风险管理第2章

风险管理第2章

第二章风险度量2主要内容风险的度量：基于定义的理解基于概率论的风险度量基于效用论的风险度量金融风险的测度32.1风险的度量：基于定义的理解风险是损失发生的可能性1、主体2、损失3、可能性风险=损失×可能性风险=F（概率，损失）如何对风险进行度量？4风险概率（损失频率）是表示风险发生的可能性大小。具体可以指一定时期内，一定数目的风险单位可能（或实际）发生损失的数量次数，通常以分数或百分率来表示。用于度量事件是否经常发生。风险后果（损失程度）是指风险事件发生对目标产生的影响。

通常用一次风险事故发生造成的损失规模大小或金额多少来表示。通常情况下，发生损失的频率和损失程度成反比关系。使用风险概率和风险后果来分析风险，可以帮助我们甄别出那些需要强有力地控制与管理的风险为什么用两个变量（风险概率和风险后果）而不是一个变量（风险值）来度量风险？度量风险的指标5最大伤害事故小伤害事故无伤害事故工业伤害事故频率与损失程度之间关系的HEINRICH三角图1次300次29次62.2用概率论来度量风险--------用“钱”的数量直接来度量一、风险型经济结果的度量1.均值(Mean)均值是最常用的平均数：观察值的总和除以观察值的个数只要观察数据中的任何一个值改变，均值也会相应改变。而众数、中位数一般没有这个特点。2.众数(Mode)出现次数最多的那个数的取值众数的计算简单，更适合描述分类变量众数丢失了原始数据中比较多的信息：100个学生中有51个女生→性别变量的众数为女生100个学生中有99个女生→性别变量的众数为女生83.中位数(Median)

把一个变量的一组观察数据从小到大排序，排在中间位置的那个数的数值称为这个变量的中位数。中位数的优点是对于极端值不敏感

4.分位数假定有100个数据，按从小到大排序。则最小的数据称为“第一个百分位数”，次小的数据称为“第二个百分位数”，…，中位数就是第五十个百分位数。9二、风险的定量表示1.标准差(standarddeviation)标准差反映了数据到均值的一种平均距离标准差的平方称为“方差”2.平均绝对方差103.半方差风险的方差度量存在着一定缺陷，如对正离差和负离差的平等处理有违投资者对风险的真实心理感受。用半方差定义风险显然更符合现实，因为投资者只把下降部分的价格波动，即价格下跌认为是风险，Semivar=E[min(0,(R-E(R)))

2]4.风险度即在特定的客观条件下、特定的时间内，的均方误差与预测损失的数学期望之比。它表示风险损失的相实际损失与预测损失之间对变异程度（即不可预测程度）的一个无量纲（或以百分比表示）的量

112.3用效用论来衡量风险规避程度--------用“钱”的函数来度量12钱的数学期望是用来做决策的合适方法吗?一元钱对一个富翁和乞丐的意义是不同的.13RiskisintheeyeofthebeholderRiskisintangibleandwillbeseendifferentlybydifferentpeople.Thefactorsthatwillinfluencepeople’sperceptionsofriskinclude:Experience，Knowledge，Culture，Position，FinancialstatusAbilitytoinfluencetheoutcomeAsymmetry：putmoreweightontheimpactofalossthanonthebenefitfromagain,Complacency(自信或过于自信，自我感觉不错）Inadequatetimehorizons距离损失发生的时间越近，对损失的感受越大。14“圣彼得堡悖论”问题

传说当时在圣彼得

堡街头流行着一种赌博,规则是由参加者先付一定数目钱。比如100卢布,然后掷分币,当第一

次出现人像面朝上时一局赌博终止;如果到第n次才出现了人像朝上,参加者收回2n个卢布,

n=1,2,3,……。决策人面临的问题是究竟参不参加赌?

从数学期望来看,似乎只花100卢布就可以赢得(平均来说)“无穷多卢布”,参加赌

是绝对合算的。可是实际情况与此相反,总是掷不了几次就结束,极少有收回100卢布以上的

情况。15“圣彼得堡悖论”1738年发表《对机遇性赌博的分析》提出解决“圣彼得堡悖论”的“风险度量新理论”。指出用“钱的数学期望”来作为决策函数不妥。应该用“钱的函数的数学期望”。DanielBernoulli（1700-1782)16期望效用函数1944年在巨著《对策论与经济行为》中用数学公理化方法提出期望效用函数。这是经济学中首次严格定义风险。JohnvonNeumann(1903-1957)OskarMorgenstern(1902-1977)17一、效用函数效用依赖于各种可能状态下的结果以及这些结果出现的概率。假设只有两种状态I和II，相应结果分别记为c1,c2，各结果出现的概率分别记为π1，π2。那么，效用函数的一般形式为

U=f(c1,c2；π1,π2)效用函数可以取不同具体形式。如，U=f(c1,c2；π1,π2)=π1c1+π2c2.U=c1πc21-π(Cobb-Douglas效用函数)。U=π1lnc1+π2lnc2.18二、期望效用

期望效用(expectedutility)是各状态下结果的效用的数学期望，即各状态下结果的效用以概率为权重的加权平均。U=π1u(c1)+π2u(c2)这一效用函数也称纽曼-摩根斯顿（vonNeumann-Morgenstern）效用函数。

19如果对于每一个单赌，效用函数u(gs)有则称u(gs)是关于单赌gs的期望效用函数，即VNM效用函数。20三、风险态度有些人为可能发生的意外购买保险，减少风险；有些人则购买彩票，增加风险。这些行为表现出人们不同的风险态度。买彩票案例21购买彩票使你以0.5的概率拥有$5,以0.5的概率拥有$15，即c1=$5,c2=15,π1=0.5,π2=0.5

。不购买彩票，你无风险地拥有$10。一张彩票的期望价值=0.5×5+0.5×15=$10。这是说，如果试验次数足够大的话，购买彩票的平均结果是$10。但是，假如只有一次试验机会，你选择什么呢？$10的效用与期望价值为$10美元的彩票的期望效用相比如何呢？如果你认为$10美元的效用更大，即$10的效用>彩票的期望效用0.5×v(5)+0.5×v(15)即期望值的效用>期望效用那么，你是一个风险回避者。也就是说，在平均结果相同的资产中，你选择价值稳定者。22051510V(5)V(15)期望值的效用

期望效用效用函数财富风险回避者：期望值的效用>期望效用（凹函数，风险规避者）期望值23厌恶风险（规避）型(保守型)厌恶风险的表现：Payextratoreducerisk(buyinsuranceeventhoughpremiumexceedsexpectedclaimcosts)；Requirehigherexpectedreturnstotakeonmorerisk(demandhigherexpectedreturnsonriskierstocks)厌恶风险（规避）者的财富效用函数曲线是向下凹的，意味着随着财富的增加，财富带来的边际效益在递减。风险规避型的人重视风险的损失性，宁愿付出较高的代价来进行风险的转移。Riskpersehasanegativevalueforriskaverse.24051510V(5)V(15)期望值的效用

期望效用效用函数财富风险爱好者：期望值的效用<期望效用期望值25051510V(5)V(15)期望值的效用=

期望效用效用函数财富风险中立者：期望值的效用=期望效用期望值26四、风险规避程度的度量在面临相同的风险时，不同风险规避型经济主体，为了避免风险愿意放弃的财富数量也是不同的。(一）风险的Markowitz度量1.风险价格表示一个赌局，其两个结果为a和b，α为a出现的概率对这个经济主体而言，确定性的结果D与该赌局无差异。D称为确定性等效结果。风险性结果的期望值与确定性等效结果之差称为Markowitz的风险价格。即

Pm＝E（G）－D27baE(G)D28风险价格例子一经济主体具有对数型的效用函数，即U(W)=ln(W)现在面临一个风险性经济机会，单位为万元。求风险价格（愿意放弃的量）。解：先求出风险性经济机会的期望效用，U(G)=0.2*U(30)+0.8*U(5)=0.2*ln30+0.8*ln5=1.97U(G)=U(D)，其中D为确定性等效结果则U(D)=lnD＝1.97，即D＝7.17万元而E(G)=0.2*30+0.8*5=10万元则风险价格Pm＝E(G)－D＝10-7.17＝2.83万元则为了避免风险，风险规避型经济主体愿意放弃的最大财富数量就是2.83万元。292.加入初始财富后的风险价格假设经济主体目前的财富水平为W0，面临一个赌局，其两个结果为a和b，α为a出现的概率则参加这个赌局后经济主体的财富水平为：其期望值为：令对参加这个赌局之后，消费者的效用变为了U(D1)30例子一经济主体具有对数型的效用函数，即U(W)=ln(W)，其目前财富水平为10万元，现在面临一个风险性经济机会G(100,10:0.9)，单位为万元。求赌局代价解：如果接受赌局，经济主体以0.9的可能财富变为110，0.1的可能财富变为20，其期望效用为U(G)=0.9*U(110)+0.1*U(20)=0.9*ln110+0.1*ln20=4.53U(G)=U(D)，其中D为确定性等效结果则D＝92.76万元而E(G)=0.9*110+0.1*20=101万元则风险价格Pm＝E(G)－D＝101-92.76＝8.24万元31（二）Arrow-Pratt风险规避度量Arrow(1965)和Pratt(1964)提出。定义：给定一个（二次可微的）关于货币的伯努利效用函数，x处的Arrow-Pratt绝对风险规避(absoluteriskaverse)系数定义为

ARA=原因：风险中性等价于u（•）是线性的，即对于所有的x,。即风险规避的程度与曲率是相关的，风险规避程度的比较归结为函数u

的凸性的比较。32rA(w)>0,风险厌恶，凹函数，rA(w)=0,风险中性，线性函数，rA(w)<0,风险爱好：凸函数，332.4金融风险的测度34风险测度或风险度量（measurement)为什么要测度风险？从金融学角度而言：定价（投资学、保险学---无套利）

流通类比：风险之于风险度量指标

商品之于货币统一化的度量指标—构造一种共同的“语言”、一种“交换媒介”概率与损失风险度量

WhyWhymeasuresrisk?Pre-Markowitz---(expectedreturn)“portfolioselection”---(mean-variance)Investmentswiththesameexpectedreturn,weallalsoneeddiversification.Variancedon’tmeasurerisk!Twoinvestments:Ex1=—2000,Ex2=+2000,variance=2000.Variancesarethesame,butintuitivelyrisksaredifferent!!风险测度（measurement)风险测度——把一个代表风险的随机变量转化成一个实际值的过程。即：建立规则。假设X表示随机风险,ρ为风险测度函数,r为风险测度值,则风险测度过程可以表示为:r=ρ(X)定义：若Ω为一个样本空间，X:Ω→R为代表一个投资在某阶段内的损失的随机变量。那么考虑一个概率空间(Ω,P)，并令所有的风险X构成一个集合X。则函数:X→R就是一个风险测度。风险度量的种类VaRCoherentmeasuresofrisk(一致性风险度量)CVaRExpectedShortfallDistortionRiskmeasureVaR在正常市场条件下和一定概率水平（置信度）下，某一金融资产或证券组合价值在未来特定时期内的最大可能损失。设G是一项投资收益的现值，服从正态分布，并且假设置信度为1%==0.01此时的v就是VaR由于所以2.33=即VaR=-+2.33我们要选择VaR最小的投资VaR模型的不足不具有次可加性，不是一致性风险度量VaR模型只关心超过VaR值的频率，而不关心超过VaR值的损失分布情况。一致性风险测度(Coherentmeasureofrisk)必须满足下面的约束条件：1、单调性2、次可加性3、正齐次性4、平移不变性ARTZNER

etc.(1999),COHERENTMEASURESOFRISK,MathematicalFinance,9(3):203-228风险评价准则：一致风险度量Artzneretal.(1999)提出了一致风险度量，并认为一个良好的风险度量必须满足以下条件。1)单调性：对任意

，若满足，则有2)次可加性：对任意，有3)正齐次性：对任意，有4)平移不变性：对任意

，有风险评价准则：一致风险度量1、单调性：对任意随机损失变量

，若满足则有：

经济含义的解释：单调性说明资产面临的损失越大，则风险也越大。风险评价准则：一致风险度量2、次可加性：对任意，有经济含义的解释：次可加性说明分散可以降低风险，即投资组合的风险分散化效应。风险评价准则：一致风险度量3、正齐次性：对任意，有经济含义的解释：正齐次性说明随着损失的增加，风险也相应增加，也说明当收益以不同的货币单位表示时，风险度量必须做相同尺度的变化，资产的风险与采用的货币单位是独立的，不受计量单位影响，类比分离定理。风险评价准则：一致风险度量4、平移不变性：对任意

，有经济含义的解释：平移不变性说明损失增加一个确定的现金值，风险也相应的增加一个确定的值。

风险评价准则：其它准则客观性：若X和Y同分布，则有

客观性是一个风险度量可以实际应用的前提，只有风险度量具有客观性，这个风险度量才有意义。投资心理：VaRCVaR风险厌恶

总而言之，风险度量是对现实经济规律和投资人心理的一种模拟。条件风险价值（CVaR）

——风险度量方法（二）CVaR条件风险价值（CVaR）模型是指在正常市场条件下和一定的置信水平a上，测算出在给定的时间段内损失超过VaR的条件期望值。CVAR=由于我们可以得到：对于标准正态随机变量Z有：所以我们要选择此值最小的资产，在这里，相比VaR模型中的值给了方差更大的权重。CVaR模型想对于VaR模型的改进CVaR模型在一定程度上克服了VaR模型的缺点不仅考虑了超过VaR值的频率，而且考虑了超过VaR值损失的条件期望。CVaR的不足

1、对于超过VaR(α)的损失进行了考虑,但忽视了低端部分的损失。

2、由于仅仅通过期望值度量超过了VaR(α)的损失,因此对“低频率,高额度”的损失没有进行适当调整。事实上,在期望值相同的情况下,“低频率,高额度”的损失意味着更大的风险。CVaR的不足3、当证券组合损失分布是连续的时，CVaR模型是一个一致性风险度量模型，具有次可加性；当证券组合损失分布不是连续的时，CVaR模型由于不具有次可加性而不再是一致性风险度量模型。举例假定某一投资组合在2006年7月29日在置信度取95%时日VaR值为100万元，

CVaR值为130万元，根据VaR和CVaR的定义可知:该组合有95%的把握可以保证，这一天该组合由于多种因素而带来的极端潜在损失不会超过130万元，或者说损失超过100万元的条件损失为130万元。

期望短缺（expectedshortfall)ES定义期望短缺(expectedshortfall，简称ES)，直观上的解释是损失超过VaR的条件期望值。亦可表述为在一定时间内，置信水平为α的情况下，损失分布尾部(1-α)部分的期望值。其数学表达式为：由于ES可以明确指出VaR估计失败时损失的条件期望值，所以它更有助于对尾部风险的深入认识，也更接近于投资者的心理感受。ES的严格定义对于已知可积的随机变量L和置信水平α∈(0,1)，在置信水平α下的ES定义为：上式中项在损失分布连续时为0；在离散条件下，故需要将它从均值中减去。ES模型在信用资产组合优化中的应用

共选择20支债券作为样本进行分析，分别是10支国债和10支企业债。我们将国债看成一种无风险债券，企业债看成一种有违约风险的债券，它们的到期收益率可以分别看成无风险债券和有违约风险债券的利率。我们取自2004年01月01日到2005年08月30日，共401个交易日的收盘价作为样本数据。从上表中，我们可以发现，随着置信水平的提高，VaR值和ES值也分别增大，但无论在哪个置信水平下，基于ES度量的风险值都会大于等于VaR度量的值，这与ES的定义是一致的。DistortionRisk-Measure

定义定义1设映射g:[0,1]→[0,1]是增函数,且g(0)=0,g(1)=1,若变换F*(x)=g(F(x))为扭曲概率分布,则称g为扭曲函数.定义2若对随机损失变量X的生存函数S(X)=1-F(X),有则称为扭曲风险度量.扭曲风险度量是调整后的概率测量,更多的考虑了高风险事件,g(S(X))是调整后的生存函数.WT-measure的扭曲函数Wang.s.s(2000)提出了一种特殊的扭曲函数:其中正态分布,称其为Wang-transform.在Wang-transform中有这里的扭曲函数是连续的且一一对应的.Wang可以看到，扭曲函数g使得变换后的分布函数比原始分布函数尾部更厚些，因此能更好的拟合分布的尾部区域。另外，从图中还可以看出函数型风险度量的值比风险度量的值大，这更加符合风险管理的谨慎性。定理一：扭曲风险测量满足一致性的充要条件是扭曲函数为凹函数。证明：对四个条件逐一证明。1、单调性由扭曲函数定义可知，扭曲函数为增函数。对当时，有，又因为，

所以有：Wang-Distortion的一致风险度量证明2、正齐次性：已知：

Wang-Distortion的一