高考数学专题立体几何初步《球的表面积和体积》第二课时突破解析

第2课时球的表面积和体积必备知识基础练1.三个球的半径之比为1∶2∶3,那么最大的球的体积是其他两个球的体积之和的()A.1倍 B.2倍 C.3倍 D.4倍答案C解析设三个球的半径由小到大依次为r1,r2,r3,则r1∶r2∶r3=1∶2∶3,∴V3=43πr33=43×27πr13=36πr13,V1+V2=43πr13+432.设正方体的表面积为24cm2,一个球内切于该正方体,那么这个球的体积是()A.6πcm3 B.323πcmC.83πcm3 D.43π答案D解析由正方体的表面积为24cm2,得正方体的棱长为2cm,故这个球的直径为2cm,故这个球的体积为43πcm33.一平面截一球得到直径为6cm的圆面,球心到这个圆面的距离是4cm,则该球的体积是()A.100π3cm3 B.208C.500π3cm3 D.416答案C解析如图,根据题意,|OO1|=4cm,|O1A|=3cm,∴|OA|=R=|OO1|2+|O1A|2=5(cm),故球的体积V=44.两个球的半径相差1,表面积之差为28π,则它们的体积和为.

答案364解析设大、小两球半径分别为R,r,则R-r所以体积和为43πR3+43πr3=5.已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若球的体积为9π2,则正方体的棱长为答案3解析设球的半径为R,正方体棱长为a,则V球=43πR3=92π,得到R=32,正方体体对角线的长为3a=2R,则a=3,6.已知H是球O的直径AB上一点,AH∶HB=1∶2,AB⊥平面α,H为垂足,α截球O所得截面的面积为π,求球O的表面积.解如图所示,CD是截面圆的直径.∴12CD2·π=π,即CD=2,设球O的半径为R,∵AH∶HB=1∶2,∴AH=13×2R=23∴OH=R-23R=13由OD2=OH2+HD2,得R2=19R2+∴R2=98,∴S球=4πR2=92关键能力提升练7.一个正四棱柱的各个顶点都在一个半径为2cm的球面上,如果正四棱柱的底面边长为2cm,那么该棱柱的表面积为()A.(2+42)cm2 B.(8+162)cm2C.(4+82)cm2 D.(16+322)cm2答案B解析∵一个正四棱柱的各个顶点都在一个半径为2cm的球面上,正四棱柱的底面边长为2cm,∴球的直径为正四棱柱的体对角线,∴正四棱柱的体对角线为4cm,正四棱柱的底面对角线长为22cm,∴正四棱柱的高为16-8=22(cm),∴该棱柱的表面积为2×22+4×2×22=8+162(cm2),故选8.圆柱形容器内盛有高度为6cm的水,若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后,水恰好淹没最上面的球,如图所示,则球的半径是()A.1cm B.2cmC.3cm D.4cm答案C解析设球半径为r,则由3V球+V水=V柱,可得3×43πr3+πr2×6=πr2×6r,解得r=39.(多选)(2021福建福州期中)唐朝著名的凤鸟花卉纹浮雕银杯如图①所示,它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体(如图②),当这种酒杯内壁的表面积(假设内壁表面光滑,表面积为S平方厘米,半球的半径为R厘米)固定时,若要使得酒杯的容积不大于半球体积的2倍,则R的取值可能为()A.3S10π BC.2S5π答案AC解析设圆柱的高度为h,则S=2πR2+2πRh,则πRh=S2-πR2,所以酒杯的容积V=23πR3+πR2h=23πR3+S2-πR2R=-π3R3+S2·R≤43πR3,又h>0,所以S2-πR2>0,所以πR2<S2≤53πR210.一个正方体的棱长为a,则该正方体的外接球半径为,内切球半径为.

答案32a解析设该正方体的外接球半径为R,内切球半径为r,正方体的体对角线长即为外接球直径,棱长即为内切球的直径,即2R=3a,2r=a,解得R=32a,r=a11.若三棱锥的三条侧棱两两垂直,且三条侧棱长分别为1,2,3,则其外接球的表面积是答案6π解析根据题意可知,该三棱锥的三条侧棱两两垂直,∴可以把这个三棱锥补成一个同一顶点处三条棱长分别为1,2,3的长方体,设其外接球的半径为R,则有(2R)2=12+(2)2+(3)2=6.∴R2=32.故其外接球的表面积S=4πR2=6π12.一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直于底面,已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上,且该六棱柱的体积为98,底面周长为3,则这个球的体积为.答案4解析设正六棱柱的底面边长为x,高为h,则有6x=3∴正六棱柱的底面外接圆的半径r=12球心到底面的距离d=32∴外接球的半径R=r2+d2=1.∴V13.三棱锥A-BCD的四个面都是直角三角形,且侧棱AB垂直于底面BCD,BC⊥CD,AB=BC=2,且VA-BCD=43,则该三棱锥A-BCD外接球的体积为.答案43π解析AB⊥BC,BC⊥CD,故可构造如图所示的长方体,则AD为三棱锥A-BCD的外接球的直径.设外接球的半径为R.∵VA-BCD=13×12BC·CD·AB=16×2×CD∴CD=2,∴该长方体为正方体,∴AD=23,∴R=3,外接球体积为V=43πR3=43π14.在正三棱锥A-BCD中,底面边长为2,高为1,则该三棱锥的表面积为,内切球半径为.

答案33解析如图所示,O为△BCD的中心,且AO垂直于底面BCD,E为BC的中点,∵底面边长为2,∴DE=3,OD=233,OE=∴AE=AOS△ABC=12×2×2S△BCD=3,S表=3S△ABC+S△BCD=23+3=3设内切球半径为r,球心为O',∴VA-BCD=VO'-ABC+VO'-ACD+VO'-ABD+VO'-BCD,∴13×3×1=313×233×解得r=1315.某组合体的直观图如图所示,它的中间为圆柱形,左右两端均为半球形,若图中r=1,l=3,试求该组合体的表面积和体积.解该组合体的表面积S=4πr2+2πrl=4π×12+2π×1×3=10π.该组合体的体积V=43πr3+πr2l=43π×13+π×12×3=16.正四棱锥S-ABCD的底面边长和各侧棱长都为2,点S,A,B,C,D都在同一球面上,求球的体积.解如图,设正四棱锥的底面中心为O1,∴SO1垂直于底面ABCD,令外接球球心为O,∴△ASC的外接圆就是外接球的一个轴截面圆,△ASC外接圆的半径就是外接球的半径.在△ASC中,由SA=SC=2,AC=2,得SA2+SC2=AC2.∴△ASC是以AC为斜边的直角三角形.∴AC2=1是外接圆的半径,也是外接球的半径.故V球=417.有一个倒圆锥形容器,它的轴截面是一个正三角形,在容器内放一个半径为r的铁球,并注入水,使水面与球正好相切,然后将球取出,求这时容器中水的深度.解由题意知,圆锥的轴截面为正三角形,如图所示为圆锥的轴截面.根据切线性质知,当球在容器内时,水深为3r,水面的半径为3r,则容器内水的体积为V=V圆锥-V球=13π·(3r)2·3r-43πr3=53π而将球取出后,设容器内水的深度为h,则水面圆的半径为33h从而容器内水的体积是V'=13π·33h2·h=19πh3由V=V',得h=315r.即容器中水的深度为315学科素养创新练18.有三个球,第一个球内切于正方体的六个面,