三角恒等变换专题复习带答案解析

PAGE..三角恒等变换专题复习教学目标：1、能利用单位圆中的三角函数线推导出的正弦、余弦、正切的诱导公式；2、理解同角三角函数的基本关系式：；3、可熟练运用三角函数见的基本关系式解决各种问题。教学重难点：可熟练运用三角函数见的基本关系式解决各种问题[基础知识]一、同角的三大关系：=1\*GB3①倒数关系tan•cot=1=2\*GB3②商数关系=tan；=cot=3\*GB3③平方关系温馨提示：〔1求同角三角函数有知一求三规律,可以利用公式求解,最好的方法是利用画直角三角形速解。[来源:学+科+网]〔2利用上述公式求三角函数值时,注意开方时要结合角的范围正确取舍""号。二、诱导公式口诀：奇变偶不变,符号看象限用诱导公式化简,一般先把角化成的形式,然后利用诱导公式的口诀化简〔如果前面的角是90度的奇数倍,就是"奇",是90度的偶数倍,就是"偶"；符号看象限是,把看作是锐角,判断角在第几象限,在这个象限的前面三角函数的符号是"+"还是"--",就加在前面。用诱导公式计算时,一般是先将负角变成正角,再将正角变成区间的角,再变到区间的角,再变到区间的角计算。三、和角与差角公式：;;变用±=<±><1>四、二倍角公式：=..五、注意这些公式的来弄去脉这些公式都可以由公式推导出来。六、注意公式的顺用、逆用、变用。如：逆用变用七、合一变形〔辅助角公式把两个三角函数的和或差化为"一个三角函数,一个角,一次方"的形式。,其中．八、万能公式九、用,表示十、积化和差与和差化积积化和差；；；.和差化积十一、方法总结1、三角恒等变换方法观察〔角、名、式→三变〔变角、变名、变式〔1"变角"主要指把未知的角向已知的角转化,是变换的主线,如α=<α+β>－β=<α－β>+β,2α=<α+β>+<α－β>,2α=<β+α>－<β－α>,α+β=2·eq\f<α+β,2>,eq\f<α+β,2>=<α－eq\f<β,2>>－<eq\f<α,2>－β>等.〔2"变名"指的是切化弦〔正切余切化成正弦余弦,〔3"变式’指的是利用升幂公式和降幂公式升幂降幂,利用和角和差角公式、合一变形公式展开和合并等。2、恒等式的证明方法灵活多样①从一边开始直接推证,得到另一边,一般地,如果所证等式一边比较繁而另一边比较简时多采用此法,即由繁到简.②左右归一法,即将所证恒等式左、右两边同时推导变形,直接推得左右两边都等于同一个式子.③比较法,即设法证明:"左边－右边=0"或"eq\f<左,右>=1";④分析法,从被证的等式出发,逐步探求使等式成立的充分条件,一直推到已知条件或显然成立的结论成立为止,则可以判断原等式成立.[例题精讲]例1已知为第四象限角,化简：解：〔1因为为第四象限角所以原式=例2已知,化简解：,所以原式=例3tan20°+4sin20°解：tan20°+4sin20°==例4〔05天津已知,求及．解：解法一：由题设条件,应用两角差的正弦公式得,即①由题设条件,应用二倍角余弦公式得故②由①和②式得,因此,,由两角和的正切公式解法二：由题设条件,应用二倍角余弦公式得,解得,即由可得由于,且,故在第二象限于是,从而以下同解法一小结：1、本题以三角函数的求值问题考查三角变换能力和运算能力,可从已知角和所求角的内在联系〔均含进行转换得到．2、在求三角函数值时,必须灵活应用公式,注意隐含条件的使用,以防出现多解或漏解的情形．例5已知为锐角的三个内角,两向量,,若与是共线向量.〔1求的大小；〔2求函数取最大值时,的大小.解：〔1,〔2,．小结：三角函数与向量之间的联系很紧密,解题时要时刻注意例6设关于x的方程sinx＋cosx＋a＝0在<0,2π>内有相异二解α、β.<1>求α的取值范围;<2>求tan<α＋β>的值.解:<1>∵sinx＋cosx＝2<sinx＋cosx>＝2sin<x＋>,∴方程化为sin<x＋>＝－.∵方程sinx＋cosx＋a＝0在<0,2π>内有相异二解,∴sin<x＋>≠sin＝.又sin<x＋>≠±1<∵当等于和±1时仅有一解>,∴|－|<1.且－≠.即|a|<2且a≠－.∴a的取值范围是<－2,－>∪<－,2>.<2>∵α、β是方程的相异解,∴sinα＋cosα＋a＝0①.sinβ＋cosβ＋a＝0②.①－②得<sinα－sinβ>＋<cosα－cosβ>＝0.∴2sincos－2sinsin＝0,又sin≠0,∴tan＝.∴tan<α＋β>＝＝.小结：要注意三角函数实根个数与普通方程的区别,这里不能忘记<0,2π>这一条件.例7已知函数在区间上单调递减,试求实数的取值范围．解：已知条件实际上给出了一个在区间上恒成立的不等式．任取,且,则不等式恒成立,即恒成立．化简得由可知：,所以上式恒成立的条件为：.由于且当时,,所以,从而,有,故的取值范围为.[基础精练]1．已知α是锐角,且sineq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<π,2>＋α>>＝eq\f<3,4>,则sineq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<α,2>＋π>>的值等于<>A.eq\f<\r<2>,4>B．－eq\f<\r<2>,4>C.eq\f<\r<14>,4> D．－eq\f<\r<14>,4>2．若－2π＜α＜－eq\f<3π,2>,则eq\r<\f<1－cos<α－π>,2>>的值是<>A．sineq\f<α,2>B．coseq\f<α,2>C．－sineq\f<α,2> D．－coseq\f<α,2>3.eq\f<sin<180°＋2α>,1＋cos2α>·eq\f<cos2α,cos<90°＋α>>等于<>A.－sinαB.－cosαC.sinαD.cosα4.已知角α在第一象限且cosα＝eq\f<3,5>,则eq\f<1＋\r<2>cos<2α－\f<π,4>>,sin<α＋\f<π,2>>>等于<>A.eq\f<2,5>B.eq\f<7,5>C.eq\f<14,5>D.－eq\f<2,5>5.定义运算eq\b\lc\|\rc\|<\a\vs4\al\co1<\o<\s\up7<ab>,\s\do5<cd>>>>＝ad－bc.若cosα＝eq\f<1,7>,eq\b\lc\|\rc\|<\a\vs4\al\co1<\o<\s\up7<sinαsinβ>,\s\do5<cosαcosβ>>>>＝eq\f<3\r<3>,14>,0<β<α<eq\f<π,2>,则β等于<>A.eq\f<π,12>B.eq\f<π,6>C.eq\f<π,4>D.eq\f<π,3>6.已知tanα和tan<eq\f<π,4>－α>是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根,则a、b、c的关系是<>A.b＝a＋cB.2b＝a＋cC.c＝b＋aD.c＝ab7.设a＝eq\f<\r<2>,2><sin56°－cos56°>,b＝cos50°cos128°＋cos40°cos38°,c＝eq\f<1－tan240°30′,1＋tan240°30′>,d＝eq\f<1,2><cos80°－2cos250°＋1>,则a,b,c,d的大小关系为<>A.a＞b＞d＞cB.b＞a＞d＞cC.d＞a＞b＞cD.c＞a＞d＞b8．函数y＝eq\f<1,2>sin2x＋sin2x,x∈R的值域是<>A.eq\b\lc\[\rc\]<\a\vs4\al\co1<－\f<1,2>,\f<3,2>>> B.eq\b\lc\[\rc\]<\a\vs4\al\co1<－\f<3,2>,\f<1,2>>>C.eq\b\lc\[\rc\]<\a\vs4\al\co1<－\f<\r<2>,2>＋\f<1,2>,\f<\r<2>,2>＋\f<1,2>>> D.eq\b\lc\[\rc\]<\a\vs4\al\co1<－\f<\r<2>,2>－\f<1,2>,\f<\r<2>,2>－\f<1,2>>>9.若锐角α、β满足<1＋eq\r<3>tanα><1＋eq\r<3>tanβ>＝4,则α＋β＝.10.设α是第二象限的角,tanα＝－eq\f<4,3>,且sineq\f<α,2><coseq\f<α,2>,则coseq\f<α,2>＝.11.已知sin<x>=,0<x<,求的值。12.若,,求α+2β。[拓展提高]1、设函数f<x>＝sin<eq\f<πx,4>－eq\f<π,6>>－2cos2eq\f<πx,8>＋1<1>求f<x>的最小正周期.<2>若函数y＝g<x>与y＝f<x>的图像关于直线x＝1对称,求当x∈[0,eq\f<4,3>]时y＝g<x>的最大值2.已知向量a＝<cosα,sinα>,b＝<cosβ,sinβ>,|a－b|＝eq\f<2\r<5>,5><1>求cos<α－β>的值；<2>若0<α<eq\f<π,2>,－eq\f<π,2><β<0,且sinβ＝－eq\f<5,13>,求sinα.3、求证：－2cos〔α+β=.[基础精练参考答案]4．C[解析]原式＝eq\f<1＋\r<2><cos2αcos\f<π,4>＋sin2αsin\f<π,4>>,cosα>＝eq\f<1＋cos2α＋sin2α,cosα>＝eq\f<2cos2α＋2sinαcosα,cosα>＝2×<cosα＋sinα>＝2×<eq\f<3,5>＋eq\f<4,5>>＝eq\f<14,5>.5.D[解析]依题设得：sinα·cosβ－cosα·sinβ＝sin<α－β>＝eq\f<3\r<3>,14>.∵0<β<α<eq\f<π,2>,∴cos<α－β>＝eq\f<13,14>.又∵cosα＝eq\f<1,7>,∴sinα＝eq\f<4\r<3>,7>.sinβ＝sin[α－<α－β>]＝sinα·cos<α－β>－cosα·sin<α－β>＝eq\f<4\r<3>,7>×eq\f<13,14>－eq\f<1,7>×eq\f<3\r<3>,14>＝eq\f<\r<3>,2>,∴β＝eq\f<π,3>.6.C[解析]∴taneq\f<π,4>＝tan[<eq\f<π,4>－α>＋α]＝eq\f<－\f<b,a>,1－\f<c,a>>＝1,∴－eq\f<b,a>＝1－eq\f<c,a>,∴－b＝a－c,∴c＝a＋b.7.B[解析]a＝sin<56°－45°>＝sin11°,b＝－sin40°cos52°＋cos40°sin52°＝sin<52°－40°>＝sin12°,c＝eq\f<1－tan240°30′,1＋tan240°30′>＝cos81°＝sin9°,d＝eq\f<1,2><2cos240°－2sin240°>＝cos80°＝sin10°∴b＞a＞d＞c.8.C[解析]y＝eq\f<1,2>sin2x＋sin2x＝eq\f<1,2>sin2x－eq\f<1,2>cos2x＋eq\f<1,2>＝eq\f<\r<2>,2>sineq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<2x－\f<π,4>>>＋eq\f<1,2>,故选择C.9.eq\f<π,3>[解析]由<1＋eq\r<3>tanα><1＋eq\r<3>tanβ>＝4,可得eq\f<tanα＋tanβ,1－tanαtanβ>＝eq\r<3>,即tan<α＋β>＝eq\r<3>.又α＋β∈<0,π>,∴α＋β＝eq\f<π,3>.10.－eq\f<\r<5>,5>解析：∵α是第二象限的角,∴eq\f<α,2>可能在第一或第三象限,又sineq\f<α,2><coseq\f<α,2>,∴eq\f<α,2>为第三象限的角,∴coseq\f<α,2><0.∵tanα＝－eq\f<4,3>,∴cosα＝－eq\f<3,5>,∴coseq\f<α,2>＝－eq\r<\f<1＋cosα,2>>＝－eq\f<\r<5>,5>.12.[解析]∵,∴∴,α+2β,又tan2β=,,[来源:Zxxk.Com]∴α+2β=[拓展提高参考答案]1、[解析]<1>f<x>＝sineq\f<πx,4>coseq\f<π,6>－coseq\f<πx,4>sineq\f<π,6>－coseq\f<π,4>x＝eq\f<\r<3>,2>sineq\f<π,4>x－eq\f<3,2>coseq\f<π,4>x＝eq\r<3>sin<eq\f<π,4>x－eq\f<π,3>>,故f<x>的最小正周期为T＝eq\f<\f<2π,π>,4>＝8<2>法一：在y＝g<x>的图象上任取一点<x,g<x>>,它关于x＝1的对称点<2－x,g<x>>.由题设条件,点<2－x,g<x>>在y＝f<x>的图象上,从而g<x>＝f<2－x>＝eq\r<3>sin[eq\f<π,4><2－x>－eq\f<π,3>]＝eq\r<3>sin[eq\f<π,2>－eq\f<π,4>x－eq\f<π,3>]＝eq\r<3>cos<eq\f<π,4>x＋eq\f<π,3>>,当0≤x≤eq\f<4,3>时,eq\f<π,3>≤eq\f<π,4>x＋eq\f<π,3>≤eq\f<2π,3>,因此y＝g<x>在区间[0,eq\f<4,3>]上的最大值为g<x>max＝eq\r<3>coseq\f<π,3>＝eq\f<\r<3>,2>.法二：因区间[0,eq\f<4,3>]关于x＝1的对称区间为[eq\f<2,