0．【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值与最值，属于中档题.18．设函数SKIPIF1<0．（1）若曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线与SKIPIF1<0轴平行，求SKIPIF1<0；（2）若SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处取得极小值，求SKIPIF1<0的取值范围．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0.【分析】（1）利用导数的几何意义可得SKIPIF1<0，即可得答案；（2）利用极值的定义对SKIPIF1<0分SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0三种情况进行讨论；【详解】解：（1）∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．（2）SKIPIF1<0．①当SKIPIF1<0时，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0随SKIPIF1<0变化如下表：SKIPIF1<0SKIPIF1<01SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<00SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0极大值SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处取得极大值（舍去）．②当SKIPIF1<0时，令SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（ⅰ）当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调增，∴SKIPIF1<0无极值（舍）．（ⅱ）当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0随SKIPIF1<0变化如下表：SKIPIF1<0SKIPIF1<01SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<00SKIPIF1<00SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0极大值SKIPIF1<0极小值SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处取极大值（舍）．（ⅲ）当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0随SKIPIF1<0变化如下表：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<01SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<00SKIPIF1<00SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0极大值SKIPIF1<0极小值SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处取极小值即SKIPIF1<0成立．③当SKIPIF1<0时，令SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<01SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<00SKIPIF1<00SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0极小值SKIPIF1<0极大值SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处取极大值（舍）．综上所述：SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0．【点睛】本题考查导数的几何意义、极值的求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.19．已知函数SKIPIF1<0.（1）当SKIPIF1<0时，求证：SKIPIF1<0恰有1个零点；（2）若SKIPIF1<0存在极大值，且极大值小于0，求a的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）SKIPIF1<0.【分析】（1）先求导，根据导数和函数最值得关系求出最值，即可判断；（2）先求导，再分类讨论，根据导数和函数极值的关系即可求出a的取值范围.【详解】（1）当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0,可得SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0单调递增；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0单调递减，所以当SKIPIF1<0时，函数取得最大值，最大值SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0恰有1个零点.（2）由函数SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，①当SKIPIF1<0时，令SKIPIF1<0，解的SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0单调递增；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0单调递减，所以当SKIPIF1<0时，函数取得极大值，极大值为SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.②当SKIPIF1<0时，令SKIPIF1<0，解的SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0时，即SKIPIF1<0时，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0单调递增；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0单调递减，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0单调递增；即函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0单调递减，当SKIPIF1<0时，函数取得极大值，极大值为SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；若SKIPIF1<0时，即SKIPIF1<0时，可得SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递增，函数无极值；若SKIPIF1<0时，即SKIPIF1<0时，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0单调递增；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0单调递减，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0单调递增；即函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0单调递减，当SKIPIF1<0时，函数取得极大值，极大值为SKIPIF1<0恒成立，所以SKIPIF1<0.综上所述，函数SKIPIF1<0存在极大值，且极大值小于0，则a的取值范围为SKIPIF1<0.【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性与极值的综合应用，其中解答中熟记导数与函数间的关系，着重考查导数的应用，以及分类讨论思想，属于中档试题.20．已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的导函数.（1）若SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内有唯一的极小值，求SKIPIF1<0的取值范围；（2）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，试研究SKIPIF1<0的零点个数.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0有3个零点.【分析】（1）先求导得SKIPIF1<0，求出SKIPIF1<0SKIPIF1<0，再由SKIPIF1<0和SKIPIF1<0两种情况讨论求得SKIPIF1<0的取值范围；（2）分析可知，只需研究SKIPIF1<0时零点的个数情况，再分SKIPIF1<0两种情形讨论即可.【详解】解：（1）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0在SKIPIF1<0是增函数，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0是减函数，无极值；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递