(新高考)高考数学一轮复习讲练测专题6.3《平面向量的应用》(解析版)

专题6.3平面向量的应用新课程考试要求1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．2.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.3.正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题.核心素养本节涉及所有的数学核心素养：逻辑推理（多例）、直观想象（多例）、数学运算（多例）等.考向预测（1）以平面图形为载体，借助于平面向量研究平面几何平行、垂直等问题；也易同三角函数、解析几何等知识相结合，以工具的形式出现．（2）正弦定理或余弦定理独立命题；（3）正弦定理与余弦定理综合命题；（4）与三角函数的变换结合命题；（5）考查较为灵活，题型多变，选择题、填空题的形式往往独立考查正弦定理或余弦定理，解答题往往综合考查定理在确定三角形边角中的应用，多与三角形周长、面积有关；有时也会与平面向量、三角恒等变换、立体几何等结合考查.【知识清单】知识点1.向量在平面几何中的应用向量在平面几何中的应用主要有以下方面：(1)证明线段相等、平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时也用到向量减法的意义．(2)证明线段平行、三角形相似，判断两直线(或线段)是否平行，常运用向量平行(共线)的条件：a∥b⇔a＝λb(或x1y2－x2y1＝0)．(3)证明线段的垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线(线段)是否垂直等，常运用向量垂直的条件：a⊥b⇔a·b＝0(或x1x2＋y1y2＝0)．(4)求与夹角相关的问题，往往利用向量的夹角公式cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)．(5)向量的坐标法，对于有些平面几何问题，如长方形、正方形、直角三角形等，建立直角坐标系，把向量用坐标表示，通过代数运算解决几何问题．知识点2．向量在物理中的应用数学中对物理背景问题主要研究下面两类：(1)力向量力向量是具有大小、方向和作用点的向量，它与前面学习的自由向量不同，但力是具有大小和方向的量，在不计作用点的情况下，__可用向量求和的平行四边形法则，求两个力的合力__．(2)速度向量速度向量是具有大小和方向的向量，因而__可用求向量和的平行四边形法则，求两个速度的合速度__．知识点3．正弦定理正弦定理：eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R，其中R是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为：a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)等形式，以解决不同的三角形问题．面积公式S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)acsinB知识点4．余弦定理余弦定理：，，.变形公式cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)，cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)，osC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)【考点分类剖析】考点一：平面向量在平面几何中的应用【典例1】（2021·四川省内江市第六中学高一期中）已知非零向量SKIPIF1<0与SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为（）A．等腰非直角三角形 B．直角非等腰三角形C．等腰直角三角形 D．等边三角形【答案】C【解析】由SKIPIF1<0推出SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0推出SKIPIF1<0，则可得答案.【详解】由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为等腰直角三角形.故选：C【典例2】（2021·吉林吉林市·高三三模（文））已知SKIPIF1<0､SKIPIF1<0为平面上的两个定点，且SKIPIF1<0，该平面上的动线段SKIPIF1<0的端点SKIPIF1<0､SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则动线段SKIPIF1<0所形成图形的面积为（）A．36 B．60 C．72 D．108【答案】B【解析】根据题意建立平面直角坐标系，根据SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，得到动点SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，进而得到SKIPIF1<0扫过的三角形的面积，再由SKIPIF1<0，同理得到SKIPIF1<0扫过的三角形的面积，两者求和即可.【详解】根据题意建立平面直角坐标系，如图所示：则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0；又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；∴SKIPIF1<0；∴SKIPIF1<0，∴动点SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，即线段CD上，则SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0扫过的三角形的面积为SKIPIF1<0，设点SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴动点SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，即线段MN上，则SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0扫过的三角形的面积为SKIPIF1<0，∴因此和为60，故选：B.【典例3】（2021·济南市·山东师范大学附中高一期中）设SKIPIF1<0为SKIPIF1<0所在平面上一点，且满足SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0的面积为2，则SKIPIF1<0面积为_______________．【答案】3【解析】由已知条件可得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则可得SKIPIF1<0，从而可得SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上靠近SKIPIF1<0的三等分点，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0，从而有SKIPIF1<0，进而可求得答案【详解】解：因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上靠近SKIPIF1<0的三等分点，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故答案为：3【总结提升】1.用平面向量解决几何问题，往往涉及平行、垂直．2.处理几何问题有两个角度，一是注意选定基底，用相同的向量表示研究对象；二是通过建立坐标系，利用向量的坐标运算求解．3.要证明两线段平行，如AB∥CD，则只要证明存在实数λ≠0，使eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(CD,\s\up6(→))成立，且AB与CD无公共点．4.要证明A、B、C三点共线，只要证明存在一实数λ≠0，使eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(AC,\s\up6(→))．5.要求一个角，如∠ABC，只要求向量eq\o(BA,\s\up6(→))与向量eq\o(BC,\s\up6(→))的夹角即可．6.在解决求长度的问题时，可利用向量的数量积及模的知识，解题过程中用到的整体代入使问题得到简捷、明了的解决．【变式探究】1．（2021·河北高一期中）已知SKIPIF1<0是边长为2的正三角形，点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0所在平面内的一点，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0长度的最小值为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】通过建立直角坐标系，利用向量的坐标表示结合基本不等式解决向量模长问题.【详解】如图，以SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0为原点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所在直线分别为SKIPIF1<0轴，SKIPIF1<0轴建立直角坐标系SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0长度的最小值为SKIPIF1<0.故选：B2.（2021·宁夏银川市·银川一中高三其他模拟（理））若SKIPIF1<0为SKIPIF1<0所在平面内任意一点，且满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的形状为______．（填：等腰三角形、等边三角形、直角三角形、等腰直角三角形）【答案】等腰三角形【解析】取SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，根据平面向量的线性运算计算SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0．【详解】取SKIPIF1<0中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0SKIPIF1<0的形状是等腰三角形．故答案为：等腰三角形.考点二：用向量方法探究存在性问题【典例4】在△ABC中，已知AB＝AC＝5，BC＝6，M是边AC上靠近点A的一个三等分点，试问：在线段BM(端点除外)上是否存在点P，使得PC⊥BM?【答案】线段BM上不存在点P使得PC⊥BM．【解析】[思路分析]本题是存在性问题，解题时利用共线向量，把向量eq\o(BP,\s\up6(→))的坐标设出，从而得到eq\o(CP,\s\up6(→))的坐标，然后根据垂直关系，利用数量积为零得到问题的答案．解：以B为原点，BC所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系．∵AB＝AC＝5，BC＝6，∴B(0,0)，A(3,4)，C(6,0)，则eq\o(AC,\s\up6(→))＝(3，－4)．∵点M是边AC上靠近点A的一个三等分点，∴eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＝(1，－eq\f(4,3))，∴M(4，eq\f(8,3))，∴eq\o(BM,\s\up6(→))＝(4，eq\f(8,3))．假设在BM上存在点P使得PC⊥BM，设eq\o(BP,\s\up6(→))＝λeq\o(BM,\s\up6(→))，且0<λ<1，即eq\o(BP,\s\up6(→))＝λeq\o(BM,\s\up6(→))＝λ(4，eq\f(8,3))＝(4λ，eq\f(8,3)λ)，∴eq\o(CP,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(BP,\s\up6(→))＝(－6,0)＋(4λ，eq\f(8,3)λ)＝(4λ－6，eq\f(8,3)λ)．∵PC⊥BM，∴eq\o(CP,\s\up6(→))·eq\o(BM,\s\up6(→))＝0，得4(4λ－6)＋eq\f(8,3)×eq\f(8,3)λ＝0，解得λ＝eq\f(27,26)．∵λ＝eq\f(27,26)∈/(0,1)，∴线段BM上不存在点P使得PC⊥BM．【规律总结】本题若用平面几何知识解非常复杂，利用共线向量则能巧妙解决，在今后解题中注意体会和应用．【变式探究】△ABC是等腰直角三角形，∠B＝90°，D是边BC的中点，BE⊥AD，垂足为E，延长BE交AC于F，连接DF，求证：∠ADB＝∠FDC．【答案】【解析】如图，B为原点，BC所在直线为x轴建立直角坐标系，设A(0,2)，C(2,0)，则D(1,0)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(2，－2)．设eq\o(AF,\s\up6(→))＝λeq\o(AC,\s\up6(→))，则eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))＝(0,2)＋(2λ，－2λ)＝(2λ，2－2λ)．又eq\o(DA,\s\up6(→))＝(－1,2)，eq\o(BF,\s\up6(→))⊥eq\o(DA,\s\up6(→))，∴eq\o(BF,\s\up6(→))·eq\o(DA,\s\up6(→))＝0，∴－2λ＋2(2－2λ)＝0，∴λ＝eq\f(2,3)．∴eq\o(BF,\s\up6(→))＝(eq\f(4,3)，eq\f(2,3))，eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\o(BF,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→))＝(eq\f(1,3)，eq\f(2,3))．又eq\o(DC,\s\up6(→))＝(1,0)，∴cos∠ADB＝eq\f(\o(DA,\s\up6(→))·\o(DB,\s\up6(→)),|\o(DA,\s\up6(→))|·|\o(DB,\s\up6(→))|)＝eq\f(\r(5),5)，cos∠FDC＝eq\f(\o(DF,\s\up6(→))·\o(DC,\s\up6(→)),|\o(DF,\s\up6(→))|·|\o(DC,\s\up6(→))|)＝eq\f(\r(5),5)，又∠ADB，∠FDC∈(0，π)，∴∠ADB＝∠FDC．考点三：平面向量在物理中的应用【典例5】（2021·全国高一课时练习）空间作用在同一点的三个力SKIPIF1<0两两夹角为SKIPIF1<0，大小分别为SKIPIF1<0，设它们的合力为SKIPIF1<0，则（）A．SKIPIF1<0，且与SKIPIF1<0夹角余弦为SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0，且与SKIPIF1<0夹角余弦为SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0，且与SKIPIF1<0夹角余弦为SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0，且与SKIPIF1<0夹角余弦为SKIPIF1<0【答案】C【解析】设三个力对应的向量分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0为过同一个顶点的三条棱，作平行六面体如图，再以平面SKIPIF1<0为SKIPIF1<0平面，SKIPIF1<0为原点、SKIPIF1<0为SKIPIF1<0轴建立如图空间直角坐标系．分别算出点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的坐标，运用向量的加法法则，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．最后利用向量模的公式算出SKIPIF1<0，并且利用向量夹角公式算出SKIPIF1<0与SKIPIF1<0夹角余弦，即得解.【详解】设向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0以SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0为过同一个顶点的三条棱，作平行六面体SKIPIF1<0，如图所示则可得向量SKIPIF1<0，以平面SKIPIF1<0为SKIPIF1<0平面，SKIPIF1<0为原点，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0轴建立空间直角坐标系，如图所示可得SKIPIF1<0，0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，1，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，3，SKIPIF1<0设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，解之得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，结合SKIPIF1<0，1，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，3，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0设SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成的角为SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0即SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的余弦之值为SKIPIF1<0.故选：C．【典例6】（2021·全国高一课时练习）如图，重为SKIPIF1<0的匀质球，半径SKIPIF1<0为SKIPIF1<0，放在墙与均匀的SKIPIF1<0木板之间，SKIPIF1<0端锁定并能转动，SKIPIF1<0端用水平绳索SKIPIF1<0拉住，板长SKIPIF1<0，与墙夹角为SKIPIF1<0，如果不计木板的重量，则SKIPIF1<0为何值时，绳子拉力最小？最小值是多少？【答案】SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0有最小值SKIPIF1<0．【解析】设木板对球的支持力为SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，绳子的拉力为SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0，利用三角函数的基本性质和基本不等式，即可求解.【详解】如图所示，设木板对球的支持力为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，设绳子的拉力为SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由动力矩等于阻力矩得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0有最小值SKIPIF1<0．【总结提升】1.求几个力的合力，可以用几何法，通过解三角形求解，也可用向量法求解．2．如果一个物体在力G的作用下产生位移为s，那么力F所做的功W＝|F||s|cosθ，其中θ是F与s的夹角．由于力和位移都是向量，所以力所做的功就是力与位移的数量积．【变式探究】1．【多选题】（2021·浙江高一期末）在水流速度为SKIPIF1<0的河水中，一艘船以SKIPIF1<0的实际航行速度垂直于对岸行驶，则下列关于这艘船的航行速度的大小和方向的说法中，正确的是（）A．这艘船航行速度的大小为SKIPIF1<0B．这艘船航行速度的大小为SKIPIF1<0C．这艘船航行速度的方向与水流方向的夹角为SKIPIF1<0D．这艘船航行速度的方向与水流方向的夹角为SKIPIF1<0【答案】BD【解析】根据题意作出图示，结合向量的平行四边形法则计算出船的速度以及船的航行方向和水流方向的夹角.【详解】设船的实际航行速度为SKIPIF1<0，水流速度为SKIPIF1<0，船的航行速度为SKIPIF1<0，根据向量的平行四边形法则可知：SKIPIF1<0，设船的航行方向和水流方向的夹角为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故选：BD.2.（2021·云南昆明市·高三三模（理））两同学合提一捆书，提起后书保持静止，如图所示，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0大小之比为___________．【答案】SKIPIF1<0【解析】物体处于平衡状态，所以水平方向的合力为0，然后可算出答案.【详解】物体处于平衡状态，所以水平方向的合力为0所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0故答案为：SKIPIF1<0考点四：正弦定理【典例7】（2019·全国高考真题（文））的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsinA+acosB=0，则B=___________.【答案】.【解析】由正弦定理，得．，得，即，故选D．【典例8】（2021·济南市·山东师范大学附中高一期中）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（1）求SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角SKIPIF1<0；（2）在平面四边形SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的面积．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0．【解析】（1）根据平面向量数量积的运算律得到SKIPIF1<0，再根据SKIPIF1<0计算可得；（2）由SKIPIF1<0，再根据平面向量数量积的运算律求出SKIPIF1<0，再利用正弦定理求出SKIPIF1<0，即可得到SKIPIF1<0，从而得解；【详解】（1）∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；（2）∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0边的长度为SKIPIF1<0．在SKIPIF1<0中，由正弦定理可得SKIPIF1<0即SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0【总结提升】已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可．已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意．已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况．如已知a，b，A，则A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＜bsinAa＝bsinAbsinA＜a＜ba≥ba＞ba≤b解的个数无解一解两解一解一解无解【变式探究】1.（2019·北京高考模拟（理））在ΔABC中，已知BC=6，AC=4，sinA=3【答案】π【解析】∵BC=6，AC=4，sinA=34，由正弦定理BC∵AC＜BC，∴得B为锐角，所以B=π6故答案为：π62.（2018·北京高考真题（理））在△ABC中，a=7，b=8，cosB=–17（Ⅰ）求∠A；（Ⅱ）求AC边上的高．【答案】(1)∠A=π3(2)AC边上的高为【解析】（1）在△ABC中，∵cosB=–17，∴B∈（π2，π），∴sinB=1−cos2B=437．由正弦定理得asinA=bsinB⇒7sinA=8（2）在△ABC中，∵sinC=sin（A+B）=sinAcosB+sinBcosA=32×(−1如图所示，在△ABC中，∵sinC=ℎBC，∴h=BC⋅sinC=7×33考点五余弦定理【典例9】（2020·全国高考真题（文））SKIPIF1<0的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知B=150°.（1）若a=SKIPIF1<0c，b=2SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的面积；（2）若sinA+SKIPIF1<0sinC=SKIPIF1<0，求C.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0.【解析】（1）已知角SKIPIF1<0和SKIPIF1<0边，结合SKIPIF1<0关系，由余弦定理建立SKIPIF1<0的方程，求解得出SKIPIF1<0，利用面积公式，即可得出结论；（2）将SKIPIF1<0代入已知等式，由两角差的正弦和辅助角公式，化简得出有关SKIPIF1<0角的三角函数值，结合SKIPIF1<0的范围，即可求解.【详解】（1）由余弦定理可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面积SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.【典例10】（2021·济南市·山东省实验中学高一期中）在平面四边形ABCD中，AB=4，AD=2SKIPIF1<0，对角线AC与BD交于点E；E是BD的中点，且SKIPIF1<0.（1）若SKIPIF1<0，求cos∠AED的值；（2）若SKIPIF1<0，求BD的长.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0；【解析】（1）利用正弦定理得SKIPIF1<0，接着在直角三角形中利用边长求解即可.（2）利用中线的向量表示，结合向量的数量积得到SKIPIF1<0，最后利用余弦定理进行解题即可.【详解】（1）由题意可知：在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,由正弦定理可知：SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为直角三角形，由勾股定理可知：SKIPIF1<0,又因为E是BD的中点，所以SKIPIF1<0,则在直角SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0SKIPIF1<0.（2）因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因为E是BD的中点，所以SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0即SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0,解得：SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，利用余弦定理得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0.【规律方法】应用余弦定理解答两类问题：【变式探究】1.（2021·四川雅安市·雅安中学高一期中）已知SKIPIF1<0的角SKIPIF1<0所对的边分别为SKIPIF1<0，设向量SKIPIF1<0.（1）若SKIPIF1<0，求证SKIPIF1<0为等腰三角形；（2）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的面积.【答案】（1）证明见解析；（2）SKIPIF1<0.【解析】（1）根据平面向量共线的条件以及正弦定理可得结果；（2）根据平面向量垂直的坐标表示得SKIPIF1<0，根据余弦定理求出SKIPIF1<0，再根据三角形的面积公式可求出结果.【详解】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为等腰三角形.（2）由题意可知SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由余弦定理可知SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去），SKIPIF1<0.2.（2019·北京高考真题（文））在△ABC中，a=3，，cosB=．（Ⅰ）求b，c的值；（Ⅱ）求sin（B+C）的值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）由余弦定理可得，因为，所以；因为，所以解得.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以；因为为的内角，所以.因为.【总结提升】已知三边，由余弦定理求，再由求角，在有解时只有一解.已知两边和夹角，余弦定理求出对边.考点六正弦定理与余弦定理的综合运用【典例11】（2020·江苏省高考真题）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）求的值；（2）在边BC上取一点D，使得，求的值．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由余弦定理得，所以.由正弦定理得.（2）由于，，所以.由于，所以，所以.所以.由于，所以.所以.【典例12】（2021·天津滨海新区·高一期末）在SKIPIF1<0中，已知内角SKIPIF1<0所对的边分别为SKIPIF1<0，向量SKIPIF1<0，向量SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0.（1）求角SKIPIF1<0的大小；（2）若SKIPIF1<0SKIPIF1<0求SKIPIF1<0的取值范围；（3）若SKIPIF1<0的内切圆的周长为SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0的值最小时，求SKIPIF1<0的面积.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0.【解析】（1）由SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，从而可求得角SKIPIF1<0的大小；（2）SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0为钝角，即SKIPIF1<0，再利用正弦定理表示出SKIPIF1<0，从而有SKIPIF1<0，再由SKIPIF1<0可求出SKIPIF1<0的取值范围；（3）由余弦定理得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0的内切圆的周长为SKIPIF1<0，可得内切圆半径SKIPIF1<0，设圆SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的内切圆圆心，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为切点，则可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，再由切线长定理可得SKIPIF1<0，结合前的式子可得SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，从而可得当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的值最小，进而可求出SKIPIF1<0的面积【详解】解：（1）SKIPIF1<0SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0为钝角，从而SKIPIF1<0由正弦定理，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0（3）由余弦定理得：SKIPIF1<0，由题意可知：SKIPIF1<0的内切圆周长SKIPIF1<0，所以内切圆半径SKIPIF1<0如图，设圆SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的内切圆圆心，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为切点，可知SKIPIF1<0≌SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，可得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由切线长定理可知从圆外一点引圆的两条切线长相等，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0(当且仅当SKIPIF1<0时取等号)即SKIPIF1<0SKIPIF1<0，或SKIPIF1<0又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的值最小为24，此时SKIPIF1<0的面积：SKIPIF1<0【总结提升】应熟练掌握正、余弦定理及其变形．解三角形时，有时可用正弦定理，也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷就用哪一个定理．【变式探究】1.（2020·天津高考真题）在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c．已知a=22（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）求sinA（Ⅲ）求sin2A+【答案】（Ⅰ）C=π4；（Ⅱ）sinA=【解析】（Ⅰ）在△ABC中，由a=22cosC=又因为C∈(0,π)，所以C=π（Ⅱ）在△ABC中，由C=π4，a=22,c=13（Ⅲ）由a<c知角A为锐角，由sinA=21313，可得进而sin2A=2所以sin(2A+π42．（2019·全国高考真题（理））的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设．（1）求A；（2）若，求sinC．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）即：由正弦定理可得：（2），由正弦定理得：又，整理可得：解得：或因为所以，故.（2）法二：，由正弦定理得：又，整理可得：，即由，所以.专题6.3平面向量的应用练基础练基础1．（2021·重庆九龙坡区·高三二模）已知等边SKIPIF1<0的边长为SKIPIF1<0为它所在平面内一点，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为（）A．SKIPIF1<0 B．7 C．5 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】取SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，并延长到SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，从而将SKIPIF1<0转化为SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，所以结合图形可得答案【详解】解：取SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，并延长到SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0为等边三角形，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0,因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0,因为等边SKIPIF1<0的边长为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，要使SKIPIF1<0取得最大值，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0共线且同向，所以SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0，故选：B2．（2021·浙江高一期末）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．5∶3∶4 B．5∶4∶3 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】利用两个向量的数量积的定义可得SKIPIF1<0，由此求得SKIPIF1<0的值，利用正弦定理可得SKIPIF1<0的值.【详解】由题意，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，利用向量的数量积的定义可知SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以由正弦定理可得SKIPIF1<0.故选:D.3．【多选题】（2021·浙江高一期末）已知SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0的对边分别为SKIPIF1<0为SKIPIF1<0边上的高，以下结论：其中正确的选项是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0为锐角三角形C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】ACD【解析】画出图形，利用向量的数量积公式，三角形中余弦定理及向量的运算法则对各命题进行判断，看出每一个命题的正误【详解】解：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故A正确；若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为锐角，无法得到其他角的关系，故无法判断SKIPIF1<0的形状，故B错误；SKIPIF1<0而SKIPIF1<0，故C正确SKIPIF1<0由余弦定理有SKIPIF1<0故有SKIPIF1<0，故D正确故选：ACD．4．【多选题】（2021·麻城市实验高级中学高三其他模拟）已知点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0外接圆的圆心，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】BD【解析】根据垂径定理先求出SKIPIF1<0，再求SKIPIF1<0即可.【详解】令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0（舍）或SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：BD.5．（2021·河北高一期中）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“勾股圆方图”，后人称其为“赵爽弦图”.类比赵爽弦图，由3个全等的小三角形拼成如图所示的等边SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0的边长为SKIPIF1<0﹐且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的面积为___________.【答案】SKIPIF1<0【解析】先根据图形的构成判断出SKIPIF1<0，利用余弦定理解出AF，利用面积公式即可求出SKIPIF1<0的面积.【详解】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由余弦定理可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.6．（2021·苏州市第三中学校高一期中）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0内（包括边界）的一动点，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值是_________．【答案】SKIPIF1<0【解析】取SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0，由平行四边形法则可得SKIPIF1<0点轨迹，确定所求最大值为SKIPIF1<0；利用平面向量数量积的定义和余弦定理可求得所需边长，利用勾股定理可求得结果.【详解】取SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0内（包含边界）的一动点且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0根据平行四边形法则可知：点SKIPIF1<0的轨迹为线段SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.7．（2021·河南商丘市·高一月考）在平面直角坐标系SKIPIF1<0中，非零向量SKIPIF1<0，在圆SKIPIF1<0上存在点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0的取值范围是______．【答案】SKIPIF1<0【解析】由条件得SKIPIF1<0，代入坐标形式进行运算，得到SKIPIF1<0，从而求得范围.【详解】设点SKIPIF1<0，由条件可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设向量SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0是非零向量，所以SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<08．（2021·浙江高三月考）已知平面向量SKIPIF1<0夹角为SKIPIF1<0，且平面向量SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0SKIPIF1<0记SKIPIF1<0为SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）的最小值，则SKIPIF1<0的最大值是__________．【答案】SKIPIF1<0【解析】将条件转化，然后用数形结合求解.【详解】设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，依题意可知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故点SKIPIF1<0在△SKIPIF1<0的外接圆SKIPIF1<0上.其半径SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0，显然，当SKIPIF1<0运动到点SKIPIF1<0处时，SKIPIF1<0有最大值SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.9．（2021·江苏苏州市·高一月考）我们知道，“有了运算，向量的力量无限”.实际上，通过向量运算证明某些几何图形的性质比平面几何的“从图形的己知性质推出待证的性质”简便多了.下面请用向量的方法证明“三角形的三条高交于一点”.已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的三条高，求证：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0相交于一点.【答案】证明见解析.【解析】结合向量的数量积即可证明.【详解】如图，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0①-②得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三点共线，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0相较于一点.10．（2021·浙江高一期末）甲船在静水中的速度为40海里/小时，当甲船在点A时，测得海面上乙船搁浅在其南偏东SKIPIF1<0方向的点P处，甲船继续向北航行0.5小时后到达点B，测得乙船P在其南偏东SKIPIF1<0方向，（1）假设水流速度为0，画出两船的位置图，标出相应角度并求出点B与点P之间的距离．（2）若水流的速度为10海里/小时，方向向正东方向，甲船保持40海里/小时的静水速度不变，从点B走最短的路程去救援乙船，求甲船的船头方向与实际行进方向所成角的正弦值．【答案】（1）点B与点P之间的距离为SKIPIF1<0海里，（2）SKIPIF1<0.【解析】（1）画出图形，利用余弦定理求解即可；（2）利用向量的加法的平行四边形法则画出图形，然后利用正弦定理求解即可.【详解】（1）两船的位置图如下：由图可得，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0所以由余弦定理可得SKIPIF1<0所以点B与点P之间的距离为SKIPIF1<0海里（2）如图，SKIPIF1<0的方向为水流的方向，SKIPIF1<0的方向为船头的方向，SKIPIF1<0的方向为实际行进的方向，其中SKIPIF1<0在SKIPIF1<0中，由正弦定理可得SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0即甲船的船头方向与实际行进方向所成角的正弦值为SKIPIF1<0练提升TIDHNEG练提升TIDHNEG1．（2020·江苏高考真题）在△ABC中，SKIPIF1<0D在边BC上，延长AD到P，使得AP=9，若SKIPIF1<0（m为常数），则CD的长度是________．【答案】SKIPIF1<0或0【解析】根据题设条件可设SKIPIF1<0，结合SKIPIF1<0与SKIPIF1<0三点共线，可求得SKIPIF1<0，再根据勾股定理求出SKIPIF1<0，然后根据余弦定理即可求解.【详解】∵SKIPIF1<0三点共线，∴可设SKIPIF1<0，∵