等比数列的性质及答案

等比数列的性质及答案等比数列的性质及答案等比数列的性质及答案V:1.0精细整理，仅供参考等比数列的性质及答案日期：20xx年X月一、选择题1．[2016·江南十校联考]已知a，b，c，d成等比数列，且y＝x2－2x＋3的顶点是(b，c)，则ad等于()A．3 B．2C．1 D．－2答案B解析由y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，得b＝1，c＝2.则ad＝bc＝1×2＝2，选B.2．在等比数列{an}中，a1＝1，公比|q|≠1.若am＝a1a2a3a4a5，则m＝()A．9 B．10C．11 D．12答案C解析∵a1＝1，∴am＝a1a2a3a4a5＝q·q2·q3·q4＝q10，即am＝a1·q10，∴m＝11.故选C.3．已知等比数列{an}中，各项都是正数，且a1，eq\f(1,2)a3,2a2成等差数列，则eq\f(a9＋a10,a7＋a8)＝()A．1＋eq\r(2) B．1－eq\r(2)C．3＋2eq\r(2) D．3－2eq\r(2)答案C解析设等比数列{an}的公比为q.由a1，eq\f(1,2)a3,2a2成等差数列，得a3＝a1＋2a2，即a1q2＝a1＋2a1q，所以q2－2q－1＝0，解得q1＝1＋eq\r(2)，q2＝1－eq\r(2).因为数列各项都为正数，所以q＝1＋eq\r(2)，所以eq\f(a9＋a10,a7＋a8)＝eq\f(a7q2＋a8q2,a7＋a8)＝q2＝3＋2eq\r(2).4．[2016·唐山高一检测]已知等比数列{an}的公比为负数，且a3·a9＝2aeq\o\al(2,5)，已知a2＝1，则a1＝()\f(1,2) B．－eq\f(\r(2),2)\f(\r(2),2) D．2答案B解析∵a3·a9＝aeq\o\al(2,6)＝2aeq\o\al(2,5)，∴eq\f(a\o\al(2,6),a\o\al(2,5))＝q2＝2.又∵q<0，∴q＝－eq\r(2).∴a1＝eq\f(a2,q)＝eq\f(1,－\r(2))＝－eq\f(\r(2),2).二、填空题5．等差数列{an}中，公差d≠0，且a1，a3，a9成等比数列，则eq\f(a3＋a6＋a9,a4＋a7＋a10)＝________.答案eq\f(6,7)解析∵在等差数列{an}中，有a3＋a9＝2a6，a4＋a10＝2a7，∴eq\f(a3＋a6＋a9,a4＋a7＋a10)＝eq\f(3a6,3a7)＝eq\f(a6,a7).∵a1，a3，a9成等比数列，∴(a1＋2d)2＝a1(a1＋8d)，∴a1＝d，∴a6＝6a1，a7＝7a1，∴eq\f(a6,a7)＝eq\f(6,7)，即eq\f(a3＋a6＋a9,a4＋a7＋a10)＝eq\f(6,7).6．[2014·广东高考]若等比数列{an}的各项均为正数，且a1a5＝4，则log2a1＋log2a2＋log2a3＋log2a4＋log2a5＝________.答案5解析由题意知a1a5＝aeq\o\al(2,3)＝4，又数列{an}的各项均为正数，所以a3＝2，a1a2a3a4a5＝(a1a5)·(a2a4)·a3＝(aeq\o\al(2,3))2·a3＝aeq\o\al(5,3)＝25，所以log2a1＋log2a2＋log2a3＋log2a4＋log2a5＝log2(a1a2a3a4a5)＝log225＝5.7．[2016·北京师大附中期中]在等比数列{an}中，若a7＋a8＋a9＋a10＝eq\f(15,8)，a8a9＝－eq\f(9,8)，则eq\f(1,a7)＋eq\f(1,a8)＋eq\f(1,a9)＋eq\f(1,a10)＝________.答案－eq\f(5,3)解析由等比数列的性质知a8a9＝a7a10，所以eq\f(1,a7)＋eq\f(1,a8)＋eq\f(1,a9)＋eq\f(1,a10)＝eq\f(1,a7)＋eq\f(1,a10)＋eq\f(1,a8)＋eq\f(1,a9)＝eq\f(a7＋a10,a7a10)＋eq\f(a8＋a9,a8a9)＝eq\f(a7＋a10＋a8＋a9,a8a9)＝－eq\f(5,3).三、解答题8．在正项等比数列{an}中，a1a5－2a3a5＋a3a7＝36，a2a4＋2a2a6＋a4a6＝100，求数列{an}的通项公式．解原式可化为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a3－a52＝36,a3＋a52＝100))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a3＋a5＝10,a3－a5＝6))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a5＋a3＝10,a5－a3＝6)).∴a3＝8，a5＝2，q＝eq\f(1,2)或a5＝8，a3＝2，q＝2.∴当q＝eq\f(1,2)时，a1＝32，an＝64×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n＝26－n.当q＝2时，a1＝eq\f(1,2)，an＝2n－2.9．有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且前后两数的和是16，中间两数的和是12.求这四个数．解解法一：设这四个数依次为a－d，a，a＋d，eq\f(a＋d2,a)，由条件得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－d＋\f(a＋d2,a)＝16，,a＋a＋d＝12.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝4，,d＝4，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝9，,d＝－6.))所以当a＝4，d＝4时，所求四个数为0,4,8,16；当a＝9，d＝－6时，所求四个数为15,9,3,1.故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.解法二：设这四个数依次为eq\f(2a,q)－a，eq\f(a,q)，a，aq(a≠0)，由条件得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2a,q)－a＋aq＝16，,\f(a,q)＋a＝12.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(q＝2，,a＝8，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(q＝\f(1,3)，,a＝3.))所以当q＝2，a＝8时，所求四个数为0,4,8,16；当q＝eq\f(1,3)，a＝3时，所求四个数为15,9,3,1.故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.解法三：设这四个数依次为x，y,12－y,16－x，由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\v