专题03几何概型（期末必考专项讲解与训练）-备战2021-2022学年高一数学下学期期末考试精品Word版含解析

一．理论基础1．几何概型设D是一个可度量的区域(例如线段、平面图形、立体图形等)，每个基本事件可以视为从区域D内随机地取一点，区域D内的每一点被取到的机会都一样；随机事件A的发生可以视为恰好取到区域D内的某个指定区域d中的点．这时，事件A发生的概率与d的测度(长度、面积、体积等)成正比，与d的形状和位置无关．把满足这样条件的概率模型称为几何概型．2．在几何概型中，事件A的概率计算公式P(A)＝eq\f(d的测度,D的测度).3．几何概型试验的两个基本特点(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；(2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性．二.通法提炼题型一与长度、角度有关的几何概型例1(1)在区间－1,1]上随机取一个数x，求coseq\f(π,2)x的值介于0到eq\f(1,2)之间的概率．(2)如图所示，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝45°，高AD＝eq\r(3)，在∠BAC内作射线AM交BC于点M，求BM<1的概率．coseq\f(π,2)x的值介于0到eq\f(1,2)之间的概率为eq\f(\f(2,3),2)＝eq\f(1,3).(1)在区间－2,3]上随机选取一个数X，则X≤1的概率为________．(2)在半径为1的圆内的一条直径上任取一点，过这个点作垂直于直径的弦，则弦长超过圆内接等边三角形边长的概率是________．【答案】(1)eq\f(3,5)(2)eq\f(1,2)【解析】(1)在区间－2,3]上随机选取一个数X，则X≤1，即－2≤X≤1的概率为P＝eq\f(3,5).(2)记事件A为“弦长超过圆内接等边三角形的边长”，如图，不妨在过等边三角形BCD的顶点B的直径BE上任取一点F作垂直于直径的弦，当弦为CD时，就是等边三角形的边长(此时F为OE中点)，弦长大于CD的充要条件是圆心O到弦的距离小于OF，由几何概型公式得：P(A)＝eq\f(\f(1,2)×2,2)＝eq\f(1,2).题型二与面积、体积有关的几何概型例2(1)设不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤2，,0≤y≤2))表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是________．(2)有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为________．思维点拨求随机点所在区域与所有区域的面积或体积比．【答案】(1)eq\f(4－π,4)(2)eq\f(2,3)(1)在区间－π，π]内随机取出两个数分别记为a，b，则函数f(x)＝x2＋2ax－b2＋π2有零点的概率为________．(2)在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCD－A1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为________．【答案】(1)1－eq\f(π,4)(2)1－eq\f(π,12)【解析】(1)由函数f(x)＝x2＋2ax－b2＋π2有零点，可得Δ＝(2a)2－4(－b2＋π2)≥0，整理得a2＋b2≥π2，如图所示，(a，b)可看成坐标平面上的点，试验的全部结果构成的区域为Ω＝{(a，b)|－π≤a≤π，－π≤b≤π}，其面积SΩ＝(2π)2＝4π2.事件A表示函数f(x)有零点，所构成的区域为M＝{(a，b)|a2＋b2≥π2}，即图中阴影部分，其面积为SM＝4π2－π3，故P(A)＝eq\f(SM,SΩ)＝eq\f(4π2－π3,4π2)＝1－eq\f(π,4).(2)V正＝23＝8，V半球＝eq\f(1,2)×eq\f(4,3)π×13＝eq\f(2,3)π，eq\f(V半球,V正)＝eq\f(2π,8×3)＝eq\f(π,12)，故点P到O的距离大于1的概率为1－eq\f(π,12).题型三生活中的几何概型问题例3甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的．如果甲船停泊时间为1h，乙船停泊时间为2h，求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率．思维点拨当基本事件受两个连续变量控制时，一般是把两个连续变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决．(4)结论：将解出的数学模型的解转化为题目要求的结论．某校早上8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7：30～7：50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为________．(用数字作答)【答案】eq\f(9,32)三．归纳总结1．区分古典概型和几何概型最重要的是看基本事件的个数是有限个还是无限个．2．转化思想的应用对一个具体问题，可以将其几何化，如建立坐标系将试验结果和点对应，然后利用几何概型概率公式．(1)一般地，一个连续变量可建立与长度有关的几何概型，只需把这个变量放在坐标轴上即可；(2)若一个随机事件需要用两个变量来描述，则可用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件，然后利用平面直角坐标系就能顺利地建立与面积有关的几何概型；(3)若一个随机事件需要用三个连续变量来描述，则可用这三个变量组成的有序数组来表示基本事件，利用空间直角坐标系建立与体积有关的几何概型．四、巩固练习1．从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为________．【答案】eq\f(3,5)【解析】取两个点的所有情况为10种，所有距离不小于正方形边长的情况有6种，概率为eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).2．设p在0,5]上随机地取值，则方程x2＋px＋eq\f(p,4)＋eq\f(1,2)＝0有实根的概率为________．【答案】eq\f(3,5)【解析】一元二次方程有实数根⇔Δ≥0，而Δ＝p2－4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,4)＋\f(1,2)))＝(p＋1)(p－2)，解得p≤－1或p≥2，故所求概率为P＝eq\f([0，5]∩{－∞，－1]∪[2，＋∞}的长度,[0，5]的长度)＝eq\f(3,5).3．在区间－1,4]内取一个数x，则2x－x2≥eq\f(1,4)的概率是________．【答案】eq\f(3,5)【解析】不等式2x－x2≥eq\f(1,4)，可化为x2－x－2≤0，则－1≤x≤2，故所求概率为eq\f(2－－1,4－－1)＝eq\f(3,5).4．已知△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝2，BC＝6，在BC上任取一点D，则使△ABD为钝角三角形的概率为______．【答案】eq\f(1,2)5．如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆．在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是________．【答案】1－eq\f(2,π)【解析】设分别以OA，OB为直径的两个半圆交于点C，OA的中点为D，如图，连结OC，DC.不妨令OA＝OB＝2，则OD＝DA＝DC＝1.在以OA为直径的半圆中，空白部分面积S1＝eq\f(π,4)＋eq\f(1,2)×1×1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－\f(1,2)×1×1))＝1，所以整体图形中空白部分面积S2＝2.又因为S扇形OAB＝eq\f(1,4)×π×22＝π，所以阴影部分面积为S3＝π－2.所以P＝eq\f(π－2,π)＝1－eq\f(2,π).6．已知集合A＝{α|α＝eq\f(nπ,9)，n∈Z}，若从A中任取一个元素均可作为直线l的倾斜角，则直线的斜率小于零的概率是________．【答案】eq\f(4,9)7．在区间－2,4]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为eq\f(5,6)，则m＝________.【答案】3【解析】由|x|≤m，得－m≤x≤m.当m≤2时，由题意得eq\f(2m,6)＝eq\f(5,6)，解得m＝2.5，矛盾，舍去．当2<m<4时，由题意得eq\f(m－－2,6)＝eq\f(5,6)，解得m＝3.即m的值为3.8．在区间1,5]和2,4]上分别各取一个数，记为m和n，则方程eq\f(x2,m2)＋eq\f(y2,n2)＝1表示焦点在x轴上的椭圆的概率是________．【答案】eq\f(1,2)9．小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于eq\f(1,2)，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于eq\f(1,4)，则去打篮球；否则，在家看书．则小波周末不在家看书的概率为________．【答案】eq\f(13,16)【解析】∵去看电影的概率P1＝eq\f(π×12－π×\f(1,2)2,π×12)＝eq\f(3,4)，去打篮球的概率P2＝eq\f(π×\f(1,4)2,