杆件横截面上的应力

关于杆件横截面上的应力第1页，共45页，2022年，5月20日，1点23分，星期五第一节基本概念第二节轴向拉压杆的应力应力应变胡克定律横截面上的应力斜截面上的应力第2页，共45页，2022年，5月20日，1点23分，星期五应力：杆件截面上的分布内力集度平均应力一点处的总应力正应力σ切应力τ应力特征：（1）必须明确截面及点的位置；（2）是矢量，1)正应力：拉为正，

2)

切应力顺时针为正；（3）单位：Pa(帕)和MPa(兆帕)

1MPa=106Pa第3页，共45页，2022年，5月20日，1点23分，星期五

杆原长为l，直径为d。受一对轴向拉力F的作用，发生变形。变形后杆长为l1，直径为d1。其中：拉应变为正，压应变为负。轴向(纵向)应变：

研究一点的线应变：取单元体积为Δx×Δy×Δz该点沿x轴方向的线应变为：x方向原长为Δx，变形后其长度改变量为Δδx应变横向应变：

第4页，共45页，2022年，5月20日，1点23分，星期五胡克定律

实验表明，在比例极限内，杆的轴向变形Δl与外力F及杆长l成正比，与横截面积A成反比。即：引入比例常数E，有：----胡克定律其中：E----弹性模量，单位为Pa;

EA----杆的抗拉（压）刚度。

胡克定律的另一形式：

实验表明，横向应变与纵向应变之比为一常数ν----称为横向变形系数（泊松比）

G------切变模量第5页，共45页，2022年，5月20日，1点23分，星期五FF1122假设：

①平面假设②横截面上各点处仅存在正应力并沿截面均匀分布。拉应力为正，压应力为负。

对于等直杆

当有多段轴力时，最大轴力所对应的截面-----危险截面。危险截面上的正应力----最大工作应力FF拉压杆横截面上的应力FN:横截面上的轴力A：横截面的面积第6页，共45页，2022年，5月20日，1点23分，星期五横截面----是指垂直杆轴线方向的截面；斜截面----是指任意方位的截面。FFF①全应力：②正应力：③切应力：1）

α=00时，σmax＝σ2）α＝450时，τmax=σ/2

拉压杆斜截面上的应力第7页，共45页，2022年，5月20日，1点23分，星期五

试计算图示杆件1-1、2-2、和3-3截面上正

应力.已知横截面面积A=2×103mm220KN20KN40KN40KN332211例题20kN40kN第8页，共45页，2022年，5月20日，1点23分，星期五试求图示结构AB杆横截面上的正应力。已知F=30KN，A=400mm2FDBCAaaa例题FNAB第9页，共45页，2022年，5月20日，1点23分，星期五图示直杆，其抗拉刚度为EA，试求杆件的轴向变形△L，B点的位移δB和C点的位移δCFBCALL例题F第10页，共45页，2022年，5月20日，1点23分，星期五

梁弯曲时横截面上的正应力与切应力，分别称为弯曲正应力与弯曲切应力。MFSFSMst第四节纯弯曲时梁横截面上的正应力第11页，共45页，2022年，5月20日，1点23分，星期五

纯弯曲：梁受力弯曲后，如其横截面上只有弯矩而无剪力，这种弯曲称为纯弯曲。

纯弯曲时梁横截面上的正应力第12页，共45页，2022年，5月20日，1点23分，星期五实验现象：1、变形前互相平行的纵向直线、变形后变成弧线，且凹边纤维缩短、凸边纤维伸长。2、变形前垂直于纵向线的横向线,变形后仍为直线，且仍与弯曲了的纵向线正交，但两条横向线间相对转动了一个角度。中性轴：中性层与横截面的交线称为中性轴。平面假设：变形前杆件的横截面变形后仍为平面。第13页，共45页，2022年，5月20日，1点23分，星期五第14页，共45页，2022年，5月20日，1点23分，星期五MZ:横截面上的弯矩y:到中性轴的距离IZ:截面对中性轴的惯性矩第15页，共45页，2022年，5月20日，1点23分，星期五横截面上正应力的画法：

MsminsmaxMsminsmax①线弹性范围—正应力小于比例极限sp；②精确适用于纯弯曲梁；③对于横力弯曲的细长梁(跨度与截面高度比L/h>5)，上述公式的误差不大，但公式中的M应为所研究截面上的弯矩，即为截面位置的函数。公式适用范围：三种典型截面对中性轴的惯性矩第16页，共45页，2022年，5月20日，1点23分，星期五CL8TU6第17页，共45页，2022年，5月20日，1点23分，星期五

长为l的矩形截面悬臂梁，在自由端作用一集中力F，已知b＝120mm，h＝180mm、l＝2m，F＝1.6kN，试求B截面上a、b、c各点的正应力。（压）

例题第18页，共45页，2022年，5月20日，1点23分，星期五

图示T形截面简支梁在中点承受集中力F＝32kN，梁的长度L＝2m。T形截面的形心坐标yc＝96.4mm，横截面对于z轴的惯性矩Iz＝1.02×108mm4。求弯矩最大截面上的最大拉应力和最大压应力。

例题第19页，共45页，2022年，5月20日，1点23分，星期五如图所示悬臂梁，自由端承受集中载荷F=15kN作用。试计算截面B--B的最大弯曲拉应力与最大弯曲压应力。

解：1．确定截面形心位置选参考坐标系z’oy如图示，将截面分解为I和II两部分，形心C的纵坐标为:2．计算截面惯性矩2012020120单位：mmIII

例题第20页，共45页，2022年，5月20日，1点23分，星期五3计算最大弯曲正应力截面B—B的弯矩为:

在截面B的上、下边缘，分别作用有最大拉应力和最大压应力，其值分别为：第21页，共45页，2022年，5月20日，1点23分，星期五切应力互等定理

在相互垂直的两个平面上，切应力必然成对存在，且数值相等，两者都垂直于两个平面的交线，方向则共同指向或共同背离这一交线。

切应力互等定理：第22页，共45页，2022年，5月20日，1点23分，星期五一、矩形截面梁的切应力假设：1、横截面上的τ方向与FS平行2、τ沿截面宽度是均匀分布的zyFs

7-5梁横截面上的切应力第23页，共45页，2022年，5月20日，1点23分，星期五第24页，共45页，2022年，5月20日，1点23分，星期五bhz上式中符号意义：：截面上距中性轴y处的剪应力

：y以外面积对中性轴的静矩

：整个截面对中性轴的惯性矩b：y处的宽度y对于矩形：c第25页，共45页，2022年，5月20日，1点23分，星期五而

因此矩形截面梁横截面上的切应力的大小沿着梁的高度按抛物线规律分布。在上下边缘处：y

=

0，zbhmax第26页，共45页，2022年，5月20日，1点23分，星期五图示矩形截面简支梁受均布荷载作用，分别求最大剪力所在的截面上a,b,c三点处的切应力。（1）作出剪力图

（2）各点处的切应力第27页，共45页，2022年，5月20日，1点23分，星期五矩形截面简支梁，加载于梁中点C，如图示。

求σmax,τmax

。第28页，共45页，2022年，5月20日，1点23分，星期五二、工字形截面梁的切应力

横截面上的切应力(95--97)％由腹板承担,而翼缘仅承担了(3--5)％,且翼缘上的切应力情况又比较复杂.为了满足实际工程中计算和设计的需要仅分析腹板上的切应力.hh0t第29页，共45页，2022年，5月20日，1点23分，星期五三、圆形和圆环形截面梁的最大切应力zydDdA为圆环形截面面积第30页，共45页，2022年，5月20日，1点23分，星期五

图示外伸梁，荷载、T形截面对中性轴的惯性矩IZ

及形心位置已标在图上，试求梁的最大切应力。

解（1）作剪力图，可知危险截面在BC梁段上，（2）梁的最大切应力发生在梁段任意截面的中性轴处第31页，共45页，2022年，5月20日，1点23分，星期五T形梁尺寸及所受荷载如图所示,已知[s]y=100MPa,yc=17.5mm，Iz=18.2×104mm4。求：1)C左侧截面E点的正应力、切应力；CAB40401010yc1FS0.250.75(kN)_+M(kN.m)0.250.5+_第32页，共45页，2022年，5月20日，1点23分，星期五第33页，共45页，2022年，5月20日，1点23分，星期五平面应力状态的应力分析主应力一、公式推导：第34页，共45页，2022年，5月20日，1点23分，星期五二、符号规定：α角

由x正向逆时针转到n正向者为正；反之为负。正应力拉应力为正压应力为负切应力

使单元体或其局部顺时针方向转动为正；反之为负。第35页，共45页，2022年，5月20日，1点23分，星期五

某单元体应力如图所示，其铅垂方向和水平方向各平面上的应力已知，互相垂直的二斜面ab和bc的外法线分别与x轴成300和－600角，试求此二斜面ab和bc上的应力。在二向应力状态下，任意两个垂直面上，其σ的和为一常数。第36页，共45页，2022年，5月20日，1点23分，星期五主应力及最大切应力

①切应力等于零的截面称为主平面

由主平面定义，令tα

=0可求出两个相差90o的a0值，对应两个互相垂直主平面。②令得：即主平面上的正应力取得所有方向上的极值。③主应力大小：④由s１、s３、0按代数值大小排序得出：s1≥0≥s3

第37页，共45页，2022年，5月20日，1点23分，星期五极值切应力：

可求出两个相差90o

的a1，代表两个相互垂直的极值切应力方位。②(极值切应力平面与主平面成45o)

①令：

第38页，共45页，2022年，5月20日，1点23分，星期五§7应力集中的概念d/2d/2rDdr构件几何形状不连续应力集中：几何形状不连续处应力局部增大的现象。应力集中

与杆件的尺寸和所用的材料无关，仅取决于截面突变处几何参数的比值。第39页，共45页，2022年，5月20日，1点23分，星期五

应力集中程度与外形的骤变程度直接相关，骤变越剧烈，应力集中程度越剧烈。

静载下，塑性材料可不考虑，脆性材料（除特殊的，如铸铁）应考虑。

动载下，塑性和脆性材料均需考虑。理想应力集中系数:其中：----最大局部应力----名义应力（平均应力）第40页，共45页，2022年，5月20日，1点23分，星期五

已知矩形截面梁,某截面上的剪力Fs=120kN及弯矩M=10kNm.绘出表示1、2、3、4点应力状态的单元体，并求出各点的主应力。b=60mm,h=100mm.1、画各点应力状态图2、计算各点主应力1点2点(处于纯剪状态)3点(一般平面状态)4点第41页，共45