近世代数试题库

近世代数一、单项选择题1、若A={1，2，3，5}，B={2，3，6，7}，则=（）ABA、{1，2，3，4}C、{2，3}B、{2，3，6，7}D、{1，2，3，5，6，7}答案：C2、循环群与交换群关系正确的是（）A、循环群是交换群C、循环群不一定是交换群答案：AB、交换群是循环群D、以上都不对3、下列命题正确的是（）SA、n次对换群的阶为!B、整环一定是域D、以上都不对nC、交换环一定是域答案：A4、关于陪集的命题中正确的是（）设H是G的子群，那么aH,bH,aHbH有aHbH、对于或aHHaH、C、aHbHabH1、以上都对答案：D5、设A=RB=R+（正实数域）f:a→10a是从A到B的（）aA则fA、单射B、满射D、既非单射也非满射C、一一映射答案：D6、有限群中的每一个元素的阶都（）B、无限D、为1A、有限C、为零答案：A7、整环（域）的特征为（A、素数）B、无限C、有限D、或素数或无限答案：D8、若S是半群,则()A、任意a,b,cS,都有a(bc)=(ab)cB、任意a,bS,都有ab=baC、必有单位元D、任何元素必存在逆元答案：A9、在整环Z中，6的真因子是（）A、1,6C、1,2B、2,3D、3,6答案：B10、偶数环的单位元个数为（）A、0个C、2个答案：AB、1个D、无数个、设A,A,,AD和都是非空集合，而f是AAA到D的一个映射，12n12n那么（）、集合A,A,,A,D中两两都不相同；12n、A,A,,A的次序不能调换；12nC、AAA中不同的元对应的象必不相同；12n、一个元a,a,,a的象可以不唯一。12n答案：B12、指出下列那些运算是二元运算（ab）A、在整数集Z上，ab；abB、在有理数集上，abab；QC、在正实数集R上，ln；ababD、在集合nZn0上，abab。答案：D13、设是整数集Z上的二元运算，其中aba,b（即取a与中的最大b在Z中（）A、不适合交换律；C、存在单位元；答案：CB、不适合结合律；D、每个元都有逆元。14、设G为群，其中G是实数集，而乘法:ababk，这里k为G中固定的常数。那么群G中的单位元e和元x的逆元分别是（）A、0和x；B、1和0；C、k和x2k；D、k和(x2k)。答案：D15、设a,b,c和x都是群G中的元素且xabxc,acxxac，那么x（）21A、a；B、ca；C、a；D、b。1111111答案：A16、设H是群G的子群，且G有左陪集分类H,aH,bH,。如果6，那么G的阶G（）、6；、24；C、10；、12。答案：B17、设f:GG是一个群同态映射，那么下列错误的命题是（）12、f的同态核是G的不变子群；1、G的不变子群的逆象是G的不变子群；21C、G的子群的象是G的子群；12、G的不变子群的象是G的不变子群。12答案：D18、设f:RR是环同态满射，f(a)b，那么下列错误的结论为（）12、若a是零元，则是零元；、若a是单位元，则是单位元；bbC、若a不是零因子，则不是零因子；、若R是不交换的，则R不交换。b21答案：C19、下列正确的命题是（）、欧氏环一定是唯一分解环；C、唯一分解环必是主理想环；答案：A、主理想环必是欧氏环；、唯一分解环必是欧氏环。20、若I是域F的有限扩域，E是I的有限扩域，那么（）A、E:IE:II:F；B、F:EI:FE:I；C、I:FE:FF:I；D、E:FE:II:F答案：D二、填空题1、集合A的一个等价关系需满足自反性、对称性和（答案：传递性）。A,B,AB2、设A,B都为有限集，且答：mn则（）.3．设是集合A＝｛平面上所有直线｝上的关系：RlRlll∥或ll1l,lA（（R）等价关系。1212212答：是e4、设群G中的元素的阶为m，则an的充要条件是（amn答：5、群G的非空子集H作成G的一个子群的充要条件是（答：a,bH,有abH1S6、n次对称群的阶是（n答：!G7G是有限群，是G在G中的指数为n（HHnH答：aG,8、设G是一个群,e是G的单位元，若答：a=e且a=a,则（）9、最小的数域是（答：有理数域10、设集合A=｛1,2｝,则A×A=（）,2＝（A1，11，22，12，2Φ121，2ffS1Af11、设是A的一个变换，SffS，则（）1。答：R,R1RR112、设是集合A上的等价关系，（）等价关系。22答：是e，则G是（13、若群G中每一个元素x都适合方程x）群。n答：交换群14、n阶群G是循环群的充要条件是（答：G中存在n阶的元素G,G,G,GG15、设是有限循环群，则是G的同态象的充要条件是111nm（nm答：16、如果环R的乘法满足交换律，即a,bR，有abba，则称R为（）环答：交换环17、数集关于数的加法和乘法作成的环叫做（）环。答：数环18、设有限域的阶为81，则的特征p（F答：319、已知群中的元素a的阶等于50，则a的阶等于（4G答：2520、一个有单位元的无零因子（）称为整环。答：交换环21、如果710002601a是一个国际标准书号，那么a（答：622.剩余类加群Z有（12）个生成元.答：623、设群G的元a的阶是n，则a的阶是（k）答：n/(k,n)（(k,n)表示k和n的最大公约数）24、6阶循环群有（答：3）个子群.26、模8的剩余类环Z的子环有（8）个.答：627、设集合A；B2，则有BA（答：1,,2,1,,28、如果f是A与A间的一一映射，a是A的一个元，则ffa（1答：a29、设集合有一个分类，其中A与A是的两个类，如果AA，那么AAijijAA（ij答：31、凯莱定理说：任一个子群都同一个（）同构。答：变换群32、给出一个5-循环置换，那么（1答：1352433、若是有单位元的环的由a生成的主理想，那么中的元素可以表达为IRI（答：x,x,yRiiii34、若R是一个有单位元的交换环，是R的一个理想，那么R是一个域当且II仅当是（I答：一个最大理想35、整环I的一个元p叫做一个素元，如果（答：p既不是零元，也不是单位，且q只有平凡因子36、若域F的一个扩域E叫做F的一个代数扩域，如果（答：E的每一个元都是F上的一个代数元三、判断题1、设与都是非空集合，那么ABxxxB。AB（×）2ABDAB到D×）3、只要f是A到A的一一映射，那么必有唯一的逆映射f。1（√）4Ga中生成元aG√）5G的子群HG也是循环群。（×）6、群的子群是不变子群的充要条件为gG,hH;gHgH√）GH17的阶2的单位元10。（√）（√）RR8必定没有右零因子。RR9、()中满足条件()0的多项式叫做元在域上的极小多项式。FFxp（×）10、若域的特征是无限大，那么含有一个与Z同构的子域，这里是整EEZp数环，p是由素数p生成的主理想。（×）四、解答题1、A={数学系的全体学生}，规定关系R：a,b,aRba与b同在一个班级，证明R是A的一个等价关系。答案：自反性：自己与自己显然在同一个班级对称性：若a与b同在一个班级,显然b与a同在一个班级传递性：若a与b同在一个班级,b与c同在一个班级,显然a与c同在一个班级.2、在R中的代数运算是否满足结合率和交换率？ababab（等式右边指的是普通数的运算）abcababc答：因为对于a,b,cR，有ababcababcababcacbcabc，abcabcbcabcbcabcbcababcacbcabc根据实数的加法与乘法的运算率得abcabc。bababbababa又a。所以，R的代数运算既满足结合率，又满足交换率。Aa,,,d,Bc,d,eAB,AB,AB,(AB)(BA)3、设集合，求。AB,d,ABa,,c,d,e,答案：ABa,b,(AB)(B)a,,eH1,12GS1,12,13,23,123,1324、设，，求G关于子群的H3左陪集分解。1HHH答：，13HH13,123，23HH23,132。因而，G关于子群的左陪集分解为HGH13HH。S既有左单位元e，又有右单位元，证明eff，而且是S的唯一5、设半群单位元。答：证明efe（因eff（因eef；fe1eeee若S还有单位元，则，故是S的唯一单位元。e11f,g,h6、对于下面给出的Z到Z的映射f:x3x,g:x3x1,h:x3x2;fg,gf,gh,hg,fgh计算。答案：fg:x9x3,gf:x9x1,gh:x9x7;hg:x9x5,fgh:x27x21.aG7、设是G的不变子群，则，有aHaH。H1aGaHHa，于是答：因是G的不变子群，故对于，有HaHaaHaHaaHaaHeH1111。aR0aa00，。8、设0是环的零元，则对于R答：因为aR，有0a(00)a0a0a，a由于关于加法作成群，即对于加法满足消去律，在上式中两边同时消去0，RR得0a0。同理可得a00。9、如果半群G有一个左单位元e，并且对于aG，存在左逆元aG，使得1aae，则G是一个群。1答：aG，由条件知，有左逆元aG，使得aae，而对于a在G中也111e存在左逆元a，使得aa，则有''1aaeaa(aa)(aa)aaaaaeaaae11'11'11'1'1所以，a的左逆元a也是a的右逆元，即a在G中有逆元a，11aeaaaaaaeaa又由于11，知是G的单位元。故G是一个群。e10、证明为无零因子环的充分必要条件是在环中关于乘法左消去律成立。RR答：设环没有左零因子，如果有abac，则有Rabaca(bc)0，0bc0，即bc，中关于乘法左消去R当a律成立。反之，若在中关于乘法左消去律成立，如果a时，由于没有左零因子，得R0，有ab0，即Rab0a0，左消去a得b0，即中非零元均不是左零因子，故为RR无零因子。I,I111、若是的两个理想，则R2IIxxxI,xI也是的一个理想。R12121122x,yII,rR答：，则有12xxx,yyy(x,yI;x,yI)，，从而1212111222xy(xy)(xy)II；112212rxr(xx)rxrxII；。121212xr(xx)rxrxrII121212II1所以，是的一个理想。R2GS(23),H12、设,,则H是G的一个子3群，写出G关于H的所有左陪集的分解.答案：HHH,HH(23)H{(23),H,,因而，G关于H的左陪集的分解为.GHH(23)H13、在Q中的代数运算是否满足结合率和交换率？abb2ab2,c123233912313981，答：取1224,2111。则2222又22所以，Q的代数运算既不满足结合率，又不满足交换率。HGS1,12,13,23,123,1321,1214、设，，求G关于子群的H3右陪集分解。H1H1,12答：，H13H13,132，H23H23,123。因而，G关于子群的右陪集分解为HGHH13H。Sa15、设S是有单位元的半群，a，若a有左逆元a，又有右逆元，则a是e12aa1可逆元，且是a的唯一的逆元。aa,aa,2aeaaaaaaaaea,答：证明由条件知，则有1222121211bebacbacecc若,c都是a的逆元，同理有b故有唯一的逆元。aa,bR，有(a)ba(b)(ab)。16、设是环，则R答：由(a)bab(aa)b0b0，得(ab)(a)b，a(b)aba(bb)a00同理，由，得(ab)a(b)。aGhH，H，则是的不GH17、设是G的子群，若对于，有ahaH1变子群。hH1答：任取定aG，对于ahaH，由于aha，使得H，则存在1ahahahhaHaaHHa1；11ah(a)HhH2haHa，由于aha1111，故存在。，使得ahahhaahaHHaaH122因此，对于aG，有aHHa。故是G的不变子群。Ha,bGaxb和yab18GG是群的充分必要条件是：在G中有解。ab,baG答：必要性。因G是群，则aGG在中有逆元，则1，分别代1a1byab，有入方程ax和aabaabebbbaabaabeb11，11，yabab,ba1即1分别为方程axb和的解。充分性。因G是半群，则是非空集合，取定aG，则方程yaa在G中有解，ea即存在G中的元素e，使得。下证e是G的左单位元。a,bG，方程axb和在G中有解c，即acb，ebeaceacacb于是，则e是G的一个左单位元。e又aG，方程ya在中有解a，即aae，得a是的一个左逆元。从而Ga'''得G中的每一个元素都有左逆元。故G是群。a19、证明为无零因子环的充分必要条件是在环中关于乘法右消去律成立。RRca答：设环没有左零因子，则也无右左零因子。于是由ba，得Rbaca(bc)a，0bc0，即bc，中关于乘法右消去当a律成立。反之，若在中关于乘法右消去律成立，如果a时，由于没有右零因子，得RR0，有ba0，即Rba00a，右消去a得b0，即中非零元均不是右零因子，故为RR无零因子。IxRax0R，I，证明：是的理想。20、设为交换环，aRRaa1）a,bI，则，从而ax0,bx0axbx0，(ab)x0aabI即。aaI,rR0raxr0axr0r0，，由于为交换环，从而R（2），有axa,raIa。