工程建模与软件设计范方宇

工程建模与软件设计课程论文学院：理学院专业名称：工程力学学生姓名：范方宇学生学号：指导教师：陈涛时间：2023年1月工程建模与软件设计指导教师评语指导教师评语无轴力时单质量模型车桥耦合下建模及数值分析一、引言在过去的100数年里,桥梁在移动荷载作用下的车桥耦合振动问题进行了大量的研究。但是由于同时考虑移动荷载和桥梁两者质量后,系统振动微分方程为变系数的耦方程组,给问题的求解带来了很大困难。已有的研究都是在采用不同简化模型前提下,用值计算的方法进行求解。并且由于桥梁系统的复杂性,系统仿真模型的建立比较困难,以往很少有人对车桥耦合振动作用下的桥梁进行系统仿真。车桥耦合互相作用受众多因素的影响，是一个十分复杂的动力学问题。桥梁结构在高速运营车辆荷载作用下，不仅要承受静力荷载作用，同时还要承受移动荷载及车辆对桥梁结构的惯性力与冲击作用。当这些力同时作用于桥梁结构，将导致桥梁结构构件产生疲劳，减少结构构件的强度及稳定性能，特别当运营车辆的自振频率与桥梁结构的固有频率相等或是相接进时，将也许引起共振，共振将加剧车桥耦合的振动响应，甚至造成意外的破坏。因此，对车桥耦合作用的动力响应进行分析，研究影响车桥耦合互相作用的重要因素，采用相应对策减小桥梁结构的振动响应，这在桥梁结构动力研究领域中已经受到高度重视，成为一个重要的研究课题。在车桥耦合振动力学模型基础上,借助MATLAB强大的系统仿真功能,建立了车桥耦合振动作用下简真模型,实现了车桥耦合振动作用下桥梁动态响应的系统仿真。仿真实验结果与数值求解得结果比较表白,在保证计算精度同时,系统仿真方法更具有快速、简朴和灵活的显著特点。二、物理模型的建立本次建模中考虑的是无轴力时单质量模型车桥耦合系统分析，因此在物理建模时移动荷载的质量与梁的质量相比不能忽略，则必须同时考虑荷载的质量作用以及质量随梁一起振动时产生的惯性力，此时可简化成如下图1-1所示的物理模型图：1-1移动质量下的模型三、数学模型的建立将质量M1看作为一个移动车轮，在考虑其通过桥梁的情况时，车轮质量M1假定沿梁长移动而不脱离开梁体，则其位移与它所在位置的梁的挠度是一致的，以表达成y（vt,t）。同时如上图的简支梁，长度为L，单位长度质量为m，抗弯刚度为EI由匀质同向材料，不考虑剪切变形和转动惯量的影响，质量一匀速v通过，作用于梁的动载荷为移动质量和质量惯性力的和，如上图所示。（3-1）式中，，作用于梁的外载荷为：（3-2）其中表达由于载荷的移动，使竖向速度产生变化而引起的竖向加速度；表达载荷的移动，使梁的竖向速度产生变化而引起的竖向加速度；表达由于桥梁振动过程中产生曲率，使荷载在竖曲线上移动而产生的离心加速度。可以看出，后两项与桥梁的刚度及荷载的移动速度有关，对于一般的桥梁（其活载作用下产生的变形曲率很小）和现行的行车速度，这两项可以忽略不计。因此，动荷载质量的梁的动力平衡方程为：（2-15）按振型分解法求解，将（2-3）式代入上式，将每一项乘以第n个振型函数，,沿梁的全长积分，并考虑到振型的正交特性，（2-15）式左端的积分结果与（2-7）式相同，而右端成为：（2-16）对于等截面的简支梁，同样设，而x=vt，则广义力 （2-17）由于实际荷载只在x=vt处起作用，且积分并不是沿整个梁长进行的，因此上式的最后一步不能运用振型的正交条件。上式表白：第n阶广义力是作用于梁上的所有外力乘上外力所在位置处该阶振型的振型函数。必须注意的是，惯性力与质量所在位置的实际梁体加速度而不是某个振型的加速度有关。由此说明，尽管采用了振型分解法，但是由于惯性力的存在，各振型之间还是互相偶联的。由（2-15）～（2-17）式，合并整理后得到从结构力学的基本理论可知，结构的动力响应重要由其最先的若干个低阶振型起控制作用。对于一个复杂的结构，假如采用振型分解法，在计算中仅考虑少数一些振型就可以获得满意的精度。对于此例，由于n=1~∞，这个方程有无穷多个未知变量，并且不是互相独立的，在采用振型分解法时，可以取几十个振型计算对其整体振动进行分析，从而大大减少了计算工作量。对简支梁来说，假如位移级数取N项，则整个简支梁的自由度将从无穷多个减少到N个，系统运动方程的N阶矩阵表达式为（2-18）式中：为广义位移向量，=；为广义向量，=；为广义质量且为非对角的满阵，由于单质量中不考虑阻尼，所以直接忽略。为广义刚度矩阵。式中：为第n阶振型在t时刻x=vt位置的函数值，而。仿真模型的建立系统仿真的三个基本活动就是:模型建立，仿真模型建立和仿真实验。其中仿真模型又称二次模型，就是把数学模型应用数值计算方法转换为适合于计算机运算的模型，可以用算式来描述，也可以用框图来描述。系统仿真技术实质就是建立仿真模型并进行仿真实验的技术。根据方程2结合MATLAB仿真平台的特点，建立系统框图如图所示。根据上面数学公式（2-18），并采用Ruge-Kutta法，可得出以下公式：（1）（2）………………桥梁系统建模后的模型图然后从精度上考虑，我们只需去q的前五阶即可，即采用四阶五次Ruge-Kuttasub1、sub2、sub3、sub4和sub5分别表达桥梁前5阶频率影响的子系统,体现系统的车桥耦合作用。subx1、subx2、subx3、subx4、subx5分别表达桥梁前5阶主振型函数的子系统。分别如下图所示：（1）如图为sub子系统里面的结构模型图（2）如图为subx子系统里面的结构模型图仿真实验桥梁数据：简支梁，跨长为L=16m,单位长度质量为m=9.36kg/h,抗弯刚度为EI=2.05N.m,移动质量为4kg.仿真算法采用快速、高精度显著特点的自适应变步长四阶五次Ruge-Kutta法，需要注意的是，系统默认的计算误差限时1，这显然不太符合计算精度的规定，所以在仿真实验之前，应对计算误差进行调整。图5给出了用系统仿真和Ruge-Kutta法数值解法两种不同方法计算桥梁跨中在不同移动载荷速度作用下的动态响应。从图可以知道，两种方法的计算结果是一致的，都可以反映出不同速度情况下的桥梁中动态响应的基本规律。在速度较低情况下，两种方法的计算结果尽管变化规律是相同的，但是波动情况的变化快慢有微小的差异。从与已知的一些结果进行比较，系统仿真方法所得的结果更加精确。表4一1单个车轮移动振动模型竖向前五阶有载自振频率计算结果载荷位置一阶频率二阶频率三阶频率四阶频率五阶频率03.196912.78728.77251.1579.230.053.196912.78428.76451.1279.430.13.19712.77528.76551.1579.120.153.197312.76428.74551.1479.340.23.197312.75628.73451.1979.540.253.197512.75228.76351.0479.340.33.197712.75628.75351.1379.230.353.197112.76428.77351.2679.430.43.197412.77528.72351.0779.450.453.197212.78428.74251.0879.50.53.197612.78728.72351.1579.320.553.197812.78428.74251.1379.340.63.197612.77528.73551.0379.430.653.196912.76428.76451.1579.120.73.197112.75628.76451.0379.320.753.197312.75228.7451.1879.530.83.19712.75628.72551.1479.230.853.197112.76428.7251.3179.420.93.196812.77528.73351.0979.120.953.19712.78428.72451.0479.351.03.197112.78728.76551.1279.61六、实验结论6.1车速对桥梁振动的影响如下图所示，我们通过界面可以看出不同速度下桥梁振动曲线，在全桥运动过程中,车辆的其它情况相同时,随着行车速度的增长,桥梁动态响应的波动随着车辆速度的提高而有所缓解,桥梁跨中挠度到达最大值时,移动荷载所在位置随着车速增长而越往后,并且跨中挠度最大值也呈增长趋势。这是由于低速行驶时桥梁的振动有短暂的恢复时间,使其部分挠度可以回弹,减小了桥梁的振动响应,而高速行驶时,桥梁来不及恢复变形。由于车辆静止不动时所产生的静挠度是一定的,所以车速的增大导致动挠度的增长。6.2车体质量对桥梁振动影响行驶速度相同时,质量不同的车辆在桥上行驶过程中,质量越大,桥梁振幅越大,但振幅增长并不是随着车体质量的增大而线性增长,这可由振动微分方程中,质量并不是作为常系数变量来解释。同时还可以在上图中看出随着车体质量的增长,桥梁跨中的位移波动加剧,出现多个动挠度峰值,并且桥梁跨中位移到达最大值的位置往前移。因从总体来看桥梁振动对车重还是敏感的。6.3桥梁跨度对桥梁振动的影响其它条件不变时桥跨长不同时,跨中的位移响应,可以得出桥跨越长,桥梁跨中的位移波动加剧,出现多个动挠度峰值,藕合作用对跨中产生的动挠度越大,并且这种影响是较显著的。七、心得课程设计是培养学生综合运用所学知识,发现,提出,分析和解决实际问题,锻炼实践能力的重要环节,是对学生实际工作能力的具体训练和考察过程.回顾起本次课程设计，至今我仍感慨颇多，的确，从选题到定稿，从理论到实践，在整整两星期的日子里，可以说得是苦多于甜，但是可以学到很多很多的的东西，同时不仅可以巩固了以前所学过的知识，并且学到了很多在书本上所没有学到过的知识。通过这次课程设计使我懂得了理论与实际相结合是很重要的，只有理论知识是远远不够的，只有把所学的理论知识与实践相结合起来，从理论中得出结论，才干真正为社会服务，从而提高自己的实际动手能力和独立思考的能力。在设计的过程中碰到问题，可以说得是困难重重，这毕竟第一次做的，难免会碰到过各种各样的问题，同时在设计的过程中发现了自己的局限性之处，对以前所学过的知识理解得不够深刻，掌握得不够牢固这次课程设计终于顺利完毕了，在设计中碰到了很多编程问题，最后在陈涛老师的辛勤指导下，终于游逆而解。同时，在陈涛老师的身上我学得到很多实用的知识，在次