2022年中考数学三轮复习：圆(附答案解析)

2022年中考数学三轮复习：圆一．选择题（共10小题）1202•鹿城区校级三模）O中，将劣弧BC沿弦BC翻折恰好经过圆心ABCOtan∠ECB＝ ，记△ABE的面积为S1，△ADC的面积为则 ＝（ ）A． B． C． D．2202•安徽模拟）O的半径为，定点PO上，动点BO上，且满足∠APB＝30°，C为PB的中点，则点A，B在圆上运动的过程中，线段AC的最值为（ ）A．2+ B．1+ C．2+ D．2 ﹣23202•武汉模拟）ABO的直径，点C为半圆上一点且siCA＝，点E、F分别为 、的中点弦EF分别交于点若则）第1页共46页A．10 B．10 C．18 D．64（202•自贡）如图，直线＝2+2与坐标轴交于B两点，点P是线段AB上的一个动点过点P作y轴的平行线交直线y＝﹣x+3于点绕点O顺时针旋转45°，边PQ扫过区域（阴影部分）面积的最大值是（ ）A．π B．π C． π D． π5202•泸州）O的直径A＝ABNDEOEAM，BND，CFCD＝10BF的长是（）A． B． C． D．6202•连云港）如图，正方形ABCD⊙，线段MN在对角线BD的面积为2π，MN＝1，则△AMN周长的最小值是（ ）第2页共46页A．3 B．4 C．5 D．67202•武汉模拟）ABOBCD是OBFO上一点，连接DF，AC⊥DF于点E，若BC＝，OD＝ED，则DF的长是（ ）A． +1 B． C． +1 D．8202•盐田区模拟）如图，已知，A20，以点MMA为半径作⊙MxBC⊙MDACOD4个说法：①BC＝2OD；②∠ODA＝45°；③OD取得D的坐标为π．其中正确的是（ ）

；当点C在 上运动时，点D的运动路径为A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④9202•湖南模拟）ABO的直径，弦CAB于点．点F是CD上一点，且满足 ＝，连接AF并延长⊙O于点E．连接DE，若给出下列结论：第3页共46页①△ADF∽△AED；②FG＝2；③tan∠E＝

；④S

DEF＝4 ．△其中正确的是（ ）A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④1（202•香洲区二模ABOACBO于点A，BD，给出下列四个结论：①∠ACB＝90°；②△ABD是等腰直角三角形；③AD2＝DE•CD；④AC+BC＝ CD，其中正确的结论是（ ）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④二．填空题（5小题）1202•牧野区校级三模）如图，在RABCA3B＝2，点O为ACOABDACEFDCE上一动点，则图中阴影部分面积的最大值为．1（202•缙云县一模我国古代伟大的数学家刘徽于公元263第4页共46页“周三径一”不是圆周率值，实际上是圆内接正六边形周长和直径的比值（图1发现，圆内接正多边形边数无限增加时，多边形的周长就无限逼近圆周长，从而创立为2，六边形ABCDEF六边形，把每段弧二等分，作出一个圆内接正十二边形，连接AG，CF，AGCFP，若AP＝2，则的长为．1（202•方城县模拟）如图所示，在扇形OAB中，AO＝9°，半径O＝，点F于 的处且靠近点A的位置．点D分别在线段OA、OB上，CD＝4，E为CD的中点，连接EB．在CD滑动过程中CD长度始终保持不变，当EF阴影部分的周长为．1（202•武汉模拟）O内切于正方形ABC，边ADC上两点EF，且EF是⊙O的切线，当△BEF的面积为时，则⊙O的半径r是．第5页共46页1（202•岳阳模拟）ABO的直径，点E为OABE，点D是 上一动点（不与EA重合，连接AE并延长至点CEBA的延长线相交于，AB＝12，BD与AE交于点F．下列结论：若∠CBE＝∠BDEBC⊙O的切线；BD平分∠ABE在AD2π；无论D怎样移动为定值正确的是 （填序号）三．解答题（5小题）1（202•西湖区校级三模）如图AB⊙O的直径，点CO上，且 ＝ ，A＝8cm，P是AB上一动点，连结CP并延长交⊙于点D．若∠APC＝60OP的长；POECOOA以下问题：①当OE＝OF时，判断BE和CF的位置关系和数量关系，并说明理由；②连结BE并延长⊙O于M，连结DM交AB于点F，求 的值．第6页共46页1（202•广东模拟）ABO的直径，点IABCCI的延长线交AB于E，交⊙O于F，点P在BA的延长线上，且PC＝PE，连接OF、AF、AI，是等腰三角形；是⊙O的切线；若AO＝3， ，求EF的长．1202•潍坊）A，点OC是半圆上一动点（不与，B重合，连接AC并延长到点，使AC，过点D作AB的垂线DH交 ，CB，ABE，F，HOCC的移动而变化．CH，O重合时，求sinθ的值；当θ＜45当θ＝45°时，将扇形OAC高．第7页共46页1（202•广州）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线：＝+4分别与xy轴相交于A、B两点，点P（x，y）为直线l在第二象限的点．B两点的坐标；SSxx的取值范围；⊙CPC⊙CQ，当△POQ的半径．2（202•陕西模拟）问题提出如①⊙O中，半径为5，弦AB＝8，请⊙O上画出一点Q，使面积大，则点Q到弦AB的距离为 ；问题探究上运动，且MN＝6的面积的最大值；问题解决如图③AOB，其圆心角为60°，半径为r，园艺师要在这块空地CDEF，使其两个顶点ABOAOB上，试求矩形草坪的面积的最大值．第8页共46页第9页共46页2022年中考数学三轮复习：圆一．选择题（共10小题）

参考答案与试题解析1202•鹿城区校级三模）O中，将劣弧BC沿弦BC翻折恰好经过圆心ABCOtan∠ECB＝ ，记△ABE的面积为S1，△ADC的面积为则 ＝（ ）A． B． C． D．【考点】垂径定理；圆周角定理；翻折变换（折叠问题；解直角三角形．【专题】与圆有关的计算；推理能力．AOBCBCOH、OB，过点BBG⊥CEG120＝∠BAC＝120和△ADC都为等边三角形，然后根据三角函数可得，最后根据相似三角形的性质可求解．OBCH，OHBCM，连OHOBBBG⊥CEG，如图所示：劣弧BC沿弦BC翻折恰好经过圆心O，第10页共46页OM＝MH＝OH，OH⊥BC，∠BAC＝∠BFC，∴OM＝OB， ，∴∠OBC＝30°∴∠BOH＝60°，∴ 120°，∴ 240°，∠D＝∠E＝60°，∴∠BFC＝∠BAC＝120°，∴∠EAB＝∠DAC＝60°，∴△ABE和△ADC都为等边三角形，且△ABE∽△ACD，∵BG⊥CE，∴EG＝AG，∠EBG＝∠ABG＝30°，∴BG＝ ，∵tan∠ECB＝ ，设BG＝ x，CG＝6x，则EG＝AG＝x，∴AE＝2x，AC＝5x，∴ ，∵∠EAB＝∠DAC，∠E＝∠D，∴△EAB∽△DAC，∴ ，故选：B．【点评】本题主要考查折叠的性质、圆的基本性质、相似三角形的性质与判定及三角函数，熟练掌握折叠的性质、圆的基本性质、相似三角形的性质与判定及三角函数是解题的关键．2202•安徽模拟）O的半径为，定点PO上，动点BO上，且满足∠APB＝30°，CPBA，BAC的最大值为（）第11页共46页A．2+ B．1+ C．2+ D．2 ﹣2【考点】点与圆的位置关系；三角形三边关系；三角形中位线定理；圆周角定理．【专题】动点型；三角形；与圆有关的计算；推理能力．OA，OP，OBBAHAH＝BAPHAC＝PHPH的最大值即可解决问题．【解答】解：如图，连接OA，OP，OB，延长BA到H，使得AH＝BA，连接PH．∵BA＝AH，BC＝CP，∴AC＝PH，∴当PH的值最大时，AC的值最大，∵∠AOB＝2∠APB＝60°，OA＝OB，∴△AOB是等边三角形，∴AO＝AH＝AB，∴∠HOB＝90°，∴OH＝ OB＝2 ，∵PH≤OH+OP，∴PH≤2 +2，第12页共46页∴PH∴AC的最大值为故选：B．

+2，+1．【点评】本题考查点与圆的位置关系，三角形中位线定理，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，具体的规划是学会用转化的思想思考问题，属于中考选择题中的压轴题．3202•武汉模拟）ABO的直径，点C为半圆上一点且siCA＝，点E、F分别为 、的中点弦EF分别交于点若则）A．10 B．10 C．18 D．6【考点】圆周角定理；解直角三角形．【专题】圆的有关概念及性质；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力；模型思想．F分别为、的中点，根据垂径定理可得OPAC，OQ垂直平分BC、△QFN、△OEF、△CMN都是等腰直角三角形，根据sin∠BAC＝，设未知数，表示ME，NF形的边角关系列方程求解即可．【解答】解：如图，连接OE、OF交AC、BC于点P、Q，∵点EF分别为 、 的中点，∴OPAC，OQ又∵AB⊙O∴∠EOF＝∠AOB＝×180°＝90°，∴∠E＝∠F＝45°，∴∠EMP＝∠CMN＝∠CNM＝∠FNQ＝45°，第13页共46页∴△PEM、△QFN、△OEF、△CMN都是等腰直角三角形，在Rt△ABC中，由sin∠BAC＝＝ ，Rt△OEF∴CM＝CN＝ MN＝

，×2 ＝2 ，BC＝3xAB＝5x又∵OE⊥AC，OF⊥BC，OA＝OB，∴AP＝PC＝OQ＝AC＝2x，OP＝QC＝QB＝BC＝

＝4x，又∵OP＝CQ，

，OP＝OE﹣PE＝x﹣2x+2 ，∴x﹣2x+2解得x＝2

＝x，，∴AB＝5x＝10 【点评】本题考查圆周角定理及推论，直角三角形的边角关系以及解直角三角形，掌握直角三角形的边角关系是解决问题的前提，设未知数，表示三角形的边长是解决问题的关键．4（202•自贡）如图，直线＝2+2与坐标轴交于B两点，点P是线段AB上的一个动点过点P作y轴的平行线交直线y＝﹣x+3于点绕点O顺时针旋转45°，边PQ扫过区域（阴影部分）面积的最大值是（ ）第14页共46页A．π B．π C． π D． π【考点】扇形面积的计算；坐标与图形变化﹣旋转；一次函数的性质；两条直线相交或平行问题．【专题】一次函数及其应用；二次函数图象及其性质；运算能力；应用意识．【分析】设Pm，+，则Q，+3，根据图形可表示出PQ扫过区域（阴影部分）【解答】解：设（，2+2，则（，+．∴OP2＝m2+（﹣2m+2）2＝5m2﹣8m+4，OQ2＝m2+（﹣m+3）2＝2m2﹣6m+9．∵△OPQ绕点O顺时针旋转45°．∴△OPQ≌△ODC，∠QOC＝∠POD＝45°．∴PQ（阴影部分S＝SOQC﹣SOPD＝＝ ＝ ．第15页共46页当m＝时，S的最大值为： ．故选：A．【点评】本题考查了一次函数性质，二次函数的性质，扇形面积等知识，关键在于理解旋转前后的两个图形全等，从而将阴影部分的面积转化为扇形的面积之差．5202•泸州）O的直径A＝ABNDEOEAM，BND，CFCD＝10BF的长是（）A． B． C． D．【考点】切线的性质；圆周角定理．【专题】与圆有关的计算；推理能力．DDH⊥BCHC，D两点坐标，构建一次函数，利用方程组确定交点坐标即可．【解答】解：如图，构建如图平面直角坐标系，过点D作DH⊥BC于H．∵AB是直径，AB＝8，∴OA＝OB＝4，∵AD，BC，CD是⊙O的切线，∴∠DAB＝∠ABH＝∠DHB＝90°，DA＝DE，CE＝CB，∴四边形ABHD是矩形，∴AD＝BH，AB＝DH＝8，第16页共46页∴CH＝ ＝ ＝6，设AD＝DE＝BH＝x，则EC＝CB＝x+6，∴x+x+6＝10，∴x＝2，∴（，4，（8，4，（0，，OCy＝﹣xBDy＝4x﹣4，由∴F（，解得，﹣，，∴BF＝＝，解法二：设DH交OC于G，利用△OBF∽△GDF求解即可．故选：A．【点评】本题考查切线的性质，一次函数的性质等知识，解题的关键是学会构建平面直6202•连云港）如图，正方形ABCD⊙，线段MN在对角线BDO的面积为2π，MN＝1，则△AMN周长的最小值是（ ）A．3 B．4 C．5第1746页

D．6【考点】正多边形和圆；轴对称﹣最短路线问题；勾股定理；正方形的性质；垂径定理；圆周角定理．【专题】几何综合题；动点型；创新意识．CABDCCA′∥BD，且AABDAMMN为所求点，进而求解．【解答】解的面积为2π，则圆的半径为 ，则BD＝2 由正方形的性质，知点C是点A关于BD的对称点，过点C作CA′∥BD，且使CA′＝1，连接AA′交BD于点N，取NM＝1，连接AM、CM，则点M、N为所求点，理由：∵A′C∥MNA′C＝MNMCA′NA′N＝CM＝AM，故△AMN的周长＝AM+AN+MN＝AA′+1为最小则A′A＝ ＝3，则△AMN【点评】本题是为几何综合题，主要考查了圆的性质、点的对称性、平行四边形的性质等，确定点M、N的位置是本题解题的关键．7202•武汉模拟）如图ABO的直径BC是弦D是OB的中点FO上一点，连接DF，AC⊥DF于点E，若BC＝，OD＝ED，则DF的长是（ ）第18页共46页A． +1 B． C． +1 D．【考点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理；平行线分线段成比例．【专题】与圆有关的计算；推理能力．OFOOH⊥DFHOD＝DB＝DE＝mAB＝4m，AD＝3m，利用平行线分线段成比例定理求出FH论．OFOOH⊥DFH．设OD＝DB＝DE＝m，则AB＝4m，AD＝3m，∵AB是直径，DE⊥AC，∴∠AED＝∠ACB＝90°，∴DE∥BC，∴ ＝ ，∴＝ ，∴m＝1，∴AD＝3，DE＝1，∴AE＝ ＝2 ，∵OH⊥DE，AE⊥DE，∴OH∥AE，∴ ＝ ＝ ，第19页共46页∴ ＝＝ ，∴DH＝，OH＝ ，在Rt△OEH中，FH＝ ＝ ＝ ，∴DF＝DH+FH＝ 【点评】本题考查圆周角定理，平行线的判定和性质，平行线分线段成比例定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．8202•盐田区模拟）如图，已知，A20，以点MMA为半径作⊙MxBC⊙MDACOD4个说法：①BC＝2OD；②∠ODA＝45°；③OD取得D的坐标为π．其中正确的是（ ）

；当点C在 上运动时，点D的运动路径为A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【考点】圆的综合题．【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；推理能力．【分析】由三角形中位线定理可得OD∥BC，BC＝2OD正确；由圆周角定理可得∠BCA＝45正确；由BC＝2OD当BCOD有最大值，由等腰直角三角形的性质可求D的坐标为2，2③DD的运动路径为DACOAB的中点，∴OD∥BC，BC＝2OD，故①正确；如图，连接MB，MA，第20页共46页

π，故④正确，即可求解．∵（，2，（，0，∴MO＝OA＝2，∴∠AMO＝∠MAO＝45°，∵MB＝MA，∴∠MBA＝∠MAB＝45°，∴∠BMA＝90°，∴∠BCA＝45°，∵OD∥BC，∴∠C＝∠ODA＝45°，故②正确；∵BC＝2OD，∴当BC取得最大值时，线段OD取得最大值，如图2，∵BC为直径，∴∠CAB＝90°，∴CA⊥x轴，∵OB＝OA＝OM，∴∠ABC＝45°，∵OD∥BC，∴AOD＝45°，∴△AOD是等腰直角三角形，第21页共46页∴AD＝OA＝2，∴D的坐标为，2③错误；如图3，作△ODA的外接圆⊙E，连接OE，OA，∵∠AEO＝2∠ODA＝90°，OA＝2，OE＝EA，∴OE＝ ，C∴点D在

上运动时，上运动，∴点D的运动路径长＝故选：B．

＝ π④正确；【点评】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，等腰三角形的性质，三角形中位线定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．9202•湖南模拟）如图ABO的直径，弦CAB于点．点F是CD上一点，且满足 ＝，连接AF并延长⊙O于点E．连接DE，若给出下列结论：①△ADF∽△AED；②FG＝2；③tan∠E＝

；④S

．△其中正确的是（ ）A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④【考点】圆的综合题．第22页共46页AB⊙OCD⊥AB继而证得△ADF∽△AED；

＝ ②由 ＝，CF＝2，可求得DF的长，继而求得CG＝DG＝4，则可求得FG＝2；③由勾股定理可求得AG的长，即可求得tan∠ADF的值，继而求得tan∠E＝ ；④根据三角形面积公式求得△ADF的面积，通过证得△ADF∽△AED，根据相似三角形△面积的比等于相似比的平方求得的面积，进而求得SDEF＝4 ．△【解答】解：①∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴ ＝ ，DG＝CG，∴∠ADF＝∠AED，A＝DA（公共角，∴△ADF∽△AED；故①正确；②∵ ＝，CF＝2，∴FD＝6，∴CD＝DF+CF＝8，∴CG＝DG＝4，∴FG＝CG﹣CF＝2；故②正确；③∵AF＝3，FG＝2，∴AG＝ ＝ ，∴在Rt△AGD中，tan∠ADG＝＝，∵∠ADG＝∠E，∴tan∠E＝ ；故③错误；④∵DF＝DG+FG＝6，AD＝＝ ，∴S ＝DF•AG＝×6×△ADF＝3，第23页共46页∵△ADF∽△AED，∴ ＝（ ）2，∴ ＝，△∴SAED＝7 ，△△ △ ∴SDEF＝SAED﹣SADF＝4 △ △ 故④正确．故选：A．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、垂径定理、勾股定理以及三角函数等知识．此题综合性较强，难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．1（202•香洲区二模如图ABO的直径∠ACB的平分线O于点连接A，BD，给出下列四个结论：①∠ACB＝90°；②△ABD是等腰直角三角形CD；④AC+BC＝ CD，其中正确的结论是（ ）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④【考点】圆的综合题．【专题】几何综合题；圆的有关概念及性质；图形的相似；推理能力．CAFAF＝BCDF，根据直径所对圆周角是直角可以判断①；根据角平分线定义和圆周角定理可以判断②；由△ADC∽△EDA，可得 ＝ ，可以判③；利用SAS证明可得FD＝CD，∠ADF＝∠BDC，证明CDF是等腰直角三角形，所以CF＝ CD，进而可以判④．【解答】解：如图，延长CA到点F，使AF＝BC，连接DF，第24页共46页∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，故①正确；∵∠ACB的平分线交⊙O于点D，∴∠ACD＝∠BCD，∴ ＝ ，∴AD＝BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴△ABD是等腰直角三角形，故②正确；∵ ＝ ，∴∠ACD＝∠EAD，∵∠ADC＝∠EDA，∴△ADC∽△EDA，∴ ＝ ，∴AD2＝DE•CD，故③正确；∵四边形ADBC是⊙O的内接四边形，∴∠FAD＝∠DBC，在△FAD和△DBC中，，∴A≌DB（SA，∴FD＝CD，∠ADF＝∠BDC，第25页共46页∵∠ADC+∠BDC＝90°，∴∠ADC+∠ADF＝90°，∴∠FDC＝90°，∴△CDF是等腰直角三角形，∴CF＝ CD，

CD，故④正确．∴正确的结论是①②③④．故选：D．【点评】本题属于圆的综合题，考查了圆周角定理及推论，圆内接四边形的性质和相似三角形的判定与性质，圆周角定理的灵活运用是本题的关键．二．填空题（5小题）1202•牧野区校级三模）如图，在RABC中，A3°B＝2 ，点O为AC上一点，以O为圆心长为半径的圆与AB相切于点D，交AC于另一点E，点F优弧DCE上一动点，则图中阴影部分面积的最大值为 +2 ．【考点】含30度角的直角三角形；切线的性质；扇形面积的计算．【专题】推理填空题；与圆有关的位置关系；运算能力；推理能力．【分析】根据阴影部分面积等于弓形和三角形的面积和，可得当OF⊥DE时，阴影部分面积最大，再利用割补法即可求出阴影部分面积的最大值．【解答】解：如图，连接OD，DE，第26页共46页∵AB切圆于点D，∴∠ODA＝90°，∵∠A＝30°，∴AO＝2OD，∴AC＝AO+OC＝2OD+OD＝3OD，∵BC＝2 ，∴AB＝2BC＝4 ，∴AC＝6，∴3OD＝6，∴OD＝2，因为弓形DE的面积是定值，所以当△DEF的面积最大时，阴影部分的面积最大，过点O作OG⊥DE，垂足为点G，交圆O于点H，连接DH，EH，当点F和点H重合时，△DEF的面积最大，最大值为，△DEH的面积．∵∠DOE＝90°﹣∠A＝60°，∵OD＝OE，∴△ODE是等边三角形，∴OD＝OE＝DE＝2，∠OEG＝60°，∴GE＝OE＝1，∴OG＝ ，∴GH＝OG+OH＝

+2，∴SDE•GH＝

2×（ +2）＝ +2，△第27页共46页弓形 扇形 ∵S DE＝S ODE﹣SODE＝ ﹣ 2弓形 扇形 弓形 ∴图中阴影部分面积的最大值为S DE+SDEH＝ ﹣ 弓形 故答案为： +2．

﹣ +2＝

+2．30理等知识，综合程度较高．解决本题的关键是割补法将阴影部分正确分割，并能理解当底相同时高越大三角形面积越大．1（202•缙云县一模我国古代伟大的数学家刘徽于公元263“周三径一”不是圆周率值，实际上是圆内接正六边形周长和直径的比值（图1．刘徽发现，圆内接正多边形边数无限增加时，多边形的周长就无限逼近圆周长，从而创立为2ABCDEF是圆内接正六边形，把每段弧二等分，作出一个圆内接正十二边形，连接AG，CF，AGCF于点P，若AP＝2 ，则 的长为 ．【考点】数学常识；正多边形和圆；弧长的计算．【专题】正多边形与圆；推理能力．【分析】设正六边形外接圆的圆心为O，连接OG，于是得到＝30°，AAH⊥CFH，推出△AHP是等腰直角三角形得到AH＝ AP＝2 求得AF＝ 可得到结论．【解答】解：设正六边形外接圆的圆心为O，第28页共46页连接OG，则∠COG＝ ＝30°，由题意得，∠FAG＝75°，∠CFA＝60°，过A作AH⊥CF于H，∴∠AHF＝90°，∴∠FAH＝30°，∴∠HAP＝45°，∴△AHP是等腰直角三角形，∴AH＝∴AF＝

AP＝2 ＝

＝4，∴OC＝AF＝4，∴ 的长＝ ＝ ，故答案为： ．【点评】本题考查了正多边形和圆，正六边形和正十二边形的性质，解直角三角形，弧长的计算，正确的理解题意是解题的关键．1（202•方城县模拟）如图所示，在扇形OAB中，AO＝9°，半径O＝，点F于 的处且靠近点A的位置．点D分别在线段OA、OB上，CD＝4，E为CD的中点，连接EB．在CD滑动过程中CD长度始终保持不变，当EF取最小值时阴影部分的周长为 ．第29页共46页【考点】等边三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；弧长的计算．【专题】与圆有关的计算；推理能力．【分析】如图，连接OFTBT形，利用直角三角形斜边中线的性质求出共线时，EF的值最小，此时点E与点T重合，求出BT，FT， 的长即可．【解答】解：如图，连接OF，OE，BF，取OF的中点T，连接BT．∵∠AOB＝90°， ＝ ，∴∠BOF＝60°，∴ 的长＝ ＝，∵CE＝DE，∴OE＝CD＝2，∵OF＝4，∴EF≥OF﹣OE＝2，∴当O，E，F共线时，EF的值最小，此时点E与点T重合，∴此时EF＝2，∵OF＝OB，∠BOF＝60°，第30页共46页∴△BOF是等边三角形，∵OT＝TF，∴BT⊥OF，∴BE＝BT＝ ＝ ＝2 ，∴此时阴影部分的周长为故答案为：2+2 + π．

+ π．【点评】本题考查了弧长的计算，等边三角形的判定，直角三角形斜边中线的性质等知识，注意：已知圆的半径为r，那么的圆心角所对的弧的长度为 ．1（202•武汉模拟）O内切于正方形ABC，边ADC上两点EF，且EF是⊙O的切线，当的面积为时，⊙O的半径r是 ．【考点】三角形的内切圆与内心；正方形的性质；切线的性质．【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．2a，则AM＝DM＝DG＝CG＝a，设ME＝NE＝x，NF＝FG△＝y，则ax+ay+xy＝a2，再由SBEF△正方形 △ △ ＝S ABCD﹣SABE﹣SBCF﹣SDEFa2＝，从而求出a正方形 △ △ 【解答】解：设⊙O与AD相切于M，与EF相切于N，与CF相切于G，设正方形的边长为2a，∴AM＝DM＝DG＝CG＝a，第31页共46页设ME＝NE＝x，NF＝FG＝y，在Rt△DEF中，∵DE＝a﹣x，DF＝a﹣y，EF＝x+y，∴（x+y）2＝（a﹣x）2+（a﹣y）2，∴ax+ay+xy＝a2，△ 正方形 △ △ ∵SBEF＝S ABCD﹣SABE﹣SBCF﹣SDEF△ 正方形 △ △ ∴4a2﹣ ＝，∴ ，∴ ，∵a＞0，∴a＝，∴AB＝2a＝3，∴⊙O的半径为，故答案为：．【点评】本题考查了圆的切线的性质，以及勾股定理等知识，熟记切线长定理是解决问题的关键．1（202•岳阳模拟）已知，如图ABO的直径，点E为O上一点ABE，点D是 上一动点（不与EA重合，连接AE并延长至点CEBA的延长线相交于AB＝12，BD与AE交于点F．下列结论：若∠CBE＝∠BDEBC⊙O的切线；BD平分∠ABEAD2＝DF•DB；在AD2π；无论D怎样移动为定值．正确的是 （（（）（填序号第32页共46页【考点】圆的综合题．推理能力；应用意识．【分析】根据各项的已知，逐项判断即可1）CBO9OBC（）证明△FD∽ADB，对应边成比例即可判断（）求出 长度即可判断（）证明△DEA∽△AEM，得DE•EM＝AE2，再求出AE即可判断．）ABO的直径，点E⊙OA＝B，∴∠AEB＝90°，∠EBA＝∠EAB＝45°，∵ ＝ ，∴∠BDE＝∠EAB＝45°，∵∠CBE＝∠BDE，∴∠CBE＝45°，∴∠CBO＝∠EBA+∠CBE＝90°，∴OB⊥BC，∴BC是⊙O的切线，故（1）正确；∵BD平分∠ABE，∴∠DBA＝∠EAD，∴△FDA∽△ADB，∴ ＝ ，∴AD2＝DF•BD，故（2）正确；第33页共46页OD，如图：∵∠DOA＝2∠DBA＝∠EBA＝45°，OA＝AB＝6，∴ ＝ ＝π，而AD＜ ，∴AD＜π，故不正确；（4）∵∠M+∠DBM＝∠EDB＝∠EAB＝45°，∠EBD+∠DBM＝∠EBA＝45°，∴∠EBD＝∠M，∵∠EBD＝∠EAD，∴∠M＝∠EAD，∵∠DEA＝∠AEM，∴△DEA∽△AEM，∴ ＝ ，∴DE•EM＝AE2，在Rt△ABE中，AE＝AB•sin∠EBA＝12×sin45°＝6 ，1（2（．【点评】本题考查圆的综合应用，涉及圆的切线判定、相似三角形的判定及性质、弧长计算、解直角三角形等知识，解题的关键是掌握圆的基本性质，会观察、证明圆中的相似三角形．三．解答题（5小题）1（202•西湖区校级三模）AB⊙O的直径，点CO上，且第34页共46页

＝ ，AB＝8cm，P是AB上一动点，连结CP并延长交⊙于点D．若∠APC＝60OP的长；POECOOA以下问题：①当OE＝OF时，判断BE和CF的位置关系和数量关系，并说明理由；②连结BE并延长⊙O于M，连结DM交AB于点F，求 的值．【考点】圆的综合题．【专题】几何综合题；图形的全等；圆的有关概念及性质；图形的相似；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．【分析】（1）利用直角三角形的边角关系解答即可；（2）①BEFCHCF＝BE②依题意画出图形，连接MC，利用角平分线的性质可得

，利用相似三角形的性质可得

；利用已知条件分别求得线段OE，OF，即可得出结论．【解答】解）ABO的直径，且 ＝ ，∴OC⊥AB．∵AB＝8cm，∴OC＝OA＝OB＝4cm，在Rt△POC中，第35页共46页∵tan∠APC＝∴OP＝ ＝

，（厘米；（2）①BE和CF的位置关系为：BE⊥CF，数量关系为：BE＝CF．理由：依题意画出图形如下：延长BE交FC于点H，∵AB⊙O的直径，且 ＝ ，∴OC⊥AB．在△OFC和△OEB中，，∴OFC≌OESA．∴CF＝BE，∠C＝∠B．∵∠AOC＝90°，∴∠C+∠COF＝90°．∴∠COF+∠B＝90°．∴∠BHF＝90°．∴BE⊥CF．②依题意画出图形如下：连接MC，第36页共46页∵CD是⊙O的直径，∴∠DMC＝90°．∵CD⊥AB，∴ ．∴∠DMB＝∠CMB．即MB平分∠DMC．∴ ．∵CE＝1cm，OC＝OD＝4cm，∴DE＝CD﹣CE＝8﹣1＝7cm．∴ ．∵∠FOD＝∠CMD＝90°，∠D＝∠D，∴△DOF∽△DMC．∴ ．∴OF＝．∵OE＝OC﹣CE＝3cm，∴ ．三角形的全等的判定与性质，相似三角形的判定与性质，角平分线的性质，依据题意画出正确的图形是解题的关键．1（202•广东模拟）ABO的直径，点IABCCI的延长线交AB于E，交⊙O于F，第37页共46页点P在BA的延长线上，且PC＝PE，连接OF、AF、AI，是等腰三角形；是⊙O的切线；若AO＝3， ，求EF的长．【考点】圆的综合题．【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；解直角三角形及其应用；推理能力．【分析】（1）由内心的性质可得∠ACI＝∠BCI，∠CAI＝∠BAI，由外角的性质和圆周角定理可证∠AIF＝∠IAF，可得结论；由等腰直角三角形的性质可求AF＝ AO＝ ，由锐角三角函数可求EH，HF的长，由勾股定理可求解．【解答】（1）证明：∵I是△ABC的内心，∴∠ACI＝∠BCI，∠CAI＝∠BAI，∵∠BCI＝∠BAF，∴∠AIF＝∠ACI+∠CAI＝∠BCI+∠BAI＝∠BAF+∠BAI＝∠IAF，∴AF＝IF，∴△AFI是等腰三角形；OC，第38页共46页∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACI＝∠BCI＝45°，∴∠AOF＝90°，∵PC＝PE，∴∠PCE＝∠PEC，∴∠PCO＝∠PCE+∠OCE＝∠PEC+∠OFE＝∠OEF+∠OFE＝90°，∵OC是⊙O的半径，∴PC⊙O的切线；EEH⊥AFH，∵∠BAF＝∠BCF＝45°，∴HE＝HA；在Rt△AOF中，AO＝3，∴AF＝∵∴

AO＝ ，，，∴HF＝2HE＝

，AH＝HE＝ ，第39页共46页在Rt△EHF中，EF ＝ ＝ ．【点评】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．1202•潍坊）A，点OC是半圆上一动点（不与，B重合，连接AC并延长到点，使AC，过点D作AB的垂线DH交 ，CB，ABE，F，HOCC的移动而变化．CH，O重合时，求sinθ的值；当θ＜45当θ＝45°时，将扇形OAC高．【考点】圆的综合题．【专题】三角形；圆的有关概念及性质；应用意识．（1）AC＝CD知，OC是直角三角形斜边上的中线，即OC＝ADOC＝OAOA＝AD，得∠ABC＝30°，即可得sinθ的值；证△BHF∽△DCF∽△DHA，根据线段比例关系即可证；当θ＝45°时，∠AOC＝90AC底面半径，根据母线和底面半径利用勾股定理即可求高．）当点，O重合时，如图，连接O，第40页共46页∵AC＝CD，∴OC是直角三角形斜边上的中线，∴OC＝AD，即OA＝∴∠D＝30°，又∵∠D+∠DAO＝90°，∠ABC+∠DAO＝90°，∴∠ABC＝∠D＝30°，∴sinθ＝；（2）∵∠DCB＝∠DHB＝∠ACB＝90°，由（1）知∠ABC＝∠D，∴△BHF∽△DCF∽△DHA，∴BH：DC：DH＝HF：CF：HA，∴BH•AH＝DH•FH；（3）当θ＝45°时，∠AOC＝90°，∴ 的长＝π•AB＝2π，即圆锥的底面周长为2π，∴圆锥的底面半径r＝∵圆锥的母线＝OA＝4，

＝1，∴圆锥的高h＝ ＝ ＝ ，1

．第41页共46页【点评】本题主要考查圆的综合题，设计相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，圆心角，圆周角，圆的周长及圆锥的高等等知识点，熟练掌握圆和圆锥的基础概念以及相似三角形的判定和性质是解题的关键．1（202•广州）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线：＝+4分别与xy轴相交于A、B两点，点P（x，y）为直线l在第二象限的点．B两点的坐标；SSxx的取值范围；⊙CPC⊙CQ，当△POQ⊙C的半径．【考点】圆的综合题．【专题】与圆有关的计算；推理能力．（1）x+4xBx＝0y＝4；令y＝0，则x＝﹣8，即得A，B的坐标；设（， ，根据三角形面积公式，表示出S关于x的函数解析式，根据P在线段AB上得出x的取值范围；将SPOQ表示为O2PO