2021年河北省唐山市玉田县窝洛沽镇中学高三数学理月考试卷含解析

2021年河北省唐山市玉田县窝洛沽镇中学高三数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.下列说法正确的是

A．命题“使得”的否定是：“”B．aR,“<1”是“a>1”的必要不充分条件C．“为真命题”是“为真命题”的必要不充分条件D．命题p：“”，则p是真命题参考答案：B2.已知为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点且，则此椭圆离心率的取值范围是

(

)A．

B．

C．

D．参考答案：C3.球的外切圆柱的侧面积是12πcm2，则该球的体积是

（

）

A．πcm3

B．πcm3

C．πcm3

D．πcm3参考答案：答案:B4.若复数，则（

）A．

B．

C．1

D．2参考答案：C【知识点】复数的运算L4解析：，,所以，则选C.【思路点拨】掌握复数的除法运算是解答的关键.5.已知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点，AB=2．∠ASC=∠BSC=45°则棱锥S—ABC的体积为A．

B．

C．

D．参考答案：C略6.已知函数满足，且的导函数，则的解集为（D）A.

B.

C.

D.参考答案：D略7.已知数列满足,前项的和为,关于叙述正确的是(

)A.都有最小值

B.都没有最小值C.都有最大值

D.都没有最大值参考答案：A8.已知，且，则（

）A. B. C. D.参考答案：A【分析】先通过已知求出，再利用平方关系求的值.【详解】因为，所以.因为，且，所以，所以.故选：A【点睛】本题主要考查二倍角公式和同角的平方关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.9.直线l：y=kx+1与圆O：x2+y2=1相交于A，B两点，则“k=1”是“△OAB的面积为”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件参考答案：A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线与圆相交的性质．【专题】直线与圆；简易逻辑．【分析】根据直线和圆相交的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．【解答】解：若直线l：y=kx+1与圆O：x2+y2=1相交于A，B两点，则圆心到直线距离d=，|AB|=2，若k=1，则|AB|=，d=，则△OAB的面积为×=成立，即充分性成立．若△OAB的面积为，则S==×2×==，即k2+1=2|k|，即k2﹣2|k|+1=0，则（|k|﹣1）2=0，即|k|=1，解得k=±1，则k=1不成立，即必要性不成立．故“k=1”是“△OAB的面积为”的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用三角形的面积公式，以及半径半弦之间的关系是解决本题的关键．10.已知数列{an}的前n项和为Sn，且a6=1，则S11的值为（

） A．11 B．10 C．12 D．1参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知=1，=，·=0，点C在∠AOB内，且∠AOC=30°，设=m+n（m，n∈Ｒ），则=________。参考答案：3因为,所以，以为边作一个矩形，对角线为.因为∠AOC=30°，所以,所以,所以,即。又,所以，所以如图。12.若不等式的解集为R，则实数a的取值范围是_______参考答案：【知识点】选修4-5不等式选讲N4【答案解析】[-2，5]

∵|x+3|+|x-7|≥|（x+3）+（7-x）|=10，

∴|x+3|+|x-7|≥a2-3a的解集为R?a2-3a≤10，解得-2≤a≤5．

∴实数a的取值范围是[-2，5]．故答案为：[-2，5]．【思路点拨】利用绝对值三角不等式可求得|x+3|+|x-7|≥10，依题意，解不等式a2-3a≤10即可．【题文】（本小题满分13分）已知函数（1）求函数的最小正周期；（2）当时，求函数的最大值和最小值.【答案】【解析】【知识点】三角函数的图象与性质C3【答案解析】（1）π（2）最大值是0最小值是-1．（1）由题意得，f（x）=sin（+x）cos（-x）+cosxcos（π-x）=sinxcosx-cosxcosx=-cos2x，

函数f（x）的最小正周期T==π；

（2）由x∈[-，]得，2x∈[-，]，所以0≤cos2x≤1，即-1≤-cos2x≤0，则函数的最大值是0，最小值是-1．【思路点拨】（1）根据诱导公式、两角和的余弦公式化简函数解析式，再由周期公式求出函数f（x）的最小正周期；

（2）由x∈[-，]得2x∈[-，]，根据余弦函数的性质求出cos2x的范围，再求出函数的值域，即可求函数的最值．13.设，，，则、、的大小关系为

。参考答案：14.设A是整数集的一个非空子集，对于，则k是A的一个“孤立元”，给定，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有

个。参考答案：715.已知锐角三角形ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若,则的取值范围是

．参考答案：16.设当时，函数取得最大值，则．参考答案：解：；当时，函数取得最大值；，；．故答案为：．17.将一枚骰子抛掷两次，若先后出现的点数分别为，则方程有实根的概率为

．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知.（1）当时，求证：；（2）若有三个零点时，求a的范围.参考答案：（1）证明：，令，，，，在上单调递减，，所以原命题成立.（2）由有三个零点可得有三个零点，，①当时，恒成立，可得至多有一个零点，不符合题意；②当时，恒成立，可得至多有一个零点，不符合题意；③当时，记得两个零点为，，不妨设，且，时，；时，；时，观察可得，且，当时，；单调递增，所以有，即，时，，单调递减，时，单调递减，由（1）知，，且，所以在上有一个零点，由，且，所以在上有一个零点，综上可知有三个零点，即有三个零点，所求的范围是.

19.（本小题满分13分）若存在实常数和，使得函数和对其定义域上的任意实数分别满足：和，则称直线为和的“隔离直线”．已知，为自然对数的底数）．（1）求的极值；（2）函数和是否存在隔离直线？若存在，求出此隔离直线方程；若不存在，请说明理由．参考答案：【知识点】导数的应用B12（1）当时，取极小值，其极小值为（2）（1），．当时，．

当时，，此时函数递减；

当时，，此时函数递增；∴当时，取极小值，其极小值为．（2）解：由（1）可知函数和的图象在处有公共点，因此若存在和的隔离直线，则该直线过这个公共点．设隔离直线的斜率为，则直线方程为，即．由，可得当时恒成立．，

由，得．下面证明当时恒成立．令，则，

当时，．当时，，此时函数递增；当时，，此时函数递减；∴当时，取极大值，其极大值为．从而，即恒成立∴函数和存在唯一的隔离直线．【思路点拨】时，，此时函数递减当时，，此时函数递增；∴当时，取极小值，其极小值为.隔离直线的斜率为，则直线方程为，即．根据单调性求出方程。20.已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切，过点P（4，0）且不垂直于x轴直线与椭圆C相交于A、B两点。（1）求椭圆C的方程；（2）求的取值范围；（3）若B点在于x轴的对称点是E，证明：直线AE与x轴相交于定点。参考答案：(1)解：由题意知，∴，即

又，∴

故椭圆的方程为

2分(2)解：由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为

21.已知抛物线的焦点为F，M，N是C上关于焦点F对称的两点，C在点M、点N处的切线相交于点.（1）求C的方程；（2）直线l交C于A、B两点，且△OAB的面积为16，求l的方程.参考答案：（1）解：依题意，由抛物线的对称性可知：，，由得：，

故在点、点处的切线的斜率分别为和

--2分

则在处的切线方程为，即

代入，得，故

----4分

所以抛物线的方程为

解法2：依题意，由抛物线的对称性可知：，，

由得：，故在点、点处的切线的斜率分别为和

则在处的切线方程为，即

C在N处的切线方程为，即

联立解得两切线交点坐标为（0，），

又两切线相交于

所以抛物线的方程为

解法3：依题意，由抛物线的对称性可知：，，

设在处的切线方程为，又切线过点

，切线方程化为

联立，消去，整理得

由直线与抛物线相切得，，所以抛物线的方程为

（2）解法1：直线的斜率显然存在，设直线，、由得：

由，

直线方程为：，所以直线恒过定点

，即，即

所以直线方程为：

（2）解法2：直线的斜率显然存在，设直线，、由得：

由，

∴直线方程为：

即原点到直线的距离为

解得

所以直线方程为：

22.（12分）（2014秋?文登市期中）有一种新型的洗衣液，去污速度特别快．已知每投放k（1≤k≤4）且k∈R个单位的洗衣液在一定量水的洗衣机中，它在水中释放的浓度y（克/升）随着时间x（分钟）变化的函数关系式近似为y=k?f（x），其中y=．根据经验，当水中洗衣液的浓度不低于4（克/升）时，它才能起到有效去污的作用．（Ⅰ）若投放k个单位的洗衣液，3分钟时水中洗衣液的浓度为4（克/升），求k的值；（Ⅱ）若投放4个单位的洗衣液，则有效去污时间可达几分钟？参考答案：【考点】分段函数的应用．

【专题】函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）若投放k个单位的洗衣液，3分钟时水中洗衣液的浓度为4（克/升），则，解得k值；（II）由已知中y=．对x进行分类讨论求出满足条件的范围，最后综合讨论结果，可得答案．【解答】解：（Ⅰ）由题意知，，解得；…（3分）（Ⅱ）当k=4，所以y=…（5分）当0≤x≤