数式量的逻辑P225

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数式量数式量的逻辑中庸中庸無相目录数与式 9整式与分式 9整式的定义 9整式的加减 13整式的乘法 13整式的除法 15分式的定义 16分式的基本性质 17分式的加减 18分式的乘除 18分式方程的定义 19分式的加减乘除混合运算 19解分式方程 20有理数 20有理数的定义及分类 20有理数的加法 21有理数减法 22有理数的加减混合运算 23有理数乘法 23有理数除法 24有理数的乘除混合运算 25有理数的乘方 25有理数的混合运算 26正数与负数 27无理数与实数 28无理数定义 28估算无理数的大小 29实数定义 31实数的比较大小 33数轴 35相反数 36绝对值 36倒数 37单项式与多项式 38单项式 38多项式 40代数式 42代数式的概念 42写代数式 44代数式的求值 45因式分解 46因式分解 46公因式 50复数 52复数的概念 52复数的公式 56多边形 57多边形基础 57多边形 57多边形的内角和和外角和 59正多边形和圆 61平行四边形 62平行四边形的判定 62平行四边形的性质 62矩行 64矩行的性质及判定 64正方形 65正方形的性质及判定 67菱形 67菱形的性质及判定 67梯形 68梯形、梯形的中位线 68三角型 70三角形基础 70三角形的内角和定理 70三角形的外角性质 70三角形的稳定性 72三角形的中线、角平分线 72三角形的内心、外心、中心、重心 75三角形的周长和面积 78三角形的三边关系 79三角形中位线定理 79直角三角形 81直角三角形的性质及判定 81解直角三角形 83锐角三角函数的定义 85相拟三角形 89相拟三角形的判定 89相拟三角形的性质 91全等三角形 91全等三角形的判定 91全等三角形的性质 92等边等腰三角形 93等边三角形 93集合与函数 95集合 95集合的含义与表示 95集合间的基本关系 96集合的基本运算 99函数概念及其表示 102函数概念及表示方法 102函数的解析式 105函数的定义域 105函数的值域 106函数的图象 107函数的性质 108函数的基本性质 108函数的单调性 109函数的奇偶性 111函数的奇偶性 112函数的周期性 113基本初等函数 113指数函数 113对数函数 117幂函数 120二次函数 122反函数 124函数的应用 126函数的模型 126函数与方程 127空间几何体 128空间几何体 128空间几何体的三视图和直观图 128柱、锥、台、球的结构特征 129空间点线面的位置关系 136空间点、直线、平面之间的位置关系 136平面与平面平行的判定及其性质 140直线与平面平行的判定及其性质 140平面和平面垂直的判定及其性质 141直线与平面垂直的判定及其性质 141空间直角坐标系 141三角函数 142三角函数 142任意角和弧度制 142任意角的三角函数 145三角函数诱导公式 146同角三角函数的基本关系 148三角函数的图像与性质 149三角恒等变换 151两角和差、二倍角、半角、万能公式 151两角和与差的正弦、余弦和正切公式 153二倍角的正弦、余弦、正切公式 153解三角形 154正弦余弦定理 154正弦定理 155余弦定理 156平行向量 157一、平行向量的实际背景及基本概念 157平行向量的运算 159数列 162数列的概念及简单表示法 162数列的概念 162数列的单调性 162数列的通项公式 163等差数列 163等差数列及其性质 163等差数列的前n项和 164等差数列的判定 165等比数列 166等比数列及其性质 166等比数列的前n项和 167等比和等差公式的比较 168数列的综合与应用 168数列的求和 168解不等式 171不等关系与不等式 171不等式的定义 171不等式的基本性质 172一元二次不等式及其解法 173基本不等式 175基本不等式 175线性规划问题 180简单的线性规划 180导数与积分 180导数的概念及运算 180导数的概念 180导数的运算 182导数的应用 186利用导数研究函数的单调性 186利用导数研究函数的极值、最值 186导数的综合应用 186微积分 187定积分 187不定积分 191不定积分的运算 192统计与概率 194统计 194全面调查和抽样调查 194频数与频率 196随机抽样 197用样本估计总体 199变量间的相关关系 202概率 204随机事件的概率 204古典概型 206几何概型 207平面解析几何 209直线与圆 209直线与方程 209圆与方程 214圆锥曲线与方程 214椭圆 217双曲线 220抛物线 225数与式整式与分式整式的定义一、整式是有理式的一部分，在有理式中可以包含加，减，乘，除四种运算，但在整式中除数不能含有字母。单项式和多项式统称为整式。代数式中的一种有理式。不含除法运算或分数，以及虽有除法运算及分数，但除式或分母中不含变数者，则称为整式。二、整式的组成性质:1.单项式(1)单项式的概念:数与字母的积这样的代数式叫做单项式，单独一个数或一个字母也是单项式。注意:数与字母之间是乘积关系。(2)单项式的系数:单项式中的字母因数叫做单项式的系数。如果一个单项式，只含有字母因数，是正数的单项式系数为1，是负数的单项式系数为一1。(3)单项式的次数:一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。2.多项式(1)多项式的概念:几个单项式的和叫做多项式。在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项。一个多项式有几项就叫做几项式。多项式中的符号，看作各项的性质符号。(2)多项式的次数:多项式中，次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数。(3)多项式的排列:1.把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母降幂排列。2.把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升幂排列。由于多项式是几个单项式的和，所以可以用加法的运算定律，来交换各项的位置。而保持原多项式的值不变。为了便于多项式的计算，通常总是把一个多项式，按照一定的顺序，整理成整洁简单的形式，这就是多项式的排列。在做多项式的排列的题时注意(1)由于单项式的项，包括它前面的性质符号，因此在排列时，仍需把每一项的性质符号看作是这一项的一部分，一起移动。(2)有两个或两个以上字母的多项式，排列时，要注意：a.先确认按照哪个字母的指数来排列。b.确定按这个字母降幂排列，还是升幂排/整式：单项式和多项式统称为整式。(4)同类项的概念：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项，几个常数项也叫同类项。掌握同类项的概念时注意：1.判断几个单项式或项，是否是同类项，就要掌握两个条件：①所含字母相同。②相同字母的次数也相同。2.同类项与系数无关，与字母排列的顺序也无关。整式的定义3.几个常数项也是同类项。(5)合并同类项:1.合并同类项的概念:把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项。2.合并同类项的法则:同类项的系数相加，所得结果作为系数字母和字母的指数不变。3.合并同类项步骤:(1).准确的找出同类项。(2).逆用分配律，把同类项的系数加在一起(用小括号)，字母和字母的指数不变。3，写出合并后的结果。在掌握合并同类项时注意:1.如果两个同类项的系数互为相反数，合并同类项后，结果为0.2.不要漏掉不能合并的项。3.只要不再有同类项，就是结果(可能是单项式，也可能是多项式)。合并同类项的关键:正确判断同类项。三、整式的计算1单式乘以单顶式玄数与玄数相乖的积作为积的系数，相同字母底数不变，指数相加，单独的字母不变，仍作为积的一个因式。2.单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所有的项相加。3.先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。4.数字与数字相除,相同字母的进行相除，对于只在被除数中拥有的字母包括字母的指数一起作为商的一个因式。5.多项式除以单项式，先把这个多项式分别除以这个单项式，再把所得的商相加。6.多项式除以多项式的一般步骤:多项式除以多项式，一般用竖式进行演算。(1)把被除式、除式按某个字母作降幂排列，并把所缺的项用零补齐(2)用除式的第一项去除被除式的第一项，得商式的第一项，(3)用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面(同类项对齐)，从被除式中减去这个积(4)把减得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止，被除式=除式x商式+余式如果一个多项式除以另一个多项式，余式为零，就说这个多项式能被另一个多项式整除.(5)如果被除式能分解因式且有因式与除式中的因式相同的，可以把被除式、除式分解因式。最重要的是必注意各项系数的符号四、整式的四则运算:整式可以分为定义和运算，定义又可以分为单项式和多项式，运算又可以分为加减整式的定义为单项式和多项式，运算又可以分为加减和乘除。加减包括合并同类项，乘除包括基本运算、法则和公式，基本运算又可以分为幂的运算性质，法则可以分为整式、除法.公式可以分为乘法公式、零指数幂和负整数指数幂。1.整式的加减合并同类项是重点，也是难点。合并同类项时要注意以下三点:1要掌握同类项的概念，会辨别同类项，并准确地掌握判断同类项的两条标准:字母和字母指数:②明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项，经过合并同类项，多项式的项数会减少，达到化简多项式的目的;③“合并”是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字母和字母的指数不变。2.整式的乘除重点是整式的乘除，尤其是其中的乘法公式。乘法公式的结构特征以及公式中的字母的广泛含义，学生不易掌握。因此，乘法公式的灵活运用是难点，添括号(或去括号)时，括号中符号的处理是另一个难点。添括号(或去括号)是对多项式的变形，要根据添括号(或去括号)的法则进行。在整式的乘除中，单项式的乘除是关键，这是因为，一般多项式的乘除都要“转化”为单项式的乘除。整式四则运算的主要题型有:(1)单项式的四则运算此类题目多以选择题和应用题的形式出现，其特点是考查单项式的四则运算。(2)单项式与多项式的运算此类题目多以解答题的形式出现，技巧性强，其特点为考查单项式与多项式的四则运算。整式的加减一、整式的加减:其实质是去括号和合并同类项，其一般步骤为:(1)如果有括号，那么先去括号;(2)如果有同类项，再合并同类项。注:整式加减的最后结果中不能含有同类项，即要合并到不能再合并为止。二、整式加减整式的加减即合并同类项。把同类项相加减，不能计算的就直接拉下来。合并同类项时要注意以下三点:①要掌握同类项的概念，会辨别同类项并准确地掌握判断同类项的两条标准字母和字母指数:②明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项，经过合并同类项，式的项数会减少，达到化简多项式的目的:③“合并”是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字母和字母的指数不变。整式的乘法一、整式的乘法:包括(单项式)与(单项式)相乘:(单项式)与(多项式)相乘:(多项式)与(多项式)相乘单项式与单项式相乘的运算法则:单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对干只在一个单项式里含有的字母。则连同它的指数作为积的一个因式。二、整式乘法法则1、同底数的幂相乘:法则:同底数的幂相乘，底数不变，指数相加。数学符号表示:aman=am+n(其中m、n为正整数)2、幂的乘方:法则:幂的乘方，底数不变，指数相乘。数学符号表示:(am)n=am*n(其中m、n为正整数)3、积的乘方法则:积的乘方，先把积中各因式分别乘方，再把所得的幂相乘。(即等干积中各因式乘方的积。)数学符号表示:(ab)n=an*bn(其中n为正整数)4,单项式与单项式相乘把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。5、单项式与多项式相乘:就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。6、多项式与多项式相乘:先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加。7、乘法公式:平方差公式:(a+b)·(a-b)=a²-b²完全平方公式:(a+b)2=a²+2ab+b2(a-b)²=a²-2ab+b。三、整式乘法运算:单项式乘以单项式法则:单项式与单项式相乘，利用乘法交换律和结合律，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余的字母连同它的指数不变，一起作为积的因式注:单项式乘以单项式，实际上是运用了乘法结合律和同底数的幂的运算法则完成的。①积的系数等于各因式系数的积，先确定符号，再计算绝对值.这时容易出现的错误是，将系数相乘与指数相加混淆，如2a·3a=6a5，而不要认为是6a6或5a5.②.相同字母的幂相乘，运用同底数幂的乘法运算性质③.只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数作为积的一个因式④.单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用⑤.单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式单项式乘以多项式的运算法则单项式与多项式相乘，就是根据乘法分配律用单项式去乘多项式的每一项，转化为单项式与单项式的乘法，然后再把所得的积相加.法则:多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加方法总结:在探究多项式乘以多项式时，是把某一个多项式看成一个整体，利用分配律进行计算，这里再一次说明了整体性思想在数学中的应用。整式的除法一、整式的除法法则1、同底数的幂相除同底数的幂相除，底数不变，指数相减am/an=am-n(mn都是正整数，m>n)2.两个单项式相除两个单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式;对于只在被除式里含有的字母，则连同他的指数一起作为商的一个因式。3.多项式除以单项式多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。如：(9x*-15x+6x)/3x=9x*/3x-15x/3x+6×/3x=3×-5x+2分式的定义分式的概念一般地，如果A、B(B不等于零)表示从个整式，且B中含有字母，那么式子A/B就叫做分式，其中A称为分子，B称为分母。因此，判定一个代数式是不是分式，关键是看分母中有没有字母，并且看的是形式，不是最终化简的结果。比如:2xlx分母中含有字母，虽然它可以化简为2x.但是分式看的是形式，所以它是个分式。分式有意义的条件(1)分式有意义条件:分母不为0:(2)分式无意义条件:分母为0:(3)分式值为0条件:分子为0且分母不为0;(4)分式值为正(负)数条件:分子分母同号时，分式值为正;分子分母异号时、分式值为负三、分式的区别概念分式与分数的区别与联系:a.分式与分数在形式上是一致的，都有一条分数线，相当于除法的“÷”，都有分子和分母，都可以表示成(B≠0)的形式;b.分式中含有字母，由于字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性；分数是分式中字母取特定值后的特殊情况。整式和分式统称为有理式。带有根号且根号下含有字母的式子叫做无理式。无限不循环小数也是无理式无理式和有理式统称代数式分式的基本性质一、分式的基本性质:分式的分子和分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变。即，A/B=A*C/B*C、A/B=A÷C/B÷C(C+0)，其中A、B、C均为整式。二、分式的符号法则一个分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。约分:分数可以约分，分式与分数类似，也可以约分，根据分式的基本性质把一个分式的分子与分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分。分式的约分步骤:(1)如果分式的分子和分母都是单项式或者是几个因式乘积的形式，将它们的公式约去;(2)分式的分子和分母都是多项式，将分子和分母分别分解因式，再将公因式约去。通分：根据分式的基本性质，把分子、分母同时乘以适当的整式，把几个异分母的分式转化为与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。分式的通分步骤：先求出所有分式分母的最简公分母，再将所有分式的分母变为最简公分母；同时各分式按照分母所扩大的倍数，相应扩大各自的分子.分式的加减一、分式的加减法则:同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减;异分母的分式相加减，先通分，变为同分母分式，然后再加减。用式子表示为:a/c±b/c=(a±b)/a/b±c/d=ad/bd±cb/bd=(ad±cb)/bd二、分式的加减要求①分式的加减运算结果必须是最简分式或整式，运算中要适时地约分;②如果一个分式与一个整式相加减，那么可以把整式看成是分母为1的分式，先通分，再进行加减。分式的乘除一、分式的乘除法则1、分式的乘法法则:分式乘分式，用分子的积作为积的分子。分母的积作为分母。用字母表示为:a/b*c/d=ac/bd2、分式的除法法则分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘:除以一个分式，等于乘以这个分式的倒数。用式子表示为:a/b÷c/d=a/b*d/c=ad/bc(bcd均不为零)3、分式的乘方法则分式乘方要把分子、分母分别乘方。用式子表示为:(a/b)n=an/bn(n为正整数)，其中b≠0，a，b可以代表数，也可以代表代数式。分式方程的定义一、分式方程式的定义分式方程是方程中的一种，且分母里含有未知数的(有理)方程叫做分式方程，等号两边至少有一个分母含有未知数。二、分式方程特征①一是方程②二是分母中含有未知数。因此整式方程和分式方程的根本区别就在于分母中是否含有未知数。分式的加减乘除混合运算一、分式的加减乘除混合运算:分式的混合运算应先乘方，再乘除，最后算加减，有括号的先算括号内的。也可以把除法转化为乘法，再运用乘法运算。分式的化简:借助分式的基本性质，应用换元法、整体代入法等，通过约分和通分来达到简化分式的目的。二、分式的混合运算在解答分式的乘除法混合运算时，注意两点，就可以了:注意运算的顺序:按照从左到右的顺序依次计算:注意分式乘除法法则的灵活应用。解分式方程一、解法:解分式方程的基本思想是把分式方程转化为整式方程，其一般步骤是:(1)去分母:分式方程两边同乘以方程中各分母的最简公分母，把分式方程转化为整式方程。(最简公分母:①系数取最小公倍数②出现的字母取最高次幂③出现的因式取最高次幂)(2)解方程:解整式方程，得到方程的根;(3)验根:将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解:否则，这个解不是原分式方程的解，是原分式方程的增根。如果分式本身约分了，也要带进去检验。在列分式方程解应用题时，不仅要检验所得解的是否满足方程式，还要检验是否符合题意。一般的，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为零因此要将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为零，则是方程的解.注意:(1)注意去分母时，不要漏乘整式项。(2)增根是分式方程去分母后化成的整式方程的根，但不是原分式方程的根。(3)增根使最简公分母等于0。有理数有理数的定义及分类有理数的定义:有理数是整数和分数的统称，一切有理数都可以化成分数的形式。有理数的分类:按有理数的定义分，可分为整数和分数按有理数性质分，可分为正有理数、零、负有理数有理数的加法一、有理数的加法:把两个有理数合成一个有理数的运算叫做有理数的加法。二、有理数的加法法则:(1)同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加;(2)绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值;(3)互为相反的两个数相加得0:(4)一个数同0相加，仍得这个数。三、有理数加法的运算律:(1)加法的交换律:a+b=b+a;(2)加法的结合律:(a+b)+c=a+(b+c)有理数减法一、有理数的减法已知两个有理数加数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算，叫做有理数的减法，减法是加法的逆运算。二、有理数的减法法则:减去一个数等于加上这个数的相反数，即a-b=a+(-b)两变:减法运算变加法运算，减数变成它的相反数。-不变:被减数不变。可以表示成:a-b=a+(-b)。计算步骤:(1)把减法变为加法:(2)按加法法则进行三、有理数减法点拨:1.引进负数之后，对于任意两个有理数都可以求出其差，不存在“不够减”的问题，并有如下结论:大数减小数，差为正数:小数减大数，差为负数:某数减去零，差为某数:零减去某数，差为某数的相反数;相等两数相减，差为零。2.在减法转化为加法时，减数必须同时变成其相反数，即“同时改变两个符号”。有理数的加减混合运算一、有理数的加减运算顺序:同级运算从左往右(从左往右算)异级运算先二后一(先算二级运算，再算一级运算，x、÷为二级，+、-为一级)有括号的先里后外(先算括号里的，再算括号外的)二、有理数加减混合运算的步骤:(1)把减法转化为加法，写成省略加号和括号的形式;(2)应用加法的交换律与结合律，简化运算;(3)求出结果。三、有理数加减混合运算有理数加法运算总是涉及两个方面:一方面是确定结果的符号，另一方面是求结果的绝对值。法则:(一)同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。(二)异号两数相加，绝对值相等时和为0，绝对值不等时，取绝对值较大数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。(三)一个数同0相加，仍得这个数。四、有理数减法法则:减去一个数，等于加上这个数的相反数。注:在运用减法法则时，注意两个符号的变化，一是运算符号，减号变成加号，二是性质符号，减数变成它的相反数。有理数的加减混合运算加减混合运算可以通过减法法则，将减法化加法，统一为加法运算。有理数乘法一、有理数乘法定义:求两个有理数因数的积的运算叫做有理数的乘法二、有理数乘法的法则(1)同号两数相乘，取正号，并把绝对值相乘:(2)异号两数相乘，取负号，并把绝对值相乘:(3)任何数与0相乘都得0。几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负:当负因数有偶数个时，积为正。有理数乘法的运算律(1)交换律:ab=ba;(2)结合律:(ab)c=a(bc);(3)分配律:a(b+c)=ab+ac。三、记住乘法符号法则:1.几个不为0的数相乘，积的符号由负大数的个数决定，当负因数的个数是奇数时，积的符号为负:相反，当负因数的个数是偶数时，积的符号为正。2.几个数相乘，只要有一个数为0，积就是0。3.几个不等于零的数相乘，首先确定积的符号，然后把绝对值相乘。有理数乘法的注意1.乘法是指求几个相同加数的和的简便算法，引入负数后，乘法的意义没有改变:2.有理数乘法与有理数加法的运算步骤一样:确定符号、确定绝对值;3.掌握乘法法则的关键是会确定积的符号:“两数相乘，同号得正，异号得负”，切勿与有理数加法的符号法则混淆。有理数除法一、有理数除法定义已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算叫做有理数的除法。二、有理数的除法法则:(1)除以一个数，等于乘上这个数的倒数;(2)两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除;(3)0除以任何一个不等于0的数都等于0。三、有理数除法注意:①不能做除数:②有理数的除法和乘法是互逆运算:③在做除法运算时，根据同号得正，异号的负的法则先确定符号，在把绝对值相除，若在算式中有带分数，一般化成假分数进行计算，若不能整除，则除法运算都转化为乘法运算。有理数的乘除混合运算一、有理数的乘除混合运算:可统一化为乘法运算，在进行乘除运算时，一般地，遇除化乘，转化为有理数的乘法进行计算。二、乘除混合运算需要掌握:1.由负因数的个数确定符号:2.小数化成分数，带分数化成假分数:3.除号改成乘号，除号改成倒数，变成连乘形式;4.进行约分;5.注意运算顺序，乘除为同级运算，要遵守从左到右的顺序计算:6.转化为乘法后，可运用乘法运算律简化运算。有理数的乘方一、有理数乘方的定义:求n个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂。在an中，a叫做底数，n叫做指数。26、7³也可以看做是乘方运算的结果这时它们表示数，分别读作“2的6次幂”、“7的3次幂”，其中2、7叫做底数6、3叫做指数。①习惯上把2叫做2的平方，把2³叫做2的立方;②当底数是负数或分数时，要先用括号将底数括上，再在其右上角写指数，指数要写得小些。二、乘方的性质:乘方是乘法的特例，其性质如下:(1)正数的任何次幂都是正数:(2)负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数;(3)0的任何(除0以外)次幂都是0:(4)a是一个非负数，即a²≥0。三、有理数乘方法则:①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。例如:(-2)³=-8，(-2)²=4②正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0.例如：2=4，2°=80°=0点拨：①0的次幂没意义；②任何有理数的偶次幂都是非负数；③由于乘方是乘法的特例，因此有理数的乘方运算可以用有理数的乘法运算完成；④负数的乘方与乘方的相反数不同。有理数的混合运算一、有理数的混合运算：是一个运算式子中有加有减有乘有除有次方等运算方式的混合运算方式。二、有理数混合运算的规律：(1)先乘方，再乘除，最后加减；(2)同级运算，从左到右进行；(3)若有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行计算。正数与负数一、正数:就是大于0的(实数)负数:就是小于0的(实数)0既不是正数也不是负数二、非负数正数与零的统称。非正数:负数与零的统称。三、正负数的认识:1.对于正数和负数的概念，不能简单的理解为:带“+”号的数是正数，带“-”号的数是负数。例如:-a一定是负数吗?答案是不一定，因为字母a可以表示任意的数。若a表示正数时，-a是负数:当a表示0时，-a就是在0的前面加一个负号，仍是0，0不分正负;当a表示负数时，-a就不是负数了，它是一个正数。2.引入负数后，数的范围扩大为有理数奇数和偶数的外延也由自然数扩大为整数，整数也可以分为奇数和偶数两类，能被2整除的数是偶数，如…-6，-4，-2，0，2，4，6…不能被2整除的数是奇数，如…-5，1.3,5…3.数细分有五类:正整数、正分数、0、负整数、负分数;但研究问题时，通常把有理数分为三类:正数、0、负数，进行讨论。4.通常把正数和0统称为非负数，负数和0统称为非正数，正整数和0称为非负整数;负整数和0统称为非正整数。无理数与实数无理数定义一、无理数定义:即非有理数之实数，不能写作两整数之比。若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环。常见的无理数有大部分的平方根、π和e(其中后两者同时为超越数)等。无理数是无限不循环小数。如圆周率、等二、无理数性质:无限不循环的小数就是无理数。换句话说，就是不可以化为整数或者整数比的数性质1无理数加(减)无理数既可以是无理数又可以是有理数性质2无理数乘(除)无理数既可以是无理数又可以是有理数性质3无理数加(减)有理数一定是无理数性质4无理数乘(除)一个非0有理数一定是无理数三、无理数与有理数的区别:1、把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数，比如:4=4.0，4/5=0.8.1/3=0.33333……而无理数只能写成无限不循环小数。比如:12=1.414213562…………...根据这一点，人们把无理数定义为无限不循环小数:2、所有的有理数都可以写成两个整数之比,而无理数不能。根据这一点，有人建议给无理数摘掉，把有理数改叫为“比数”，把无理数改叫为“非比数”。四、无理数的识别:判断一个数是不是无理数，关键就看它能不能写出无限不循环小数，而把无理数写成无限不循环小数，不但麻烦，而且还是我们利用现有知识无法解决的难题。初中常见的无理数有三种类型:(1)含根号且开方开不尽的方根，但切不可认为带根号的数都是无理数:(2)化简后含πT的式子:(3)不循环的无限小数。掌握常见无理数的类型有助于识别无理数。估算无理数的大小在一些题目中我们常常需要估算无理数的取值范围，要想准确地估算出无理数的取值范围需要记住一些常用数的平方。一般情况下从1到达20整数的平方都应牢记。例:估算3的取值范围。解:因为1<3<4，所以√1<√3<√4，即:1<3<2如果想估算的更精确一些、比如说想精确到0.1，可以这样考虑:因为17的平方是289，18的平方是324，所以1.7的平方是2.89，1.8的平方是3.24.因为2.89<3<3.24所以1.7<3<1.8，所以1.7<<1.8。如果需要估算的数比较大，可以找几个比较接近的数值验证一下。比较无理数大小的几种方法:比较无理数大小的方法很多，在解题时，要根据所给无理数的特点，选择合适的比较方法。一、直接法直接利用数的大小来进行比较。①、同是正数:例:3与3的比较根据无理数和有理数的联系，被开数大的那个就大。因为3=9>3,所以3>32、同是负数:根据无理数和有理数的联系，及同是负数绝对值大的反而小。③、一正一负:正数大于一切负数。二、隐含条件法:根据二次根式定义，挖掘隐含条件。例:比较3(1-a)与(a所以(a-2)≧0即a≧2所以3所以(a-2)三、同次根式下比较被开方数法:例:比较45与54大小因为45=(16*5)=80，54=(25...54>45四、作差法:若a-b>0则a>b例:比较3-6与6-2的大小因为3-6-(6-2)=5-26=25-4*6>0所以:5-26>0即3-6>6-2五、做商法a>0.b>0.若a/b>1.则a>b例:比较(Va+1)/(Va+2)与(a+2)/(a+3)的大小，因(a+1)/(a+2)/(a+2)/(a+3)=(a+1)/(a+2)x(所以:(a+1)/(a+2)<(a六、找中间量法要证明a>b可找中间量c，转证a>cc>b例:比较(10+3)/(10+2)与(25+2)/(25+3)的大小因为10+3)/(10+2)>11>(25+2)/(25所以(10+3)/(10+2)>(25+2)/(25七、平方法a>0,b>0,若a>b².则a>b。例:比较5+11与6+10的大小(10+11)2=16+255(6+10)²=16+260所以5+11<6+10八、倒数法:若1/a>1/b(a>0,b>0)，则a<b比较3-22与3-2.1/(3-22)=(3+22)/(3-22)(3+22)=3+22.1/(3-2)=(3+2)/(3-2)(3+2)=...1/(3-22)>1/(3-2)..3-22<3-2九.有理化法可分母有理化，也可分子有理化。例:比较1/(6-5)与2/(7-5)解:.1/(6-5)=(6+5(6-5)(√6+5)=6+5:2/(7-5)=2(7+5)/(7-5)(7+5)=7+5...6+..1/(6-5)<2/(7-5)十、放缩法:欲证a<b可转证a<c<b例:比较3(2-3)与5/2解:因为3(2-3)=3/(2+3)<3/(3+3)=3/23=√3/2<5/2..3(2-3)<5实数定义实数由有理数和无理数组成，其中无理数就是无限不循环小数，有理数就包括整数和分数。数学上，实数直观地定义为和数轴上的点-一对应的数。本来实数仅称作数，后来引入了虚数概念，原本的数称作“实数”--意义是“实在的数”。二、实数的定义分析1实数可以分为有理数(如31、-12/36)和无理数(如П、2)两类，或代数数和超越数两类，或正数，负数和零三类。2.实数集合通常用字母“R”表示。实数可以用来测量连续的量。3.理论上，任何实数都可以用无限小数的方式表示，小数点的右边是一个无穷的数列(可以是循环的，也可以是非循环的)。在实际运用中，实数经常被近似成一个有限小数(保留小数点后n位，n为正整数)。4.通常把正实数和零合称为分负数，把负实数和零合称为非正数。5.任何两个实数之间都有无数个有理数和无理数。三、实数的性质:1.基本运算实数可实现的基本运算有加、减、乘、除、平方等，对非负数还可以进行开方运算。实数加、减、乘、除(除数不为零)、平方后结果还是实数。任何实数都可以开奇次方，结果仍是实数，只有非负实数，才能开偶次方其结果还是实数。有理数范围内的运算律、运算法则在实数范围内仍适用:交换律:a+b=b+a，ab=ba结合律:(a+b)+c=a+(b+c)分配律:a(b+c)=ab+ao2.实数的相反数实数的相反数的意义和有理数的相反数的意义相同。实数只有符号不同的两个数，它们的和为零，我们就说其中一个是另一个的相反数。实数a的相反数是-aa和-a在数轴上到原点0的距离相等。3.实数的绝对值:实数的绝对值的意义和有理数的绝对值的意义相同。一个正实数的绝对值等于它本身;一个负实数的绝对值等于它的相反数0的绝对值是0实数a的绝对值是:a①a为正数时，a=a(不变)2a为0时，a=0③a为负数时，a=-a(为a的相反数)(任何数的绝对值都大于或等于0，因为距离没有负的。)4实数的倒数实数的倒数与有理数的倒数一样，如果a表示一个非零的实数，那么实数a的倒数是:1/a(a≠0)四、实数的分类实数包含有理数和无理数。实数的分类:实数的比较大小实数的比较大小法则正实数都大于0，负实数都小于0:正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小;在数轴上，右边的数要比左边的大。实数比较大小的具体方法(1)求差法:设a，b为任意两个实数，先求出a与b的差，再根据“当a-b<0时，a<b;当a-b=0时。a=b;当a-b>0时，a>b”来比较a与b的大小。(2)求商法:设a，b(b≠0)为任意两个正实数，先求出a与b的商，再根据“当a/b<1时，a<b;当a/b=1时，a=b:当a/b>1时，a>b”来比较a与b的大小;当a，b(b+0)为任意两个负实数时，再根据“当a/b<1时，a>b;当a/b=1时，a=b;当a/b>1时，a<b”来比较a与b的大小。(3)倒数法:设a，b(a+0，b+0)为任意两个正实数，先分别求出a与b的倒数，再根据“当1/a<1/b时，a>b;当1/a>1/b时，a<b。”来比较a与b的大小。(4)平方法:比较含有无理数的式子的大小时，先将要比较的两个数分别平方，再根据“在a>0，b>0时，可由a2>b²得到a>b”比较大小。也就是说，两个正数比较大小时，如果一个数的平方比另一个数的平方大，则这个数大于另一个数。还有估算法、近似值法等。两个实数的大小比较，形式有多种多样只要我们在实际操作时，有选择性地灵活运用上述方法，一定能方便快捷地取得令人满意的结果。(5)数轴比较法:实数与数轴上的点一一对应。利用这条性质，将实数的大小关系转化为点的位置关系。设数轴的正方向指向右方，则数轴上右边的点所表示的数比左边的点所表示的数要大。比如，点A表示数a，点B表示数b。因为点A在点B的右边，所以数a大于数b，即a>b.数轴一、数轴定义:规定了唯一的原点，正方向和单位长度的一条直线叫做数轴。数轴具有三要素:原点、正方向和单位长度，三者缺一不可。数轴是直线，可以向两方无限延伸，因此所有的有理数都可用数轴上的点来表示。二、用数轴上的点表示有理数:每一个有理数都可用数轴上的点来表示，表示正数的点在数轴原点的右边，表示负数的点在数轴原点的左边，原点表示数0。1.数轴上的点表示的数不一定都是有理数，还可能是无理数，但有理数都可用数轴上的点来表示。2.表示正数的点都在原点右边，表示负数的点都在原点左边。3.数轴上的点表示的数，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大，因此，可借助数轴比较有理数的大小。三、数轴的画法1.画一条直线(一般画成水平的直线):2.在直线上根据需要选取一点为原点(在原点下面标上“0”);3.确定正方向(一般规定向右为正，并用箭头表示出来);4.选取适当的长度为单位长度从原点向右，每隔一个单位长度取一点，依次表示1，2，3，…;从原点向左，用类似的方法依次表示-1，-2，-3，…。四、数轴的应用范畴:符号相反的两个数互为相反数，零的相反数是零。(如2的相反-2)在数轴上离开原点的距离就叫做这个数的绝对值。一个正数的绝对值是它本身，一个负数的相反数是它的正数，0的绝对值是0。相反数一、相反数的定义像2和-2，5和-5这样，只有符号不同的两个数叫做互为相反数。相反数的几何意义:在数轴上到原点距离相等的两个点表示的两个数叫做互为相反数。相反数的代数意义:如果两个数的和为零，其中一个数是另一个数的相反数，这两个数称为互为相反数。二、相反数的特性:1、若a，b互为相反数，则a+b=0;反之若a+b=0，则ab互为相反数:2、在数轴上，互为相反数(0除外)的两个点位于原点的两旁，并且关于原点对称;3、此时，b的相反数为-b=-(-a)=a，那么我们就说“相反数具有互称性”。4、相反数的规律:正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0的相反数是0。5、相反数的表示方法:a的相反数是-a，-a的相反数是a:a-b的相反数是b-a，b-a的相反数是a-b:a+b的相反数是-(a+b)，即-a-b。绝对值一、绝对值定义:在数轴上，表示一个数的点到原点的距离叫做这个数的绝对值。绝对值用“"”来表示。在数轴上，表示一个数a的点到数b的点之间的距离的值，叫做a-b的绝对值，记作|a-b。二、绝对值的意义:1、几何的意义:在数轴上，一个数到原点的距离叫做该数的绝对值，如:5指在数轴上表示数5的点与原点的距离，这个距离是5，所以5的绝对值是5。2、代数的意义:非负数(正数和0.)非负数的绝对值是它本身，非正数的绝对值是它的相反数。互为相反数的两个数的绝对值相等。a的绝对值用“lal”表示.读作“a的绝对值”。实数a的绝对值永远是非负数，即|a≥0。互为相反数的两个数的绝对值相等，即-a=|al。若a为正数，则满足|x=a的x有两个值±a，如x=3，,则x=±3.三、绝对值的有关性质:①任何有理数的绝对值都是大于或等于0的数，这是绝对值的非负性:②绝对值等于0的数只有一个，就是0;③绝对值等于同一个正数的数有两个，这两个数互为相反数;④互为相反数的两个数的绝对值相等。四、绝对值的化简绝对值意思是值一定为正值，按照“符号相同为正，符号相异为负”的原则来去绝对值符号。①绝对值符号里面为负，在去掉绝对值时必须要加一个负的符号老确保整个值为正值，也就是当：lal=a(a为正值，即a三0时)；|al=-a(a为负值，即a<0时)②整数就找到这两个数的相同因数；③小数就把这两个数同时扩大相同倍数成为整数，一般都是扩大10、100倍；④分数的话就相除，得数是分数就是分子：分母，要是得数是整数，就这个数比1。倒数一、倒数的定义:如果两个数的乘积等于1，那么这两个数就叫做互为倒数。二、倒数性质(1)若a、b互为倒数，则ab=1，或，反之也成立;(2)0没有倒数;(3)乘积为-1的两个数互为负倒数即ab=-1，则ab互为负倒数，反之也成立。三、倒数的特点一个正实数(1除外)加上它的倒数一定大于2。因为:a+(1/a)-2=(a²+1-2a)/